第1节 随机事件
概率论课件 第一节 随机试验与随机事件
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
随机事件与概率教案
概率论与数理统计教学教案第1章随机事件与概率B 称为事件k n A 个事件为B 称为事件1nk k A =为n 个事件,n A 的积事件，称1k k A ∞=为可列个事件的积事件）事件A B -称为事件与事件B 的差事件，表示A 发生且 ,∅=B A 称为事件A 与事件B 是互不相容或互斥的，表示事件与事件B 不能同时发生A B S =且B =∅，称事件与事件B 互为逆事件，或称事件A 与事件A ,B 中必有一个发生，且仅有一个发生，的对立事件记作S A =-.．事件间的运算律：设,,A B C 为事件，则有）交换律: A B A =, A ）结合律: A C B A ()(=）分配律: ()(B A C B A = ()(B A C B A =B C ;ABC A B C =;ABCABC ABC ; ABC ABC ABC ABC AB BC CA =;）至多有两个次品（考虑其对立事件）)()()ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C ==.授课序号02(n k -+)k n ≤个元素的不同组合总数为1)(1)!n k k --+是平面上某个区域, 它的面积记为的位置和形状无关，)()A A μ=. ,2,, 有11i i i A ∞∞==⎫=⎪⎭∑2．概率的运算性质（1）0≤（2）A 若+P(A n ).（3）对于任意两个事件)(A B P -=,)k人取到具有快充功能的充电器（记为事件件产品，其中有货架上有外观相同的商品求这两件商品来自同一产地的概率某接待站在某一周曾接待过推断接待时间是有规定的?B=)0.6授课序号03)2|B A =两点说明：计算条件概率的方法在缩减的样本空间）在样本空间S 中，先求事件．乘法公式：(P AB A A A ,,,21 2,,;n2n B B S =,)n，则()AP=全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，题，最后应用概率的可加性求出最终结果的样本空间为，.)(|)C P A B C在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为只白球，每次自袋中任取一只球若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到授课序号04k i n <≤三个事件相互独立：)()(C P A ，）()3n n ≥）若事件,21A A ,,n A 相互独立，则有212()1()n n P A A P A A A =-1212()1()()()n n P A A A P A P A P A =-=- ．独立性在系统可靠性中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性. 对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件A 和事件A ，且在每次试验中都有p A P =)(，p A P -=1)(．2.定理：设在一次试验中事件A 发生的概率为p ()01p <<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生了k ()k n ≤次的概率为k n k k n n p p C k P --=)1()(，n k ,,2,1,0 =，10<<p .三．例题讲解例1.设B A ,互不相容，若0)(,0)(>>B P A P ，问B A ,是否相互独立？例2.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立,BC =∅,若1()(),2P A P B ==1(|)4P AC A B =,求()P C .例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26 加工某一零件共需经过7道工序, 每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p ，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S 1和S 2），求两种组合方式的可靠性.图1.4 系统S 1（左图）和系统S 2（右图） 例5.某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理．数字化仓库评估规范1 范围本文件规定了数字化仓库评估的基本原则与评估指标构成及评估内容，并提供了评估指标体系的构建和评估分析方法。
数学第十一章
图 11-5
一、随机事件
学习提示
一、随机事件
由定义可知,对立事件必为互不相容；反之,互不相容 的两个事件未必为对立事件.
事件的运算与集合的运算类似，满足下面的规律: 设A，B，C为事件, 交换律:A∪B=B∪A； A∩B=B∩A. 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)= (A∩ B)∩C. 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)； A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
一、随机事件
【例1】
观察下列各种现象，哪些是确定性现象，哪些是随机 现象.
（1）三角形内角和等于180 ； （2）掷一颗骰子，出现的点数大于7; （3）某人射击一次，中靶； （4）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张， 得到4号签； （5）某电话机在一分钟内收到2次呼叫； （6）掷一枚硬币，出现正面.
图 11-3
一、随机事件
类似地,可列个事件A1，A2，A3，…的积可 ∩∞i=1Ai,n个事件A1，A2，A3，…，An
的积可记为∩ni=1Ai. 事件A发生而事件B不发生的事件，称为事
件A与事件B的差,记为A-B.事件A与B的差是由 属于A而不属于B的样本点所构成的事件.
一、随机事件
（3)事件的互不相容 (互斥).
图 11-1
一、随机事件
（2)事件的和、积差. 事件A与事件B中至少有一 个发生的事件,称为事件A与事件 B的和(或并),记为A∪B.事件A与 B的和是由A与B的样本点合并而 成的事件,如图11-2所示.
图 11-2
一、随机事件
事件A与事件B同时发生 的事件，称为事件A与事件B 的积(或交),记为A∩B,也可简 写为AB.事件A与B的积是由A 与B的公共的样本点所构成的 事件,如图11-3所示.
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
一概率论的基本概念
2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注： 样本空间是一个有限或无限的点集。 样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄， 求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。 解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种 而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率 格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。 解 设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
25.1.1随机事件教案
1.理论介绍：首先，我们要了解随机事件的基本概念。随机事件是指在相同条件下可能发生也可能不发生的事件。它是概率论的基础，帮助我们理解和预测生活中的不确定性。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如抛硬币，正面朝上和反面朝上是两种可能的结果，这个案例展示了随机事件在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调随机事件的分类和概率的基本性质这两个重点。对于难点部分，我会通过抛硬币、掷骰子等实验和具体计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与随机事件相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币、掷骰子等简单的实验操作。这些操作将演示随机事件的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上）
今天的学习，我们了解了随机事件的基本概念、分类、概率的基本性质以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对随机事件的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.将现实生活中的问题转化为概率问题，并运用所学知识解决，这需要学生具备较强的抽象思维和问题解决能力。
举例：针对难点b，教师可以通过具体的扑克牌抽取实验，引导学生理解概率的统计意义，并通过实际操作来计算概率。针对难点c，教师可以通过图形树状图或者列表法来帮助学生理解并应用概率的加法规则和乘法规则。例如，讲解“第一次抽取是红桃的概率为1/4，第二次在没有放回的情况下抽取是红桃的概率为1/3，两次事件同时发生的概率是1/4 × 1/3”这一过程。针对难点d，教师可以设计一些贴近学生生活的实际问题，如抽奖、比赛等，指导学生如何将问题转化为概率模型，并解决问题。
概率论
1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。
一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。
我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。
如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。
一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。
这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。
如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。
二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。
基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。
则样本点有6个。
若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。
样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。
记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。
B 为一个复合事件。
三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。
人教版数学九年级上册25.1.1《随机事件》教学设计
人教版数学九年级上册25.1.1《随机事件》教学设计一. 教材分析《随机事件》是人教版数学九年级上册第25章第1节的内容。
本节课主要介绍随机事件的定义及其相关概念。
通过本节课的学习，使学生了解随机事件的定义，理解必然事件、不可能事件与随机事件的关系，能正确判断事件的类型。
教材通过丰富的实例，引导学生探究、总结随机事件的定义，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对事件的概念有一定的了解。
但在判断事件类型方面，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、思考、交流、总结，提高他们判断事件类型的能力。
三. 教学目标1.理解随机事件的定义，能正确判断事件的类型。
2.培养学生的观察能力、思考能力和抽象思维能力。
3.通过对实际问题的分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：随机事件的定义及其相关概念。
2.难点：必然事件、不可能事件与随机事件的关系；判断事件类型。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、交流、总结，掌握随机事件的定义。
2.运用实例分析法，使学生理解必然事件、不可能事件与随机事件的关系。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材。
2.准备学生分组讨论所需材料。
3.教师熟练掌握教材内容，明确教学目标和要求。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛硬币、抽奖等，引导学生关注随机现象。
提问：这些现象有什么共同特点？学生回答后，教师总结：这些现象都是随机事件。
2.呈现（10分钟）展示教材中的实例，引导学生观察、思考，总结随机事件的定义。
提问：什么是随机事件？必然事件、不可能事件与随机事件有什么关系？学生回答后，教师总结：随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
3.操练（10分钟）分组讨论：让学生结合实例，判断所给事件类型。
第一节 随机事件及其运算09-10(2)第一讲
10
例1 抛掷一枚硬币观察结果，写出样本空间
令1＝“正” 2＝“反”
{ 1 , 2 }
例2
{ 正, 反 }
抛掷一枚骰子，观察出现的点数，写出样本空间
令i＝“出现的点数为 i”
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
令i＝“出现的点数为 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } i”
11
例3 抛掷两枚硬币观察结果，写出样本空间
{ (正，正 (正，反 ) )
例4
(反，正 )
(反，反 } )
测量车床加工的零件的直径（mm），写出样本空间。
令x＝ “ 测 得零 件的 直 径为 mm”(a x b) x
{ x | a x b}
[a, b]
无限
练习：抛掷三枚硬币观察结果，写出样本空间 抛掷两颗骰子观察结果，写出样本空间
解： 设 A＝{甲命中目标}
（） A B C 1
（2 ） ABC ABC ABC （3 ） ABC ABC ABC
B＝{乙命中目标}
（4 ） （5 ） （6 ）
C＝{丙命中目标}
BC AC AB
ABC
A B C
29
例8、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品 不放回），试表示下列事件： （1）三次都取到了合格品； （2）三次中至少有一次取到合格品； （3）三次中恰有两次取到合格品； （4）三次中至多有一次取到合格品。 解： 设 Ai {第i次取到合格产品 i 1,2,3) }(
概率论与数理统计
Probability and Statistics 主讲：常双领
第四章 概率与概率分布
第三节 随机变量及其分布
一、 随机变量 （一） 随机变量的定义
表示随机现象观测结果的变量称为随机变量。随 机变量可用X、Y、Z……表示。 （二）随机变量的类型 1、离散型随机变量
只能取有限个或可列个孤立值的随机变量称为离 散型随机变量。 2、连续型随机变量
取值连续充满某一区间的随机变量称为连续型随 机变量。
二 、随机变量的概率分布
（一）离散型随机变量的概率分布 掌握一个离散型随机变量的概率分布规
律，必须掌握两点： 1、随机变量X所取的可能值是什么？ 2、随机变量X取每一个可能值的概为多少？
p( X x1) p1, p( X x2 ) p2 , p( X xn ) pn
离散型随机变量的分布规律可用分布列 的形式来表示。
Y yi
P(Y yi ) Pi
0 0.14
1 0.22
2 0.64
离散型随机变量的概率分布具有下面两 个重要性质：
1、随机变量取任何值时，其概率都是非负 的。即 P1≥0， ≥P02 ，…… ≥0P。n 2、随机变量取遍所有可能值时，相应的概 率之和等于1，即
n
pi 1
i 1
P（-0.52<u<1.34） = P（–∞<u<1.34）- P（–∞<u<-0.52） =0.9099 - 0.3015 =0.6084
2、已知u的取值落入某一区间的概率 ， 求u值。 [例13]已知P（u<x）=0.0869，求x P（u<x）=0.0869 查标准正态分布表（1） P（–∞<u<-1.36）=0.0869 即P（u<-1.36）=0.0869 X=-1.36
第二节 随机事件的概率
概率1-1随机事件
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间 S 0,1, 2 由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件叫做事件 A 与事件 B 的和或并，记作
A B或 A + B .
A A+B B A+B
A+A= A
概率论
A+B
• 如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 . • A表示点数大于3； • B表示出现偶数点. • 则A+B表示出现2 点、4点、5点或6 点。
A
B
概率论
推广
、 An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、 A2、
、 An 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、 A2、
A1 A2 An , 或 A1 +A2 + +An n
简记为 Ai . 或
i 1
n
A
i 1
i
中至少有一个发生的事件为 称事件 A1、 A2、
事件 A1、 A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
E3：掷两粒色子，观察出现的点数之和。
概率论
E 4 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 . E 5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6：测试灯泡的寿命是否超过3000小时。
上述试验具有下列共同的特点:
概率论
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行——可重复 性; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确 试验的所有可能的结果——可观察性; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现——随机性. 定义：对随机现象进行的观察与试验统称为随机 试验.简称试验，通常用E表示随机试验.
概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)
解 根据题意知 ， ，， ， ，，
例4 随机地抽取三件产品，设表示“三件产品中至少有一件是废
品”，表示“三件中至少有两件是废品”,表示“三件都是正品”，
问，，，，各表示什么事件？
解 =“三件都是正品”；
=“三件产品中至多有一件废品”；
=（必然事件）；
（不可能事件）；
=“三件中恰有一件废品”。
例5 向目标射击两次，用表示事件“第一次击中目标”，用表示事
定义4 在同样条件下进行大量的重复试验，当试验次数充分大时， 事件发生的频率必然稳定在某一确定的数附近，则称为事件的概率，记 为，即有。
以上定义称为事件概率的统计定义。根据此定义和频率的有关性质 可知概率具有以下性质：
性质1 ≤≤； 性质2 ； 性质3 ； 性质4 若事件与事件互不相容，则。 这一性质可以进行推广：设为两两互不相容的个事件，则
第七章 概率论与数理统计初步
第一节 随机事件与概率
1．1 随机试验与随机事件 1．随机现象与随机试验
自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定 的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。例如，沿水平方 向抛出的的物体，一定不作直线运动。另一类现象却呈现出非确定 性。例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能 是“反面向上”。又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产 品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。这类现象可看 作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一 个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。人们发现， 这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验 或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类 现象为随机现象。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门数学学科。
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2. 概率论的应用
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数 量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域
例如天气预报、地震预报，产品的抽样调查，保险费
率计算，药物疗效评价，在通讯工程中可用以提高信 号的抗干扰性、分辨率等等.
自然界所观察到的现象: 确定性现象、随机现象
1. 确定性现象
B = {1,3,5}
“掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件 . 注：任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
称在一次试验中某随机事件发生，当且仅当该 事件所包含的样本点在这次试验中出现. 样本空间的两个特殊子集
它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次 试验中它总是发生，称为必然事件 . 它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不 发生,称之为不可能事件 .
并且能事先明确试验的所有可能结果;
3. (随机性) 进行一次试验之前不能确定哪一 个结果会出现 .
随机试验的例子
E1: 过马路时遇到红绿灯; E2: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：在一批灯泡中任取一只，测其寿命；
E5：观察社会对某商品的日需求量 .
如 果 事 件 A 与 B 不 可 能 同 时 发生 ， 即 AB ， 则 称 事 件 A 与 B 互 不 相 容 (或 互斥 ).
A
B
AB
基本事件是两两互不相容的.
抛掷一枚骰子： “骰子出现1点” 互斥 点” 抛掷一枚硬币： “骰子出现2
“出现正面” 与 “出现反面”是互不相容的 两 个事件.
k 1 n
称 Ak为可列个事件A1 , A2 ,的并.
k 1
3.事件的积(交)：“事件A与B同时发生”,
记作 A B 或 AB
A B
类似地, 称 Ak为n个事件A1, A2 , An的交
n k 1
称 Ak为可列个事件A1 , A2 ,的交.
k 1
某输油管长100 km
一、随机事件的概念
定义 随机试验中每一种可能的结果，称为随机事
件，简称事件.记作A、B、C 等.
把随机试验的每个基本结果称为基本事件.
每次试验中都一定出现的事件，称做必然事件，
记作 ； 任何一次试验中都不会出现的事件，称做不可 能事件，记作Φ； 为了讨论问题方便，我们把必然事件和不可能 事件也看成是特殊的随机事件.
三、事件间的关系及运算
研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂 的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间 的关系和运算来规定
1. 若A B, 则称事件B包含事件A, 即
事件A发生必然导致事件B发生.
A
B
A B
若A B且B A, 则称事件A与事件B相等.
例：测量某台电视机的寿命.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
什么是随机现象?
随 机 现 象 的 特 点
带有随机性、偶然性的现象.
在一定条件下,可能出现这样的
结果，也可能出现那样的结果， 且在试验和观察前，不能预知 确切的结果，即呈现出偶然性.
随机现象有没有பைடு நூலகம்律可言?
例：掷硬币试验
在一定条件下对随机现象进行大量 观测会发现某种规律性.
实例2
“抛掷一枚骰子，观
察出现的点数 .”
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
实例3
“从一批含有正品
其结果可能为:
正品 、次品 .
和次品的产品中任意抽取 一个产品 .”
实例4 “出生的婴儿可
能是男,也可能是女.” 实例5 “明天的天气可 能是晴,也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
统计规律性：随机现象在大量重复试 验中呈现出来的稳定性或固有规律性。
概率统计是研究什么的？
概率统计的研究对象：
随机现象的统计规律性
概率统计——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
1.1、随机事件
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对 象进行观察试验 . 这里的试验，指的 是随机试验 .
3、两个对立事件一定为互不相容事件； 但互不相容事件不一定为对立事件.
4、按差事件和对立事件的定义，有A B AB
A
B
7.完备事件组： 如果事件组 A1 , A2 ,, An 满足以下两个条件：
( 1 ) A1 , A2 , , An 互 不 相 容 (即每次至多发生一个)
( 2 ) A1 A2 An (即每次至少发生一个)
二、样本空间与事件
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，
记作ω.
样本空间：全体样本点的集合称为样本空间. 用Ω 表示.
E1 在某一批产品中任选一件，检验其是否合格
1 { 合格，不合格 }
E2 记录某大超市一天内进入的顾客人数
2 { 0, 1, 2, 3, 4, }
E3 在一批电视机中任意抽取一台测试其寿命
事件A { 前50 km油管正常工作 }
事件B { 后50 km油管正常工作 }
事件A B {整个输油管正常工作}
B
A
4.事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示 事件A发生而B不发生 .
图示 A 与 B 的差：
B A
A A B B
B A
B A A B
5.互不相容事件：
(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.
四、小结
随机试验、样本空间与随机事件的关系 随机试验 样本空间
子集
随机事件
基本事件 事件 随机事件 必然事件 不可能事件
概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
S
样本空间，必然事件
不可能事件
空间
空集 元素
基本事件 e 子集 随机事件 A A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
则 称 A1 , A2 ,, An 为 一 个 完 备 事 件组 .
可推广到可列个事件 A1 , A2 ,, An , .
A1 A2
A3
A6
A4
A5
A7
A8
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有 (1)交换律 (2)结合律
A B B A; A B B A.
ABC A B C A B C A B C
7）三个事件至少有一个不发生 : A B C 或 ABC
2. 设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品 ( i 1, 2, 3, 4) , 试用 Ai 表示
下列各事件: (1)没有一个是次品; (3)只有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (4)至少有三个不是次品;
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳从东边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象 . “在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观
实例1
察正反两面出现的情况 .” 结果有可能出现正面也可能出现反面 .
A B A B;
A B A B.
例
设A, B, C是三个事件, 试表示下列事件：
1）三个事件至少发生一个: A B C
2）三个事件都发生 :
ABC
3）A发生而B与C不发生 : AB C
4）三个事件恰好发生一个：A B C A B C A B C
5）三个事件恰好发生两个：A B C A B C A B C 6）三个事件至少发生两个：
3 { t t 0 }
练习：写出下列试验的样本空间.
1. 掷一次骰子
2. 观察放射性物质在一段时间放射的粒子数. 3. 测量车床加工的零件的直径x(a<x<b,单位:mm).
例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数. 样本空间：
= { 1,2,3,4,5,6 }
事件B: 出现奇数点.
事件B就是 的一个子集 .
A B 事件A与事件B的和 集合A与集合B的并集
AB
事件A与事件B的积 集合A与集合B的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
A与B 两集合中没有 AB 事件A与B互不相容 相同的元素
实例
“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”. 分析：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个 结果会出现. 故为随机试验.
在概率论中，把具有以下三个特征的试验称 为随机试验,用字母E 表示. 1. (重复性) 可以在相同的条件下重复地进行 ; 2. (明确性) 每次试验的可能结果不止一个，
陶
宝
数学与统计学院
E-mail:taobao@
参考书目：
• 1. 经济数学—概率论与数理统计,吴传生 等编，高等教育出版社，2004. • 2. 概率论与数理统计，沈恒范编，高等 教育出版社，2002.
概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌五局, 且谁先赢三局便算赢家, 若在一赌 徒胜两局 ,另一赌徒胜一局时便终止赌博, 问应 如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费 马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概 率论的第一个基本概念。