蚂蚁爬绳问题(大学数学建模大赛)
1.3勾股定理应用(2)蚂蚁怎样爬最近 课件
程为
B
A
AB＝ AC2 BC2 ＝
A1
42 22
B 2
3
C
＝ 20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
谢谢观看
B
BA
3
1 2C
B 2
A
A1
3
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最
短路程为
B
B
2
1
A
3
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 32 32 ＝ 18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
Байду номын сангаас
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
勾股定理的应用 蚂蚁爬行的路径最短
长方体中的最值问题
例： 如果盒子如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多
少种情况？
B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
1
A
3
C
解决蚂蚁爬行问题的小技巧_邓露
a，则三种展开方式距离一样，为 姨a2＋（a＋a）２ ＝
姨 5 a．
应用：如下图，边长为 ２ 的正方体中，一只蚂蚁从
顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短
距离是
．
第三种情况：把我们看到的左面与上面组成一个 长方形
l３＝ 姨（a＋c）２ ＋b2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２ac ．
解：最短距离＝ 姨4２ ＋6２＋3２＋2×3×4 ＝ 姨85 ． （３）蚂蚁在圆柱表面爬行。当题目没有强调蚂蚁 沿圆柱侧面爬行时，应分两种情况讨论。在一般情况 下，当圆柱的底面周长为 C，高为 h 时， 路线 １：侧面展开图中的线段 AC．如下图所示：
姨 距离为 l１＝AC＝ 姨AB２ ＋BC２ ＝
而走
B－D－C
的距离更短，∵BD＝４，BC＝
24 π
，
∴BD＋BC≈１１．６４≈１２．故选 Ｂ．
（４）蚂蚁在圆锥的侧面爬行。先计算出圆锥侧面
展开的扇形的圆心角，画出展开图，用 勾股定理解决。
应用：如图，一圆锥的底面半径为 ２， 母 线 PB 的 长 为 ６，D 为 PB 的 中 点．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆锥 的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最
h２ ＋（
c ２
）２
，
路线 ２：高线 AB＋ 底面直径 BC．如下图（１）所
示：
第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一 个长方形
l１＝ 姨（a＋b）２ ＋c2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２ab ．
第二种情况：把我们所看到的前面和上面组成一 个平面
l２＝ 姨（b＋c）２ ＋a2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２bc ．
一部电影通常有几个故事情节构成， 故事之间都 是前后紧密联系的，每个情节都会包含开端，高潮，结局 三部分．将这一原理灵活应用到动态问题中，由于动态 问题的知识点为分段函数， 而分段函数的每个分支实 际为该运动阶段的一个数学关系式， 而分段点就是自 变量的取值端点。因此，将动态问题的运动过程看成一 部电影，把每个阶段看成一个故事情节，每个故事情节 的开端与结局就是分段函数的自变量取值左、右端
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题的基本思想是，从一个点出发，经过多次爬行，最终到达另一个点，这一系列的爬行路径之中，路径总长度最短。
假设有一个圆台，有N个点，每个
点有一个指示物，每个指示物都有一个编码，它们之间存在多种不同的爬行方式，编码的大小也可以不同。
要解决这个问题，就要找到一条最短的爬行路径，经过N个点，按照指示物的
编码顺序，使得总长度最短。
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题有多种解决方案，最常用的是蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）。
蚁群算法是一
种模拟蚂蚁搜索食物的行为，将蚁群看作一个体系，利用群体智能，来解决复杂最优化问题。
在蚁群算法中，每只蚂蚁都会经过每个点，并在经过每个点时，根据路径的费用，进行一定的机制来增加其他蚂蚁的吸引力，从而使得搜索空间中的蚂蚁分布得更加均匀，更有效地搜索最优路径。
蚂蚁爬行问题
蚂蚁爬行的最短路径问题当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是________________.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 ________________.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为________________.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 _________. 6. 已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ____________.2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A出发，经过3个面爬到点B．如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________________.3. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ________________5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________________.变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC＝3cm、AB＝4cm、AA1＝5cm，盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 ________________（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（）A ．A ?P ?BB ．A ?Q ?BC ．A ?R ?BD ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）第6题解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．6．正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM ==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是cm 。
解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF +21GF =21×20+21×20=20cm． 故选C ．8.正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为. 解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1=132322212=+=+DD MD ． 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用2.5秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB ==cm ；第7题1ABA 1B 1D CD 1C 124（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是。
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目
以下是关于蚂蚁在球面上行程的相关题目：
1. 一只蚂蚁位于球面上的坐标为(θ1, φ1)，它向东行进了α角度，然后向北行进β角度，最后再向上行进γ角度。
请问蚂蚁的最终坐标是多少？
2. 在球的表面上，一只蚂蚁从点A沿短弧AB移动，然后再沿短弧BC移动，最后再沿短弧CD移动回到点D。
如果角度AB = β，角度BC = γ，角度CD = α，问蚂蚁在球面上行程的总角度是多少？
3. 在一个均匀的球体上有N只蚂蚁，每只蚂蚁同时从球面上某一点出发，且每只蚂蚁的行进速度相同。
蚂蚁沿球面的最短路径行程，如果它们同时从一个点出发，同时终止于一个点，问蚂蚁们的行程会有交叉吗？如果有交叉，交叉的情况会有多少种？
4. 在球面上有一只蚂蚁，它每秒钟能够随机选择球面上的一个方向（即从球面上随机选取一个单位切向矢量），并以单位速度前进。
问蚂蚁会在球面上停下来吗？为什么？
希望以上题目能够对您有所帮助！如果您还有其他问题，请随时提问。
蚂蚁爬行问题
蚂蚁爬行的最短路径问题当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是________________.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 ________________.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为________________.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 _________. 6. 已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ____________.2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A出发，经过3个面爬到点B．如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________________.3. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ________________5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________________.变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC＝3cm、AB＝4cm、AA1＝5cm，盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 ________________（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。
《蚂蚁怎样爬行路线最短》
蚂蚁怎样爬行路线最短人教版义务教育数学课本七年级上册P134拓广探索题第十题内容为：配套教参提供一种很简单的展开图解法，简单易懂，适合初一学生理解学习：此题还有一定的探究性及探究空间。
还可以用代数法来解。
到了高中阶段，学生学习了导数及用导数来研究函数单调性的知识以后，可以从函数观点出发建模，运用导数求函数极值的方法来探求新的解法。
并可借助《几何画板》软件进行作图，来猜想与相互验证。
下面笔者给出一种解法及心得：如右图，蚂蚁要在正方体表面由A点沿较近路线到达C点，一是要走直线，二是只能经过两个面，翻过一条棱。
不妨设经过AD、EC面，翻过ED棱。
即蚂蚁先沿直线AP到达棱ED上一点P，后经直线PC到达C。
这样，问题就是P在ED的什么位置时，y=AP+PC最短。
为此设PE=x ，正方体棱长为a，则PD=a-x ，由勾股定理得函数：这样，问题就是当时，求y的最小值。
先用《几何画板》4.07版，画出函数在时的图像，这里用轨迹法来画，作图过程略，如图：图中，OA= a ，是y 的当前值.。
在OA上拖动x点，并度量x 及A的横坐标，可以直观的看到x 的横坐标约为A的横坐标一半时，函数值最小，在图像上的对应点最低。
由此可以猜想：当，时y最小。
进一步可以用求导的方法，计算验证：（用了复合函数求导法则）令得：= 0 移相后两边平方化简得：解得，也易解得的解为，的解为，于是：当时，y取极小值。
结论：蚂蚁在AD面内从A沿直线先爬到棱ED中点P，再在EC面内沿直线PC爬到C，路线最短。
如在其他面内爬还有等价的5种爬法。
此题代数解法远比几何展开图法抽象、复杂。
但运用现代信息技术，使得抽象中也有直观。
不失为一种解法对比。
学生在老题新解的探究中，感悟到简单与复杂，抽象与直观，数形转化结合的辨证关系。
体会到数学之美。
韩国高考题蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程
韩国高考题蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程文章标题：解密韩国高考题：蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的数学难题，有些甚至变成了热门话题。
近期，韩国一道高考题引起了广泛讨论。
这道题涉及到蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程，这种微妙的问题一下子迷住了很多人。
本文将着重解析这一高考题，通过从浅入深的方式进行全面评估，帮助读者深刻理解蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程，并探讨其背后的数学思想。
1.问题背景让我们来了解一下题目的背景。
在这道韩国高考题中，描述了一个蚂蚁沿着内半径为1的圆锥表面向下爬行的情景。
题目要求计算蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
2. 圆锥与直角三角形解答这道问题时，我们需要先理解圆锥与直角三角形之间的关系。
根据数学知识，我们可以将圆锥展开成一个扇形，然后将扇形切分成许多个直角三角形，这样就为我们解决问题提供了方便。
3. 蚂蚁移动的路径下一步，让我们来分析蚂蚁的移动路径。
由于蚂蚁沿着圆锥表面向下爬行，我们可以推断出蚂蚁的移动路径是沿着圆锥表面的一条直线。
这个直线与圆锥的母线（从圆锥顶点到圆锥底部中心的线段）正好构成一个直角三角形。
4. 计算最短距离接下来，我们需要计算蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
利用直角三角形的性质，我们可以借助勾股定理进行计算。
通过推导并应用勾股定理，我们最终可以得到蚂蚁沿着圆锥表面移动的最短距离。
5. 深入讨论除了纯粹的数学计算外，我们还可以深入探讨蚂蚁沿圆锥爬行的最短距离下降的路程背后的数学思想。
这涉及到微分几何、最小路径问题等数学概念。
我们可以通过微积分的方法，推导并证明蚂蚁移动的最短距离。
这样的讨论不仅可以加深对问题本身的理解，也可以开拓数学思维，拓展数学的应用领域。
6. 个人观点与总结我们可以从这道韩国高考题中看出，数学问题往往并不只是简单的计算，更是需要深入思考和探索。
通过解析这个问题，我们可以更好地理解直角三角形的性质，掌握勾股定理的应用，并且在深入探讨的过程中，还能进一步拓展数学思维。
蚂蚁爬行长度问题
蚂蚁爬行长度问题
【题说：小罗英雄2013-2-28】如图所示,在一个长2100厘米，宽840厘米的平台上，画平行线。
相邻两条平行线这间相距3厘米，有一只蚂蚁沿图中平行线爬行，一直爬行到尽头。
那么这只蚂蚁一共爬行了厘米。
【成都余非子作答】用“中心点数计算法”为最简洁思路。
具体分析与如下：
将整个图形方格化，找出每个方格的中心点，如下图所示：
图1为此类题的基本型，红线为所爬行路线（中心点行进路线），每两个中心点之间的路线长恰为一格的长度，要求爬行路线（图中红线）的长，可以先计算出有多少小段，再用“一格的长度×小段数=爬行长度”，而“小段数目=中心点数—1”，而“中心点数=行数×列数”，所以此类题的基本公式为：“爬行长度=（行数×列数－1）×行距”
而图2是变化题：在图1的基础上还应加上半格长度。
∴该题应属于图1的类型，2100÷3=700（行），840÷3=280（列），方格数（或方格中心点数）=700×280=196000（个），小段数：196000－1=195999（段），路线总长为：195999×3=587997（㎝）
补：要想计算简便一点，可以列式为：280×700×3－3=587997（cm）。
勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题之老阳
三干创作
班别：_____________姓名：_________________学号：_________
1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )
A.20cm
B.10cm
C.14cm
D.无法确
定
2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少?
3、一只蚂蚁在立方体的概况积爬行．（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿概况爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ）（A ）1cm ＜l ＜3cm （B ）2cm （C ）3cm 这样的最短路径有6_________条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿概况爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图丈量来说明）
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的概况从A 点开始经过4个正面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。
若从A 点开始绕4个正面两圈爬到B 点，最短路径长
为
____________。
蚂蚁爬杆问题
蚂蚁爬杆问题有⼀根27厘⽶的细⽊杆，在第3厘⽶、7厘⽶、11厘⽶、17厘⽶、23厘⽶这五个位置上各有⼀只蚂蚁。
⽊杆很细，不能同时通过⼀只蚂蚁。
开始时，蚂蚁的头朝左还是朝右是任意的，它们只会朝前⾛或调头，但不会后退。
当任意两只蚂蚁碰头时，两只蚂蚁会同时调头朝反⽅向⾛。
假设蚂蚁们每秒钟可以⾛⼀厘⽶的距离。
编写程序，求所有蚂蚁都离开⽊杆的最⼩时间和最⼤时间。
分析：1，求所有蚂蚁都离开⽊杆的最⼩时间和最⼤时间，即最后⼀只蚂蚁离开⽊杆的最⼩时间和最⼤时间。
2，两只蚂蚁相遇调头，由于蚂蚁的速度都是⼀样的，调头并没有改变最后⼀只蚂蚁离开⽊杆的时间。
于是可以将“两只蚂蚁相遇掉头”看作“两只蚂蚁擦肩⽽过”，这样理解就更简单了。
3，所有蚂蚁离开⽊杆的最⼩时间就是所有（本题为5只）蚂蚁分别离开⽊杆的最⼩时间中的最⼤值；同理，所有蚂蚁离开⽊杆的最⼤时间就是对应的最⼤时间中的最⼤值。
（最⼤值保证了最后⼀只蚂蚁离开杆）⽅法：1，求最⼤时间。
public int GetMaxTime(){int length = 27; //⽊杆的长度int speed = 1;//蚂蚁的爬⾏速度int[] pos = new int[5] { 3, 7, 11, 17, 23 };//蚂蚁所在的位置int[] distance = new int[5];//5只蚂蚁爬⾏对应的最⼤距离int maxLenth = 0;//5只蚂蚁爬⾏对应的最⼤距离中的最⼤值for (int i = 0; i < 5; i++){//杆两端中最远的距离为蚂蚁爬⾏的最⼤距离if (pos[i] <= length / 2){distance[i] = length - pos[i];}else{distance[i] = pos[i];}if (maxLenth < distance[i]){maxLenth = distance[i];}}return maxLenth / speed;}2，求最⼩时间。
蚂蚁爬绳子问题(有答案)
那么终点位置随时间变化的函数为y = 100 + 10t。
蚂蚁在t时刻的速度应视为两者之和：本身的爬行速度1cm/s（匀速）和
绳子拉伸取得的分速度
10x y
cm/s（与蚂蚁位置相关的变速度）。
用符号
时间t的一次微分。
列出微分方程：
dx x
=
+1
dt 10 + t
将边界条件t = 0时x = 0代人得：
x = (10 + t)[ln(10 + t) − ln10] = (10 + t)ln(1 + 0.1t) 此时b = ln10。
原问题转化为何时x = y，也就是
(10 + t)ln(1 + 0.1t) = 100 + 10t 方程两边除以(10 + t)得：
ln(1 + 0.1t) = 10 即
1 + 0.1t = e10 e为自然对数的底数约为2.7182818……。
所以 t = 10(e10 − 1)
约等于220255s。
x0 = 0, t0 = 0
方程有解。 方程两边乘以(10 + t)得：
dx dx 10 + t = x + 10 + t
dt dt 两边关于时间t微分得：
d2x dx d2x dx 10 + + t = + 1
dt2 dt dt2 dt
化简后得： 两边关于时间t积分得：
d2x
1
=
dt2 10 + t
dx = ln(10 + t) + a
dt 其中a为任意常数，ln为自然对数。
蚂蚁爬行模型(原卷版)
专题20 蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A 到点B 的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。
如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
分类讨论示意图 展开图 最短距离小结 前+上AB=√a 2+（b +c ）2=√a 2+b 2+c 2+2bc最小值取决于ab ，bc ，ac 的大小左+上AB=√b 2+（a +c ）2=√a 2+b 2+c 2+2ac前+右AB=√c 2+（a +b ）2=√a 2+b 2+c 2+2ab模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形 分类讨论示意图展开图最短距离爬行半圈最短距离=√（Πr ）2+h 2爬行一圈最短距离=√（2Πr）2+h2模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
示意图展开图作法最短距离点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解AB=√（Πr）2+h2模型四：蚂蚁爬楼梯问题问题示意图展开图最短距离如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程AB=√[(3+2)×3]2+202 =25模型五：蚂蚁爬圆锥问题问题示意图展开图最短距离如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线BC的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（ ）cm ．A ．B ．4C ．D ．62．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，点B 是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A B ，两点间的距离为（ ）AB C D 3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径3dm R =，母线5dm l =，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，150COB ∠=，D 为VB 上一点，VD =，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．B ．C ．15dm 2D ．4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．85．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A BC D．106．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（）cm ．A．9B．14C D．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．πB C．D．2π8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）B．13cm C．D．cmA9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．5D．3510．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．B C．D．211．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为93、和1,A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．812．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高18 厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC的中点M处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，请你求出这条线路的最短路径．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm的正方形，高为20cm；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A 开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B ，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C 缠绕到点D ，点D 与点E 的距离是5cm ，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角A ∠的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作()T A ，即()CT A A BCA A ∠=∠=的对边(底边)的邻边(腰) ，当60A ∠=︒时，如()601T ︒=．(1)()90T ︒= ，()120T ︒= ，()T A 的取值范围是 ；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径14PQ =，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：()1400.53T ︒≈，()()700.8735 1.66T T ︒≈︒≈，） 25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为12cm ，B 为母线OC 的中点，点A 在底面圆周上，AC 的长为4cm π．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A ②设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点1C处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到1C处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图4所示，且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？。