第7章(4)章激光非线性.
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第七章2015张毅非线性吸收系数解读
n2
)
n2
21
☆
N n2 n1
n
n1
n2
N 1 I /
Ic
8
n
n1
n2
N 1 I /
Ic
☆
9
半导体的导带和价带构成的系统可以看作一个二能级系统。 ☆
10
☆
说明还存在着其他吸收效应， 这主要来源于激发态的非线性吸收
11
（2）三能级系统模型
☆
在染料分子中存在着单重态和三重态两个能级系统的激发态 能级，染料分子的饱和吸收特性可采用三能级模型解释
12
☆
13
☆
14
n2 t
0
I
(n1
n2
)
n2
21
n2
23
☆ n3 n2 n3
t 23 31
15
n2 t
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I
(n1
n2
)
n2
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n2
23
n3 n2 n3
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N n1 n2 n3
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n3
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N Ic
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I
☆
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n1
1
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Ic
1 I / Ic
3
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☆
1 I / Ic
4
2．饱和吸收的能级模型
☆
饱和吸收是因组成介质的粒子（原子、分子或离子） 从基态能级至第一激发态能级跃迁时
所发生的一种非线性光吸收现象。
（1）二能级系统模型
5
☆
6
☆
n2 t
0
I
(n1
自动控制原理(程鹏)
程 鹏
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
1
版权信息： 版权所有属于高等教育出版社和作者
2
序 言
本《自动控制原理多媒体教学课件 》是根据程鹏主编的 《自动控制原理》 (第二版)一书而编辑的,使用PowerPoint2000 下编辑而成，故建议在Office2000及Mathtype5.1环境中进行浏 览和修改。 本文稿基本涵盖了教材各章节的主要知识点。可作为使用 该教材的教师课堂演示文稿的蓝本，以省去教师对文字、公式 和插图等的录入时间，可以让教师们把更多的精力去考虑教学 内容的编排以及课堂教学的组织等更重要的问题,还可为自学本 书的读者提供一个课堂教学的主要线索，因此在文稿中还选编 了一些基本内容和方法的提示和总结，期望对读者理解本书的 内容有所帮助。出版这个多媒体课件可以说是抛砖引玉，期望
55目录第1章自动控制原理的一般概念第2章自动控制系统的数学模型第3章时域分析法第7章非线性系统分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章控制系统的校正第8章采样系统理论第9章状态空间分析方法66目录使用说明双击选定章节就可进入相应章节的目录您会看到各章的基本要求和具体章节点击便可进入具体小章节由于是使用不同章节间的超级链接请在复制时将所有章节复制在同一个文件中链接速度可能会稍慢请耐心等待
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文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 体36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有M 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有Mathtype5.1的前提 下，对公式的编辑可通过双击公式进入公式编辑器进行修改 ，单击公式，可随意拉动以调整公式显示的大小和位置。
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
1
版权信息： 版权所有属于高等教育出版社和作者
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序 言
本《自动控制原理多媒体教学课件 》是根据程鹏主编的 《自动控制原理》 (第二版)一书而编辑的,使用PowerPoint2000 下编辑而成，故建议在Office2000及Mathtype5.1环境中进行浏 览和修改。 本文稿基本涵盖了教材各章节的主要知识点。可作为使用 该教材的教师课堂演示文稿的蓝本，以省去教师对文字、公式 和插图等的录入时间，可以让教师们把更多的精力去考虑教学 内容的编排以及课堂教学的组织等更重要的问题,还可为自学本 书的读者提供一个课堂教学的主要线索，因此在文稿中还选编 了一些基本内容和方法的提示和总结，期望对读者理解本书的 内容有所帮助。出版这个多媒体课件可以说是抛砖引玉，期望
55目录第1章自动控制原理的一般概念第2章自动控制系统的数学模型第3章时域分析法第7章非线性系统分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章控制系统的校正第8章采样系统理论第9章状态空间分析方法66目录使用说明双击选定章节就可进入相应章节的目录您会看到各章的基本要求和具体章节点击便可进入具体小章节由于是使用不同章节间的超级链接请在复制时将所有章节复制在同一个文件中链接速度可能会稍慢请耐心等待
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文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 体36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有M 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有Mathtype5.1的前提 下，对公式的编辑可通过双击公式进入公式编辑器进行修改 ，单击公式，可随意拉动以调整公式显示的大小和位置。
第7章非线性方程组的数值解法
( 1, 1 )
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
第7章 非线性方程求根
k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,
x1 x* ( )(x0 x* ) M ( x0 x* ), x2 ( x1 ), x2 x M ( x1 x ).
* *
加速迭代法
消去M得
x1 x* x0 x* , * * x2 x x1 x
2
2 x x x ( x x ) 1 0 x* x1 0 2 1 x0 , x2 2 x1 x0 x0 2 x1 x2
斯蒂芬森迭代法
结合埃特金加速法和不动点迭代法形成斯 蒂芬森迭代法：
yk ( xk ), z k ( yk ), ( y k xk ) xk 1 xk z k 2 y k xk
2
(k 0,1, ).
斯蒂芬森迭代法几何意义
定义x点关于方程 x ( x) 的误差为： ( x) ( x) x. * * * * ( x ) ( x ) x 0. 则该方程的根x 的误差
非线性方程的迭代法求根
基本概念 非线性方程f(x)=0的根(解) x*,也称为非线性 函数f(x)的零点，f(x*)=0。 f(x)=0的m重根定义：f(x)=(x-x*)mg(x), g(x*)≠0，则称x*为f(x)=0的m重根，或f(x)的 m重零点。 m重根的判定条件： x*为f(x)=0的m重根当 且仅当 * * ( m1) * ( m) * f (x ) f (x ) f ( x ) 0; f ( x ) 0.
第7章 非线性方程求根
如果点列﹛Pk﹜趋向于点P*，则相应的迭代值xk收敛到 所求根x*.
例3 求x3 x 1 0在1.5附近的根x * . 解：（）x0 1.5，xk 1 3 xk 1, (k 0,1,2,). 1
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
| xk x* | (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1. (1.3)
1 x xk k 1 (b a ) 2
(1.3)
对于确定的精度ε,从式(1.3)易求得需要二等分
的次数k。
二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如 下,框图如图7.2所示。
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x ex 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
•
设f(x)为定义在某区间上的连续函数, 方程(1.1)存在实根。虽然方程(1.1)的根的 分布范围一般比较复杂,但我们不难将函 数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根 的区间。 • 例如考虑方程 • x2-2x-1=0 • 由图7.1所示,该方程的一个负实根在-1 和0之间,另一个正实根在2和3之间。
虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令人 满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式 x=x3-1 建立迭代公式 xk+1=x3k-1, k=0,1,2,…
第7章-非线性自适应控制课件
K c 2e
e
K c
• 广义误差对输入信号的传函为:
W(S)
e(s) r(s)
ym(s) ys (s) r(s)
(Km
q(s) KC KS ) p(s)
• 自适应回路开环情况下系统传函为：
引入微分算子：D 微分方程：
d dt
、D2
d2 dt 2
…，由上式得到
李雅普诺夫意义下的稳定性 对于以状态方程
X f (X,t)
且f(0,t)=0 t
• 描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的 纯量函数 V( X, t ) ，满足以下条件：
• V( X, t ) 正定； （2）V 沿方程式（9-3-1）解的轨迹对时 间的一阶偏导数V 存在，且为负半定（或负定），则称V( X, t ) 为李雅普诺夫函数，且系统式（8-3-1）对于状态空间的 坐标原点X=0 为李雅普诺夫意义下的稳定（或渐进稳定）的。
模型参考自适应控制定义：一个自适应控制系统， 就是利用它的可调系统的输入、状态和输出变量来度量 某个性能指标，然后根据实测性能指标值与给定的性能 指标值相比较的结果，由自适应机构修正可调系统的参 数，或者产生一个辅助输入信号，以保持系统的性能指 标接近给定的性能指标集。
•
模型参考自适应控制系统分为内外两个环路。内环是
在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控 制品质。为此，需要设计一种特殊的控制系统，它能够自 动地补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化， 这就是自适应控制。而自适应控制器的特点就是它能修正 自己的特性以响应过程和扰动的动力学特性变化。
自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的 系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环 境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和 随机因素。
第7章非线性方程求根(数值分析)
第7章 非线性方程求根
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
1
非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
6
非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
11
1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
12
二分法
应用二分法的前提：已经确定了非
线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
7
非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
1
非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
6
非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
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1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
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二分法
应用二分法的前提：已经确定了非
线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
7
非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
第7章 非线性系统分析
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线 如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。 性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。 如系统不能进行线性化处理， 如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能 用线性微分方程（一般只能用非线性微分方程来描 用线性微分方程（ 述,具有非线性数学模型）来描述,则称为非线性系 具有非线性数学模型）来描述, 统，或称为本质非线性系统。 或称为本质非线性系统。 这样的系统有以下特点。 这样的系统有以下特点。 特点
一.非线性系统的特点
线性系统与非线性系统相比， 线性系统与非线性系统相比，其稳态和动态特 性有着显著差别。 性有着显著差别。 1.瞬态响应 1.瞬态响应 线性系统瞬态响应曲线的形状与输入信号大 小无关，与初始条件无关。 小无关，与初始条件无关。如果某系统在某初 始条件下的响应过程为衰减振荡， 始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何 输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为 衰减振荡形式。 衰减振荡形式。
非线性系统的自振荡
4.多值响应和跳跃谐振
线性系统中， 线性系统中，输入信号为正弦信号时系统输出 是同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同。 是同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有时 一般不是正弦信号，但仍是周期信号； 输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象， 输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象， （包含有各次谐波分量）；存在跳跃谐振或多值 包含有各次谐波分量）；存在跳跃谐振或多值 ）； 响应。 响应。
x < −a | x |≤ a x>a
饱和特性的存在， 饱和特性的存在，将使系统的开环增益有所 降低，对系统的稳定性有利。 降低，对系统的稳定性有利。 出于对系统安全性的考虑， 出于对系统安全性的考虑，常常加入各种限 幅装置，其特性也属饱和特性。 幅装置，其特性也属饱和特性。
激光原理与技术各章重点(基本补全)
激光原理与技术期末总复习第1章1.激光产生的必要条件(粒子数反转分布)2.激光产生的充分条件(在增益介质的有效长度内光强可以从微小信号增长到饱和光强)3.饱和光强定义:使激光上能级粒子数减小为小信号值的1/2时的光强为饱和光强4.谱线加宽的分类:均匀加宽和非均匀加宽两种加宽的本质区别？5激光器泵谱技术的分类:直接泵谱缺点：首先从基态E1到激光上能级E3往往缺乏有效途径，即B13（对光泵浦）或σ13（对粒子泵浦）太小，难以产生足够的增益；其次即使存在E1 E3的有效途径，但同一过程可能存在由E1到激光下能级E2的有效途径，结果是W12/W13太大难以形成粒子反转分布。
这些缺点是直接泵浦方式对很多激光器来说是不适用的。
间接泵谱:分为自上而下、自下而上和横向转移三中方式)间接泵谱的优点：首先，中间能级具有远大于激光上能级的寿命，且可以是很多能级形成的能带，因而，Ei 上很容易积累大量的粒子；其次，在有些情况下，将粒子从基态激发到Ei 的几率要比激发到Eu 的几率大得多，这就降低了对泵浦的要求；最后，依据选择定则，可以使Ei 向Eu 的弛豫过程比Ei 向激光下能级Ei 的弛豫过程快得多6..频率牵引有源腔中的纵模频率总是比无源腔中同序数频率更接近工作物质的中心频率7.能画出激光工作物质三能级系统能级图，说明能级间粒子跃迁的动态过程？8.当粒子反转数大于零时，在激光谐振腔中能够自激振荡吗？为什么？9. 激光的特性(单色性、方向性、相干性和高亮度)10. 证明光谱线型函数满足归一化条件证明: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-====1)()()(ννννννd g I d Ig d I I则 11.激光器的输出特性。
（43页）？？？第2章1.光学谐振腔的分类和作用分类：能否忽略侧面边界，可将其分为开腔，闭腔以及气体波导腔按照腔镜的形状和结构，可分为球面腔和非球面腔是否插入透镜之类的光学元件，或者是否考虑腔镜以外的反射表面，可以分为简单腔和符合腔 u u u u S h A c h I τσντνπν11228==)211(2121111τττπν++++=∆∑∑u jj i ui H A A N D M T Mc kT 072/120)1016.7(])2(ln 2[2ννν-⨯==∆⎰+∞∞-=1)(ννd g根据腔中辐射场的特点，可分为驻波腔和行波腔从反馈机理的不同，可分端面反馈腔和分布反馈腔根据构成谐振腔反射镜的个数，可分为两镜腔和多镜腔作用：①提供轴向光波模的光学反馈；②控制振荡模式的特性2.光学谐振腔的损耗分类:几何损耗、衍射损耗、输出腔镜的透射损耗和非激活吸收、散射等其他损耗计算:单程损耗：12m βδ==D 为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜的直接）β两镜面直接的小角度L 两镜面直接的距离（腔长）)单程衍射p59开始带图3.推导平平腔的两个相邻纵模的频率间隔证明：4.以平-平腔为例理解光学谐振腔横模的形成过程5. 用g 参数表示的谐振腔稳定性条件6..高斯光束高斯光束既不是平面波、也不是一般的球面波，在其传播轴线附近可以近似看作是一种非均匀高斯球面波。
数值分析课件第07章非线性方程求根
由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
光学电磁第七章激光脉冲非线性传输的基础理论2015
该方程描述连续光束的非线性传输。
连续光的自聚焦
A 1 2A 2A 2 i 2 2 A A z 2k x y
多维NLS方程通常无解析解，但在做出某些合理假设的条 件下可以近似解析求解。
复数振幅A可以通过绝对振幅A和相位Φ来表示，在柱对称 情况下有
x2 y2 T 2 A0 exp 2 2 r0 0 x2 y2 T 2 k0 x 2 y 2 A0 exp 2 i 2 r0 2f 0
x
聚焦高斯脉冲（弱聚焦 f >>D）；
A( x, y , z , T ) z 0
脉冲波形不变，以相速度 / k 传播.
/k
z
脉冲普宽较窄, 在中心波长 0 附近色散关系可近似用线性函 数拟合
dk 0 k k0 0 d 0
(5)
慢变振幅近似: 脉冲波形可表示为被调制的中心频率上的 简谐振荡: 其中A(z,t)为复数振幅, 其中包含了相位信息. 假设介质入口处
2 1 E 2 E 0 2 t
E z, t E0e i t k z
(1)
(2) (3)
(2)代入(3)，可得 (4) 无色散情况： k / c0 ，将其代入（4），求积分后可得
z u z, t u0 t c 0
A 1 2 A 2 A 1 2 A 2 i 2 2 2 2 A A z 2k0 x y 2 T
脉冲光束的传输可归结为一个初值问题
A 1 2 A 2 A 1 2 A 2 i 2 2 2 2 A A z 2k0 x y 2 T
1 2 k k0 1 0 2 0 ... 2
第7章非线性光吸收与光折射
第7章非线性光吸收与光折射本章要点●光吸收——光子入射介质，原子、分子吸收光子能量发生能级跃迁的过程。
光吸收是基础过程：与光辐射、光散射、光折射等过程有关。
线性吸收——弱光作用下，介质的吸收系数为常数：α非线性吸收——强光作用下，吸收系数随光强变化：α＝α(I)。
饱和吸收——单光子作用下，基态→第一激发态的跃迁引起。
反饱和吸收——单光子作用下，第一激发态→更高激发态的跃迁引起。
双光子吸收——双光子作用下，由基态→虚能级→激发态的跃迁引起。
●光折射——据K－K关系，介质的折射伴随着吸收存在线性折射——弱光作用下，介质的折射率为常数：n非线性折射——强光作用下，折射率随光强变化：n＝n(I)。
饱和折射反饱和折射7.1 饱和吸收与反饱和吸收7.1.1 饱和吸收 1．饱和吸收规律当激光入介质时，介质的吸收系数α随介质内光强I 的增加而减小, 直至达到0α→的饱和值，这种效应称为饱和吸收。
实验证明，饱和吸收情况下，非线性吸收系数α与介质内光强I 的关系为：图7.1.1饱和吸收特性曲线非线性吸收系数: 0()1cI II αα=+ (7.1.1)0α——介质的线性吸收系数。
c I ——饱和光强。
它决定吸收饱和的速率；它取决于介质的性质。
当0I ≈时，0αα=；c I I =时，0/2αα=；I →∞时，0α→。
2.饱和吸收能级模型饱和吸收是因组成介质的粒子（原子、分子或离子）从基态能级至第一激发态能级的跃迁所引起的一种非线性光吸收现象。
（1）二能级系统讨论如图7.1.2所示的而能级系统的饱和吸收过程。
在频率ω、光强I 的激光与介质间的共振作用下，光子能量等于两能级的能量差，即ω＝ε1－ε0，基态（0S ）的粒子吸收光子，受激跃迁至激发态（1S ），其吸收截面(跃迁几率)为0σ。
因为激发态的能级寿命较短，大部分粒子通过自发辐射或无辐射弛豫方式回到基态，弛豫时间为21τ；少部分以受激辐射方式回到基态，跃迁几率为0σ。
第7章激光频率变换技术
• 基频光波到倍频光波的转换效率为
SH G c3 2 n2n 21 12def2If1(0)L 2sicn 2( k/L 2)
结论
①倍频转换效率正比于入射的基频光波的光强， 输出的倍频光波的光强正比于基频光波的光强的 平方。
②倍频转换效率正比于有效倍频极化系数的平方， 为了提高倍频转换效率，需选用非线性极化系数 大的非线性介质。
Iz22 iz2 k 2(E 1 iE 2jE * 3k E 1 i*E 2j* E 3k)
Iz32 izk 3 3(E 1iE2jE*3kE 1i*E2j*E 3k)
11Iz112Iz213Iz3
N1 N2 N3
z z
z
7.3 光学倍频
p 0 (( 1 )E (2 ):E E (3 )E E )E
E1(z,t)E1cos1t(k1z) E2(z,t)E2cos2t(k2z)
p ( z ,t) 0 {( 1 )[ E 1 co 1 t k s 1 z ) ( E 2 co 2 t k s 2 z )( ]( 2 )[ E 1 co 1 t k s 1 z )( E 2 co 2 t k s 2 z )2 ( } ]
7.4 光学和频与差频效应
和频（频率上转换）
差频（频率下转换）
扩大激光器的频谱范围
• 例：可见光或近红外激光 紫外波段的激光
• 利用近红外波段激光的泵谱将中红外波段的激光变换成近红外区域或 可见光区域的光波.
• 差频:可见光
中红外
• 中红外 远红外
强信号光(泵谱光)\弱信号光
,l1,2,3
E 3kz(z)ik 3E 1i(z)E2j(z)ei k z 在相位匹配下
SH G c3 2 n2n 21 12def2If1(0)L 2sicn 2( k/L 2)
结论
①倍频转换效率正比于入射的基频光波的光强， 输出的倍频光波的光强正比于基频光波的光强的 平方。
②倍频转换效率正比于有效倍频极化系数的平方， 为了提高倍频转换效率，需选用非线性极化系数 大的非线性介质。
Iz22 iz2 k 2(E 1 iE 2jE * 3k E 1 i*E 2j* E 3k)
Iz32 izk 3 3(E 1iE2jE*3kE 1i*E2j*E 3k)
11Iz112Iz213Iz3
N1 N2 N3
z z
z
7.3 光学倍频
p 0 (( 1 )E (2 ):E E (3 )E E )E
E1(z,t)E1cos1t(k1z) E2(z,t)E2cos2t(k2z)
p ( z ,t) 0 {( 1 )[ E 1 co 1 t k s 1 z ) ( E 2 co 2 t k s 2 z )( ]( 2 )[ E 1 co 1 t k s 1 z )( E 2 co 2 t k s 2 z )2 ( } ]
7.4 光学和频与差频效应
和频（频率上转换）
差频（频率下转换）
扩大激光器的频谱范围
• 例：可见光或近红外激光 紫外波段的激光
• 利用近红外波段激光的泵谱将中红外波段的激光变换成近红外区域或 可见光区域的光波.
• 差频:可见光
中红外
• 中红外 远红外
强信号光(泵谱光)\弱信号光
,l1,2,3
E 3kz(z)ik 3E 1i(z)E2j(z)ei k z 在相位匹配下
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E1 z, t E1 cos1t k1 z
E2 z, t E2 cos2 t k2 z
在考虑线性极化和二阶非线性极化情况下，
P z , t 0 1 E1 cos1t k1 z E 2 cos 2 t k 2 z 2 E1 cos1t k1 z E 2 cos 2 t k 2 z
dE1 1 * i k z i d eff E 3 E 2 e dz 2cn1 dE2 2 * i k z i d eff E 3 E1 e dz 2cn2 dE3 3 * i k z i d eff E1 E 2 e dz 2cn3
式中， k k1 k 2 k 3 , n r , c 0 0
2 Ex 2 E y px 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 2 Ez p , , , , , 0 21 22 23 24 25 26 y 2 E E y z p , , , , , 31 32 33 34 35 36 z 2 E z E x 2 E x E y
例如，和频过程表示为：
p1 2 0 ( 2 ) ( 3 ;1 , 2 ) E1 E 2 e i (1 2 ) t 其 中 3 1 2，
( 2 ) ( 3 ;1 , 2 )表 示 和 频 效 应 的 二 阶 线 非性极化率。
2.倍频极化率张量
(1) p 0 E， (1) 称为线性极化率。
线性极化引起同频率的次波辐射，其复数折射率为
1~ 1 (1) ~ ~ ) Im ( ~ ) n i 1 1 1 Re ( 2 2 n就 是 折 射 率 ， 它 与 频 有 率关 ， 引 起 光 的 色 散 ；
7.7
激光频率变换技术
许多实际应用的激光波长不能从激光介质的受激辐射直接 产生，必须采用频率变换获得。频率变换技术包括倍频、和频、 光参量振荡、受激莱曼散射等。 一、介质的非线性极化 1. 非线性极化的表示
粒子在外电场作用下可看成电偶极子的运动，它们也要 辐射电磁波，大量粒子辐射的电磁波的叠加形成了介质中的 电极化强度P。 （1）在入射光较弱情下，
P 0 1 E 2 : EE 3 EEE
二阶非线性极化项的引入将导致入射光频率的变化；三阶非 线性极化项的引入将导致自聚焦和自相位调制等。
例子：设两束不同频率的光入射到介质中，
三波耦合方程说明，在非线性介质内三波互作用过程中， 某频率光波随传播距离的变化是另二个频率光波场强的函数， 即不同频率的光波在非线性介质中发生能量转移。
三、 光学倍频
1. 倍频耦合波方程的解 在倍频转换效率较低情况下，近似认为基频光在介质中 强度不变，称小信号近似：
dE1 0 dz dE 2 * i k z 倍 频 光 ： 2 i 1 d eff E1 E1 e i 1 d eff E1 e ik z dz cn2 cn2 基 频 光: 2k1 k 2 4
P1 2 0 2 E1 E2 cos1 2 t k1 k2 z
1 2 P 0 2 E12 E 2 2
0
P
1 2
P
NL
P
21
P
2 2
P
1 2
P
0
上式表明，极化产生的光波不仅有基频光成分，还可能 有倍频光、和频光、差频光和直流分量。但应指出，实际的 出射光波中并不能同时观察到所有频率的光波。两束基频光 波将能量转移到哪个新频率的光波上，还需受到能量守恒和 动量守恒的制约，实际观察到的往往是某一频率的光波。
晶体具有互易对称性和空间对称性，所以独立分量数量 将减少。 3. 实用倍频极化率 为了计算方便，引入实用倍频极化率： 1 d in 0 in 2
KDP晶体的二阶极化强度的矩阵形式为：
二、 非线性耦合波方程 非线性极化介质是非铁磁性、无损耗、不导介质。 设三个波频率分别为 1、2、3 1 2 ，波矢量 都沿z方向，经运算得到：
212 2 2 2 k L ) 转换效率为： 2 3 d eff I1 (0) L sinc ( n1 n2c 2
1 n1 2 利用：I E0 2 0c
得出如下结论： （1）转换效率正比于基频光强度； （2）转换效率正比于有效倍频极化率的平方； （3）在 k 0 （相位匹配）情况下，转换效率最高。
2
将上式展开，极化波增加了一些新的频率成分，即
P
2 1
P 2 2
1 0 2 E12 cos21t 2k1 z 2 1 2 0 2 E 2 cos2 2 t 2k 2 z 2
P1 2 0 2 E1 E2 cos1 2 t k1 k2 z
1
( n2 n1 )
方程E1、1表示基频； E2、2表示倍频
e ikL 1 积分得到： E2 ( L) d eff E (0) cn2 k
2 1
1
倍频光光强：
2 1 k L * I 0cn2 E2 E2 0 1 d eff E14 (0) L2 sinc 2 ( ) 2 2n2c 2