最新人教版高中数学必修4第二章《向量数乘运算及其几何意义》课堂探究

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人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件(24张)精选ppt课件

1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如图)．由图猜想 A、B、C 三点共线．因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b，而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC，

人教课标版高中数学必修4《向量数乘运算及其几何意义》教学设计

解析：【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ＝2 ，∴ －＝＝2 ＝2( － )，
∴3 ＝2 ＋，∴ ＝＋＝ b＋ c.
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()
A．.
B．
C．
D．
【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ,
∴
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
答案：C
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2 ，则等于()
A. b＋ c
B. c－ b
C. b－ c
D. b＋ c
答案：A
其二，若与平行，且不妨令，设，接下来看、方向如何：① 、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使 .
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.
答案：BC∥DE
解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ，
又∵BC与DE不在同一条直线上
∴BC∥DE
点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行
例3如图,已知任意两个非零向量 ,试作，你能判断三点之间的位置关系吗？为什么？

“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计

“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计一、教材分析1．教学内容：《高中数学必修4》中第二章“向量数乘运算及其几何意义”这一节，在新课标中主要内容有三方面：①向量数乘运算及其几何意义的含义；②数乘运算的运算律；③平面向量共线定理。

2．地位与作用：向量数乘运算是学习向量其他运算以及空间向量的基础，也是解决平面解几、立几、三角、复数的重要工具。

因此，本节课的教学活动将对后续课程起着桥梁作用。

教材通过复习引入新课，并通过三个探究活动，完成本节课的教学活动。

二、三维目标根据新课标要求并结合学生具体实际，设计以下三维目标：1．知识与技能⑴掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算。

⑵理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线及两直线平行等简单问题。

2．过程与方法通过对两个向量共线充要条件的探究与推导，让学生对平面向量共线定理有更深刻的理解。

为了帮助学生消化和巩固相应的知识，本节课设置了三个例题及其变式引申；指导学生探究发现，并得出结论，培养学生自主探究能力和创新思维能力。

3．情感、态度与价值观通过向量数乘运算的学习和探究，有助于激发学生学习兴趣和积极性，还有助于培养类比、分析、归纳、抽象思维能力以及逻辑推理能力。

三、重点、难点与疑点1．重点：向量数乘运算的几何意义、运算律，向量共线定理；〖解决办法〗为了突出重点，让学生在创设问题链的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。

2．难点与疑点：向量共线定理的探究过程及其应用。

〖解决办法〗为了突破难点与疑点，按照学生的认知规律、由浅入深地变式讨论，达到全面理解。

四、学情分析与对策学生已明确向量是有大小和方向的量，且已学过向量的加、减法，对于这种有方向的量能否与实数进行乘法运算有些疑问，且“相乘后方向如何判断呢？”：这也就是本节课知识产生的背景。

通过熟知的实数乘法作类比，探究向量数乘的含义，让学生在此过程中，体验数学知识的产生、发展、成熟和应用的过程。

高中数学_向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

人教 A 版数学必修 4 87页—90页§2.2.3向量数乘运算及其几何意义§2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目标1.知识与技能通过探究向量数乘运算及其几何意义的过程，掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义, 熟练运用向量数乘的运算律化简向量.理解两个向量共线的等价条件，能够运用向量共线定理判断两向量是否共线（平行），掌握利用向量法证明三点共线的方法和步骤.2.过程与方法培养学生严密而准确的数学表达能力、逻辑推理能力和合作学习能力，体会由特殊到一般的认知规律，进一步体验向量运算的魅力.3.情感态度与价值观通过讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生获得新知识的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度和勇于创新的精神. 教学重点和难点重点：1.向量数乘的定义；2.向量数乘的运算律；3.向量共线定理及其应用. 难点：向量共线定理及其应用.教学用具：多媒体、投影仪、三角板.教学基本流程教学过程一. 学生自学·教师导学1.方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做 . 规定：a ∥0.2. 已知非零向量a 和b ，求作向量a b +，a b -.师生活动：学生作图，小组间互相检查，教师巡视，根据学生实际情况进行强调. 学生达标教师检测设计意图：温故知新，要让学生体会知识的发生、发展过程.3. 2018年3月11日，中国自主研发的“深海勇士”号载人潜水器首次对公众开放，播出了“深海勇士”号在南海进行首次载人深潜试验的纪录片. 若“深海勇士”号从点A 出发做匀速直线运动，经过1秒的位移所对应的向量用()0a a ≠表示，那么在同方向上经过3秒的位移如何表示？和1秒时的位移有什么关系？反方向呢？师生活动：学生思考回答，教师引导学生作出几个相同向量的和，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到向量数乘的定义.设计意图：通过生活实例引入新课，让学生感受数学的应用价值.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学之间的内在联系，培养学生知识类比、迁移的能力.二. 学生合作·教师参与探究1 向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar ），记做a λ，它的长度与方向规定如下：（1）|a λ| = ；（2）当，a λ与a 的方向相同；当，a λ与a 的方向相反；当0λ=时，a λ= . 师生活动：教师组织学生阅读课本，然后对照学案，开展有效的合作交流.教学时要强调：a λ是一个向量，有长度，有方向.设计意图：把探究中的问题一般化，就得到了向量数乘的定义.在这个过程中，让学生经历知识发生、发展的过程，理解概念的生成过程.思考：在向量数乘的定义中，a λ的几何意义是什么？师生活动:学生思考讨论，教师及时指导点拨，得出a λ的几何意义就是将表示向量a 的有向线段沿着a 的方向或反方向伸长或缩短.设计意图：通过对向量数乘几何意义的分析，深化对定义的理解.练习：1.把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3,6a e b e ==；（2）21,33a eb e =-=.2.点C 在线段AB 上，且52AC CB =，则,AC AB BC AB == . 设计意图：从特殊到一般，由易到难，让学生通过练习加深对向量数乘定义的理解. 探究2 向量数乘的运算律探究2.1 求作向量()32a 和6a ()0a ≠，并进行比较.探究2.2 已知非零向量a 和b ，求作向量()2a b +，22a b +, 并进行比较.师生活动：学生分组作图，对比分析，进一步体会向量数乘的几何意义，教师巡视，细心观察，及时帮助有困难的学生和团队.设计意图：通过作图，增强学生的动手实践能力，明确作图是验证的有效途径，为学生理解向量数乘的运算律奠定了基础.向量数乘的运算律：设a 和b 为任意向量，,λμ为任意实数，则有（1）()a λμ= ；（2）()a b λ+= ；（3）()a λμ+= . 特别地，我们有()a λ-= = ，()a b λ-= .向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的 .设计意图：利用由特殊到一般，给出向量数乘的运算律.教学中降低难度，不要求学生证明，对学有余力的学生，可提供证明的方法.例1 计算：（1）()34a -⨯= ；（2）()()32a b a b a +---= ；（3）()223a b += .设计意图：通过例1，要求学生熟练运用向量数乘的运算律，明确向量数乘运算的特点，体会向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算.三. 学生展示·教师激励探究3 向量共线定理探究3.1 如果()0b a a λ=≠，那么向量a 和b 是否共线？探究3.2 如果向量a ()0a ≠和b 共线，那么是否存在唯一一个实数λ，使b a λ=？温馨提示：当向量a 和b 同向时，令λ= ；当向量a 和b 反向时，令λ= ；当向量0b =时，令λ= .向量共线定理：向量a ()0a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 . 思考: 向量共线定理中条件0a ≠能去掉吗？师生活动：在教师的引导下，学生思考、讨论，并将自己或本组的探究结果用简洁生动的方式展示出来，其他组的同学补充完善，教师适时追问、启发、引导，鼓励学生大胆发言.设计意图：通过“知识问题化、问题探究化、探究层次化”，帮助学生理解向量共线定理的推导，让学生合作交流解决问题.通过这样的学习过程，学生经历的是探索的过程，领悟的是数学学习的方法，得到的是探究的结果，体验的是成功的喜悦.练习：判定下列各小题中的两个向量是否共线：（1）12a e e =-1222b e e =-+；（2）2,6AB e BC e ==.设计意图：通过练习，让学生体会判断两个向量是否共线（平行），实际上就是看能否找到一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.接着，让学生判断（2）中的A 、B 、C 三点的位置关系，为下面例2的学习奠定基础.四. 学生提升·教师引领例2 已知任意两个非零向量a 和b ，试作OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.你能判断A 、B 、C 三点的位置关系吗？为什么？师生活动：教师先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线. 教师帮助学生理清思路，多媒体展示解答过程，规范解题步骤.设计意图：关于三点共线问题，学生接触较多，这里用向量法证明三点共线，让学生体会向量法的新颖、独特，同时提高学生细心运算、规范表达的能力.练习：已知非零向量1e 和2e 不共线，如果12AB e e =+，1228BC e e =+，123()CD e e =-，求证：A 、B 、D 三点共线.师生活动：教师观察学生的解题情况，请学生板演.例3 平行四边形ABCD 两对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 和b 表示：M a b（1）AC ＝；MC ＝；MA ＝； C（2）DB ＝；MB ＝；MD ＝ . 师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答，教师组织学生评价. 设计意图：有了向量的线性运算，平面中的点、线段就可以用向量表示，这就为使用向量法解决几何问题奠定了基础.同时让学生思考：平面ABCD 内的任一向量都可以用两个不共线的非零向量表示吗？这样水到渠成地完成了对《2.3.1平面向量基本定理》学习的引入.五. 学生达标·教师检测1．11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦= （） .2.2..A a b B a b C a b D a b --+-+-2.已知非零向量a 和b 不共线，且a b λ+与a b λ+共线，则λ的值为（）.1.1.1.0A B C D -±3.已知D 为ABC ∆边AB 的中点，且BC a =，CA b =，则CD 用a 和b 表示为 .4.已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：EF HG =.设计意图：通过本环节进一步强化学生对向量数乘运算的理解，提高学生运用所学知识解决问题的能力. 了解学生对本节课的掌握情况，争取做到节节清，人人都能有所收获. 小结作业1. 小结：本节课我们学到了哪些数学知识与思想方法？设计意图：学生反思本堂课的学习过程，总结本堂课所学的知识和所体现的数学思想方法，将新内容及时纳入到已有的知识网络.2. 作业：必做题：习题2.2 A 组10题，11题.选做题：习题2.2 B 组4题.阅读与思考：课本114页《向量的运算（运算律）与图形性质》.板书设计设计说明向量数乘运算是在学生学习了向量加法、减法运算等知识的基础上，进一步来研究向量的线性运算，学生已经具备了一定的方法基础,设计时应当充分考虑到这一点，这样才能使学生的学习建立在已有认知经验基础上，对向量数乘运算及其几何意义的理解才能全面、深刻.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点.向量数乘运算及其几何意义学情分析本课研究的是向量数乘运算及几何意义，前面学生已经学完向量的加法、减法运算，学生具备一定的独立思考，合作探究的能力，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.本节课采用诱思教学法、自主学习教学法.学生预习导学案，学案的设计在难度上由浅入深，循序渐进，利于学生自主探究.我班学生数学基础总体比较薄弱，所以在教学上改进行适当点拨，进行点拨；该层层递进的，给学生搭好梯子，切实找到学生的最近发展区，提高学生学习效果.向量数乘运算及其几何意义效果分析通过本节课的课堂教学，学生的课堂表现以及达标检测的效果，以下几个方面表现比较好：1.教学目标达成度高，不同层次的学生均有收获；2.学生积极参与课堂，有认知冲突，有不同的问题解决方法；3.教学中学生不仅学习了知识，也学会了知识背后的数学思想方法，为下一步学习打下了坚实的基础；4.师生交流对话充分，教学氛围民主和谐、相互尊重.不足之处在于：1.学生用于探究的时间相对较少了点；2.对于学生的即时激励少一些，当学生有精彩的表现时，要给予中肯的评价，进一步激发学生的学习积极性；3.教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨.向量的数乘运算及几何意义教材分析1.《新课程标准》的解读分析向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型.在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动.2.本章节地位、本节的逻辑关系.向量数乘运算及其几何意义位于人教A 版《必修4》 2.2.3节，在本章中起着承前起后的作用.学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.3.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点.评测练习1．11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦= （） .2.2..A a b B a b C a b D a b --+-+-2. 已知非零向量a 和b 不共线，且a b λ+与a b λ+共线，则λ的值为（） .1.1.1.0A B C D -±3. 已知D 为ABC ∆边AB 的中点，且BC a =，CA b =，则CD 用a 和b 表示为 .4. 已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：EF HG =.向量数乘运算及其几何意义课后反思向量数乘运算是在学生学习了向量加法、减法运算等知识的基础上，进一步来研究向量的线性运算，学生已经具备了一定的方法基础,设计时应当充分考虑到这一点，这样才能使学生的学习建立在已有认知经验基础上，对向量数乘运算及其几何意义的理解才能全面、深刻.向量数乘运算及其几何意义课标分析新课程标准对本课的要求是：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.根据课程标准要求，本节课的三维教学目标是：1.知识与技能通过探究向量数乘运算及其几何意义的过程，掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义, 熟练运用向量数乘的运算律化简向量.理解两个向量共线的等价条件，能够运用向量共线定理判断两向量是否共线（平行），掌握利用向量法证明三点共线的方法和步骤.2.过程与方法培养学生严密而准确的数学表达能力、逻辑推理能力和合作学习能力，体会由特殊到一般的认知规律，进一步体验向量运算的魅力.3.情感态度与价值观通过讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生获得新知识的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度和勇于创新的精神.本节课的重点和难点是：重点：1.向量数乘的定义；2.向量数乘的运算律；3.向量共线定理及其应用.难点：向量共线定理及其应用.。

数学人教A版必修四：《向量数乘运算及其几何意义》课件解读

E C A B D
例2 如图,已知任意两个非零向量a, b,试作 OA=a+ b, OB=a+ 2b, OC=a+3b.判断A、B、C 三点之间的位置关系,并说明理由.
C
3b 2b
b
B
a
b
A
a O
a

例3 如图: ABCD的两条对角线交于点 b M,且 AB a, AD b , 你能用 a ，表示
MA, MB, MC, MD. 吗？
D M A B C
课堂小节:
1、向量数乘运算及其几何意义
2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：P10３Ａ组9.10.12. Ｂ组４
a 试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a) a
O A
a
B
a
C
-a
N M
-a
Q
-a
P
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
2.2.3
向量的数乘运算及其几何意义
实际背景
一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量a, 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量用3a表示，试画出该向量。
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量
已知非零向量 a （如图）

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.3向量数乘及几何意义》教案

课题： 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =OA AB BC ++=a +a +a=3aPN =PQ QM MN ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 3．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即 |(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立.当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作OA =a AB =b 1OA =λa11A B =λb 则OB =a +b 1OB =λa+λb由作法知，AB ∥11A B 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11A B | ∴111||||||||OA A B OA AB ==λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴1||||OB OB =λ ∠AOB=∠ A 1OB 1 因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a +b )=λa+λb当λ<0时可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立 4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa；当a 与b 反向时b =-μa从而得向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b =λa三、讲解范例：例1若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .分析：此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n . 解：记3m ＋2n ＝a ① m －３n ＝b ② 3×②得３m －９n ＝３b ③①－③得11n ＝a －３b . ∴n ＝111a －113b ④ 将④代入②有：m ＝b ＋３n ＝113a ＋112b 例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0. 即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OA OB OC ==+=+a+b,a b a b你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 解：∵()2AB OB OA =-=+-+=a b a b b()32AC OC OA =-=+-+=a b a b b∴2AC AB =所以,A 、B 、C 三点共线. 四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件

进行比较。
a
3(2a)和
6a(
a为非零向量)，并
问题二：求作向量 (2 3)a和 2a 3a，并进行比较。
a
问题三：已知向量 a、b，求作向量 2(a b) 和
2a 2b ，并进行比较。
a
b
实根数据与定向义量，积求的作运向算量律 3(2a )和
6a
(
a为非零向
量)，并进行比较。
a
和 MD 吗？
D
C
解：在 ABCD中，
AC AB AD a b
M
b
DB AB AD a b
A
a
B
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
Байду номын сангаас22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
的长度和方向规定如下：
（1）大小： a a
相同
相反
实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.
思考：你能说明向量数乘的几何意义吗？
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反
方向放大或缩短倍.
思考：类比数的乘法运算律，你能说出向量数乘的运算律吗？
问题一：求作向量
结合律: λ(μa)=(λμ)a 分配律: (λ+μ)a =λa +μa 分配律: λ(a + b)=λa +λb
特别地
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
(3) 4a
例1 计算（牛刀小试）
（1）
（2） 3(a+b)-2(a b) a （3） (2a+3b-c) (3a-2b c)

高中数学必修4(人教A版)教案—2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

二、教学目标设计1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F m a =r r，位移与速度的关系 s v t =r r。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++r r r 和()()()a a a -+-+-r r r向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a a a ++r r r 的长度是a r 的长度的3倍，其方向与a r 的方向相同，()()()a a a -+-+-r r r的长度是a r 长度的3倍，其方向与a r的方向相反。

师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a r的积就是λa r ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a r相乘的含义作一番解释才行。

高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。

难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。

你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。

再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。

3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（（2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算二）共线向量定理 1、定理 2、应用五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。

新人教A版高一数学必修四第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义

[规范解答] (1)证明：∵A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝ 5(e1＋e2)＝5A→B，4 分
∴A→B与B→D共线，且有公共点 B，5 分 ∴A，B，D 三点共线.6 分
(2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝ 1＝0，0，10 分 ∴k＝±1.12 分
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
1．通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定． 2．理解两向量共线的含义，并能用向量共线定理解决简单的几何问题． 3．掌握向量数乘运算的运算律，并会进行有关运算．
向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫作向量的_数__乘___，记作_λ_a__，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__同___；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向_相__反___． (3)当 λ＝0 时，λa＝0.
∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)． ∴M→N＝O→N－O→M ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
向量共线的判定及应用多维探究型
已知非零向量 e1，e2 不共线， (1)如果A→B＝பைடு நூலகம்1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
教案·课堂探究
向量的线性运算自主练透型

高中数学 2.22.2.2向量数乘运算及其几何意义课件新人

栏目
链
B、D 三点共线．
接
跟踪训练
分析：欲证 A、B、D 三点共线，只需证A→D与A→B共线即可．
证明：∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
栏
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B，
目链
接
∴向量A→D与A→B共线．
又向量A→D与A→B有共同的起点 A，
因为 A、B、D 三点共线．
栏
目
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→D，
链接
即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8.
点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具，
适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
跟踪训练
2．已知任意两个非零向量 e1、e2 不共线，如果A→B
＝2e1＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2，求证：A、
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，
栏目
∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1，
链接
a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2，
3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.
题型2 向量的共线问题
例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝
e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若三点 A，B，D 共线，求 k.
栏
目
分析：由C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，求得B→D＝C→D
链接
－C→B＝e1－4e2.因为 A、B、D 三点共线．所以A→B与B→D存

高中数学_向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

教学目标：1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。

2.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3.理解两个向量共线的含义，并能证明简单的共线问题。

教学重点：向量数乘的概念，运算律；向量共线定理。

教学难点：向量共线定理的探究及其应用。

教学过程：教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情（一）情景引入：（二）新课讲解【探究1】1.向量数乘的定义已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义吗？由学生板演作图过程。

老师提出：问题1：问题2：问题3：学生尝试总结定义：老师归纳点评：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a λ ，它的长度和方向规定如下：思考：（1）a a λλ=（2）当λ>0时，a λ的方向与a 的方向相同；当λ<0时，a λ的方向与a 的方向相反。

由（1）可知，当0=λ或0=a 时，0=a λ 2. 几何意义：问题：当λ 分别取2，，-2，-时，λ有何变化？几何意义：将沿原方向或相反方向，长度扩大（或缩小，倍，就得到λ【探究2】向量数乘的运算律分组并有学生讲解完成：1.求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，2.已知向量a 、b ，求作向量)(2b a + 3 b a 22+，。

老师点评，并归纳1设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(特别地,我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a ),λ(a -b )=λa -λb向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±。

例1：计算(学生完成) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3 (3) )23()32(c b a c b a +---+ 试身手：两道练习题【探究3】向量共线定理分组讨论并有中心发言人回答问题：问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线，那么，a b λ= ？[来源:学科网ZXXK]向量共线定理：向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数λ，使得 a b λ=思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？[试试试身手：抢答题例 2. 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规解:如图3分别作向量、过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线上,猜想A、B、C三点共线.事实上,因为AB=a+2b-(a+b)=b,而AC=a+3b-(a+b)=2b,于是AC =2AB .且有公共点A所以A、B、C三点共线.小结：三点共线的条件试身手：一道练习题，由学生板演并讲解。

6月人教版高中数学必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件 (共23张PPT)

M 1 2 A C 1 a 2 C 1 b ; M 2 M D 2 1 D B 1 a B 1 b .
2 22
2 22
方法梳理
1.证明三点共线的方法：
要判A,断 B,C三点是否共线是，否只存需在，看实数
使得 ABAC (或BCAB 等.）
2.解决与向量共线有关的存在性问题的方法：通常先假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.
审题指导：此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果。
规律方法：向量数乘运算类似于多项式的运算，主要是“合并同类项”“提公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，实数看成是向量的系数。
深
引入向量数乘后，你能发现数乘向量与原
入
向量之间的位置关系吗？探
a
3a
究
aa a
小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a为非零向量 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用：
1.证明向量共线；
2.证明三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线；
3.证明两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
直线AB∥直线CD
作业： P90练习：3，4，5，6.
O3a 与 Aa 共 B 线 C
对a 于 a 0 ,b ,向以量及，实数
问 1 :如题 b 果 a ,那么 a 与 b 是向否量共线？如 b 果 a ，那么义由知数 a 与 b ：共乘向线向量。量
问使2 b 题得 : 如 a ?果 a 与向向量 b 共量线，那在么实是，数否一定

人教版高中数学版必修四学案向量数乘运算及其几何意义

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：向量减法的几何意义是什么？（二）自主探究：（预习教材P87—P90）探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量a ，作出：①a a a ++；②()()()a a a -+-+-.通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λ=___________________________________;（2）当_________时，a λ的方向与a 的方向相同；当_______时，a λ的方向与a 方向相反，当_________时，a λ=O 。

问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向量数乘运算律，设,λμ为实数。

（1）()a λμ=_______；（2）()a λμ+=_________；（3）()a b λ+=_________；（4）=-)(λ________=___________；（5）()a b λ-=______________；（6）对于任意向量a ,b ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμ1（+）=_______________。

问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线（平行）的等价条件：如果(0)a a b ≠与共线，那么_____________。

二、合作探究1、计算：⑴()76a -⨯；⑵()()438a b a b a +---；⑶()()54232a b c a b c -+--+. a2、已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证：A 、B 、D 三点共线.3、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，你能用a 、b 表示AM 、BM 、CM 、DM 吗？三、交流展示1、8()7()a c a c c ++--=___________。

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课堂探究
知能点一：数乘运算的概念
对数乘向量的理解，关键是对数的作用的认识：
λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍；λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；λ＝0时，λa ＝0.
【例1】已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；
(2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的
25； (3)－2a 与2a 是一对相反向量；
(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；
(5)若a ，b 不共线，则λa (λ＝0)与b 不共线．
利用实数与向量乘积的有关法则判断．
解：
对于数乘运算，要把握好方向，任意实数λ与任意向量a 的乘积λa 仍是向量，另外弄清数乘向量的模之间的关系是判断本题的关键．
1.以下等式中正确的是( )．
A ．0-=a a
B ．0a ＝0
C ．m －n ＝－(n －m )
D ．|λm |＝λ|m |
答案：C
解析：-=0a a ，则A 错误；0=0a ，则B 错误；
|λm |＝|λ||m |，则D 错误，故选C.
2．给出下列命题：①a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；②a ∥b ⇔存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0；③若a ∥b 且12120λλλλ+=⇒==0a b ；④a ∥b ⇒存在实数λ1，λ2，使12λλ+=0a b .其中是真命题的是( )．
A ．①④
B ．②③
C ．①②
D ．②④
答案：D
解析：当=0b 时，①③都不成立，而可以验证②④是正确的，故选D.
知能点二：向量数乘的基本运算
1.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”，“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
【例2】计算：(1) 13(6)9()3
+-+a b a b ； (2) 1113(32)()2()2228
⎡⎤+-+-+⎢⎥⎣⎦a b a b a b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .
综合运用数乘向量的运算律求解．
解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .
(2)原式＝13333(2)22444
+--=+--=0a b a b a b a b . (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .
在进行向量的线性运算时，应灵活运用向量的运算律，类似于进行实数间的四则运算．
1.设向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则12()3()(2)33--+
+-a b a b b a ＝__________. 答案：32163
-+i j 解析：对原式化简，将a ，b 的表达式代入整理即可．
2．设x ，y 为未知向量，解方程组1,21.2
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y a x y b 解：1,21.2
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y a x y b
①×2－②得1(2)()22---
=-x y x y a b ， ∴322
-=-y a b ， ∴2433
=-y b a ，代入①得124233
=+-x a b a ， ∴484223333
=+-=-x a b a b a . 知能点三：向量的共线问题
共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据；即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否唯一确定实数λ，使b ＝λa .而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决．
【例3】已知向量e 1和e 2不共线．
(1)若12AB =+ e e ，1228BC =+ e e ，123()CD =- e e ，求证A ，B ，D 三点共线；
(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．
对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD AB λ= 即可．对
于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．
解：(1)∵12AB =+ e e ，12121228335()5BD BC CD AB =+=++-=-= e e e e e e ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，
∴A ，B ，D 共线．
(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，
∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线．
只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩
则k ＝±1.
(1)向量共线的应用是存在实数λ使两向量互相表示．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，从而互相表示进而判断共线．
1．如图，已知3AD AB = ，3DE BC = ，试判断AC 与AE 是否共线．
解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ，
∴AC 与AE 共线．
2．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．
解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，
∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2， ∴21k λλ=⎧⎨=-⎩
，∴k ＝－2.。

最新人教版高中数学必修4第二章《向量数乘运算及其几何意义》课堂探究