高中数学北师大版必修全册知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集

⑼ 集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律: 0-1律： 等幂律：

求补律：A ∩uA = A ∪CuA =U uU =u =U

反演律：u (A ∩B)=(u A)∪(u B) u (A ∪B)=(u A)∩(u B)

.;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I

第二章函数

§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对

应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素

为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式

的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝

，可采用 法；② y ＝

，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －，可采

用 法；⑤ y ＝x －，可采用 法；⑥ y ＝

可采用

法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、

x 2，当x 1、

2

21x +)3

2

(2312-≠++x x x x

-12

1x -x

x

cos 2sin -

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：①；②；③ .

(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x)在这个区间上是增函数；②若，则f (x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；

2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为；

3．互为反函数的两个函数有的单调性；

4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调

性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有，则称f (x)为奇函数；若，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f

(x) .

② 简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，

），都可以得出的周期为 ；

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y ＝a x (a>0，a≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且

a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂

(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在

唯一的正实数b ，使得b n

＝a m

，我们把b 叫作a 的m

n

次幂，记作b ＝m

n a ；

(2)正分数指数幂写成根式形式：m n

a ＝n

a m (a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n

a -＝__________________(a >0，m 、n ∈N ＋，

且n >1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)；

)()(x f a x f -=+m x f a x f =+)()(a m 0>a )(x f )(x f y =)0,(),0,(b a )(x f y =b x a x ==,)(x f