2018年选修2-1《立体几何中的向量方法》第一课时参考教案2

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高中数学选修2-1精品教案1：3.2 立体几何中的向量方法(二)教学设计

3.2立体几何中的向量方法（二）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的垂直关系教学重点：证明空间中垂直关系的方法教学难点：空间中的垂直关系如何转化为向量的运算问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量和平面的法向量二.思考分析直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．三.抽象概括证明垂直关系的向量方法用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．四.例题分析及练习[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]分析题意→建立空间直角坐标系→表示出A1，F，C1，E的坐标→A1F⊥C1E[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE ＝BF ＝x ，则E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴1A F u u u r＝(－x ，a ，－a )， 1C E u u u r＝(a ，x －a ，－a )． ∵1A F u u u r ·1C E u u u r ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F u u u r ⊥1C E u u u r，即A 1F ⊥C 1E .[感悟体会] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．训练题组11．设直线l 1的方向向量为a ＝(2,1，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(2,2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．－2C ．－3D ．3解析：l 1⊥l 2⇔a ⊥b ，∴2×2＋1×2＋(－2)×m ＝0，∴m ＝3. 答案：D2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．证明：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1，0,0)，C (0,1,0)， E (12，12，0)，B 1(1,1,1)．(1) 1BD u u u r＝(－1，－1,1)，AC uuu r ＝(－1，1,0)，∴1BD u u u r ·AC uuu r ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴1BD u u u r ⊥AC uuur ，∴BD 1⊥AC .(2) 1BD u u u r ＝(－1，－1,1)，1EB u u u r ＝(12，12，1)，∴1BD u u u r ·1EB u u u r ＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴1BD u u u r ⊥1EB u u u r，∴BD 1⊥EB 1.[例2] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .[思路点拨] 思路一：EF ⊥AB 1→EF ⊥B 1C →EF ⊥平面B 1AC思路二：求平面B 1AC 的法向量n EF ⊥平面B 1AC[精解详析] 法一：设AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝c ，1AA u u u r ＝b ，则EF uuu r ＝1EB u u u r ＋1B F u u u r ＝12(1BB u u u r ＋11B D u u u u r )＝12(1AA u u u r ＋BD uuu r )＝12(1AA u u u r ＋AD uuu r －AB uu u r)＝12(－a ＋b ＋c )． ∵1AB u u u r ＝AB uu u r ＋1AA u u ur ＝a ＋b ，∴EF uuu r ·1AB u u u r ＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0.∴EF uuu r ⊥1AB u u ur ，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF uuu r＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，1AB u u u r＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC uuu r＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．∴EF uuu r ·1AB u u ur ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF uuu r ·AC uuur ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF uuu r ⊥1AB u u u r ，EF uuu r ⊥AC uuur ，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC .法三：同法二得1AB u u u r ＝(0,2,2)，AC uuu r ＝(－2,2,0)，EF uuu r＝(－1，－1,1)．设平面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则1AB u u u r·n ＝0，AC uuu r ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0.取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)， ∴EF uuu r ＝－n ，∴EF uuu r∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .[感悟体会] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．训练题组23．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵l ⊥α，v ∥α，∴u ⊥v .∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z ＝0，z ＝3. 答案：34.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r ＝b ，1A A u u u r ＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0. 而1AO u u u r ＝1A A u u u r ＋AO uuu r ＝1A A u u u r ＋12(AB uu u r ＋AD uuu r )＝c ＋12(a ＋b )， BD uuu r ＝AD uuu r －AB uu u r＝b －a ， OG uuu r ＝OC uuu r ＋OG uuu r ＝12(AB uu u r ＋AD uuu r )＋121CC u u u r ＝12(a ＋b )－12c ，∴1AO u u u r ·BD uuu r ＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴1AO u u u r ⊥BD uuu r ，∴A 1O ⊥BD .同理可证，A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图，取D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴1OA u u u r ＝(1，－1,2)，OB uuu r ＝(1,1,0)，BG uuu r ＝(－2,0,1)．而1OA u u u r ·OB uuur ＝1－1＋0＝0， 1OA u u u r ·BG uuu r ＝－2＋0＋2＝0，∴1OA u u u r ⊥OB uuu r ，1OA u u u r ⊥BG uuur ，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG .而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .[例3] 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[思路点拨] 思路一：证明BC ⊥AD →证明BC ⊥AA 1→BC ⊥平面A 1AD →平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1思路二：求平面A 1AD 的法向量n 1→求平面BCC 1B 1的法向量n 2→证明n 1·n 2＝0→ 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AD uuu r＝(1,1,0)，1AA u u u r ＝(0,0，3)，BC uuu r ＝(－2,2,0)．∴AD uuu r ·BC uuur ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，1AA u u u r ·BC uuu r ＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0. ∴AD uuu r ⊥BC uuur ，1AA u u u r ⊥BC uuu r .∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.法二：同证法一建系后，得1AA u u u r ＝(0,0，3)，AD uuu r＝(1,1,0)，BC uuu r ＝(－2,2,0)，1CC u u u r ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA u u u r ＝0，n 1·AD uuu r＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC uuu r ＝0，n 2·1CC u u u r ＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝(1,1，33)．∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[感悟体会] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．训练题组35．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是PA u u r ＝(3,0,0)，FG uuu r ＝(1,0,0)，故PA u u r＝3FG uuu r ，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC .又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF uuu r＝(0，－1，－1)，EG uuu r ＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF uuu r，n ⊥EG uuu r .∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．显然PA u u r＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA u u r ＝0，∴n ⊥PA u u r ，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA uuu r ＝(1,0,0)＝11D A u u u u r ，DE uuu r ＝(1,1，12)， 1D F u u u u r ＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·DA uuu r ＝0，m ·DE uuu r ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D A u u u u r＝0，n ·1D F u u u u r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 五.课堂小结与归纳1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法⎩⎪⎨⎪⎧①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直(2)坐标法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧方法一⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直方法二⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间坐标系②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示④证明平面的法向量与直线的方向向量平行2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．六.当堂训练1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u ⊥v .∴α⊥β.答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB uu u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，若AB uu u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BPu u u r⊥平面ABC ，则BP u u u r等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB uu u r ·BC uuu r ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP u u u r⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP u u u r ·AB uu u r ＝0， BP u u u r ·BC uuur ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ―→＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC uuu r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1，－1,0)，1A D u u u r ＝(－1,0，－1)，1A A u u u r ＝(0,0，－1)．∵CE u u u r ·BD uuu r ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0， ∴CE u u u r ⊥BD uuu r，∴CE ⊥BD .答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP uuu r ⊥OQ uuu r.∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB uu u r ＝(2，－1，－4)，ADuuu r＝(4,2,0)，AP uu u r ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP uu u r是平面ABCD的法向量；④AP uu u r ∥BD uuu r.其中正确的是________．解析：由AP uu u r ·AB uu u r＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ，故①正确；由AP uu u r ·AD uuu r＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP uu u r是平面ABCD 的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥平面BEF .解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0，0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC uuu r (2,22，－2)，BF uuu r ＝(－1，2，1)，EF uuu r＝(1,0,1)， ∴PC uuu r ·BF uuu r ＝－2＋4－2＝0，PC uuu r ·EF uuu r ＝2＋0－2＝0，∴PC uuu r ⊥BF uuu r ，PC uuu r ⊥EF uuu r ，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1) 1A E u u u r ＝(－a ，a ，e －a )，BD uuu r ＝(－a ，－a,0)，1A E u u u r ·BD uuu r ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E u u u r ⊥BD uuu r，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB uuu r ＝(a ，a,0)，1DA u u u r ＝(a,0，a )，DE uuu r ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》word教案

3.2立体几何中的向量方法教学目标：1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学过程：相关知识与能力：一.空间距离的计算1. 空间两点间的距离：设A 、B 是空间两点，则A 、B 两点间的距离d=||2.两条异面直线间的距离：设a 、b 是两条异面直线，是a 、b 的公共法向量（即b n a n ⊥⊥且），点A ∈a,B ∈b则异面直线a 、b 间的距离d =即在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。

3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量ααo P P是平面α内任一点，则P Od =2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。

二.空间角度的计算1. 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，∥l 1 ， ∥l 2，则l 1与l 2所成的角α=<n ，m >或α=л -<n ，m > （0<α≤2π）所示图）见第一3.cos sin ==βθcos<n ，（0<α≤2π） 2. 斜线P 0P 与平面α所成的角θ)20(πθ<<3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为m n ,，则α与β所成的角的大小为<m n ,> 或><-m n ,π（如何确定？）典例分析：例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 41=，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G 所成的角的余弦；（3）求FH 的长。

高中数学选修2-1新教学案：3.2立体几何中的向量方法(1)

3.2 立体几何中的向量方法（第 1 课时）【教学目标】1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。

【重点】直线的方向向量和平面的法向量. 【难点】求平面的法向量.【创设情景】1.平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2.如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 102 页～第 104 页）思考：（1）如何确定一个点在空间的位置？（2）在空间中给一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置吗？（3）给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？（4）给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？1.点P 的位置向量OP.如图(1).2. 一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置,如图(2). AP t AB =3.直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量4.平面的法向量l α⊥,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α的法向量.【基础练习】【典型例题】例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量.【审题要津】证明：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅AC DB ，所以AC DB ⊥1同理11AD DB ⊥.所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量. 【方法总结】例 2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

《立体几何中的向量方法》示范教案(第1课时)

3.2 立体几何中的向量方法整体设计教材分析本节是在学习了空间向量的概念及其运算和空间向量运算的坐标表示的基础上设计的，本节主要介绍立体几何中的向量方法，即在立体几何中，把立体几何问题转化为空间向量问题．本节内容包括：直线的方向向量、平面的法向量，用向量方法解决立体几何中的平行垂直问题，用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，以及用向量方法求空间两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离和异面直线之间的距离．本节所讲的向量方法包括两种，一种是向量的几何运算的方法，即选择空间基底解决问题的方法；另一种是向量的坐标运算的方法，即建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算解决问题的方法．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配5课时第1课时教学目标知识与技能1．掌握直线的方向向量与平面的法向量的定义；2．理解平面的法向量的求法；3．理解用向量方法证明平行关系的方法．过程与方法1．经历直线方向向量和平面法向量的概念的探索，掌握直线的方向向量与平面的法向量的定义；2．经历平面法向量求法的探索，理解平面法向量的求法；3．通过研究平行关系与向量之间关系的联系，理解用向量方法证明平行关系的方法．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历转化思想、数形结合思想的思维过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．直线的方向向量和平面法向量的定义；2．平面法向量的求法；3．向量在证明平行关系中的应用．教学难点：1．平面法向量的求法；2．向量在证明平行关系中的应用．教学过程引入新课提出问题：在前面的学习中，我们已经利用空间向量解决了一些立体几何问题，请同学们回忆，在上一节课中，我们是怎样求两个异面直线所成的角的？通过解决这一问题的过程，你认为用向量方法解决立体几何问题，首先应解决什么问题？活动设计：学生回忆思考后举手发言；教师板书记录并请不同的学生补充．学情预测：学生对上一节课求两条异面直线所成角的过程能够比较清晰地回忆并概括出来：先建立空间直角坐标系，写出两异面直线上的两个向量的坐标，将异面直线所成角转化为向量夹角．从以上过程可以看出要用向量解决立体几何问题，需要先用向量表示出空间中的点、直线、平面．设计意图：通过对已解决问题的回忆和过程的概括，引导学生得出一般的规律，引出本节课要研究的内容．探究新知提出问题1：如何确定一个点在空间的位置？在空间中给一个定点A 和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？活动设计：学生自己思考后进行小组交流讨论，最后小组代表发言；教师巡视指导，注意和学生的交流，并对学生的发言进行点评和补充．活动成果：1．如下图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任一点P 的位置就可以用向量OP →来表示，我们把OP →称为点P 的位置向量．2．空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一点A 及一个定方向确定.如下图，点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向(方向向量)．在直线l 上取AB →＝a ，那么对于直线l 上的任一点P ，一定存在实数t ，使得AP →＝tAB →.这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出l 上任意一点．3．空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．如下图，设这两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序数对(x ，y)，使得OP →＝x a ＋y b .这样点O 和向量a ，b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．4．类似于直线的方向向量，我们还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．如下图，直线l⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面的法向量．给定一定点A 和一个向量a ，那么，过点A 以向量a 为法向量的平面是完全确定的．设计意图：引导学生根据立体几何的相关定理，自主探究出用向量表示点、直线、平面的方法，为空间向量在立体几何中的应用奠定基础，增强学生将空间向量和立体几何相联系的意识和能力．提出问题2：在已知平面内点和向量坐标的情况下，如何求平面的法向量？活动设计：教师提示学生利用法向量和平面垂直这一性质进行探索；学生根据教师的提示和已经掌握的立体几何知识进行自主探究后小组讨论．活动成果：求平面法向量的方法、步骤： 1．设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)；2．找出(求出)平面内两个不共线的向量的坐标a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)； 3．根据法向量的定义建立关于法向量的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 1x ＋y 1y ＋z 1z ＝0，x 2x ＋y 2y ＋z 2z ＝0.4．解方程组，取其中的一组解即为法向量的坐标．设计意图：指导学生根据法向量的定义和立体几何知识探索出求平面法向量的方法．理解新知提出问题1：直线m⊥α，在m 上任取向量a ，直线n⊥α，在n 上任取向量b ，则向量a 、b 有什么关系？活动设计：学生自由举手发言；教师请别的学生纠正并点评．学情预测：有的学生可能认为相等，有的学生可能认为同向，经过纠正和补充能得到正确答案共线．设计意图：纠正对直线方向向量和平面法向量的误解，加深对直线方向向量和平面法向量的理解．提出问题2：你能用直线的方向向量表示空间两条直线平行、垂直的位置关系吗？你能用直线的方向向量和平面的法向量表示空间线面和面面的位置关系吗？活动设计：教师提示学生根据“探究新知”中的问题2的解决过程进行自主探究；学生在教师的指导下，根据自己所掌握的立体几何相关定义进行自主探究．活动成果：设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则1．l ∥m a ∥b a ＝k b (k∈R )； 2．l⊥m a ⊥b a ·b ＝0； 3．l∥αa ⊥u a ·u ＝0；4．l⊥αa ∥u a ＝k u (k∈R )；5．α∥βu ∥v u ＝kv (k∈R )； 6．α⊥βu ⊥v u ·v ＝0.设计意图：引导学生根据前面解决的问题，进一步探究立体几何与空间向量的关系，进一步加深对直线方向向量和平面法向量的理解．运用新知用向量方法证明“平面与平面平行的判定定理”：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．思路分析：要证明两个平面平行，只需证明两个平面有相同的法向量即可．已知：直线l ，m 和平面α，β，其中l ，m α，l 与m 相交，l∥β，m∥β，求证：α∥β.证明：设相交直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v . 因为l∥β，m∥β，所以a ⊥v ，b ⊥v ，所以a ·v ＝0，b ·v ＝0. 因为l ，m α，且l 与m 相交，所以α内任一直线的方向向量p 可以表示为如下形式： p ＝x a ＋y b ，(x ，y∈R )．因为p ·v ＝(x a ＋y b )·v ＝x a ·v ＋y b ·v ＝0，即平面β的法向量与平面α内任一直线垂直．所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u ∥v . 因此，α∥β.点评：利用向量方法证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量关系问题．巩固练习在长方体OAEB —O 1A 1E 1B 1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO 1|＝2，点P 在棱AA 1上，且|AP|＝2|PA 1|，点S 在棱BB 1上，且|B 1S|＝2|SB|，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ∥RS.证明：以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)，P(3,0，43)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，23)，于是PQ →＝(－3,2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ∥RS.变练演编棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D⊥面PAC? 解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P(0,0，z)， AP →＝(－a,0，z)，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a)， ∵B 1D⊥面PAC ，∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0.∴－a 2＋az ＝0.∴z＝a ，即点P 与D 1重合． ∴点P 与D 1重合时，B 1D⊥面PAC.达标检测1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，设平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k 等于( )A. 2 B ．－4 C ．4 D ．－22．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A. l∥α B ．l α C ．l⊥α D. l α或l∥α3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A. 1 B ．2 C.12D ．34．若l 的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l⊥α，则m ＝________.5．已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，求平面ABC 的一个单位法向量．答案：1.C 2.D 3.B 4.4 5.23417，33434，33434课堂小结1．知识收获：直线的方向向量、平面的法向量的概念；平面法向量的求法；向量在证明平行关系中的应用；2．方法收获：转化方法、数形结合的方法； 3．思维收获：转化思维、抽象概括思维．布置作业课本本节练习1,2. 补充练习基础练习1．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12 D ．－122．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线的一个方向向量是__________．3. 如图所示，在正方体ABCD —A′B′C′D′中，M ，N 分别是C′C，B′C′的中点．求证：MN∥平面A′BD.答案：1.B 2.(1,4，－5)3．证明：建立如图所示空间直角坐标系，设|DA|＝1，则D(0,0,0)，A′(1,0,1)，B(1,1,0)，M(0,1，12)，N(12，1,1)，则MN →＝(12，0，12)，'DA ＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)．方法一：设MN →＝x DA′→＋yDB →，即(12，0，12)＝x(1,0,1)＋y(1,1,0)＝(x ＋y ，y ，x)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，y ＝0，x ＝12.∴MN →＝12'DA .由空间向量共面定理知MN →，'DA ，DB →共面，又MN 平面A′BD， ∴MN∥平面A′BD.方法二：设平面A′BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则'00n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1得，n ＝(1，－1，－1)，∴MN →·n ＝12－12＝0.∴MN →⊥n .又MN 平面A′BD， ∴MN∥平面A′BD. 拓展练习4．如图，已知矩形ABCD 、矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ，求证：MN∥平面CDE.5. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：D 1F⊥平面ADE.【解答】4．证明：建立如图所示空间坐标系，设AB ，AD ，AF 的长分别为3a,3b,3c ，NM →＝NA →＋AB →＋BM →＝(2a,0，－c)，又平面CDE 的一个法向量AD →＝(0,3b,0)，由NM →·AD →＝0，得到NM →⊥AD →，因为MN 不在平面CDE 内，所以MN∥平面CDE.5．证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D —xyz ，DA →＝(1,0,0)，DE →＝(1,1，12)，因为D 1F →＝(0，12，－1)，所以D 1F →·DA →＝0，D 1F →·DE →＝0， D 1F →⊥DA →，D 1F →⊥DE →. 又DE∩DA＝D ，所以D 1F⊥平面ADE.设计说明本节课是在系统学习了空间向量的运算以及空间向量运算的坐标表示以后，研究空间向量在立体几何中的应用的．重点是根据立体几何中的线面关系和线线角、线面角、二面角的定义来寻找用直线的方向向量和平面的法向量来研究空间线面关系的方法．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生自主发现用直线方向向量和平面法向量来研究立体几何问题的方法，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解运用新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中， ∠ABC＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD＝2a ，点E 在PD 上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC ？证明你的结论．思路分析：该题为探索性问题，用传统方法求解有相当难度，但是如果我们建立如图所示空间直角坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：根据题设条件，结合图形容易得到：B(3a 2，－a 2，0)，D(0，a,0)，E(0，2a 3，a3)， C(3a 2，a2，0)，P(0,0，a)， CP →＝(－3a 2，－a 2，a)，假设存在点F ，且CF →＝λCP →＝(－3λa 2，－λa 2，λa)．BF →＝BC →＋CF →＝(－3λa 2，(1－λ2)a ，λa)，又AE →＝(0，2a 3，a 3)，AC →＝(3a 2，a 2，0)，则必存在实数λ1，λ2使得BF →＝λ1AC →＋λ2AE →，把以上向量的坐标形式代入得⎩⎪⎨⎪⎧－3λa 2＝3λ1a 21－λ2a ＝λ1a 2＋2λ2a 3λa＝λ2a 3⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即有BF →＝－12AC →＋32AE →，所以，在棱PC 上存在点F ，即PC 中点，能够使BF∥平面AEC.本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握．(设计者：殷贺)。

选修(2-1)3.2立体几何中的向量方法

时间：两课时山东省桓台第一中学课题：选修（2-1）3.2立体几何中的向量方法三维目标：1、知识与技能（1）在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念；（2）能由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；（3）理解运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题的方法（主要是关于角的问题）；(4)能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。

2、过程与方法（1）在初步运用向量解决相关问题的基础上，引领学生对向量进行系统的运用，从而全面掌握立体几何的向量方法；（2）通过探究立体几何中的向量方法，并进行针对性地运用，体会向量这个重要的数学工具的强大和广泛的作用，从而为进一步解决更加广泛的问题打好基础；（3）通过向量方法的学习和应用，进一步认识重要的数学思想方法（如：数形结合、转化思想、类比思想等等）。

3、情态与价值观(1) 通过对立体几何中的向量方法的探究和运用，进一步培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过培养学生数形结合、等价转化等数学思想方法，渗透更广泛地育人思想，使学生进一步认识学习的本质，有利于形成正确的人生观和价值观；（3）通过各种形象而具体的问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

教学重点：立体几何中的向量方法教学难点：立体几何中的向量方法的灵活准确及恰当运用。

教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：科学导入：前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几运算的强大作用。

这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。

选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案范文

课题：3.2立体几何中的向量方法（第76-79课时）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、11日）【教学目标】1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；2．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；3．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。

【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【教学过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。

这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。

为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= 。

二、创设情景前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题……三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面。

由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）．平面的法向量：。

3.2立体几何中的向量方法(1)(优秀经典公开课比赛教案)

3.2立体几何中的向量方法（1）一、教材分析：利用空间向量解决立体几何问题的一般方法;先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系；进行空间向量运算；由向量运算结果回归几何结论。

二、教学目标：1、向量运算在几何证明与计算中的应用2、掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．3、提高空间想象力三、教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1）. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2）. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．（二）、例题讲解1）. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥．证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ．∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =，·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=．∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =．∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2）. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离．解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥．由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +．∴CD =3）. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN与'CD 所成的角．解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12(2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )．∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12=，∴＜,'MN CD ＞＝60.3、巩固训练：课本104页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．八、课外作业：课本111页：习题3.2 A组 1九、板书设计：。

高中数学选修2-1 第三章第二节《3.2立体几何中的向量方法》全套教案

立体几何中的向量方法课时分配:第一课立体几何中的向量方法1个课时第二课立体几何专1个课时第三课立体几何中的向量方法——求点坐标1个课时3. 2.1 立体几何中的向量方法【教学目标】1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】坐标法与向量法结合【教学难点】适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．【学前准备】：多媒体，预习例题PB ⊥)1,,(-z y x )1,1,-021=所以=EDB 平面333(，，,21,0(213161=60的大小为D -2,=BA CD异面直线AB与CD所成角的余弦值为BD 1C 1B 1CDBA A 1EF 3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x 、y 、z 的值分别为A.x =,y =,z =B.x =,y =,z =C.x =,y =,z =D.x =,y =,z =（中等题）5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、C 1（0，4，2）、D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝（－2，－4，2）所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 11,cos FD EC ＝||||1111FD EC FD EC ∙∙＝1421立体几何专题【教学目标】内容:考查(1)空间几何体:结构特征、三视图、表面积和体积的计算. 常给出几何体的三视图，通过识图、想图、作图、用图，考查学生的空间想象能力及运算求解能力.(2)空间直线与平面的位置关系:线、面平行与垂直关系的判断和证明，其中垂直关系出现频率更高.空间角的计算，其中二面角的计算是理科生的重点，文科生则不做要求；三是空间距离的计算，重点考查点到平面的距离.如在文科高考解答题中，第（2）问往往要计算几何体的体积，其关键是求出点到平面的距离. (3）空间向量与立体几何:考查利用空间向量研究空间直线与平面的位置关系；利用空间向量求角和距离.一般地，论证平行与垂直关系，传统方法较方便，而在求空间角和空间距离上，则可显示出向量法的优越性.方法:解答题的命制,课标卷都采用了“一题多法”的命制办法，并体现向量坐标法优先的特征. 即同一试题可以用综合法（传统的方法）和空间向量两种方法来解决（向量法优先）强调数学通性通法的考查,淡化特殊技巧,无偏怪之题.立体几何专题的考查，理科和文科试卷，都强调对基础知识和基本能力的考查.文科相对强调几何的直观感知和简单的推理论证；而理科对空间想象、推理论证、运算求解有更高的要求.【学前准备】：多媒体，预习例题的面积为. 如图,在棱长为2的正方体到直线CC 1的距离的最小值为62的体积V）时，可，试判断V与V的大立体几何中的向量方法——求点坐标【教学目标】知识与技能：1、能够根据具体的立体图形寻找适当的位置建立空间直角坐标系；2、能够运用投影的知识解决相关点的坐标；3、能够利用中点坐标公式或者线段的比例关系解决相关点的坐标；4、能够掌握向量的相等、基本运算和共线等知识并应用于求点的坐标。

3.2.立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案

3.2 立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解向量的概念和性质；2.掌握立体几何中向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；3.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。

二、教学重点1.理解概念，掌握向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；2.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。

三、教学难点能够运用向量方法解决立体几何中的复杂问题。

四、教学内容及教学方法（一）教学内容本节课主要内容为立体几何中的向量方法，包括以下几个部分：1. 向量的概念和性质1.向量的定义；2.向量的模和方向；3.零向量和单位向量；4.向量的共线和平行；5.向量的反向和相等。

2. 向量的加减法1.向量的加法和减法定义；2.向量加减法的运算法则；3.向量相加减的几何意义。

3. 向量的数量积1.向量数量积的定义；2.向量数量积的运算法则；3.向量数量积的几何意义；4.向量数量积的性质。

4. 向量的向量积1.向量向量积的定义；2.向量向量积的运算法则；3.向量向量积的几何意义；4.向量向量积的性质。

（二）教学方法课堂教学应采用讲授与练习相结合的方法，通过引入具体的数学问题，逐步引入概念和定义，然后逐步将概念和定义转化为解决数学问题的方法。

在讲授的过程中，注意抓住学生对问题的兴趣点，让学生积极思考，在实际问题中理解各个概念和公式的含义。

五、教学过程安排（一）引入通过引入相关的实际问题，引发学生的兴趣和思考，达到引入立体几何中的向量方法的目的。

（二）概念和性质1.向量的定义和性质引入向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和性质，并能够熟练应用各种性质。

2.向量的共线和平行讲解向量的共线和平行的概念，巩固向量的基础概念。

3.向量的反向和相等讲解向量的反向和相等的概念，引导学生加深对向量的认识。

（三）向量的加减法通过具体例子引导学生理解向量加减的运算法则，并能够运用向量加减法解决实际问题。

1.向量加减法的定义和性质引导学生理解向量加减法的概念和性质，并掌握加减法的运算法则。

高中数学《立体几何中的向量方法》教案3 新人教A版选修2-1

第三课时： 3.2立体几何中的向量方法（三）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 法向量定义：如果直线, 取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.
2. 讨论：如何利用法向量求线面角？→面面角？
直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：
.
3. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.
点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.
二、例题讲解：
1. 出示例1：长方体中，AD==2，AB=4，E、F分别是、AB的中点，O是的交点. 求直线OF 与平面DEF所成角的正弦.
解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则
.
设平面DEF的法向量为，
则，而， .
∴，即, 解得，∴ .
∵，而.
∴
所以，直线OF与平面DEF所成角的正弦为.
2. 变式：用向量法求：二面角余弦；OF与DE的距离；O点到平面DEF的距离.
三、巩固练习
作业：课本P121、习题A组 5、6题.。

高中数学选修2-1精品教案6：§3.2立体几何中的向量方法(一)教学设计

§3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2．过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．直线的方向向量与平面的法向量问题导思1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？图3－2－1【答案】 AB →∥CD →.2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【答案】 n ⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.空间中平行关系的向量表示课堂探究求平面的法向量例1 已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．图3－2－2(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．解以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2yz ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．变式训练正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．解设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x . 令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量. 利用空间向量证明线线平行例2 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.解如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )．∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1. 变式训练如图3－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．图3－2－4证明以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E (0,0，12)，C 1(0,1,1)，F (1,1，12)，∴AE →＝(－1,0，12)，FC 1→＝(－1，0，12)，EC 1→＝(0,1，12)，AF →＝(0,1，12)，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形. 利用空间向量证明线面平行例3 如图3－2－5，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面DBC 1.图3－2－5解以A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)，则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a2b y . 不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )．由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→⊥n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.变式训练在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F . ∴CE ∥平面C 1E 1F . 课堂检测1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)【解析】 AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】 A2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)【解析】∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.【答案】 D3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．【答案】 B4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．【解】(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.(3)∵a、u不共线，∴l不与α平行，也不在α内．又∵a·u＝－7≠0，∴l与α不垂直．故l与α斜交.课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．。

人教版高中数学选修2-1导学案第三章第二节立体几何中的向量方法第一课时

第三章第二节立体几何中的向量方法第一课时设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：学习目标1．理解直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行与垂直关系.________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 怎么样才能确定一条直线在空间中的位置？问题2. 怎样确定一个平面在空间中的位置？【思维导航】(1)线线关系中的方向向量和法向量如何表示？(2)线面关系中的方向向量和法向量如何表示？(3)面面关系中的方向向量和法向量如何表示？【试试】* (1) 直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1与l 2相交，但不垂直C ．l 1⊥l 2D ．不能确定(2)下列命题中正确的是( )A ．若n 是平面ABC 的一个法向量，则n 和平面ABC 内任意一条直线的方向向量垂直B ．若n 和平面ABC 内两条直线的方向向量垂直，则n 是平面ABC 的法向量C ．若n 既是平面α 的法向量，又是平面β 的法向量，则α ∥βD ．若α ∥β ，则它们所有共同的法向量在一条直线上【技能提炼】1.设a ， b 分别是直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1、l 2的位置关系．(1)a ＝(2，－1，－2)，b ＝(6,－3，－6)；(2)a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，3,2)；(3)a ＝(0,0，－1)，b ＝(0,0,4)．2.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.方法1：用几何法证明方法2:用向量法证明【反思】对比两种方法，你有什么体会？【变式】在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.教师问题创生学生问题发现变式反馈 1. 设)15,6,9(),5,2,3(--=--=b a ϖϖ分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .*2. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定3. 已知n α⊥r ，下列说法错误的是（）A. 若a α⊂，则n a ⊥rB.若//a α，则n a ⊥rC.若,m α⊥u r ，则//n m r u rD.若,m α⊥u r ，则n m =r u r*4. 若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)5. 设,u v r r 分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：（1）)4,4,6(),5,2,2(-=-=v u ϖϖ(2)()()1,2,2,2,4,4u v =-=--r r ；(3)()()2,3,5,3,1,4u v =-=--r r .。

高中数学选修2-1精品教案1：3.2 立体几何中的向量方法(一)教学设计

3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的平行关系教学重点：证明空间中平行关系的方法教学难点：空间中的平行关系如何转化为向量的共线或共面问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量二.思考分析以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg 的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？提示：确定．三.抽象概括 1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量. 3.空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝kb ，k ∈R ；线面平行 l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0；面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝kv (k ∈R)．线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0；线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R ；面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．3．因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．四.例题分析及练习[例1] (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)；③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)． (2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． [精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a 与b 不共线，也不垂直，∴l 1与l 2相交或异面(不垂直)． (2)①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β.②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，∴u ＝－35v ，∴u ∥v ，∴α∥β.③∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u 与v 不共线，也不垂直， ∴α与β相交但不垂直．(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，∴u ·a ＝－6＋8－2＝0，∴u ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α. ②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，u ＝－14a ，∴l ⊥α.③∵u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴u 与a 不共线，也不垂直，∴l 与α相交，但不垂直．[感悟体会] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．训练题组11．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ·v ＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系． (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)．(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)． (4)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)．解：(1)∵a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)，∴a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. (2)∵u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)，∴v ＝－2(1,3,6)＝－2u ，∴u ∥v ，∴α∥β. (3)∵a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)，∴a 与v 既不共线也不垂直，∴l 与α斜交． (4)∵a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)，∴a ·v ＝3－4＋1＝0，a ⊥v ，∴l ⊂α或l ∥α. [例2] 已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，求平面ABC 的一个法向量．[思路点拨] 分析题意设出平面的法向量n →将所设法向量中的某一变量赋非零值→得出结论[精解详析] 设坐标原点为O ，由已知可得AB uu u r ＝OB uuur －OA u u u r ＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)， AC uuu r ＝OC uuu r －OA u u u r＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB uu u r＝(x ，y ，z )·(－1,2,0)＝－x ＋2y ＝0，n ·AC uuu r ＝(x ，y ，z )·(－1,0,3)＝－x ＋3z ＝0.不妨令x ＝6，则y ＝3，z ＝2.因此，可取n ＝(6,3,2)为平面ABC 的一个法向量． [感悟体会] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：训练题组23．已知平面内的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( ) A ．(1，－1,1) B ．(2，－1,1) C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1.∴n ＝(－2,1,1)．答案：C4.四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD uuu r＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC uuu r ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS uuu r ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝(1，－12，12)即为平面SCD 的一个法向量.[例3] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .[思路点拨] 建立空间直角坐标系→分别求出两个平面的法向量m ，n →证明m ∥n[精解详析] 如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，B (a ，a,0)， C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a2，a )，∴AN uuu r ＝(－a 2，0，a )，NM uuu u r ＝(a 2，a 2，0)，DB uuu r ＝(a ，a,0)，DF uuu r ＝(0，a2，a )．设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·AN uuu r ＝0，m ·NM uuu u r＝0，∴⎩⎨⎧－a 2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a 2y 1＋0×z 1＝0，∴y 1＝－x 1＝－2z 1.取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2,1)．同理由⎩⎨⎧n ·DB uuu r＝0，n ·DF uuu r＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2. 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． ∵m ＝n ，∴m ∥n ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .[感悟体会] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．训练题组35.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN uuur ＝(12，0，12)，1DA u u u r ＝(1,0,1)，DB uuu r＝(1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·1DA u u u r ＝0，且n ·DB uuu r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN uuur ·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN uuur⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN uuur ＝1C N u u u u r －1C M u u u u r ＝1211C B u u u u r －121C C u u u r ＝12(11D A u u u u r －1D D u u u u r )＝121DA u u u r， ∴MN uuur ∥1DA u u u r.而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，C (1,1,0)，D 1(0,1,1)，1A B u u u r ＝(1,0，－1)，1D C u u u u r ＝(1,0，－1)．11B D u u u u r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1,1,0)，∴1A B u u u r ∥1D C u u u u r ，11B D u u u u r ∥BD uuu r.∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ，同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C . 五.课堂小结与归纳利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．六.当堂训练1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6)C ．(1,7,3) D ．(－1，－7,3)解析：∵AB uu u r ＝(1,7,3)，又与AB uu u r平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1,7,3)＝AB uu u r可作为l 的方向向量．答案：C2．已知AB uu u r＝(2,2,1)，AC uuu r ＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A ．(－13，－23，－23)B ．(－13，23，－23)C ．(－13，23，23)D ．(13，23，23)解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是(－13，23，－23)．答案：B3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( ) A ．2 B ．4C ．－2 D ．－4解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m (2，λ，4)，∴λ＝－4. 答案：D4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4解析：∵1AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r， 1D P u u u r ＝1D D u u u u r ＋DP uuu r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r，∴1AM u u u u r ∥1D P u u u r ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：C5．若AB uu u r＝λCD uuu r ＋u CE u u u r (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．解析：∵AB uu u r ＝λCD uuu r ＋u CE u u u r ，∴AB uu u r 与CD uuur ，CE u u u r 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______.解析：∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48，∴x ＝－14，y ＝6.答案：－14 67.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)， N (1－24，24，0)． MN uuur ＝(1－24，24，－1)，OP uuu r ＝(0，22，－2)，OD uuu r ＝(－22，22，－2)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP uuu r ＝0，n ·OD uuu r ＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN uuur ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，即MN uuur ⊥n ，∴MN ∥平面OCD .8.如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q (0,2，c )，∴OA u u u r ＝(1，－1,0)，OP uuu r ＝(－1，－1，1)，BQ uuu r＝(－2,0，c )，1BD u u u r ＝(－2，－2，2)．设平面P AO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·OA u u u r ＝0，n ·OP uuu r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.∴平面P AO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1BQ ∥平面P AO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量．∴n 1·BQ uuu r＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1，这时n 1·1BD u u u r ＝－2－2＋4＝0，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

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3.2立体几何中的向量方法（1）
一、教学目标
1．借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；
2．用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习提问
1．直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内（2）直线和平面平行（3）直线和平面相交
2．平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：
（二）、新知讲解，方法定位
1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2
,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
D B A C α
②证明作出的角即为所求的角；
③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2
,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，
确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

作二面角的平面角常有三种方法
①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：
θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。

2．空间的距离
（1）点到直线的距离：点P 到直线a 的距离为点P 到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为A ，过A 作a 的垂线，垂足为B 连PB ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。

在直角三角形PAB 中求出PB 的长即可。

点到平面的距离：点P 到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点A ，B 到斜足C 的距离AB ，AC 的比为n m :，则点A ，B 到平面α的距离之比也为n m :．特别地，AB ＝AC 时，点A ，B 到平面α的距离相等；③体积法
（2）异面直线间的距离：异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的
距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。

（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。

（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。

以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。

所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

3．空间向量的应用
（1）用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的
法向量，点E ∈a ，F ∈b ，则异面直线 a 与b 之间
的距离是d = ；
（2）用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则 A 到平面α
的距离为d =；
（3）用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。

（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

（5）用法向量求二面角
b E
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1
n 与2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面
角是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a 的夹
角的余弦a ，易知
a
或者a 2-π。

（四）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：
1、线面角的求法
2、二面角的求法
AB ，CD 分别是二面角βα—l —的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二。

3、设21,n n 分别是二面角βα—l —的两个平面βα,的法向量，则21212121,,|
|||,cos n n n n n n n n ⋅⋅=就是二面角的平面角或其补角。

4、异面直线间距离的求法
5、点面距离的求法
6、线面距、面面距均可转化为点面距离再求解。