《导数及其应用》同步练习三
人教B版选修(1-1)第三章《导数及其应用》同步练习
阶段性测试题四(第三章基本知能检测)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据导数的定义，f′(x1)等于()A.lim x→x0f(x1)－f(x0)x1－xB.limΔx→0f(x1)－f(x0)ΔxC.limΔx→0f(x1＋Δx)－f(x1)Δx D.limx1→0f(x1＋Δx)－f(x1)Δx[答案] C[解析]由导数定义知，f′(x1)＝limΔx→0f(x1＋Δx)－f(x1)Δx，故选C.2．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数函数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数函数[答案] B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴函数F(x)为常数函数，故f(x)－g(x)为常数函数．3．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为()A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，s′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.4．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3 [答案] D[解析] ∵y ′＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )，令y ′＝0得x ＝1或x ＝－1， 当x <－1时，y ′<0，当－1<x <1时，y ′>0， 当x >1时，y ′<0，∴当x ＝－1时，函数取极小值－1， 当x ＝1时，函数取极大值3，故选D.5．曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2，10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.6．函数y ＝x 2－1x 的导数是( )A.x 2－1xB.x 2＋1x 2C.x 2－1x 2D.－x 2＋1x[答案] B[解析] y ′＝(x 2－1)′x －(x 2－1)x ′x 2＝x 2＋1x 2，故选B.7．过点(0，－4)与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是( ) A ．y ＝－2x －4 B ．y ＝4x －4 C ．y ＝2x －4D ．y ＝－4x －4[答案] B[解析] ∵点(0，－4)不在曲线y ＝x 3＋x －2上， 设切点坐标为(x 0，y 0)，切线斜率k ＝3x 20＋1， 切线方程为y －y 0＝(3x 20＋1)(x －x 0)，又点(0，－4)在切线上，∴－4－y 0＝(3x 20＋1)(－x 0)， 又y 0＝x 30＋x 0－2，∴－4－x 30－x 0＋2＝－3x 30－x 0，解得x 0＝1.∴切点坐标为(1,0)，切线方程为y ＝4x －4，故选B. 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1，在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][答案] D[解析]f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a，当a≤1时，f(x)在[1,2]上为减函数，由g′(x)＝－a(x＋1)2<0，得a>0.故0<a≤1.9．已知函数f(x)＝x ln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于() A．1 B．－1C．±1 D．不存在[答案] A[解析]因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.10．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15 B．5，－15C．5，－4 D．－4，－15[答案] B[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2[答案] C[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋a＋6＝0，由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)>0，∴a >6或a <－3，故选C.12．函数y ＝x sin x ＋cos x 在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)[答案] C[解析] 对函数求导得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在所求区间内是增函数， 即y ′>0，∴x cos x >0.当x >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ≥1且k ∈Z )． 当x <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋32π(k ≤－1且k ∈Z )．选项中只有C 符合要求． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．设一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2，其中S 的单位为m ，t 的单位为秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．[答案] 5米/秒[解析] 物体在3秒末的瞬时速度就是路程函数 S ＝1－t ＋t 2在t ＝3时的导数，S ′|t ＝3＝5.14．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 3[解析] 导函数在某点处的函数值表示曲线上该点的切线的斜率． ∵k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.15．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，12]上的最大值是________．[答案] 12＋2cos 12[解析] y ′＝1－2sin x ，∵x ∈[0，12]，∴0≤sin x <12，∴y ′>0恒成立，即该函数在[0，12]上是增函数．∴当x ＝12时，y max ＝12＋2cos 12. 16．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的取值范围为______________． [答案] a ≥1[解析] ∵y ′＝cos x ＋a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≥－cos x 在R 上恒成立，又cos x ∈[－1,1]，∴－cos x ∈[－1,1]，∴a ≥1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求函数y ＝x 4－2x 2＋2在[－3,3]上的最大值和最小值． [解析] y ′＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)， 令y ′＝0得x ＝－1，x ＝0，x ＝1， y ′及y 随x 的变化如下表18．(本题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋13a (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[a,2]时，恒有f (x )≤0，试确定a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )·(x －3a )． ∵0<a <1，∴f ′(x )>0⇔a <x <3a ；f ′(x )<0⇔x <a 或x >3a . ∴递增区间是(a,3a )，递减区间是(－∞，a )和(3a ，＋∞)．(2)①2≤3a 即23≤a <1时，f (x )在区间[a,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝－83＋253a －6a 2.∴⎩⎨⎧23≤a <1－83＋253a －6a 2≤0⇔89≤a <1. ②2>3a 即0<a <23时，f (x )在(a,3a )上单调递增，在(3a,2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (3a )＝13a .∴⎩⎨⎧0<a <2313a ≤0无解．综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫89，1.[说明] 在对参数进行分类讨论时，必须确定分类的标准，且保证不重不漏． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.求f (x )的单调区间和极大值．[解析] 由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，则有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－23a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3，因此，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，令f ′(x )<0，得－1<x <1， ∴函数f (x )在(－1,1)上是减函数． 所以f (x )在x ＝－1处取得极大值， 极大值为f (－1)＝2.20．(本题满分12分)(1)求曲线y ＝2xx 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度．[解析] (1)y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′|x ＝1＝2－24＝0， 即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0. 因此，曲线y ＝2xx 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1. (2)S ′＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2′＋(2t 2)′＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t3＋4t ，S ′|t ＝3＝－19＋227＋12＝112627.21．(本题满分12分)(2018·重庆)已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )．由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪[32，＋∞)．22．(本题满分14分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的两交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
人教A高中数学选修同步作业：第3章 导数及其应用32 含解析
第三章 3.2一、选择题1．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝( D ) A ．193B ．163C ．133D ．103解析 因为f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，所以f ′(x )＝3ax 2＋6x .又因为f ′(－1)＝4，所以3a －6＝4，解得a ＝103.2．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(α)＝( A ) A ．sin α B ．cos α C ．sin α＋cos αD ．2sin α解析 因为f (x )＝sin α－cos x ，所以f ′(x )＝sin x ， 所以f ′(α)＝sin α.3．(2018·天津耀华中学调考)过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( A )A ．2x －3y －2π3＋32＝0B ．3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0D ．3x ＋2y －3π3＋1＝0解析 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32，∴过点P 且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的斜率为23，∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. 4．(2018·江西临川一中检测)若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( C )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0解析 因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0. 5．如图是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象，f ′(x )为f (x )的导函数，则函数g (x )＝e x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 由题图可知，0<f (0)＝a <1，①f (1)＝0，即1－b ＋a ＝0，②由①②可得1<b <2.易得g (x )＝e x ＋2x －b ， ∴g (0)＝1－b <0，g (1)＝e ＋2－b >0，又g (x )的图象连续不断，所以g (x )一定在(0,1)内存在零点．故选B ．6．已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝( A ) A ．36－4πB ．36－2πC ．36＋4πD ．36＋2π解析 ∵f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ， ∴f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫π3x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2f ′⎝⎛⎭⎫π3·⎝⎛⎭⎫π3＋cos π3， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π3＝36－4π，故选A ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋bx ＋c ，x ≥－1，f (－x －2)，x <－1，其图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则它在点(－3，f (－3))处的切线方程为____y ＝－2x －3____.解析 当x <－1时，－x －2>－1， 故f (－x －2)＝a (－x －2)2＋b (－x －2)＋c ＝ax 2＋(4a －b )x ＋4a －2b ＋c .由图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝2，即得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝3，2a ＋b ＝2，因此f (－3)＝9a －3(4a －b )＋4a －2b ＋c ＝a ＋b ＋c ＝3，f ′(－3)＝2a ×(－3)＋4a －b ＝－2a －b ＝－2， 故函数在点(－3，f (－3))处的切线方程为 y －3＝－2(x ＋3)，即y ＝－2x －3.8．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为____3____.解析 因为f (x )＝a x ln x ，所以 f ′(x )＝a x ln a ·ln x ＋ 1x·a x ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 9．若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(－1)f (－1)＝____－65____.解析 由题意得f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝－2， 所以f (x )＝－4x ＋x 2，f ′(x )＝－4＋2x ， 则f (－1)＝4＋1＝5，f ′(－1)＝－4－2＝－6， 所以f ′(－1)f (－1)＝－65＝－65.三、解答题10．(2018·南京师大附中调研)求满足下列条件的函数f (x )． (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 解析 (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3. 由f ′(0)＝0，得c ＝0. 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，可知f (x )是二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )，f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使对任意x ∈R 方程都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1. 11．求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－1x 3；(2)y ＝x 2ln x ；(3)f (x )＝x －x －3x ＋13x ；(4)y ＝1＋sin x 1－sin x.解析 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 4－1x 3′＝4x 3＋3x －4＝4x 3＋3x4. (2)y ′＝(x 2ln x )′＝(x 2)′ln x ＋x 2(ln x )′＝2x ln x ＋x 2·1x＝2x ln x ＋x .(3)∵f (x )＝x －x －3x ＋13x＝x 23 －x 16 －1＋x －13 ，∴f ′(x )＝23x －13 －16x －56 －13x －43 .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x 1－sin x ′＝cos x (1－sin x )－(1＋sin x )(－cos x )(1－sin x )2＝2cos x(1－sin x )2.12．已知函数f (x )＝e x (cos x －sin x )，将满足f ′(x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }，证明：数列{f (x n )}为等比数列．证明 f ′(x )＝[e x (cos x －sin x )]′＝e x (cos x －sin x )＋e x (－sin x －cos x )＝－2e x sin x . ∵f ′(x )＝0，∴－2e x sin x ＝0，又x 为正数，解得x ＝n π，n 为正整数， 即x ＝n π，n ＝1,2,3，….∴f (x n )＝e n π(cos n π－sin n π)＝(－1)n e n π， f (x n ＋1)＝(－1)n ＋1e (n ＋1)π，则f (x n ＋1)f (x n )＝(－1)n ＋1e (n ＋1)π(－1)n en π＝－e π，f (x 1)＝－e π.故数列{f(x n)}是首项为－eπ，公比为－eπ的等比数列．。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
导数及其应用练习题
导数及其应用定时练习姓名 分数一、选择题（每个5分，共50分）1.曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为（ ）A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)2.若13)()2(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ） A ．32 B ．23 C ．3 D ．2 3.f （x ）与g （x ）是定义在R 上的两个可导函数，若f （x ），g （x ）满足f ′（x ）=g ′（x ），则f （x ）与g （x ）满足（ ）A ．f （x ）=g （x ）B ．f （x ）－g （x ）为常数函数C ．f （x ）=g （x ）=0D ．f （x ）+g （x ）为常数函数4.函数f(x)=2x-cosx 在(-∞，+∞)上 （ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值5．y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于（ ）A ．6B ．0C ．5D ．16．函数y =x ln x 在区间（0，1）上是（ ）A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在（0，e 1）上是减函数，在（e1，1）上是增函数 D ．在（0，e 1）上是增函数，在（e1，1）上是减函数 7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 8. 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5Ｃ．2 Ｄ．32 10.R 上的函数，其中()f x 的导函数'()f x 满足'()()f x f x <对于x R ∈A ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f >> B ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f ><C ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <>D ． 22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <<二、填空题（每个5分，共25分）11.已知曲线y ＝x ＋x1，则y ′|x ＝1＝________． 12.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为__________13. 函数x xe y =的最小值为______________14.设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)= ______15. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表, ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4；②函数()f x 在[]02,上是减函数； ③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题（16题12分，17题13分）16．已知函数f(x)=x 2-6x+4lnx（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若方程f(x)=m 有三个实数根,求m 的取值范围。
导数及其应用(基础同步练习)
导数及其应用一、知识梳理：（一）导数概念及基本运算1、导数的几何意义：曲线y=f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数f ’（ x 0）就是过点（x 0，y 0）的切线的斜率,相应地，切线方程为2、几种常见函数的导数：'c = （c 为常数）； ()n x '= （R n ∈）；'(sin )x = ； '(cos )x = ；(ln )x '= ； (log )a x '= ；'()x e = ； '()x a =3、运算法则：'()u v ±= ；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (0)v ≠。
4、问题1：求下列函数的导数：（1）31()213f x x x =++ （2） cos x y e x = （3）2tan y x x =+问题2：cos y x x =在3x π=处的导数值是___________.问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 的切线方程。
（二）导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 .2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是注：若函数f (x )在点x 0处取得极值，则f ‘(x 0)= 。
导数及其应用同步练习附答案
导数及其应用同步练习附答案1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________．解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝11＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.答案：x －y －1＝07．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 018)＝________． 解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 018)＝12 018＋1＝2 0192 018.答案：2 0192 0188．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，。
人教版高三数学第二学期导数及其应用多选题单元达标同步练习
一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x +'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.7．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．8．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．9．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.10．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
高三数学精选导数及其应用多选题达标同步练习试题
高三数学精选导数及其应用多选题达标同步练习试题一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为334C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.3．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.8．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k > 【答案】ACD【分析】 求得函数的导数312ln ()-'=x f x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】 由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0x x -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以f f f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
《导数及其应用》同步练习3(人教A版选修1-1)
第三章 导数及其应用 单元测试A 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1.函数x x x f 62)(3-=的“临界点”是 A ．1B.1- C ．1-和1D. 02．函数x x x x f --=23)(的单调减区间是A ．（)31,-∞- B.),1(∞ C ．（)31,-∞-，),1(∞ D.)1,31(- 3.0x 为方程0)(='x f 的解是0x 为函数f(x)极值点的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是5.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时，原油温度（单位：)0C 为)50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 A ．8B.320C ．1-D. 8-二．填空（每题6分） 6．函数221ln )(x x x f -=在[]2,21上的极大值是 . 7．函数))2,0((cos 5)(π∈++=x x x x f 的单调增区间是 . 8．函数])2,0[(823)(23∈+-=x x x x f 的最小值是 . 9．已知函数)0(2)(3>+=a x ax x f ,则)(x f 单调递增区间是 . 三．解答题（13+14+14）10．已知函数1)(3+=x x x f ，定义域为（-2，-1）,求)(x f 的极小值.11．已知0>m ，函数mx x x f -=3)(在),2[∞上是单调函数，求m 的取值范围.ABC D12. 2007年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为x ，且 x ∈（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款. (1)写出小陈应支付的利息)(x h ;(2) 一年期优惠利率x 为多少时,利息差最大?B 组题（共100分）一．选择题（每题7分）13．若函数)(x f 在R 上是一个可导函数，则0)(>'x f 在R 上恒成立是)(x f 在区间),(∞-∞内递增的A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．某产品的销售收入1y (万元)是产量x (千台)的函数：2117x y =，生产总成本2y (万元)也是产量x (千台)的函数；)0(2232>-=x x x y ，为使利润最大，应生产 A ．6千台B. 7千台 C ．8千台D.9千台15．函数xe xx f -=)( ()1<<b a ,则 A ．)()(b f a f = B. )()(b f a f <C ．)()(b f a f > D.)(),(b f a f 大小关系不能确定16．函数b bx x x f 36)(3+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是A.（0，1）B.（-∞，1）C.（0，+∞）D.（0，21） 17．)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(<'+'x g x f x g x f且0)()(,0)2(<=-x g x f f 则不等式的解集为 （ ）A ．（－2，0）∪（2，+∞）B ．（－2，0）∪（0，2）C ．（－∞，－2）∪（2，+∞）D ．（－∞，－2）∪（0，2）二．填空：（每题6分）18. 设1=x 与2=x 是函数x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点.则常数a = . 19．函数ax x x f -=3)(在[1，+∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是____________. 20．在半径为6的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.21．设某种产品的成本与产量x 的函数关系是51161823++-=x x x y ,则产量为 时,该产品的边际成本最小. 三．解答题（13+14+14） 22．已知函数x xaax x f ln 2)(--=)0(≥a ，若函数)(x f 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；232，4），其导数经过点（0，-5）和（2，-1），当24、如图,一水渠的横断面是抛物线形，O 是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米 （1） 建立适当的直角坐标系，求抛物线方程. （2） 现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD ，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD 的下底AB 多大时，所挖的土最少？C 组题（共50分） 25.若a ＞3，则函数)(x f =123+-ax x 在(0，2)内恰有________个零点. 26．函数xxx f sin )(=，则 A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 27.已知b a ,为实数，且e a b >>,其中e 为自然对数的底，求证：abb a >28. 已知函数x x x f kln 2)1()(2⋅--=)(*N k ∈。
《导数及其应用》同步练习3(新人教A版选修2-2)
数学选修2-2第一章试卷一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2C ．2(x - 1)D ．x - 1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3limx f x f x x→--+=( )A ．3B ．23-C ． 13D ．32- 4. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 （ ）A.0B.1C.3D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x 6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B.52C. 3D. 2 7．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C.极小值－1，极大值3D. 极小值－2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J 11、一物体在力()41F x x =-(单位:N)的的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x=1m 处运动到x=3m 处, 则力()F x 所作的功为（ ）A. 10JB. 12JC. 14JD. 16J12、若函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则（ ）13、函数32()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是（ ）（A ）5 , －15(B )5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－1614、若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于（ ） A. 、321x -+ B 、1x + C.、4x - D 、323x x -+ 15、函数2sin(2)y x x =+导数是（ ） A..2cos(2)x x +B.22sin(2)x x x + C.2(41)cos(2)x x x ++D.24cos(2)x x +16、函数2()2ln f x x x =-的递增区间是 ( )A.1(0,)2 B.11(,0)(,)22-+∞及 C.1(,)2+∞ D.11(,)(0,)22-∞-及 二、填空题：（每题4分共24分）11．函数32y x x x =--的单调增区间为___________________________________。
人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》前两节同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作选修1－1第三章《导数及其应用》前两节同步练习1、在曲线y ＝x 2＋x 上取点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，那么ΔyΔx为 ( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )22、质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间3到3＋Δt 之间的平均速度等于 ( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt3、f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关而与x 0无关D ．与x 0、h 都无关4、已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2上一点，且f ′(x 0)＝6，则点P 的坐标为 ( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)5、下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是 ( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14 6、过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其切线方程为 ( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0D ．x ＋y ＋1＝07、已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定8、若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )9、设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 210、若函数f (x )＝e xx 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于 ( )A ．0B ．1 C.12 D ．不存在11、若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于 ( ) A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564 D ．－74或712、曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3 D ．y ＝－2x ＋113、某质点的运动方程为s ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为________． 14、已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →0f (1＋x )－f (1)x＝________. 15、曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．16、已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.17、函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________．18、若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，得a ＝________，b ＝________. 19、利用导数的定义，求出函数y ＝x ＋1x 在x ＝x 0处的导数，并据此求函数在x ＝1处的导数．20、已知函数f(x)＝x3＋3x2＋5，f′(x)是f(x)的导函数，y＝f′(x)在(－∞，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出这个最小值以及对应的x的值．若不存在，说明理由．21、一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2之间的平均速度．22、若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3.求这条切线的方程．23、求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.24、已知直线01=--yx与抛物线2axy=相切，求实数a的值。
高中数学《导数的实际应用》同步练习3 新人教B版选修2-2
导数的实际应用一、选择题1．下列函数在()-+，∞∞内为单调函数的是（ ） Ａ．2y x x =-Ｂ．y x = Ｃ．x y e -= Ｄ．sin y x =答案：Ｃ2．函数ln y x x =在区间(01)，上是（ ） Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数 Ｃ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调增函数 Ｄ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数答案：Ｃ3．函数23()(2)(1)f x x x =+-的极大值点是（ ） Ａ．45x =- Ｂ．1x = Ｃ．1x =- Ｄ．2x =-答案：Ｄ4．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（ ） Ａ．极大值为427，极小值为0 Ｂ．极大值为0，极小值为427- Ｃ．极大值为0，极小值为527-Ｄ．极大值为527，极小值为0答案：Ａ5．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ）Ａ．0 Ｂ．π6 Ｃ．π3 Ｄ．π2答案：Ｂ6．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）答案：Ｂ二、填空题7．函数22ln (0)y x x x =->的单调增区间为 ．答案：12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ 8．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ． 答案：122--，9．函数42()25f x x x =-+在[22]-，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：410．函数32()5f x ax x x =-+-在()-+，∞∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：13⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞11．函数543()551f x x x x =-++在[12]-，上的值域为 ．答案：[102]-，12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x 为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．答案：3654a a ，三、解答题13．已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+．证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x '=-=++． 0x >∵，()0f x '>∴． ()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，又2()362f x x ax b '=-+， ①(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数的解析式为32()f x x x x =--．由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13x <-或1x >时，()0f x '>； 当113x -<<，()0f x '<． 因此函数的单调增区间为13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．15．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040x x x y x x ++==++， 225000140y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．。
高三数学精选导数及其应用多选题同步练习
高三数学精选导数及其应用多选题同步练习一、导数及其应用多选题1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+ D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+， 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+ ()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.2．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.3．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+>⎪⎝⎭-【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；以B ，111(1)()110e F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.5．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.6．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立， 所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
人教A高中数学选修同步作业：第3章 导数及其应用333 含解析
第三章 3.3 3.3.3一、选择题1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( A ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值D ．有最小值解析 ∵f ′(x )＝2＋sin x >0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( C ) A ．π－1 B ．π2－1C ．πD ．π＋1 解析 y ′＝1－cos x >0，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递增， 所以f (x )m ax ＝f (π)＝π－0＝π.3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 ∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝( C ) A ．－32B ．12C ．－12D ．12或－32解析 y ′＝－2x －2＝－2(x ＋1)．故f (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减． 又f (－1)＝4，f (2)＝－5，令－a 2－2a ＋3＝154，得a ＝－12或－32.结合函数图象(图略)知a >－1.故a ＝－12.5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( A )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )解析 设F (x )＝f (x )－g (x )，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上是减函数，∴F (x )在[a ，b ]上的最大值为F (a )＝f (a )－g (a )．6．函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( A )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 解析 设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2＋a －x 2＋3x ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增．当x ＝3时，函数h (x )取得最小值．因为f (x )的图象始终在g (x )图象的上方，则有h (x )min >0，即h (3)＝a >0，所以a 的取值范围是(0，＋∞)．二、填空题7．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是____2____，最小值是____－2____.解析 ∵y ′＝4(x 2＋1)－2x ·4x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2.令y ′＝0可得x ＝1或－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.8．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为____92____，最小值为____－5027____.解析 由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－1)＝92，f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.9．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为____[4，＋∞)____.解析 因为x ∈(0,1]，所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝⎛⎭⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 三、解答题10．求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的最大值和最小值．解析 f ′(x )＝11＋x －12x .令1x ＋1－12x ＝0，化简得x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝1. 当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以f (1)＝ln 2－14是函数f (x )的极大值．又因为f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1>0，f (1)>f (2)． 所以f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值， f (1)＝ln 2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值．11．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x >0)，求证：当a ＝1时，f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．解析 (1)f ′(x )＝ax＋x (x >0)．若a ≥0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a <0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a . 由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x>0，得x >－a .由f ′(x )<0，得0<x <－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )．(2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，则a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x >0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x .令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增； 当x >1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．∴当a ＝1时，f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．12．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14. (1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围．解析 (1)由题意，得f ′(x )＝3x 2－3a . 由f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 3－3x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1；由f ′(x )<0，得－1<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)，单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)，知函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，又f (0)＝2，f (2)＝4.所以f(0)<f(2)，所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值f(x)m ax＝f(2)＝4.又∵g(x)＝－x2＋2x＋k＝－(x－1)2＋k＋1，∴函数g(x)在[0,2]上的最大值为g(x)m ax＝g(1)＝k＋1.∵对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使f(x1)<g(x2)成立，∴f(x)m ax<g(x)m ax，则4<k＋1，∴k>3.故实数k的取值范围是(3，＋∞)．。
人教A高中数学选修同步作业：第3章 导数及其应用3 含解析
第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝( C ) A ．－3 B ．－1 C ．3D ．1解析 由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线的斜率为y ′|x ＝2，又切线与3x －y －2＝0平行，所以y ′|x ＝2＝3.故选C ．2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( B )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( C ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析 由导数的定义得Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋11－12Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 则曲线在点P (1,12)处的切线斜率 k ＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， 故切线方程为y －12＝3(x －1)，令x ＝0，得y ＝9. 4．曲线f (x )＝2x －1x 在x ＝1处的切线的斜率为( D )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫2×1－11 ＝2Δx ＋1－11＋Δx ＝2Δx ＋Δx1＋Δx ，所以Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝2＋11＋Δx ，所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋11＋Δx ＝2＋1＝3， 所以f ′(1)＝3，即所求切线的斜率为3.5．一物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝－2t 2＋8t ，则这一物体在t ＝1 s 时的加速度为( B )A ．4 m /s 2B ．－4 m/s 2C ．6 m /s 2D ．－6 m/s 2解析 由导数的概念可求得速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)的函数关系为v (t )＝－4t ＋8，它在t ＝1时的导数就是这一物体在t ＝1时的加速度a ，所以a ＝lim Δt →0v (1＋Δt )－v (1)Δt ＝lim Δt →0 [－4(1＋Δt )＋8]－(－4×1＋8)Δt＝－4，故选B ． 6．从左向右看，函数f (x )＝2x 图象的变化情况为( C )A ．图象上升，上升速度相同B ．图象上升，上升的速度越来越慢C ．图象上升，上升的速度越来越快D ．图象上升，上升的速度先慢后快解析 如图，作出函数f (x )＝2x 的图象，则易知曲线f (x )＝2x 在x ＝t 1处的切线的斜率f ′(t 1)>0，在x ＝t 2处的切线的斜率f ′(t 2)>0.由于曲线在x ＝t 1处的切线的倾斜程度小于曲线在x ＝t 2处的切线的倾斜程度，且曲线f (x )＝2x 上每一点处的切线斜率均大于零，所以函数f (x )＝2x 的图象上升，且上升的速度越来越快．二、填空题7．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝____1____. 解析 由y ＝ax 2知，y ′＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2－ax 2Δx ＝lim Δx →0 a [2x Δx ＋(Δx )2]Δx ＝lim Δx →0 (2ax ＋a ·Δx )＝2ax ， ∴y ′|x ＝1＝2a ，即k 切＝2a .由切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，故a ＝1. 8．给出下列四个命题：①若函数f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②若函数f (x )＝2x 2＋1的图象上与点(1,3)邻近的一点为(1＋Δx ，3＋Δy )，则Δy Δx ＝4＋2Δx ；③瞬时速度是动点位移函数s (t )对时间t 的导数； ④曲线y ＝x 3在点(0,0)处没有切线． 其中正确的命题是____②③____.解析 ①f (x )＝x 在x ＝0处的导数不存在，④y ＝x 3在点(0,0)处存在切线，②③正确．9．如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____2____；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝____－2____.(用数字作答)解析 因为函数f (x )的图象过点A (0,4)和(4,2)，所以f (f (0))＝f (4)＝2.又函数f (x )过点A (0,4)，B (2,0)，则当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，所以lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝－2. 三、解答题10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．解析 (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． (2)当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，解得a ＝12127. 当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. 11．曲线y ＝x 2在哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0.解析 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． 12．(2018·湖南长沙一中检测)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 及其上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 与曲线y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 与曲线y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程． 解析 (1)y ′＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )]－(x 3－3x )Δx ＝3x 2－3， 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)(x 0≠1)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又直线l过点P(1，－2)，∴－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.故所求直线斜率k2＝3x20－3＝－94，于是直线l的方程为y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋1 4.。
人教A高中数学选修同步作业：第3章 导数及其应用332 含解析
第三章 3.3 3.3.2一、选择题1．f′(x0)＝0是可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由f′(x0)＝0不能推导出函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值，而可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值可以推导出f′(x0)＝0，故f′(x0)＝0应为可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(C)A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析由题意得y′＝3x2－6x－9.令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2<x<－1时，y′>0；当－1<x<2时，y′<0.故当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值．3．已知实数a，b，c，d成等差数列，且函数f(x)＝3x－x3的极大值为f(b)＝c，则a＋d ＝(D)A．－2B．2C．－3D．3解析f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，解得x＝±1，当x<－1或x>1时，f′(x)<0，当－1<x<1时，f′(x)>0，因此函数f(x)的极大值点是x＝1，又f(1)＝2，所以b＝1，c＝2，因为a，b，c，d成等差数列，所以a＋d＝b＋c＝3，故选D．4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(C)解析 ∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0， 当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0， 当－2<x <0时，xf ′(x )<0.故选C ．5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( C ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由题意，得f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )． 令f ′(x )＝0，解得x ＝b .因为函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，所以0<b <1，则当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0.所以实数b 的取值范围是{b |0<b <1}．6．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( D ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 解析 由题意，知x 2f ′(x )＋2xf (x )＝[x 2f (x )]′＝e xx. 令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，且f (x )＝g (x )x2，因此f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x －2g (x )x 3.令h (x )＝e x －2g (x )，则h ′(x )＝e x－2g ′(x )＝e x－2e x x ＝e x(x －2)x，所以当x ≥2时，h ′(x )≥0；当0<x <2时，h ′(x )<0. 从而有h (x )≥h (2)＝0，f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值． 二、填空题7．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是____(1，＋∞)____.解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x －a )(x ＋a )(a >0)，∴f ′(x )>0时，得x >a 或x <－a ；f ′(x )<0时，得－a <x <a . ∴当x ＝a 时，f (x )有极小值；当x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋2a <0，－a 3＋3a 3＋2a >0，a >0，解得a >1.8．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝____－2____，b ＝____－12____. 解析 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x ，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax＝0的两根，即是2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．∴由根与系数的关系知⎩⎨⎧－32b＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.9．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m ＝____－19____. 解析 y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4， 容易得出当x ＝4时函数取得极大值， 所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19. 三、解答题10．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异交点，求a 的取值范围． 解析 ∵y ＝x 3－3x ，∴y ′＝3x 2－3. 令y ′>0，解得x >1或x <－1； 令y ′<0，解得－1<x <1.∴y ＝x 3－3x 在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数． ∵x ＝－1时，y 极大值＝2；x ＝1时，y 极小值＝－2. ∴y ＝x 3－3x 的大致图象如图．y ＝a 表示平行于x 轴的一条直线．由图象知：当－2<a <2时，y ＝a 与y ＝x 3－3x 有三个相异交点． ∴a 的取值范围为(－2,2)．11．(2018·广东广州模拟)已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )． (1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.解析 (1)当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1. 又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明：因为f ′(x )＝3(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋2b 3，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点，所以x 3＝b . 因为a ＋2b 3－a ＝2⎝⎛⎭⎪⎫b －a ＋2b 3，所以x 2－x 1＝2(x 3－x 2)， 所以当x 4＝12(x 1＋x 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋2b 3＝2a ＋b 3时，x 1，x 4，x 2，x 3成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3.12．设函数f (x )＝(x －1)2＋b ln x ，其中b 为常数． (1)当b >12时，判断函数f (x )在定义域上的单调性；(2)当b ≤0时，求f (x )的极值点并判断是极大值点还是极小值点； (3)求证：对任意不小于3的实数n ，不等式1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n 都成立．解析 (1)由题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2＋bx＝2x 2－2x ＋bx＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋b －12x.当b >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当b ≤0时，f ′(x )＝0有两个不同的实数根， x 1＝12－1－2b 2，x 2＝12＋1－2b2. ∵x 1＝12－1－2b2≤0，∴x 1∉(0，＋∞)，舍去． 而x 2＝12＋1－2b2≥1，故x 2∈(0，＋∞)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.x ＝12＋1－2b2. (3)证明：当b ＝－1时，函数f (x )＝(x －1)2－ln x . 由(2)，知此时f (x )有唯一极小值点x ＝12＋1－2b 2＝1＋32， 且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32上为减函数．∵当n ≥3时，0<1<1＋1n ≤43<1＋32，∴恒有f (1)>f ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，即恒有0>1n2－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，∴当n ≥3时，恒有ln(n ＋1)－ln n >1n 2成立．令函数h (x )＝x －1－ln x (x >0)， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x.∴当x >1时，h ′(x )>0，又h (1)＝0， ∴当x ∈[1，＋∞)时，h (x )为增函数． ∵当n ≥3时，1<1＋1n ，∴h ⎝⎛⎭⎫1＋1n >h (1)， 即1n－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n >0， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n <1n. 综上可知，n ≥3时，恒有1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n.。
人教版导数及其应用多选题单元同步练习试题
人教版导数及其应用多选题单元同步练习试题一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．3．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x e π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x x g x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即34a e π>时，()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．4．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．5．函数()()320ax bx d af x cx=+++≠有两个极值点1x、()212x x x<，则下列结论正确的是（）A．230b ac->B．()f x在区间()12,x x上单调递减C．若()10af x<，则()f x只有一个零点D．存在x，使得()()()1202f x f x f x+=【答案】ACD【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x-==≥，B对，C选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a af--，，又23()(1)()333a a af x x x f-+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f-++--=-，∴函数()f x的图像关于点(())33a af--，成中心对称，C对，D选项，令0a c==得3()f x x x=-，()f x在(0)0，处切线方程为y x=-，且3y xy x x=-⎧⎨=-⎩有唯一实数解，即()f x在(0)0，处切线与()f x图像有唯一公共点，D错，故选：ABC．【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 7．定义在(0,)+∞上的函数()f x的导函数为()'f x，且()()f xf xx'<，则对任意1x、2(0,)x∈+∞，其中12x x≠，则下列不等式中一定成立的有（）A．()()()1212f x x f x f x+<+B．()()()()21121212x xf x f x f x f xx x+<+ C．()1122(1)x xf f<D．()()()1212f x x f x f x<【答案】ABC【分析】构造()()f xg xx=，由()()f xf xx'<有()0g x'<，即()g x在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x的单调性即可判断正误.【详解】由()()f xf xx'<知：()()xf x f xx'-<，令()()f xg xx=，则()()()2xf x f xg xx'-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.8．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.9．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
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2010级____班 姓名新青蓝小班《导数及其应用》同步练习三1、将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于 ( ) A.R R △334πB. R R △24πC. 24R πD. R R △π42、下列各式正确的是 ( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －63、下列函数在()-+，∞∞内为单调函数的是 （ ） Ａ．2y x x=- Ｂ．y x=Ｃ．x y e -= Ｄ．sin y x =4、函数ln y x x =在区间(01)，上是 （ ） Ａ．单调增函数 Ｂ．单调减函数Ｃ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在11e ⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调增函数Ｄ．在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，在11e ⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调减函数5、已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x ) ( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值6、若函数f (x ) ＝x ln x 在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在7、若函数f (x )＝x 3＋ax 2－9在x ＝－2处取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．58、函数y ＝13x 3＋x 2－3x －4在[－4,2]上的最小值是 ( )A ．－173 B.163 C ．－643 D ．－1139、若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1，在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]10、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为 A. 034=--y x B. 054--+y x C. 034=+-y x D. 034=++y x 11、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 取值范围为( )A ．m ＞12B ．m ＜12C ．m ≥12D ．m ≤1212、函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则 ( )A ．0<b <1B ．b <0C ．b >0D ．b <1213、质点M 按规律t t v 43)(+=做直线运动，则质点的加速度a=___________。
14、若函数f (x )＝x 3－f ′(1)x 2＋2x －5，则f ′(2)＝________.15、若f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是________． 16、已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 17、(本小题满分12分)已知曲线C ：3)(x x f =。
（1）利用导数的定义求)(x f 的导函数)('x f ； （2）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程。
18、(本小题满分12分)已知函数32()32f x x ax bx=-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．19、(本小题满分12分)判断函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．20、(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝(x ＋1)(1x－1)．21、(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值点．22、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)若a＝0，b＝2，求F(x)＝(2x＋1)f(x)的导数；(2)若函数f(x)在x＝0，x＝4处取得极值，且极小值为－1，求a，b的值；(3)试讨论“对x∈[0,1]，函数f(x)的图象上的任意一点的切线斜率k都满足k≥－1”成立的充要条件．答案1、B 。
提示：∵()334R R V π=，∴()()R V R R V y -+=△△()333434R R R ππ-+=△()()[]33223343334R R R R R R R ππ-+++=△△△()()3223444R R R R R △△△πππ++=∵△R 是一个很小的量，∴()2R △和（△R ）3非常小， ∴R R y △△24π≈。
2、C. 本题考察对函数的求导公式的理解和把握。
3、Ｃ4、Ｃ.解：函数的定义域是),0(+∞，1ln +='x y 。
令01ln >+='x y ，得ex 1ln1ln =->，∴ex 1>令01ln <+='x y ，得ex 1ln1ln =-<，∴ex 10<<5、C.解析： 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错； 在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错； 在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．6、A.解析： 因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．故选A.7、B ．解析： ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴f ′(－2)＝12－4a ＝0，∴a ＝3. 8、A ．解析： y ′＝x 2＋2x －3，令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1，分别计算f (－4)，f (－3)，f (1)，f (2)，比较大小，取其中最小的，故选A.9、D ．解析： f (x )＝－x 2＋2ax ，对称轴为x ＝a ，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上为减函数，由g ′(x )＝－a(x ＋1)2<0，得a >0.故0<a ≤1. 10、A11、C ．解析： f ′(x )＝2mx ＋1x －2，由题意，当x ＞0时，2mx ＋1x－2≥0，即2mx 2－2x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，令f (x )＝2mx 2－2x ＋1(x ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0－(－2)2×2m＜02m ＞0f (0)≥0或⎩⎨⎧2m ＞0Δ≤0，解得m ≥12.故选C.12、A ．解析： f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )在(0,1)内由负变正，即⎩⎨⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，则⎩⎨⎧－3b <0，3－3b >0.解得0<b <1.13、解析：速度关于时间的函数的导数是速度，速度关于时间的函数的导数是加速度。
答案：4.14、解析： f ′(x )＝3x 2－2f ′(1)x ＋2，f ′(1)＝3－2 f ′(1)＋2.∴f ′(1)＝53， f ′(2)＝3×22－2×53×2＋2＝223。
答案： 22315、解析： f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .∵f (x )在R 上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即3x 2＋2x ＋m ≥0.由Δ＝4－4×3m ≤0，得m ≥13. 答案： m ≥1316、解析： 对f (x )求导得f ′(x )＝e x－2，∴当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，∴f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，则函数有零点即f (x )min ≤0，∴2－2ln 2＋a ≤0，∴a ≤2ln 2－2. 答案： (－∞，2ln 2－2] 17、解：（1）)('x f ()()xxx x xx f x x f x x △△△△△△330lim)(lim-+=-+=→→()2223)(33lim xx x x x x =+⋅+=→△△△，（2）将1=x 代入曲线C 的方程，得1=y ，∴切点的坐标为（1，1）。
又∵切线的斜率313)1('2=⨯==f k ，∴过点（1，1）的切线的方程为()131-=-x y ，即023=--y x 。
18、解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，又2()362f x x ax b '=-+， ① (1)3620f a b '=-+=∴，②由①，②，解得1132a b ==-，．故函数的解析式为32()f x x x x =--．由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13x <-或1x >时，()0f x '>；当113x -<<，()0f x '<．因此函数的单调增区间为13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113⎛⎫-⎪⎝⎭，．19、解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝)3)(1(3-+x x 令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，得－4≤x <－1或3<x ≤4. 令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，得－1<x <3.∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数． 20、解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1x.(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1x －1)＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x ＝1－xx，总部 ：窑岭南宏景名厦B 座2楼（鸿铭中心旁）（0731）8428 2305长郡分校：南门口鸿信大厦6楼（长郡中学对面）（0731）8857 5422New Cyanine Education Adv isory (changsha) Co.,Ltd所以f ′(x )＝－1·x －(1－x )·12x x ＝－12x (1＋1x )．注：也可以f (x )＝(x ＋1)(1x －1)＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1xf ′(x )＝－)'(x +)'(21-x ＝－12x 2321--x＝－12x －xx 21-. 21、解析： (1)f ′(x )＝3x 2－3a (a ≠0)， ………………1分因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎨⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.………………3分解得a ＝4，b ＝24. ………………4分 (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，函数f (x )没有极值点； ………………7分 当a >0时，f ′(x )＝3(x 2－a )))((3a x a x -+= ，令f ′(x )＝0，得x ＝a -或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化状态如下表：x (－∞，－a ) －a (－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 极大值 极小值………………10分由表知，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，a )，(a ，＋∞)； 单调递减区间是(－a ，a )x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．…………12分22、解析： (1)F (x )＝－2x 4－x 3＋4x ＋2，∴F ′(x )＝－8x 3－3x 2＋4. ………3分(2)令f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0得x ＝0或x ＝2a 3. ∴2a3＝4得a ＝6，当x <0，f ′(x )<0，当0<x <4时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，f (x )达到极小值f (0)＝b ，∴b ＝－1. ………7分 (3)当x ∈[0,1]时，－3x 2＋2ax ≥－1恒成立．即g (x )＝3x 2－2ax －1≤0对一切x ∈[0,1]恒成立，只需⎩⎨⎧g (0)＝－1≤0g (1)＝2－2a ≤0，即a ≥1.反之，当a ≥1时，g (x )≤0对x ∈[0,1]恒成立． ∴a ≥1是k ≥－1成立的充要条件．。