2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：6.3不等式的证明(第3课时)
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2013届高考数学第1轮总复习3.2等差数列(第1课时)课件文(广西专版)
d
100，
3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数 列{an}有下列四个命题：
①若an=an+1(n∈N*)，则{an}既是等差数列 又是等比数列；
②若Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列； ③a,b,c成等差数列的充要条件是b=a+c2；
④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3mS2m(m∈N*)也成等差数列. 其中正确的命题是 ______(填上正确命题的序号).
得方程组 所以an=2n+10.
aa11
9d 30 ，解得
19d 50
a1 d
12 2
.
(2)由 得方程 Sn
na1
n(n -1) 2
d，Sn=242，
解得n=1121n， 或n(n2n-=1)-222(舍24去2，).
点评：一个等差数列是由两个基本量a1， d确定的，如an，Sn都可以化为这两个基本 量的式子，所以求解an或Sn的问题，一般是 通过条件得出a1，d的方程(组)，然后通过 解方程(组)求得a1和d，这体现了方程思想 在数列中的应用.
2. 已知{an}是等差数列,a1+a2=4，
a7+a8=28,则该数列的前10项和BS10等于( )
A. 64
B. 100
C. 110
D. 120
解：设数列{an}的公差为d,
则
解得
故
22aa11
d 13d
4
， 28
故ad1 选 21B..
S10
10a1
10 9 2
2013届高考数学第1轮总复习1.1集合的概念课件文(广西专版)
所以A UB，从而B UA.
题型1 元素与集合，集合与集合的关系 1. (原创)已知A={x|x≤ 3 2,x∈R}，
a= 15 ，b= 2 3, 则(
A. a∈A且b A
)
B. a A且b∈A
C. a∈A且b∈A D. {a} A且{b}A
解：由 15< 18= 3 2 及2 3= 12< 18
用符号“∈ A={y|y=x2+1,x∈N},B={(x,y)|y=x2-2x+2,x∈R},则：
(1)0_ __A;3.5_ __A;10___A;(1,2)__ _A. (2)(0,0)_ __B;(1,1)___B;2___B.
解：(1)A={y|y=x2+1,x∈N}是函数y=x2+1(x∈
所以A={x|x≥3}.又y=(b-2)2-1，b∈R，
所以y≥-1，所以B={y|y≥-１}，故A B.
参考题
题型 集合与元素关系的应用
1. 设 m ， n 是 整 数 ， 集 合 A={(x ， y)|(x-
m)2+3n≤6y}包含点(2，1)，但不包含点(1，0) 与(3，2)，求m及n的值.
解：因为(2,1)∈A,所以(2-m)2+3n≤6.①
又因为(1，0) A，(3，2)A，
所以(1-m)2+3n>0，② (3-m)2+3n>12.③
由①②得6-(2-m)2>-(1-m)2，解得 m - 3 .
由①③得 m - 1 , 又m∈Z，
2
2
所以m=-1,代入①,②得-4<3n≤-3,又n∈Z，
盘点指南：①确定性；②互异性；③无 序性；④列举法；⑤描述法；⑥图示法；⑦有 限集；⑧无限集；⑨R; ⑩Q; 11Z; 12N;
题型1 元素与集合，集合与集合的关系 1. (原创)已知A={x|x≤ 3 2,x∈R}，
a= 15 ，b= 2 3, 则(
A. a∈A且b A
)
B. a A且b∈A
C. a∈A且b∈A D. {a} A且{b}A
解：由 15< 18= 3 2 及2 3= 12< 18
用符号“∈ A={y|y=x2+1,x∈N},B={(x,y)|y=x2-2x+2,x∈R},则：
(1)0_ __A;3.5_ __A;10___A;(1,2)__ _A. (2)(0,0)_ __B;(1,1)___B;2___B.
解：(1)A={y|y=x2+1,x∈N}是函数y=x2+1(x∈
所以A={x|x≥3}.又y=(b-2)2-1，b∈R，
所以y≥-1，所以B={y|y≥-１}，故A B.
参考题
题型 集合与元素关系的应用
1. 设 m ， n 是 整 数 ， 集 合 A={(x ， y)|(x-
m)2+3n≤6y}包含点(2，1)，但不包含点(1，0) 与(3，2)，求m及n的值.
解：因为(2,1)∈A,所以(2-m)2+3n≤6.①
又因为(1，0) A，(3，2)A，
所以(1-m)2+3n>0，② (3-m)2+3n>12.③
由①②得6-(2-m)2>-(1-m)2，解得 m - 3 .
由①③得 m - 1 , 又m∈Z，
2
2
所以m=-1,代入①,②得-4<3n≤-3,又n∈Z，
盘点指南：①确定性；②互异性；③无 序性；④列举法；⑤描述法；⑥图示法；⑦有 限集；⑧无限集；⑨R; ⑩Q; 11Z; 12N;
2013届高考数学第1轮总复习 3.1数列的概念课件 文(广西专版)
进行讨论，如果n=1时的通项公式也符合n≥2 的式子，则可以合并成一个通项公式，如果 不能合并，则按分段形式写结论.
别在下列条件下求数列{an}的通项公式.
拓展练习 设数列{an}的前n项和为Sn，分
(1)Sn=3n-2; (2)Sn=n2+2n.
解：(1)当n=1时，a1=S1=1;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·n-1. 3
由于a1=1不适合上式，因此数列{an}的通
1(n 1) 项公式为an n-1 . 3 2 ( n N *，且n 2)
(2)当n=1时，a1=S1=3;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2+2n-(n-1)2-2(n-1) =2n+1.
因为a1=3满足上式，所以数列{an}的通 项公式为an=2n+1(n∈N*).
3. 已知数列的递推关系式求数列的通 项公式，解此类题型的方法一般是将已知的 递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或 转化为基本数列(等差或等比数列)的方法求 通项公式. 4. 数列中有两个重要变形，在适当条 件下，注意使用： (1)an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1);
an a2 a3 (2) an a1 (an≠0). a1 a2 an-1
1 n-1a = 3 3 由①-②得3 n an n 3
3
(n≥2).
所以
(n≥2).
1 验证n=1时也满足上式，故数列{an}的通项公式 an n 3
点评：数列是特殊的函数，数列的递 推关系式反映的就是函数的一个对应关系. 如果已知的是n=k时的命题，则n=k-1(k≥2) 时的命题，或n=1时的命题的相应形式我们 应该能准确的写出来，然后由这些式子经 过加减等运算得到我们所需要的递推关系 式或通项公式.
2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件2.8指数式与对数式
7
题型1 指数、根式的化简与求值运算 1.
2 1 1 3 -2 4 [(3 ) 3 - (5 )0.5 (0.008) 3 (0.02) 2 (0.32) 2 0.06250.25 ; (1)计算： 8 4 91
(2)化简： 4b
a 3 - 8a 3 b
2 3
2 3 ab a
第 二 章
函
数
1
2.8
指数式与对数式
考点
搜索
高考 猜想
●指数、对数运算及其互化
选择题中以较容易题的形式或 解答题以计算工具的形式出现.
2
一、根式
n x=①____ a ，n为奇数 xn=a (n∈N*,n＞1) (a＞0) x=②______ n a ，n为偶数 ； n n |a| 2 =④_____; ( a ) =③___; a a
2 3
1 3
6
4 已知 a 9
2 3 3 2
2 3
(a>0)，则log 2 a=_____. 3
3
方程4x+2x-2=0的解是_____. x=0 解：4x+2x-2=0 (2x-1)(2x+2)=0 2x=1 x=0.
22 3 2 2 解： (a ) [( ) ]2 a ( )3 log 2 a log 2 ( )3 3. 3 3 3 3 3
logb a
5
A. 6a B. -a C. -9a D. 9a 2 1 1 1 1 5 解： 2 1 1 1 5 1 1 3 3 6 6 -9a 3 2 6 b 2 3 6 2 2 ( a b )(-3 a b ) ( a b ) =-9a,故选C. 3
2013届高考数学第1轮总复习6.2均值不等式课件文(广西专版)
确的是( )
A. 当D且仅当x=y时，s有最小值
B.
当且仅当x=y时，p有最大值
2
s
p
2
C. 当且仅当p为定值时，s有最小4值
D. 若s为定值，则当且仅当x=y时，p2有p最
大值
解s 2：由均值不等式易得答案为D.
4
若x,y∈ ,x+y≤4,则下列不等式中成立的 是( )B
A. 1 1 xy 4
拓展练习
参考题
已知a、b、c∈R,求证：
a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c).
证明：因为 a2 b2 ( a b)2,
2
2
所以 a2 b2 2 | a b | 2 (a b).
2
2
同理, b2 c2 2 (b c), c2 a2 2 (c a).
3. 均值不等式有a2+b2≥2ab，
a+b≥
等形式，解题时要根据问题特点适a当2 选b2 用(a. b)2 ,
2 ab,(a b)2 ab
2
2
(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条 件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，
两个数的和或积是定值，有相等的可取值.
拓展练习已知a、b、c都是正数，且
a+b+c=1.求证：
3 a 2 3 b 2 3 c 26.
证明：因为
所以 同理，3有a
2
3a
(3a
2 (3a
a b 2 ab
不1 成 立1,故,选D.
a b 2 ab
2ab 2ab ab, a b 2 ab
2013届高考数学第1轮总复习2.11函数的应用课件理(广西专版)
• 某种新药服用x小时后血液中的残留量为y 毫克，如图为函数y=f(x)的图象，在x∈［0， 4］时为二次函数，且当x=4时到达顶点；在 x∈(4，20］为一次函数， 当血液中药物残留量不
小于240毫克时，治疗 有效.
• (1)求函数y=f(x)的解析式；
• (2)设某人上午8：00第一次服药，为保 证疗效，试分别计算出第二次、第三次 服药的时间.
• 从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20， 20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此 假设它们共线于直线l：Q=kt+b.
• 由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式为： Q=-t+40.
• 通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在 直线l上.
• 所以日销售量Q与时间t的一个函数关系式 为：Q=-t+40(0＜t≤30，t∈N*).
•
400-20x(4＜x≤20).
• (2)设x为第一次服药后经过的时间，则第一 次服药的残留量
• y1=f(x)= -20(x-4)2+320(0≤x≤4)
•
400-20x(4＜x≤20)，
• 由y1≥240，得 0≤x≤4
•
-20(x-4)2႐， • 解得2≤x≤4或4＜x≤8，所以2≤x≤8.
5， 4
f (x) x ，g(x) 5 x.
4
4
• 设投入乙产品的资金为x万元，投入甲产品 的资金为10-x(万元)，企业获得的总利润y万 元，则 y f (10 x) g(x) 10 x 5 x
44
x5 x5 44 2
1 (x 5)2 65 (0 x 10)， 4 2 16
2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件6.1比较代数式的大小(第1课时)
第六章
不等式
1
6.1
比较代数式的大小
●不等式的性质 考
●根据条件和性质判断不等式是否成立 点
的解决方法 搜
●作差法 索
●利用不等式的性质求“范围”
2
不等式的性质是历年高考重点考
高
查的内容.单纯的不等式性质题与函数 单调性综合的小综合题以及比较大小、
考 判断不等式能否成立、确定条件与结
猜 论之间的充要关系等为具体内容的不
当
0 3 4
x
x
1
1
①或
x 0
1 3 4
x
1
②时，logx
3x 4
＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜
4 3
，
15
即当当3 x1=＜1x，＜即43x时= ,4有时lo，gx有34xl＜og0x,31x+=l0o,gx3＜2logx2;
所以4 1+logx3=2lo3gx2.
17
拓展练习 已知a是实数，试比较 1 与
1+a的大小.
1- a
解：因为 1 - (1 a) a2 ,
1- a
1- a
(1)当a=0时，a2
1- a
0,
所以
1 1- a
1
a;
(2)当a＞1时，a 2
所以
0,
1
1 a;
1- a
1- a
(3)当a＜1，且a≠0时， a2＞0，所以
1
.
命题,可组成的正确命题的个数是( D )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：由ab＞0，bc-ad＞0可得
c a
不等式
1
6.1
比较代数式的大小
●不等式的性质 考
●根据条件和性质判断不等式是否成立 点
的解决方法 搜
●作差法 索
●利用不等式的性质求“范围”
2
不等式的性质是历年高考重点考
高
查的内容.单纯的不等式性质题与函数 单调性综合的小综合题以及比较大小、
考 判断不等式能否成立、确定条件与结
猜 论之间的充要关系等为具体内容的不
当
0 3 4
x
x
1
1
①或
x 0
1 3 4
x
1
②时，logx
3x 4
＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜
4 3
，
15
即当当3 x1=＜1x，＜即43x时= ,4有时lo，gx有34xl＜og0x,31x+=l0o,gx3＜2logx2;
所以4 1+logx3=2lo3gx2.
17
拓展练习 已知a是实数，试比较 1 与
1+a的大小.
1- a
解：因为 1 - (1 a) a2 ,
1- a
1- a
(1)当a=0时，a2
1- a
0,
所以
1 1- a
1
a;
(2)当a＞1时，a 2
所以
0,
1
1 a;
1- a
1- a
(3)当a＜1，且a≠0时， a2＞0，所以
1
.
命题,可组成的正确命题的个数是( D )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：由ab＞0，bc-ad＞0可得
c a
2013届高考文科数学第一轮考点总复习课件1
解：由 x2+x-6=0解得x1=-3， 1 x2=2， m 所以A={-3，2}. 1 1 2 , - -3 m 若m=0，则B=m ，符合条件 .
18
• 若BA，求实数m的值.
•
•
•
•
• •
1 m 即 3
1 1 . 3 综上所述，m =0或 2 或
1 m- . 或2
•
• •
题型1 元素与集合，集合与集合的关系
3 2,
1. (原创)已知A={x|x≤ 15 2 3, x∈R}， • a= ，b = 则( ) • A. a∈ b aA 且 18 3 A 2 2 3B. 12 18 15A且 b∈ 3 2A
•
C. a∈A且b∈A
11 {a}A D.
20
参 考 题
题型 集合与元素关系的应用
•
1. 设m，n是整数，集合A={(x， y)|(x-m)2+3n≤6y}包含点(2，1)，但不 包含点(1，0)与(3，2)，求m及n的值. 解： 因 为 (2,1) ∈A, 所 以 (2 m)2+3n≤6.① 又因为(1，0)A，(3，2)21 A，
解：因为选项 A 、 B、 C中表示 13 的集合分别为 {0} ， {x|x>0} ， {0} ，
题型2 元素互异性问题
•
2. 已 知 全 集 S={1,3,x3-x22x},A={1,|2x-1|}, 如果 SA={0} ，则 这样的实数 x 是否存在？若存在， 求出x的值；若不存在，说明理由. • 解：因为 SA={0},所以0∈S且 0A, • 所以x3-x2-2x=0，解得x=0或x=-1或 14 x=2.
• 5
6
18
• 若BA，求实数m的值.
•
•
•
•
• •
1 m 即 3
1 1 . 3 综上所述，m =0或 2 或
1 m- . 或2
•
• •
题型1 元素与集合，集合与集合的关系
3 2,
1. (原创)已知A={x|x≤ 15 2 3, x∈R}， • a= ，b = 则( ) • A. a∈ b aA 且 18 3 A 2 2 3B. 12 18 15A且 b∈ 3 2A
•
C. a∈A且b∈A
11 {a}A D.
20
参 考 题
题型 集合与元素关系的应用
•
1. 设m，n是整数，集合A={(x， y)|(x-m)2+3n≤6y}包含点(2，1)，但不 包含点(1，0)与(3，2)，求m及n的值. 解： 因 为 (2,1) ∈A, 所 以 (2 m)2+3n≤6.① 又因为(1，0)A，(3，2)21 A，
解：因为选项 A 、 B、 C中表示 13 的集合分别为 {0} ， {x|x>0} ， {0} ，
题型2 元素互异性问题
•
2. 已 知 全 集 S={1,3,x3-x22x},A={1,|2x-1|}, 如果 SA={0} ，则 这样的实数 x 是否存在？若存在， 求出x的值；若不存在，说明理由. • 解：因为 SA={0},所以0∈S且 0A, • 所以x3-x2-2x=0，解得x=0或x=-1或 14 x=2.
• 5
6
高考文科数学第一轮考点总复习课件 6.3 不等式的证明
“执果索因”.
▪
四、反证法
▪
假设所证不等式不成立，结
8
▪
五、用放缩法证明不等式经
常用到的方法技巧有：
▪ ___
▪ ▪
___
1. .k 1 - k
= ①_1 __ k 1 k
< 1② 2k
k122. < ③k(_k1-_1)_ = k1-④1- 1k___
；
1 k2
> ⑤_1__ . k(k 1)
⑥ =
1- 1 k k 1
▪
盘点指南：①=;②＜;③＜;④
=;⑤＞;⑥=
9
▪
若a、b是正数a ，b、则ab、2ab 、 a2 b2
这四个数的大小顺序2 是(
ab
)
2
A. ab a b 2ab a2 b2
2 ab
2
B. a2 b2 ab a b 2ab
2
2 ab
C. 2ab ab a b a2 b2
▪
二、综合法
▪
综合法就是从已知或已证明过
的不等式出发,根据不等式的基本性质
推导出欲证的不等式(由因导果).
▪
在证明时,还常要用到以下证题5
▪ 1.若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，
(a-b)2≥0. b a 2.
ab
▪ 2.若a，b同号，则
1 (a b)2.
2
▪ 3.平方和不等式：若a，b∈R，
▪
1. 已知△ABC的外接圆半径R=1，
S△14 ABC = ，a、b、c是三角s 形a的 b三 边c，，
令 t 1 1 1 .
abc
▪
SAB求C 证12 a：bsitn>Cs.
2013届高考数学第1轮总复习3.2等差数列(第2课时)课件文(广西专版)
又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上， 所以Sn=3n2-2n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］
=6n-5;
当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5. 所以an=6n-5(n∈N*).
(2)由(1)知 bn
3 an an1
3 (6n - 5)[6(n 1) - 5]
1 ( 1 - 1 ), 2 6n - 5 6n 1
故 Tn
n i 1
bi
1 [(12
1) (1 77
- 1 ) 13
( 1 - 1 )] 6n - 5 6n 1
1 (1- 1 ). 2 6n 1
因此，要使 1 (1- 1 ) m (n N*) 都成立,
0,Sn为其前n项和,且满足a2·a3=45，a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式；
{bn}也(2是)通等过差b数n 列nSn，c 构求成非一零个常新数的c；数列{bn}，使 (解3)：求(f1(n)由)=于(n a12b+5n )abn4=1 (an2+Na*3)=的14最，大值.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn
求使得Tn< 数m.
m 20
对ana3所n1 ,有Tnn是∈数N*列都{成bn}立的的前最n项小和正，整
解：(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f ′(x)=2ax+b.
由f ′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
1 2
d (常数)，其中n
=6n-5;
当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5. 所以an=6n-5(n∈N*).
(2)由(1)知 bn
3 an an1
3 (6n - 5)[6(n 1) - 5]
1 ( 1 - 1 ), 2 6n - 5 6n 1
故 Tn
n i 1
bi
1 [(12
1) (1 77
- 1 ) 13
( 1 - 1 )] 6n - 5 6n 1
1 (1- 1 ). 2 6n 1
因此，要使 1 (1- 1 ) m (n N*) 都成立,
0,Sn为其前n项和,且满足a2·a3=45，a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式；
{bn}也(2是)通等过差b数n 列nSn，c 构求成非一零个常新数的c；数列{bn}，使 (解3)：求(f1(n)由)=于(n a12b+5n )abn4=1 (an2+Na*3)=的14最，大值.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn
求使得Tn< 数m.
m 20
对ana3所n1 ,有Tnn是∈数N*列都{成bn}立的的前最n项小和正，整
解：(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f ′(x)=2ax+b.
由f ′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
1 2
d (常数)，其中n
2013届高考数学(文科)大纲版一轮总复习课件6.3不等式的证明(第1课时)
是______.
•
解：(x3+13a2x)-(5ax2+9a3)
•
=x3-5ax2+13a2x-9a3
•
=(x-a)(x2-4ax+9a2)
•
=(x-a)［(x-2a)2+5a2］＞0.
• 因为当x≠2a≠0时，有(x-2a)2+5a2＞0.
• 由题意知只需x-a＞0，即x＞a，以上
第一课时
题型1 用均值不等式证明不等式
ab
已知a、b∈ ，求
•
证a 明b ：2 因ab 为a、b∈R+，
•
所以 a b 1 2 ab 1 2 2 ab 1 2 2.
ab
ab
ab
•
所以
题型2
用比较法证不等式
•
2. 已知a＞0，b＞0b，a2 求ab2 证a b:.
•
证法1： b2 a2 - (a b) (b2 - a) ( a2 - b)
•
所ab以a+b＞2 ，从而2ab＞
2 ＞0，
•
所以 ＞1，即ab＞1.
•
1. 作差比较法证明不等式时，
通常是进行因式分解，利用各因式
的符号进行判断，或配方利用非负
数的性质进行判断.
•
2. 综合法证明不等式，主要
利用重要不等式，函数的单调性及
不等式的性质，在严密的演绎推理
下推导出结论.
证法2:由于 b2 a2 a b
a3 b3
a2 - ab b2 2ab - ab 1，
a b ab(a b)
ab
ab
b2 a2 0，a b0，
高考数学第1轮总复习 6.4不等式的解法(第1课时)课件 理(广西专版)
• 点评：解一元一次不等式的一般步骤是： 去分母、去括号、移项、合并、系数化 为1.去分母、去括号时不要漏乘；移项 时注意要变号；系数化为1时，如果系 数含参注意系数为负数或为零时的情况.
• 解关于x的不等式：ax+a2≥bx+b2(a，b∈R).
• 解:原不等式化为(a-b)x≥b2-a2=(b+a)(b-a). • 当a＞b时，则x≥ b2 -=a-2a-b， • 不等式的解集是［-a-ab-，b +∞)；
• 2.设不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)对应的方程 ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1＜ x2，则此不等式的解集为④(_x1_，__x_2)____.
• 注：(i)若不等式ax2+bx+c＞0(或＜0)中，a ＜0，可在不等式两边乘-1转化成二次项系 数为正的情况，然后再按上述1，2进行求解.
想 面貌出现在一些大、小综合题中，需
熟练掌握其解法.
• 一、一元一次不等式的解法
• 基本形式：ax＞b. • 当a＞0时，x＞ ;b当a＜0时，x＜ ;b • 当a=0时，若b≥0，a则①____x_∈_ ; a • 若b＜0，则②___x_∈__R. • 二、一元二次不等式的解法
• 1.设不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)对应的方程 ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1＜x2， 则此不等式的解集为③________________. (-∞,x1)∪(x2,+∞)
• 1．(教材第二册(上)习题6.4的第3题改编)
• 不等式
>0的解集为( )
• A. {x|x＜-2或x>3}
2013届高三数学(文)一轮复习方案课件第39讲不等式的证明
第39讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．比较法 (1)作差比较法 ①理论依据：a＞b⇔________ a－b＞0 ；a＜b⇔________ a－b＜0 ； ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． (2)作商比较法 a a＞b ； ①理论依据：a>0，b＞0，b＞1⇒________ a a<0，b＜0，b＞1⇒________. a＜b ②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系．
第39讲 │ 要点探究
[点评] 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的， 这是常规思路．
第39讲 │ 要点探究
变式题 c ＜2. a＋ b 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证：1＜ a b ＋ ＋ b＋ c a＋ c
[证明] 由于 a、b、c 为正数， a a b b c c 所以 ＞ ， ＞ ， ＞ ， b＋c a＋b＋c a＋c a＋b＋c a＋b a＋b＋c a b c a b c 所以 ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＝1. b＋c a＋c a＋b a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 又 a，b，c 为三角形的边，
第39讲 │ 不等式的证明
第39讲
不等式的证明
第39讲 │ 编读互动 编读互动
高考解答题中， 不等式证明的内容历来是高中数学中的一个难 点，题型广泛，涉及面广，证法灵活．不等式的证明在高考要求中 并不突出， 一般不会单独命题， 在知识点的交汇处命题是高考对本 讲内容的常规考法， 如不等式与函数、 数列、 解析几何、 三角函数、 向量、导数等知识结合在一起命制．因此，在不等式的证明中，强 化化归思想的复习， 证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结 论转化的过程， 既可考查学生的基础知识， 又可考查学生分析问题、 解决问题的能力，复习时要引起我们的重视．
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x -1 x - x 1
2
， x R，
则yx2-(y+1)x+y+1=0，①
(1)当y=0时，得x=1，符合题意；
(2)当y≠0时，则①式是关于x的一元二次方程. 由x∈R，得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥0， 解得-1≤y≤ ,且y≠0.
3 1
综合(1)(2),得-1≤y≤
1
3
,所以
-1
1 x 1 ( x 1) 1
2
1
x ( x 1)
2
.
令g′(x)=0，得x=0.
当x∈(-1，0)时，g′(x)＜0;
当x∈(0，+∞)时，g′(x)＞0.
所以g(x)在(-1，0)上是减函数，在(0， +∞)上是增函数，
故当x＞-1时，g(x)≥g(0)=0，
即 ln ( x 1) - (1 1 x 1 x 1 1 1 ln ( x 1) x . 综上知， x 1 ) 0，故 1 -
题型7 用换元证不等式 2. 已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab3b2|≤20. 证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4， 所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r ≤2， 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ| =r2|5cos(2θ+arctan 所以原不等式成立.
x -1 x - x 1
2
1 3
.
参 考 题
题型 不等式与函数的综合应用 已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x＞-1，证明:
11 x 1
≤ln(x+1)≤x.
1 x 1 -1 -x x 1 .
f 证明： ( x )
令f ′(x)=0，得x=0.
当x∈(-1，0)时，f ′(x)＞0;
当x∈(0，+∞)时，f ′(x)＜0.
所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数，在区间 (0，+∞)上是减函数. 所以当x＞-1时，f(x)≤f(0)=0， 即ln(x+1)-x≤0，故ln(x+1)≤x. 令 g ( x ) ln ( x 1) - (1 - x 1 )， 则 g ( x )
第 六 章
不
等
式
6.3
不等式的证明
第三课时
题型6
用反证法证不等式
1. 已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b， 1 (1-b)c，(1-c)a不能同时大于 4 . 证法1：假设三式同时大于 4 ，
1
即有(1-a)b＞ ，(1-b)c＞ ，(1-c)a＞ , 4 4 4 1 三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞6 4 . 又(1-a)a≤(
已知a,b,c∈R,求证：a2-2c,b2拓展练习 2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1. 证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c＜1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加， 得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3， 所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0， 即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0， 这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0，矛盾. 故结论成立.
r s in 2 r (1 s in 由-1≤sin2θ≤1，得 - 2≤1- 2 )， sin2θ≤ 2
2 2
r
2
1
.
3 2
又1≤r2≤2，所以
即
1 2
≤r2(12
1 2
1
1 1
sin2θ)≤3， 2
2
≤x2-xy+y2≤3.
题型8 3. 求证：
3 1
2 2
判别式法证不等式
x - x 1 x x 1
3 1
综合(1)(2)，得 ≤y≤3，即
3
1
1 3
x - x 1
2
x x 1
2
3.
点评：与二次式有关的不等式证明，可通 过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充 要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的 不等式.
-1 拓展练习 求证：
x -1 x - x 1
2
1 3
.
证明：令 y
x - x 1
2 2
3.
，
证明：令 y
x x 1 则yx2+yx+y=x2-x+1.
x∈R，
于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①
(1)若y=1，则x=0，符合题意；
(2)若y≠1,则①式是关于x的一元二次方程.
由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0， 解得 ≤y≤3且y≠1.
可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).
拓展练习
xy+y2≤3.
已知1≤x2+y2≤2，求证：
≤x22
1
证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,则
x - x y y r c o s - r c o s s in r s in
2 2 2 2 2 2 2
1- a a 2 2
1
1
1
)=
1 4
，
1
同理，(1-b)b≤
1
，(1-c)c≤ 4
1 64
， 4
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ，
因此与假设矛盾，故结论正确.
证法2：假设三式同时大于 .
4 1
因为0＜a＜1，所以1-a＞0，
所以
(1 - a ) b 2
(1 - a ) b
4 3
)|≤5r2≤20.
点评：换元法一般有代数式的整体换元、 三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取 值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元 有：若x2+y2=a2，可设x=acosθ，y=asinθ；若
x a
2 2
Байду номын сангаас
y b
2 2
1， 可设x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，
1
ln ( x 1).
点 石成金
1. 在已知中如果出现两数相加等于一 个正常数，可联想到公式sin2α+cos2α=1，进 行三角换元. 2. 含有字母的不等式证明，可以化为一 边为零，而另一边为某个字母的二次三项式， 考虑判别式. 3. 有些不等式，从正面证如果不易说 清楚，可以考虑反证法.凡是有“至 少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适 宜用反证法.
1 4
1 2
.
1 (1 - b ) c (1 - c ) a 同理， 都大于 、 2 2 2
.
三式相加得
3 2
＞
3 2
，矛盾.
故假设不成立，从而原命题成立.
点评：证明有关“至少”“最多”“唯一” 或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证 法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾 (得出结论).