一元二次方程9根与系数的关系1从实例归纳 没有用求根公式推导 作为习题课更佳
人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
x1,2 b
b2 4ac 2a
思考三：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1 x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ;
6. (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2.
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.
重要结论
2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
15
b
c
x1 x2 a , x1x2 a .
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个
根的积等于常数项与二次项系数的比．
7
例题：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积：
(1) x2－6x－15＝0； (1) x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
，c= .
4.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=
；
若两根互为倒数，则q=
一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学上册(人教版)
归纳和判断的能力.
复习引入
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1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax +bx +c 0 a 0
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 2 4ac 2
x
b 4ac 0
2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
Δ 0 方程有两个不等的实数根；
a
互动新授
人教版数学九年级上册
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
c
b
x1 x2 ，x1 x2 .
a
a
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的
积等于常数项与二次项系数的比.
如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)
(3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)方程化为2x2-4x+1=0.
−
x1+x2=- =2，x1x2= .
拓展训练
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1.已知方程 + + + = 的两个实数根x1，x2，且
+ = ,求k的值.
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为
已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能
看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，
得方程
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿
人教版九年级数学上册21.3.1《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版九年级数学上册第21章第3节的内容。
本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过观察、分析、归纳等数学活动，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的内在联系。
为学生提供了进一步研究一元二次方程的机会，培养了学生的抽象思维能力和数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法和因式分解的方法，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对于一元二次方程的根与系数之间的关系可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的数学素养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能运用这一关系式解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的抽象思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体验数学的乐趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、讨论法、归纳法等教学方法，引导学生主动探究，发现并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的解法和因式分解的方法，引出本节课的内容，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：让学生分组进行探究，观察、分析、归纳一元二次方程的根与系数之间的关系。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
3.成果展示：让学生代表汇报探究成果，其他学生进行评价、补充。
第8讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(基础课程讲义例题练习含答案)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值． 【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3．（•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．（•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．（•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，∵12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2760x x ++=； （2）22320x x --=．【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123,12x x x x +==-【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）这里1,7,6a b c ===．22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，∵方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是12,x x ， 那么12127,6x x x x +=-=． （2）这里2,3,2a b c ==-=-．22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12123,12x x x x +==-．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b cx x x x a a+=-=是解题的关键．【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.【答案】2550x x -+= 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨⎩，解得a=5b=6-⎧⎨⎩，因为甲抄错常数项，所以取a=5-同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，综上可得原方程为2550x x -+=解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．类型二、由根与系数关系求参数的值2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，求m 的值．嘉佳的解题过程如下： 解：221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-， 整理，得2230m m --=， 解得121,3m m =-=．嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】m 的值为1-． 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得14m． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．举一反三：【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析【分析】根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥， 解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-，∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，∵0k ≥，∵不存在常数k ，使122132x x x x +=成立． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．【变式2】 已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．【答案】10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .解：x 2+4x -2m=0设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0， 且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0此时方程为x 2+4x=0， 解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程220x x m -+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m ≤；（2)34m = 【分析】（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围； （2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ． 解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵()22424440b ac m m =-=--=-≥， 解得1m ≤；（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵12313224m x x ==⨯=．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=． （1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）若221268x x +=，求k 的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18． 【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．2(8)0k -，0∴∆，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2221212122x x x x x x +=++，2(8)6816k k ∴+=+，解得2k =±；（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，∴周长为88521++=．∵当底边长为8时，5k =．55108+=>∴能构成三角形，周长为55818++=．综上，这个等腰三角形的周长为21或18．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝ca．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】 已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值． 【答案】（1）见分析 （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭()2217k =++，∵无论k 为何实数，()2210k +≥， ∵()22170k +∆=+>，∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=， ∵()2129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，∵()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=，解得0k =，2-．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值． 解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7） ＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7） ＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值． 解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0， 又∵pq ≠1，∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求： （1）mn 的值； （2）2211m n +． 【答案】(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值； （2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．解：由22m 5m 10--=知m≠0，∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根， （1）由1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得112m n⋅=-， ∵12mn =-；经检验：12mn =-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）12-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；解：（1）∵x2﹣2x＝0，∵x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）∵m＜0∵2m＜0解得：x1＝2m，x2＝1，方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，所以2m ＝﹣1，解得12m =-．（3）存在．直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．类型五、根与系数关系拓展应用25、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．(1)求直线AC 的解析式；(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．【答案】(1)132y x =+； (2)22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；(3)m 的值为－3或－1或2或7；【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，∵OB ＝1，OC ＝6，∵()10B ,，()6,0C -， ∵CO ＝2AO ，∵OA ＝3，∵()0,3A ，设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q=⎧⎨=+⎩， 解得33p q =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当60a -<<时，()21772162242S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭， 当0a >时，()21772162242S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10B ,，(),2M m ， ∵AB ==AM ==，BM =当∵MAB =90°时，222AM AB BM +=，∵222+=， 解得3m =-，当∵ABM =90°时，222AB BM AM+=，∵222+=， 解得m =7， 当∵AMB =90°时，222AM BM AB +=，∵222+=， 解得11m =-，22m =，∵m 的值为－3或－1或2或7．【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．(1)求线段AC 的长；(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．【分析】（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解； （3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，∵OA ＝2，OC ＝7，∵A （2，0），C （﹣7，0），279.AC(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，1OH ∴=，3PH = ，6CH =设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），∵32k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，∵C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线CP 解析式为1722y x =+， 设17,22E t t ， ∵DE ＝1722t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝11172+31+132222t t 217317424t t t ；综上，()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；图1 图2(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，∵A （2，0），B （0，2），∵∵OAB ＝45°，∵四边形AMPN 是正方形，∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，∵∵OAB +∵P AN ＝90°，∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，∵N （2，3）；∵AP 为正方形的边时，如图4所示，∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，∵HN ＝PH ＝3，∵N （-4，0）；如图5所示，四边形ANMP 是正方形，∵PH ＝NH ＝3，∵()1,3N --；∵N （-4，0）或（-1，-3），综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．图3 图4 图5【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式2】 菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．【答案】3m =-．【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC BD ⊥，在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∵222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=，由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∵[]()22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵0∆>，∵()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∵3m =-．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
《一元二次方程根与系数的关系》说课稿、教案设计、导学案
设计者：陈武校目录1、《一元二次方程根与系数的关系》说课稿 (2)2、《一元二次方程根与系数的关系》教学设计 (5)3、《一元二次方程根与系数的关系》导学案 (9)《一元二次方程根与系数的关系》说课稿单位：博罗县福田东湖学校说课者：陈武校尊敬的各位评委老师上午好：我是来自福田东湖学校的陈武校，今天我要说课的内容是《一元二次方程根与系数的关系》。
下面，我将从说教材、说教法学法、说教学过程、说板书设计这四个部分进行说课。
第一部分：说教材首先，说本课的地位和作用。
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。
其次，说教学目标。
根据本教材的结构和内容分析，结合着九年级学生他们的认知结构及其心理特征，我制定了以下的教学目标：1、知识目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用。
2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。
3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
最后，说教学重点和难点。
本着一元二次方程的根与系数的关系新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点。
重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。
重点的依据是只有掌握了一元二次方程根与系数的关系，才能进一步运用根与系数解决相关数学问题。
难点：对根与系数的关系的理解和推导。
难点的依据是对根与系数的关系需要进行深层次的演绎推导过程才能得出结论，学生没有一定的运算能力较难展开。
为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法学法上谈谈。
第二部分：说教法学法。
为了体现“以学生为主体”的教育理念，采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，
x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0 ； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 已知关于 x 的一元二次方程 x²＋ax＋a - 5 = 0，若该方程的一
个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解: 将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
随堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = 1
2
1
1 x1 x2 x1 x2
1
x1 x2
x1 x2
16
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数
根x1,x2.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
《一元二次方程的根与系数的关系》参考学案
《一元二次方程的根与系数的关系》导学案学习目标1、了解一元二次方程根与系数的关系，提高利用这种关系解题的能力；2、通过自主学习，合作探究，学会利用根与系数的关系解题的方法。
重点：根与系数关系的推导。
难点：根与系数关系的应用。
1、一元二次方程的一般形式是什么2、解一元二次方程有哪些常见方法3、如何判断一元二次方程根的情况1、请写出一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式；2、方程2x 2-3x+1=0的解有几个它的解与方程的系数有关系吗3、你通过观察、归纳、猜想，能发现一元二次方程的根与系数的关系吗1、方程x 2-6x+8=0两根之和是_______，两根之积是________；2、方程2x 2-5x+2=0的两根之和是_______，两根之积是________；3、已知x 1、 x 2是方程x 2+px+q=0的两根，则x 1+x 2=_______，x 1x 2=_________。
课前预习 一 二 三1、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么2、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)一定有实数根吗3、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的根与系数究竟存在怎样的关系探究一、填空方 程两根x 1 、x 2的值 两根之和x 1 +x 2 两根之积x 1 .x 2x 1 x 2 x 2+5x+6=0x 2-8x-9=03x 2-4x+1=06x 2+7x-3=01、根据上表猜想一元二次方程的根与系数的关系2、 归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)根与系数的关系：探究二、一元二次方程根与系数的关系的应用例1、已知方程5x 2+kx-6=0=0有一个根为2，求另一个根和k 的值；课中探究一 二例2、若方程x 2+x-1=0的两根为x 1 、x 2，不解方程，利用根与系数的关系计算下列各式的值(1) x 12x 2+x 1x 22 (2) x 12+x 22 (3)11x +21x一元二次方程的根与系数的关系12⎧⎨⎩、关系：、应用：1、已知x 1 、x 2是方程x 2-x=3x+5的两根，则两根之和x 1 +x 2=________， 两根之积x 1 .x 2=________ ， (x 1-2)(x 2-2)=___________；2、以2+1，2-1为根的一元二次方程是________________________；3、已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=_________。
初中数学一元二次方程根与系数的关系(教案)
一元二次方程的根与系数的关系（一）教学内容：一元二次方程的根与系数的关系 教学目标：知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 情感与态度目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重、难点：重点：根与系数的关系及其推导．难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
教学程序设计： 一、复习引入：1、写出一元二次方程的一般式和求根公式．请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。
对出错严重之处加以强调。
2、解方程①x 2-5x ＋6＝0，②-2x 2-x+3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。
二、探究新知推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1+x 2（2）x 1*x 2 板书推导过程。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么：a cx x a b x x =⋅-=+2121,教师举例说明，学生理解记忆。
三、反馈训练应用提高练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．根据题目的计算难易选择不同层次的学生回答，对答对的同学给与充分的表扬，对答错者应引导其掌握方法，并多给一次机会，让其得以消化和巩固，同时增强学生自信，提高学习积极性。
反思（1）（2）导出结论2：如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．注意：结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．四、一元二次方程根与系数关系的应用：1、验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）x2-6x＋7＝0；（-1，7）（2）-3x2-5x＋2＝0；（5/3，-2/3）（3）x2+9＝6x （3，3）要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。
(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系（胡雯雯）一、教学目标 （一）核心素养本节是一元二次方程的解法的最后一节课.在之前一元二次方程的解法已经掌握的基础上，学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神. （二）学习目标1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. （三）学习重点一元二次方程根与系数的关系 （四）学习难点对根与系数关系的理解和推导 二、教学设计 （一）课前设计 预习任务 1：填写下表.你发现的规律是 a =1时，若一元二次方程有实根（∆≥0）两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项 （文字表达）；结论： a =1时， 1212,x x b x x c +=-⋅=（用字母表达）. 2：填写下表.观察上面的计算结果，你发现的规律是 若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.（文字表达）；结论： 若一元二次方程有解x 1，x 2（∆≥0），则1212,b c x x x x a a⋅+=-=（用字母表达）. 预习自测1.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =_____,12x x ⋅=______. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =3，2x =-1.进而得到1x ＋2x =2，12x x ⋅=-3. 【思路点拨】解出方程的根即可得解. 【答案】1x =3，2x =-1；1x ＋2x =2，12x x ⋅=-32.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =__,12x x ⋅=____. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =32，2x =-1.进而得到1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.【思路点拨】解出方程的根即可得解.【答案】1x =32，2x =-1； 1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.3.一元二次方程220x x m --=的一个解是-1,则另一个解__________. 【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵-1是方程的一个解，而1x ＋2x =2, ∴2x =3【思路点拨】根据两根之和和其中一根可求出另一根. 【答案】34.一元二次方程2260x mx --+=的一个解是1, 则m=__________.【知识点】根与系数的关系 【解题过程】∵12x x ⋅=-3，1x =1, ∴2x =-3, ∴1x ＋2x =-2 ∴m =4【思路点拨】方程中a ，c 确定，即可确定两根积；从而可得到另一根，进而得出两根和，由此得到m 的值. 【答案】4 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax （2）一元二次方程根的判别式:ac b 42-=∆（3）一元二次方程的求根公式：2(40)2b x b ac a-=-≥ 2.问题探究探究一 一元二次方程根与系数的关系定理的猜想与证明 ●活动①大胆猜想，探索新知 回顾预习活动中的表格猜想：一元二次方程)0(0≠=++a c bx ax 的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 师问：方程220x x ++=,2210x x ++=有上述特征吗？ 生答：没有.因为上面两个方程的判别式小于0，故方程无实根.总结：上面猜想的规律的前提是一元二次方程有实根，即240b ac -≥【设计意图】鼓励学生大胆猜想，引导学生由观察得到的初步认识，再从特殊到一般，体会数学结论的正确性和逻辑推理的严密性. ●活动② 从特殊到一般，严密推理推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．（请学生小组讨论，并形成小组结论）设x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1＋x 2（2）12x x ⋅. 故有：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,当240b ac -≥时，它的两根12,x x 满足注：①使用条件：D ³0②注意符号【设计意图】引导学生从前面的感性认识，逐步推广到一般情况，锻炼数学严密的逻辑思维能力.探究二 一元二次方程根与系数的关系定理的应用 ●活动① 熟练掌握根与系数的关系（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 【知识点】一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】（1）∵a =1，b =-2，c =1 ∴1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）∵a =1，b =-9，c =10∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）∵a =4，b =-7，c =1（4）先整理为一般式：290x x -＝∵a =1，b =-9，c =0∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【思路点拨】寻找一元二次方程的两根和与积，首先要化为一般式，找准各项系数，同时，要注意使用定理的前提是判别式Δ≥0.【答案】（1）1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）1x ＋2x =74，12x x ⋅=14.（4）1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【设计意图】更加熟练掌握根与系数的关系 ●活动② 已知方程一根，求另一根．例1：已知方程2560x kx -=+的根是2，求它的另一根及k 的值． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵2是方程的一个解，而12x x ⋅=65-,∴k =-7【思路点拨】根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值. 【答案】-7【设计意图】此题有多种解法，可请同学展示多种方法，从中比较各种方法的优劣性，从而认识到根与系数关系的应用价值. ●活动③ 已知方程两根，求待定系数值.例2：已知方程230x nx m +=-的两个根是1和3，求m ，n 的值． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【解题过程】∵1和3是方程的两个解，而12x x ⋅=33m=, ∴1x ＋2x =3n =4∴n =12【思路点拨】根据两根可求出两根之积与两根之和，进而得出待定系数的值. 【答案】9m =，n =12【设计意图】复习上例中方法，更多地体现根与系数的关系的应用价值.探究三 综合应用●活动① 由根与系数的关系求相关代数式的值 例3：已知2,1x x 是一元二次方程3742+=x x 的两根，则 【知识点】一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的应用 【解题过程】首先化为一般式24730x x --=，可由根与系数关系得到两根和与两根积1274x x +=，1234x x ⋅=- 【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】7373773,,,,,3,44163124---练习：已知x 1，x 2是方程22310x x +-＝的两个根，试求： （1）221212x x x x ＋ (2) 112222x x x x +⋅+. 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1232x x +=-，1212x x ⋅=-【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】37,42-【设计意图】通过前面的训练，同学们已经对根与系数的关系有了初步的了解，此例题的目的在于巩固前面的知识，并能和完全平方公式相关的式子进行灵活求解.●活动2 根与系数的关系中的整体思想例4．设a 、b 是方程220170x x +-=的两实数根，则22_______.a a b ++= 【知识点】根与系数的关系 【数学思想】整体思想【解题过程】由根与系数的关系可知，而a 是方程的一个根，故有220170a a +-=，即2=2017a a +.所以222()()a a b a a a b ++=+++=2019. 【思路点拨】将所求的代数式分解成可求的代数式 【答案】2019练习：设21,x x 是方程220160x x --=的两实根，求31220172016x x +-的值.【知识点】根与系数的关系 【数学思想】整体思想 【解题过程】∵1x 是方程220160x x --=的解，∴21120160x x --=. 即2112016x x =+，故原式=112(2016)20172016x x x ++- =2019.【思路点拨】降次，将所求代数式分解成可求的代数式. 【答案】2019【设计意图】能够在较为复杂的代数式中分离出可整体求出的式子，从而整体代入求解.●活动3 含参方程的根与系数的关系例5．已知2(1)40x m x m +--+=的两实根的平方和为2，求m . 【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】∵22222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=---+=-=，∴m =±3. ∵22(1)4(4)2150m m m m ∆=---+=+-≥，∴m =3【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式Δ≥0. 【答案】3.练习：已知22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实根； ①求k 的取值范围②是否存在k ，使两根的倒数和等于0？【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 【解题过程】（1） k ≠0，且24(1)4(1)1240k k k k ∆=+--=+>，∴13k >-且0k ≠.（2）121212110,x x x x x x ++==⋅则122(1)0k x x k++==，即1k =-，故不存在.【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式≥0.【答案】(1) 13k >-且0k ≠. (2)不存在【设计意图】通过对含参方程的分析，提高学生符号计算的能力. 同时，加强对一元二次方程根与系数的关系的应用，注意前提：判别式Δ≥0的理解. 3. 课堂总结 知识梳理（1）若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）应用一元二次方程根与系数关系的前提是判别式Δ≥0 重难点归纳（1）一元二次方程根与系数的关系（2）隐含条件：二次项系数不为0，判别式非负. （3）常见题型：①不解方程，判断方程两根的和与积；②已知方程和方程一根，求另一个根及字母系数；方法：根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值.③不解方程求含有方程两根的式子的值.方法：先得出两根和与积，再通过完全平方公式等数学公式，或一些特殊结构整体代入求值.（三）课后作业 基础型 自主突破1．判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）2670x x +=-； （-1，7）（2）23520x x --+=； （52,33-）（3）296x x += （3，3） 【知识点】根与系数的关系【解题过程】（1）-1×7≠7，故不是；（2）525()333+-≠-，故不是；（3）先化为一般式2690x x +=-， 3+3=-6,3´3=9，故是．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系1212,b cx x x x a a+=-⋅=判断.【答案】（1）、（2）不是，（3）是2. 一元二次方程 x 2+3x +2=0的两个根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2＋3x ＋2=0的二次项系数a =1，一次项系数b =3，∴x 1+x 2=-ba =-3．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系12bx x a+=-，解答即可【答案】－3．3.已知关于x 的方程 x 2+px +q =0的两根为－3和－1，则p = ，q = ． 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程x 2＋px ＋q =0的两根为－3和－1， ∴－3＋（－1）=－p ，（－3）×（－1）=q ， ∴p =4，q =3．【思路点拨】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【答案】4；3．4. 已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．－3 B ．－2 C ．3 D ．6【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2＋t =－1，解得t =－3， 即方程的另一个根是－3．【思路点拨】设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2＋t =－1，然后解一元一次方程即可． 【答案】A ．5.已知实数x 1，x 2满足121211,30x x x x +==⋅，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．211300x x +=-B ． x 2+11x +30=0C. 211300x x +-= D ．211300x x -=- 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，∴一元二次方程中：11ba =-， c a=30． 当a =1时，11,30b c =-=．【思路点拨】根据根与系数的关系结合两根之和及两根之积的即可得出,ca=30，当a =1时，即可找出b 、c 的值，此题得解． 【答案】A ．6.若x 1，x 2是方程22210x mx m m -+-=- 的两个根，且12121x x x x +=- ，则m 的值为（ ）A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．1 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1=0的两个根，∴2211m m m =---（） ，即()22210m m m m +-=+-=（），解得：1221m m =-=， ．∵方程22210x mx m m -+-=- 有实数根， 解得：m ≥－1． ∴m =1．【思路点拨】根据根与系数的关系结合12121x x x x +=-，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值． 【答案】D ． 能力型 师生共研7.设x 1，x 2是方程 2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1） (x 1+1)×(x 2+1)；（2）2112x x x x + 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】（1）原式=12121x x x x +++=352122--+=- （2）原式=2221212121212()2143x x x x x x x x x x ++-==- 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系可得121232,2x x x x +=-⋅=-. 【答案】52-，143- 8.已知βα，是方程22510x x --=的实数根，求 2a 2+3ab +5b 的值.【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵α为22510x x --=的实数根，∴22510--=αα，即 2a 2=5a +1，∵α、β为方程的两个实数根，∴α＋β= 52 ，αβ= -12， ∴2α2＋3αβ＋5β=5× 52＋3×（ -12）＋1=12． 【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到，即 2a 2=5a +1，则2a 2+3ab +5b 可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β= 52，αβ= -12，然后利用整体代入的方法计算． 【答案】12探究型 多维突破9.已知关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设21,x x 是方程的两个实数根，且,14221=+x x 试求方程的两个实数根和k 值【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵∆=2364k +＞0，故方程必有两个不相等的实数根；（2）∵126x x +=，,14221=+x x ∴x 2=8，∴x 1=-2，故有k =±4【思路点拨】（1）根据关于x 的方程0622=--k x x , 得出∆＞0，即证.（2）由两根之和为6，可得x 2=8，进而得出另一根和k 的值.【答案】见解析10.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋4（k -12）=0． （1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC 的边长a =4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长．【知识点】根与系数的关系；解一元二次方程－因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵∆=（2k ＋1）2－16（k -12）=（2k －3）2≥0， ∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x 1＋x 2=2k ＋1=0，解得k =－0.5；（3）①当b =c 时，则∆=0，即（2k －3）2=0，∴k =32， 方程可化为x 2－4x ＋4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b ＋c =4=a 不适合题意舍去；②当b =a =4，则42－4（2k ＋1）＋4（k -12）=0，∴k = 52， 方程化为x 2－6x ＋8=0，解得x 1=4，x 2=2，∴c =2，C △ABC =10，当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，【思路点拨】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让 -b a=0即可求得k 的值． （3）分b =c ，b =a 两种情况做．【答案】见解析自助餐1.关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，则n m 的值为（ ）A ．－8B ．8C ．16D ．－16【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，∴ -m 2=－1， n 2=－2， ∴m =2，n =－4，∴n m =24（-） =16．【思路点拨】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m 、n 的值，将其代入n m 中即可求出结论．【答案】C ．2.关于x 的一元二次方程22210x a a x a ++--=（）的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．2或0【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得x 1＋x 2=0，所以-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，当a =2时，方程化为x 2＋1=0，∆=－4＜0，故a =2舍去，所以a 的值为0．【思路点拨】设方程的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系得-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，然后利用判别式的意义确定a 的取值．【答案】B ．3.已知一元二次方程2320x x -=-的两个实数根为12x x ， ，则（x 1－1）（x 2－1）的值是 ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2－3x －2=0的两个实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2=3，x 1×x 2 =－2， ∴（x 1－1）（x 2－1）=x 1×x 2－（x 1＋x 2）＋1=－2－3＋1=－4． 【思路点拨】由根与系数的关系可得x 1＋x 2=3,x 1×x 2 =－2，将其代入 ()()121212111x x x x x x =++--⋅-（）中，即可求出结论． 【答案】－4．4.已知a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，则代数式a 3－a 2＋3b －2的值为 ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，∴a 2－a =3，a ＋b =1，∴a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2=3a ＋3b －2=3（a ＋b ）－2=1．【思路点拨】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出a 2－a =3、a ＋b =1，将其代入a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2中，即可求出结论．【答案】1．5.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m －3）x －m =0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7，求m 的值．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】（1）证明：∵x 2－（m －3）x －m =0，∴∆=[－（m －3）]2－4×1×（－m ）=m 2－2m ＋9=（m －1）2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x 2－（m －3）x －m =0，方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7， ∴（m －3）2－3×（－m ）=7，解得，m 1=1，m 2=2，【思路点拨】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的∆的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．【答案】见解析6.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k =4，求该矩形的周长．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0有两个不相等的实数根，∴∆＞0，∴[－（2k ＋1）]2－4（k 2＋1）＞0，解得k ＞ 34． （2）当k =4时，原方程可化为x 2－9x ＋17=0，设方程的两根是x 1、x 2，则矩形两邻边的长是x 1、x 2，∵x 1＋x 2=9，∴该矩形的周长为2（x 1＋x 2）=18．【思路点拨】（1）根据关于x 的方程222110x k x k +++=（）-有两个不相等的实数根，得出∆＞0，再解不等式即可；（2）当k =4时，原方程x 2－9x ＋17=0，设方程的两根是x 1、x 2，则矩形两邻边的长是x 1、x 2，利用根与系数的关系得出x 1＋x 2=9，再根据矩形的周长公式即可得出该矩形的周长．【答案】k 的取值范围是k ＞ 34；矩形的周长是18．。
数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
猜想 :如果方程 x px q 0 的根是 x 和 x , 1 2 ).
则 x x ( -p ), x x (q 1 2 1 2
问题 : 方 4 程5 3 xx 20 的 根 与 系 数
2
有上述关系吗?
3 x1 x2 5
2 x1 x2 5
2
问题5 :写出一元二次方程a x bx c 0(a 0 两根与系数的关系.
你能证明 吗
例 : 1 求下列方程 , x 的 两和 根与 x : 积 1 2
2 2 (1) x 6x 15 0 ( 2 ) 3 7 xx 90
( 3 ) 5 1 x 4 x (1)由于根与系数的 关系可知： x x 15 1 x 2 6, 1x 2 (2)由根与系数的关 系可知： 7 x1 x2 , x1x2 3 3
二次方程的一般形式； （2）方程必须有实 根。两
3.对于一些数学思想 ，譬如特殊到一般的 想，转 的思想，方程的思想等 有初步的认识.
作业布置
《学习辅导》P12-13
2
解得：x 1, x2 3 1 故方程的另一个根为 -1，c的值为 -3.
例 2 : 已知方程 x 2 x c 0 的一个根 3 ,
2
求方程的另一个根及 c 的值 .
解(二）：设方程的另 一个根为x 则由 0, 根与系数的关系可知 x0 3 2 x0 1 , 解得： c 3 x0 3 c 答：方程的另一个根为 -1，c的値为 -3.
(4 ) x x ( 原 x ) 6 式 5 30 1 2 1 2
(5)原式 x x (x x ) 1 6 5 1 10 1 2 1 2
一元二次方程根与系数的关系推导
一元二次方程根与系数的关系推导大家好！今天我们要聊聊一元二次方程的根与系数之间的关系。
别担心，这个话题看起来挺复杂，但我们一步步来，一定能搞明白。
其实，二次方程就像是一道谜题，找到它的根就像找到了通往答案的钥匙。
好了，我们从基础说起吧。
1. 一元二次方程的基本形式首先，让我们搞清楚什么是一元二次方程。
它的标准形式是：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
在这个方程中，a、b 和 c 都是常数，a 不能等于零，不然就不是二次方程了。
这个方程的根，也就是解，是让方程成立的 x 的值。
1.1 根的定义一元二次方程有两个根，可能是两个不同的实数根，或者是一个相同的实数根（这种情况我们称作“重根”），也有可能是两个不同的虚数根。
比如，方程 ( x^2 4 = 0 ) 的根是 ( x = 2 ) 和 ( x = 2 )。
1.2 系数的作用方程中的系数 a、b 和 c 影响了根的性质。
系数 a 决定了二次项的“力度”，b 决定了线性项的倾斜度，而 c 决定了方程的常数部分。
可以说，系数就是方程的“调味料”，它们的不同组合会影响到方程根的不同表现。
2. 根与系数的关系那么，根和系数之间究竟有啥关系呢？这可是个关键问题哦。
咱们要了解这个关系，得从一个很重要的公式说起——这是根与系数关系的“秘籍”。
2.1 求和公式假设方程的根是 ( alpha ) 和 ( beta )。
那么，这两个根的和，公式是：[ alpha + beta = frac{b}{a} ]。
这公式是怎么来的呢？其实，当你把一元二次方程展开时，会发现 ( b ) 是 x 的系数，这直接影响到根的和。
2.2 乘积公式另外，根的乘积公式也很重要：[ alpha cdot beta = frac{c}{a} ]。
这公式告诉我们，根的乘积与常数 c 以及系数 a 的比值有关。
换句话说，常数 c 代表了方程在 y 轴上的位置，它的值影响到根的乘积。
3. 实际应用与例子说到这儿，可能有小伙伴会觉得有点抽象。
一元二次方程组的根与系数的关系
一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。
假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。
比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。
算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。
掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。
怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。
你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。
比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。
这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。
两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。
再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。
这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。
然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。
这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。
所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。
一元二次方程根与系数的关系。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用求根公式公式x₁,x₂=(-b±√(b²-4ac))/2a求得，其中a,b,c是方程的系数，且要求b²-4ac≥0。
我们可以将求根公式进一步化简，得到：
x₁,x₂=(-b±√(b²-4ac))/2a=(-b/2a±√(b²-4ac)/2a)
进一步观察这个式子，我们发现根x₁,x₂与系数a,b,c之间存在以下关系：
1. 系数a越大，根x₁,x₂的绝对值越小；
2. 系数c越大，根x₁,x₂的绝对值越大（符号不变）；
3. 系数b的符号与根x₁,x₂的符号相反；
4. 系数b²-4ac的正负决定了根x₁,x₂是否为实数（b²-4ac≥0）或虚数（b²-4ac<0）。
例如，对于方程x²-5x+6=0，我们可以得到它的两个根为2和3，与系数a=1,b=-5,c=6有关系。
我们可以验证，满足情况3：系数b的符号与根x₁,x₂的符号相反；满足情况4：系数b²-4ac的正负决定了根x₁,x₂是否为实数或虚数；不满足情况1和2。
因此，一元二次方程的根与系数有明显的关系。
根据这些关系，我们可以对方程的根进行大致的估算或推算出方程的系数。
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数的关系在我们生活中，有很多问题都可以用一元二次方程来解决。
那么，什么是一元二次方程呢？简单来说，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，x 是未知数。
而这个方程的解，就是我们要找的那个未知数x。
那么，如何求解这个方程呢？这就需要我们了解一元二次方程的根与系数的关系。
我们来看一下一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0。
在这个方程中，a、b、c 是已知的常数，而x是未知数。
我们的目标就是求出x的值。
为了实现这个目标，我们需要先了解一下一元二次方程的根与系数的关系。
二、一元二次方程的根与系数的关系1. 根的概念在一元二次方程中，x是未知数，而a、b、c是已知的常数。
我们的目标就是求出x的值。
为了实现这个目标，我们需要先了解一下根的概念。
根是指一个数与其对应的幂次相乘所得的结果等于原方程。
例如，对于方程ax^2+bx+c=0,它的两个根分别是：(1)当b^2-4ac≥0时，有两个实数根，分别为：x_1=(-b±√(b^2-4ac))/2ax_2=(-b±√(b^2-4ac))/2a(2)当b^2-4ac<0时，无实数根。
这里我们需要注意的是，当b^2-4ac<0时，方程没有实数根；而当b^2-4ac≥0时，方程有两个实数根。
这两个实数根分别称为一元二次方程的两个根。
2. 系数的概念在一元二次方程中，a、b、c是已知的常数。
它们分别表示了方程中各项的系数。
具体来说，a表示x^2项的系数，b表示x项的系数，c表示常数项的系数。
在求解一元二次方程时，我们需要关注这些系数之间的关系。
三、一元二次方程的解法及步骤在了解了一元二次方程的根与系数的关系之后，我们就可以运用这些知识来求解一元二次方程了。
下面我们来看一下求解一元二次方程的具体步骤：1. 我们需要判断方程是否有实数根。
根据前面我们学过的知识，当b^2-4ac≥0时，方程有实数根；而当b^2-4ac<0时，方程没有实数根。
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共20页)
解：x1+x2=3，x1x2=1；
x1+x2=
2 3
，x1x2=
2；
3
(3)2x2－9x＋5＝0； (4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2=
9 2
，x1x2=
5 2
； x1+x2=
7 4
，x1x2=
1 4
；
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2=
3 2
，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
x1+x2=0，x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝
b a
，x1x2＝
c a
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的 标准情势为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又 是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
（1）
1 x1
1 x2
；（2）
x12
x.22
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5－7=0的两根，不解方程 求下列各式的值：
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小结
一元二次方程根与系数关系： 如果方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根为x1、x2 ，则：
x1 x2
b a
x1 x2
c a
1 x2
的值。
“已知”的基本元素是什么？
巩固 4、已知方程 2 x 3x 1 0 的两根分
2
别是 x1 、x2 ，求 x1 x2 的值。
2
2
范例
例3、求作一个一元二次方程，使它的 两个根分别是 3
1 3
和2
1 2
。
巩固 5、已知两数和为8，这两个数的积为 9，求这两个数。
两根之和等于一次项系数的相反数 两根之积等于常数项
探究 二、观察下列方程的根：
(3)2 x x 3 0 (4)3x 10 x 8 0 4 3 x1 2, x2 x1 1, x2 3 2
2 2
你能发现方程的根与系数有什么关系？
探究 二、观察下列方程的根：
(3)2 x x 3 0 (4)3x 10 x 8 0
2 2
x1 x2 x1 x2
1 2 3 2
x1 x2 x1 x2
10 3 8 3
你能总结其规律吗？
归纳
一元二次方程根与系数关系： 如果方程 ax bx c 0(a 0)
例1、关于x的方程 x kx 6 0
2
的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。
你会考虑什么方法？
巩固 3、已知关于x的方程3x mx 3 0
2
的一个根是4，求它的另一个根和m
的值。
范例 例2、已知x1、 x2是方程 2 x 6 x 3 0
2
的两个根，求
ห้องสมุดไป่ตู้
1 x1
2
的两个根为x1、x2 ，则：
x1 x2
b a
x1 x2
c a
巩固 2、方程 2 x 5 x 2 0的解是(
2
)
A x1
1 2
, x2 2
B x1
1 2
, x2 2
C x1 , x2 2 D x1 , x2 2
2 2
1
1
范例
2 2
x1 1, x2 2
x1 3, x2 1
你能发现方程的根与系数有什么关系？
探究 一、观察下列方程的根：
(1) x 3x 2 0 (2) x 2 x 3 0
2 2
x1 x2 3 x1 x2 2
x1 x2 2 x1 x2 3
根与系数的关系
复习 1、解下列方程:
(1) x 3x 2 0
2
(2) x 2 x 3 0
2
(3) 2 x x 3 0
2
(4) 3x 10 x 8 0
2
探究 一、观察下列方程的根：
(1) x 3x 2 0 (2) x 2 x 3 0