1.4等腰梯形的性质与判定讲学稿

§1.3.5等腰梯形的性质与判定（九年级上数学）
一．学习目标：
1．能证明等腰梯形的性质定理和判定定理，并能用之解决问题；
2．经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径； 3．感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法． 二．学习重点：等腰梯形的性质和判定；
学习难点：转化思想．以及正确的添加辅助线． 三．教学过程
（一）知识梳理：
我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形并探索得到等腰梯形的性质和判定，请你回忆等腰梯形的相关知识． 1．等腰梯形定义：_______________________________的图形叫做等腰梯形．
2．根据上图，我们得知了等腰梯形的一个性质：______________________________．
同样我们也可以通过图①、图②得到这样的性质，你知道这些线是如何添加的吗？有何帮助？
图①______________________________．图②______________________________．
3．若按照图③________________________的添法，我们又能得到一个性质：________ _____． 4．等腰梯形性质：①________ _____；②________ _____． 5．等腰梯形的判定：________________________
________________________ ________________________
（二）反馈讲练：
1. 若等腰梯形的一个锐角为40°，则其他三个角的度数分别是________ _____．
变式1：若等腰梯形两角之和为100°，则等腰梯形的四个角度数分别是________ _____． 思考：有两个内角．．相等的梯形是________ _____． ①通过“平移一腰．．．．”找寻等腰梯形的边角关系．
(10 长沙)已知等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60°，则腰长为______ __． 变式1： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝4，∠C ＝70°，∠B ＝40°，则AB 的长为______ ． 变式2：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝2，BC ＝7，则∠B ＝_____ 变式3：(10西安)如图2，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＋∠B =90°．若AB =10，AD =4，DC =5，则梯形ABCD 的面积为 ．
②熟记一个常规的题型．
(10 台州)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD =2，∠B =60°，则下底BC 的长是 . 变式1：(10 宁波)如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD . 若∠ABC =60°，BC =12，则梯形ABCD 的周长为 .
变式2：(10 攀枝花)如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB ⊥AD ，AD =DC =BC =2cm ，那么梯形ABCD 的面积是 ．
图① 图② 图③ 的梯形．．
是等腰梯形 图1 图2
变式3：(10 湖州)如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°． （1）求∠ABD 的度数；
（2）若AD ＝2，求对角线BD 的长．
变式4：(11 绵阳)如图4，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB ＝8cm ，则△COD 的面积为 ． ③通过“平移．．对角线．．．
”找寻梯形两条对角线与两底和关系． 如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝8． Ⅰ．AD ＋BC ＝ ．
Ⅱ．梯形ABCD 的高＝ ． Ⅲ．S 梯形ABCD ＝ ．
变式1．(10 威海)如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 ．
变式2．(10 黄冈)如图2，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2
. 变式3．(10 芜湖)如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于 ．
（三）例题精讲：
1．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE ＝BC ．
（1）求证：∠E ＝∠DBC ； （2）判断△ACE 的形状（不需要说明理由）．
2．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上的一个动点（点E 不于B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ． （1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；
（2）请将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明
图4
图1 图2 图3 A B C D E
D C B
A
3． (11 益阳)如图，是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1． （1）证明：△ABE ≌△CBD ；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论； （4）求线段BD 的长．
4．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3cm ，BC =7cm ，∠B =60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE =∠B . （1）求证：△ABP ∽△PCE . （2）求等腰梯形的腰AB 的长.
等腰梯形的判定：
1 (11 盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD
的形状是 ．
依据： ．
2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N 且 EM =EN ． 求证：梯形ABCD 是等腰梯形
3．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形． （2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD 边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/秒的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形?
5．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．。