几何图形解法
初中几何压轴题解题技巧
初中几何压轴题解题技巧
《初中几何压轴题解题技巧》
一、逐步式解题
1、图形分析
每道几何题的解题，大家都有一个通用的解法，即：
1）认真阅读题目，搞清题意；
2）分析图形，画出图像；
3）运用几何面积、周长等基本概念，推出答案；
2、几何性质应用
几何题中，除了以上的基本解法，还可以运用几何性质来解题，如各角性质，平行性质、相似性质、中位线性质、角平分线性质、三角形性质等，都可以作为解题的依据，在此基础上，再加上一些基本概念，就可得出正确的答案。
二、抽象思维
1、归纳技巧
几何题解题最需要注意的一点，就是要用归纳法进行思考，即把所有的题干细节仔细地思考一遍，再把题干中的细节概括出来，归纳出一个有效的解题思路，把它从混乱中给出一个清晰的方案。
2、模型思维
另外，在解题的时候，大家也可以用模型的思维来解题，即把待解题目的情景制作出相应的模型，然后再加上一些基本概念，就可以得出正确答案。
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。
掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。
本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
13. 平行四边形的面积和周长的求解：平行四边形的面积和周长的求解也是初中数学几何模型解题的重要内容，学生需要掌握相关公式及其应用。
解析几何中的平行线问题
解析几何中的平行线问题解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的点、线、面等几何图形的性质和关系。
在解析几何中，平行线问题是一个常见而重要的议题。
本文将围绕平行线问题展开探讨。
一、平行线的定义在解析几何中，平行线的定义如下：给定平面上的两条直线l1和l2，如果l1上的任意一点P到l2上的任意一点Q的距离保持不变，那么我们称l1与l2平行。
这里的关键是距离始终保持不变。
二、平行线问题的解法解析几何中有多种方法可以判断直线之间是否平行。
下面介绍几种常见的解法：1. 平行线的判定定理根据平行线的定义，我们可以得到平行线的判定定理：如果两条直线分别与一条直线相交，并且两条直线对应的内部角或对应的同旁内角互为补角，则这两条直线平行。
2. 平行线的性质在解析几何中，平行线还具有一些重要的性质：- 平行线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
- 平行线的均匀变换：通过对直线上的点进行线性变换，可以保持两条直线平行关系。
- 平行线的向量等式：如果两条直线的向量方向相等或相反，那么它们是平行线。
3. 平行线与垂线在解析几何中，平行线与垂线之间存在着特殊的关系。
如果一条直线与两条平行线相交，那么与这条直线垂直的直线也与两条平行线垂直。
这个定理在求解平行线问题时经常被使用。
4. 坐标法解析几何中，坐标法常被用于确定直线的方程。
当我们需要判断两条直线是否平行时，可以通过比较它们的斜率来进行判断。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
三、平行线问题的应用平行线问题在实际生活和工程中有广泛的应用。
以建筑设计为例，建筑师在设计房屋的墙壁、楼梯等结构时，需要准确地判断出平行线以确保结构的稳定性和美观性。
在工程测量中，测量员需要利用平行线的性质来进行精确的测量和定位。
另外，在数学教育中，平行线问题也是解析几何的基础知识之一。
学生通过解决平行线问题，能够提高逻辑思维能力，锻炼分析问题和解决问题的能力。
总结：解析几何中的平行线问题是一个重要的研究议题。
几何图形的九大解法
几何图形的九大解法一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。
S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
解：将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例3：左图中两个正方形边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）三、倍比法例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面积。
解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2+4×2+8=18（㎡）例2：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
小学数学几何题集合图形解法实例
小学数学几何题集合图形解法实例1分割线法▌例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。
S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）▌例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
解：将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）▌例3：左图中两个正方形边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）2添加辅助线法▌例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）▌例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）▌例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）3倍比法▌例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面积。
解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2+4×2+8=18（㎡）▌例2：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
小升初经典题型—小学平面几何图形的十大解法
几何图形的十大解法（30例）一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）2例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
例3：左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
CPD BA例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是A 这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
C三、倍比法例1： A B 已知：OC=2AO，S ABO=2㎡，求梯形ABCDO 的面积。
D C例2：7.5 已知：S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
2.5例3： A 下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，D E 那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？B C四、割补平移例1： A B 已知：S阴=20㎡， EF为中位线E F 求梯形ABCD的面积。
D C例2：10 求左图面积（单位：厘米）5510例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。
求原长方形的周长。
2五、等量代换例已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。
8E 10 D（单位：m）例2：下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。
求阴影部分面积。
例3：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。
（）A A 三角形DBF大B三角形CEF大D C C两个三角形一样大D无法比较B FE六、等腰直角三角形例1：已知长方形周长为22厘米，长7 厘米，求阴影部分面积。
45°例2：已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别是10厘米和6厘米。
求组合图形面积的十种解法
求组合图形面积的十种解法
求组合图形面积是一个典型的几何问题，为了解决这一问题，可以使用以下十种解法：
1、分法法：将复杂图形分解成若干简单图形，然后求其各自的面积，最后求总和即可。
2、叠加法：如果复杂图形与某一简单图形有公共部分，那么就可以把复杂图形和简单图
形叠加在一起，求出叠加图形的面积，然后用叠加图形的面积减去简单图形的面积即可求
得复杂图形的面积。
3、分数解法：如果复杂图形的面积太难求，可以采用分数解法，先把复杂图形分成若干
等份，每份更容易求面积，最后把求的的结果加起来即可。
4、数学公式法：如果复杂图形有相应的数学公式，可以利用这个公式来求复杂图形的面积。
5、经验法：一些规则复杂图形，有时候还可以借助经验法，比如正多边形，多个等腰三
角形等组合，通过一定的经验公式即可求得面积。
6、极限法：如果复杂图形不是太复杂，可以采用极限法，采用适当的空间坐标，把图形
分解成若干若干子图形，然后求得每个子图形的面积，把这些子图形的面积累加，最后就
可以求得复杂图形的面积。
7、计算机图形学法：使用计算机图形学的方法可以更准确快速地求组合图形面积。
利用
图形赋值法，先将要求面积的图形表示成点阵图，此时此刻，图形上面每个点对应着某个面积的的面积，然后将每个点的面积相加，就可以求出总的面积了。
8、三角函数法：如果所求复杂图形是圆形，那么可以采用三角函数法，根据圆心角的计
算公式，计算复杂图形的圆形面积。
9、渐近法：渐近法可以用来求一类复杂图形的面积，它将复杂图形分割为若干小正方形，再根据小正方形和图形的相似度，算出复杂图形面积接近的结果。
10、变换法：变换法是将复杂图形变换为简单图。
几何图形解法
2添加辅助线法▌例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）▌例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）▌例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）3倍比法▌例1：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
解：因为7.5÷2.5=3（倍）所以S空=3S阴S=8.75×（3+1）=35（㎡）▌例2：下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？解：设三角形ADE面积为1个单位。
则SABE=1×3=3 SABC=3×5=15所以三角形ABC的面积是三角形ADE的15倍。
4割补平移▌例1：已知S阴=20㎡，EF为中位线求梯形ABCD的面积。
解：沿着中位线分割平移，将原图转化成一个平行四边形。
从图中看出，阴影部分面积是平行四边形面积一半的一半。
SABCD=20×2×2=80（㎡）▌例2：求下图面积（单位厘米）。
解1：S组=S平行四边形=10×（5+5）=100（平方厘米）解2：S组=S平行四边形=S长方形=5×（10+10）=100（平方厘米）▌例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。
高中数学解析几何的思路与方法
高中数学解析几何的思路与方法解析几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到坐标系、方程、图形等多个方面。
在学习解析几何时，我们需要掌握一定的思路和方法，才能更好地理解和掌握相关知识。
一、理解基本概念解析几何涉及到许多基本概念，如坐标系、方程、向量、曲线等。
在学习时，我们需要对这些概念有清晰的认识，并能够正确地理解它们的含义和用途。
只有掌握了基本概念，才能为后续的学习打下基础。
二、掌握解题方法解析几何的解题方法有很多，如代入法、配方法、几何法等。
在学习时，我们需要掌握这些方法的基本原理和使用技巧，并能够根据题目要求选择合适的解题方法。
同时，我们还需要多做练习，积累解题经验，不断提高解题能力。
三、建立坐标系在解析几何中，建立坐标系是解题的重要步骤。
通过建立合适的坐标系，我们可以将曲线上的点用坐标来表示，从而方便地求出曲线的性质和形状。
在建立坐标系时，我们需要根据题目的要求和曲线的情况选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
四、利用方程求解解析几何中的方程是联系曲线和数值的桥梁。
通过解方程，我们可以得到曲线上点的坐标，进而求出曲线的性质和形状。
在学习时，我们需要掌握方程的基本形式和求解方法，如联立方程、化简方程、代入数值等。
同时，我们还需要注意方程的解法和数值的取值范围，避免出现错误和遗漏。
五、结合图形理解解析几何是一门与图形密切相关的学科，通过图形可以更加直观地理解曲线的性质和形状。
在学习时，我们需要结合图形来理解解析几何的知识，如通过画图来理解坐标系和方程的含义和作用，通过观察图形来分析曲线的性质和特点等。
同时，我们还需要注意图形的形状和特点，以便更好地理解和应用解析几何的知识。
六、拓展应用领域解析几何不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程、经济等多个领域中有着重要的应用价值。
在学习时，我们需要了解解析几何在不同领域中的应用情况，并能够根据实际情况选择合适的解题方法和应用领域。
同时，我们还需要注意不同领域中的问题特点和应用要求，以便更好地解决实际问题。
立体几何-二面角求解五法
立体几何-二面角求解五法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。
解证（I ）略 （II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， ∴211423=+=BG FGFG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为6，求二面角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
八年级下册数学几何题解题技巧
八年级下册数学几何题解题技巧包括以下几个细节：
1.熟悉基本图形：掌握基本图形的构成和性质，如平行四边形、三角形、矩
形等，以便在解题过程中迅速识别和运用。
2.标记重要信息：在读题时，注意标记已知条件和未知条件，以便在解题过
程中不会遗漏。
3.寻找关系：分析题目中的图形和数量关系，找出其中的变量和不变量，确
定解题的方法和思路。
4.假设：根据题目的特点，合理地提出假设，简化题目中的条件，降低解题
的难度。
5.运用逻辑推理：运用逻辑推理的方法，推导出题目中的结论。
6.验证：根据推导出的结论，返回到题目中进行验证，确保结论的正确性。
7.画图：在解题过程中，如果需要画图，可以使用标准符号和命名规则来绘
制，以便在后续解题过程中能够迅速找到所需的图形。
8.总结：总结解题的方法和思路，找出规律和特点，提高解题的能力和水
平。
9.善用辅助线：在解题过程中，如果需要添加辅助线来简化题目或帮助推
理，可以合理地添加辅助线，以提高解题的效率。
10.掌握常见题型：熟悉常见的几何题型，如证明定理、求角度、求长度等，
掌握每种题型的解题方法和思路，以提高解题的效率。
11.多做练习：多做练习是提高数学几何题解题能力的有效方法，可以逐渐熟
悉各种题型的解法和思路，提高解题的准确性和效率。
12.善于总结经验：在解题过程中，要及时总结经验和教训，找出自己的不足
和问题，及时调整解题方法和思路，以提高解题的效率和质量。
13.注重细节：在解题过程中，要注意细节，如符号的正确性、表达的清晰
性、步骤的严谨性等，以确保解题的准确性和质量。
例谈立体几何最值问题的几种解法
思路探寻立体几何最值问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理和数学运算等能力.常见的立体几何最值问题是求立体几何图形中某条线段、某个角、体积、表面积的最值，那么如何求解呢？一、利用函数思想在大多数情况下，我们可以把与动点有关的立体几何问题看作函数问题来求解.以其中某一个量，如动点的坐标、线段的长、角的大小为变量，建立关于该变量的关系式，并将其视为函数式，即可利用一次函数、二次函数、三角函数的性质和图象求得最值.例1.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M⊥CP，则ΔBCM）.C.5D.2图1图2解：过M作MG⊥平面ABCD，垂足为G，作GH⊥BC于点H，连接MH，以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，可得D()0,0,0，C()0,1,0，A()1,0,0，P()1,0,12，D1(0,0,1)，B()1,1,0.设M()1,a,b，则D1M=()1,a,b-1，CP=()1,-1,12，∵D1M⊥CP，∴ D1M⋅ CP=12b-a+12=0，∴b=2a-1，∴CH=1-a，MG=2a-1，∴MH=()1-a2+()2a-12=5a2-6a+2，∴SΔBCM=12BC⋅MH=1=可知当a=35时，ΔBCM面积取最小值，为SΔBCM=12×=故选B.在建立空间直角坐标系后，设出点M的坐标，以a、b为变量，构建关于a的函数式SΔBCM=然后将5a2-6a+2看作二次函数式，对其配方，根据二次函数的性质即可知函数在a=35时取最小值.二、运用基本不等式在解答立体几何最值问题时，我们往往可以先根据立体几何中的性质、定义、定理求得目标式；然后将其进行合理的变形，采用拆项、凑系数、补一次项，去掉常数项等方式，配凑出两式的和或积，就可以直接运用基本不等式来求得最值.在运用基本不等式求最值时，要把握三个条件：一正、二定、三相等.例2.已知三棱锥P-ABC的4个顶点均在球心为O、直径为23的球面上，PA=2，且PA,PB,PC两两垂直.当PC+AB取最大值时，三棱锥O-PAB的体积为（）.A. C.6解：∵PA,PB,PC两两互相垂直，∴三棱锥P-ABC可补全为如图3所示的长方体.则长方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，∴PA2+PB2+PC2=()232=12，又PA=2，∴PB2+PC2=10，∵AB2=PA2+PB2=2+PB2，∴PC2+AB2=2+PB2+PC2=12，∴()PC+AB2-2PC⋅AB=12，又PC⋅AB≤()PC+AB22，∴12=()PC+AB2-2PC⋅AB≥()PC+AB2-2()PC+AB22=12()PC+AB2，当且仅当PC=AB时取等号，∴()PC+AB max=26，此时PC=AB=6，PB=图347思路探寻AB 2-PA 2=2，∴V O -PAB =12V C -PAB =16S △PAB ⋅PC =112PA ⋅PB⋅PC =112×2×2×6故选B.根据长方体的性质得到()PC +AB 2-2PC ⋅AB =10后，可发现该式中含有PC 、AB 的和与积，根据基本不等式a +b ≥2ab 求解，即可得到三棱锥O -PAB 的体积.三、转化法运用转化法求解立体几何最值问题有两种思路.一是将问题转化为平面几何问题.先将几何体的表面展开，或将几何体内部满足条件的某些面展开成平面；再在平面内利用平面几何知识，如正余弦定理、两点间的距离最短、三角形的两边之和大于第三边等求解，这样问题就变得十分直观，容易求解了.另一种思路是根据题意和几何图形中的点、线、面的位置关系，明确其中改变的量和不变的量及其关系，根据简单几何体的性质、表面积公式、体积公式，将问题转化为求某些线段或角的最值.再结合简单几何体的性质，几何图形中点、线、面的位置关系求得最值例3.如图4，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，D 在A 1C 上，E 是A 1B 的中点，则()AD +DE 2的最小值是（）.A.6-7 B.27 C.3+7 D.5+7图4图5解：将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，连接AE ，如图5所示，设AE ⋂A 1C =F ．由题意可知A 1A =AC =BC =2，A 1C =A 1B =22，所以AA 21+AC 2=A 1C 2，所以AA 1⊥AC ，则∠AA 1C =45°，由余弦定理可得cos∠BA 1C =A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ⋅A 1C=8+8-42×22×22=34，则sin∠BA 1C =1-cos 2∠BA 1C =故cos∠AA 1B =cos ()∠AA 1C +∠BA 1C =cos ∠AA 1C cos ∠BA 1C -sin ∠AA 1C sin ∠BA 1C =32-148．因为E 是A 1B 的中点，所以A 1E =2，由余弦定理可得AE 2=AA 21+A 1E 2-2AA 1⋅A 1E cos∠BA 1A=4+2-2×2×2×32-148=3+7．因为D 在A 1C 上，所以AD +DE ≥AE ，当A 、E 、D 三点共线时，等号成立，则()AD +DE 2≥3+7.故选C .将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，就可以把立体几何问题转化为平面几何问题，即可根据勾股定理和余弦定理求得A 1E 以及AE 的值.分析图形可知当A 、E 、D 三点共线时，AD +DE 取得最大值，再结合余弦定理求解即可.例4.已知球O 的表面积为60π，四面体P -ABC 内接于球O ，ΔABC 是边长为6的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，则四面体P -ABC 体积的最大值为（）.A.18B.27C.32D.81解：因为球O 的表面积为60π，所以球的半径R ==15，由题意知四面体P -ABC 底面三角形的面积为定值，要使四面体的体积最大，只须使顶点P 到底面的距离最大，又因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大，而ΔABC 外接圆的半径r =62sin60°=23，则O 到面ABC 的距离为d =R 2-r 2=3，且O 到面PBC 的距离为h =12r =3，设点P 到平面ABC 的距离为H ，则R 2=()H -d 2+h 2，解得H =33，此时体积最大值为V max =13×12×6×6×sin60°×33=27.故选B.解答本题，首先根据球的表面积求得球的半径；再根据题意和几何体的特征明确当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大；最后根据外接圆的性质、勾股定理求出点P 到底面的距离，即可求出最大值.除了上述三种方法外，有时还可采用定义法、构造法来求立体几何最值问题的答案.总之，同学们在解题时，要先根据题意和几何体的结构特征寻找取得最值的情形，求得目标式；然后根据目标式的特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：贵州省江口中学）48。
静动结合 相得益彰--几何图形解法举例
例４ 如 图 １求 阴影 部 分 的 面 积 。 （ 位 ： 米） ， 单 厘
ｌ ０ ｌ ０ １ Ｏ
＇ Ｎ２ 如 图１ 长 方 形 的 长是 ８ 米 ， ， 厘 宽是 ６ 米 ， 厘 Ａ和 Ｂ 宽 的 中点 ， 长 方 形 内阴影 部 分 的 面积 。 是 求
一 — — 一 —
，
５ ５
＝
５
１０ ， ５（ ￣ＴｌＯ÷＝０ 。此题中的量和率的对应 元） ５ｘ ３（ 元）
新 课 程改 革 强 调 注 重 信 息 的 收集 、 理 、 析 及 解 整 分
题 策 略 的 渗透 。 以 上几 种题 型 的 对 比 、 类 ， 对 较 复 分 是
关系 不 是 直 接 对 应 的 ，而 是 间 接 地 先 求 出 各 自的单 位 总 量 。 求 出 结果 。 再
分 析 ：题 中 两 个 已 知 分 率 都 是 相 同 的 数
５
ｆ 上 见
达标人数 占女 生总数的 。六（ 班共有学生多少人 ？ ２ ）
５
图） 。甲玩具中的÷是以甲的成本价作为单位… ’ １， 已知
数 量 １０ 是 成 本价 与 它 的 一ｌ ２元 ｌ的和 。要 求 赚 了多 少 元 ，
５
分析： 题中两个不同的已知分率 和！ 分 别 以 男
，
．
６
５
生人数和女生人数为 单位总量 ， 要求 六 （） 共 有 多 少 ２ 班
先 要 求 出 单 价 总 量 （ 本 价 ）２ ＋１ １ ＝ ｏ （ ）再 求 成 １０ （ ） １ｏ元 ， 出赚 了总 量 的 钱 数 ｌ０ 一 ２ （ ｏ × ｏ元） 乙 玩 具 中 的 ， １：
片 ， 张黄 色的正方形纸 片， 成 一个直 角三角形 ， 一 拼 红
初一数学下册：几何面积与阴影面积必背公式+解法
初一数学下册：几何面积与阴影面积必背公式+解法
#初一数学
一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子：
常见面积公式表
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法
一些其他常用的技巧。
求解三角形个数的巧妙方法
求解三角形个数的巧妙方法文章标题：求解三角形个数的巧妙方法导语：在数学中，三角形是一个重要的几何图形，研究三角形的性质和计算三角形的个数有助于我们深入了解几何学。
本文将介绍一种巧妙的方法来求解三角形的个数，帮助读者更好地理解这一概念。
一、引言及背景知识三角形是由三条线段组成的几何图形，它的性质和种类非常丰富。
在数学中，研究三角形的个数是一项重要的任务，它可以帮助我们探索几何学的深度和广度。
在求解三角形的个数时，我们通常可以借助组合数学的知识和思想来进行计算。
组合数学是数学的一个分支，它研究的是离散结构和计数方法，在解决组合问题时具有广泛的应用。
二、传统方法及局限性分析传统方法中最常见的一种是暴力穷举法，即通过遍历三个点，判断它们是否构成一个三角形，并统计满足条件的三角形的个数。
然而，这种方法的局限性在于计算量巨大，特别是当点的个数增多时，穷举法的效率会急剧下降。
三、巧妙的方法——基于数学思想的求解在研究三角形的个数时，我们可以利用数学的思想和技巧来简化计算过程。
一种巧妙的方法是基于组合数学的知识，通过计算三个点之间的组合关系来求解三角形的个数。
下面将详细介绍这一方法。
1. 计算三边组合我们可以从给定的点集中选择3个点作为三角形的三个顶点，即三边的组合形式。
对于给定的n个点，我们可以通过组合数学中的排列组合知识得到三边组合的个数为C(n,3)。
2. 排除不构成三角形的情况然而，不是所有的三边组合都能构成一个三角形，因为三边不能共线。
我们还需要排除那些不满足三角形条件的组合。
根据数学的条件判别法，对于任意三个点a、b、c，如果它们满足以下条件之一，则它们不能构成一个三角形：- 三点共线：即三个点在同一条直线上；- 两边之和小于第三边：即两条边的长度之和小于第三条边的长度；通过判断三边组合是否满足以上条件，我们可以进一步筛选出能够构成三角形的组合，得到有效的三角形个数。
3. 总结和回顾性内容通过上述方法，我们可以求解三角形的个数。
三d三角形的解
三d三角形的解摘要：1.三角形的分类与解法2.3D三角形的定义与性质3.3D三角形的不等式解法4.求解3D三角形的角度和边长范围5.应用实例与分析正文：在我们日常生活中，三角形是一个非常常见的几何图形。
从平面到立体，三角形的研究一直备受数学家的关注。
接下来，我们将探讨3D三角形的解法，包括其定义、性质以及求解角度和边长范围等方面的内容。
首先，我们要了解3D三角形的分类与解法。
3D三角形是指存在于三维空间中的三角形，它可以分为两类：平面三角形和空间三角形。
平面三角形是指三个顶点共面的三角形，而空间三角形则指三个顶点不共面的三角形。
在解题时，我们需要根据不同的三角形类型采用相应的解法。
接下来，我们来了解3D三角形的定义与性质。
3D三角形具有以下几个性质：1.三个顶点不共线；2.任意两个顶点之间的线段都在第三个顶点处交汇；3.三个内角和为180度；4.每个顶点都在一个平面上，且这三个平面相交于一条直线。
在此基础上，我们可以进一步探讨3D三角形的不等式解法。
在求解3D 三角形时，通常会涉及到三角函数，如正弦、余弦和正切等。
根据三角函数的性质，我们可以将3D三角形的不等式问题转化为单个三角函数的问题。
具体来说，有以下几种求解方法：1.当只有一个三角函数时，我们可以在一个周期范围内求解。
对于正弦和余弦函数，周期范围一般为2π；对于正切函数，周期范围一般为π。
2.当有两个或三个三角函数时，我们可以采用以下方法求解：（1）通过性质进行变换，将问题转化为一个三角函数的问题；（2）画出三角函数的图形，直接观察范围；（3）化简成分式的形式，以一个三角函数为整体求出其范围，再求出角度。
最后，我们来看一个应用实例。
题目给出一个3D三角形ABC，其中A （1，2，3），B（4，5，6），C（7，8，9）。
要求求解三角形ABC的角度和边长范围。
解：首先，我们可以计算出向量AB和向量AC分别为（3，3，3）和（6，6，6）。
然后，根据向量的点积公式，我们可以求得cos∠BAC = (AB·AC) / (|AB|*|AC|) = (3*6 + 3*6 + 3*6) / (sqrt(3^2 + 3^2 + 3^2) * sqrt(6^2 + 6^2 + 6^2)) = 18 / (3*sqrt(36)) = 1 / sqrt(3)。
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几何图形的十大解法（30例）体会：注重积累，勤动笔。
在平时的教学中，无论看到的、听到的、想到的、捕捉到的，灵感的一刹那都及时记下，并附上自己的一些想法和体会。
虚心好学，勤动口。
无论是老教师还是青年教师，本校教师还是外校、外地老师，能者都是我的老师，学生也是我的老师。
我的一些巧解有的就来自于学生。
在与老师、学生的互动中提高自己的解题能力。
善于总结，勤动脑。
在备课时，经常分析学生解题中的一些想法和方法，找到学生最容易接受、理解的方法。
同时我尽可能掌握本题的不同解法，以获得答案较为简洁的方法和策略。
说明：1）首先要以扎实的几何基础知识为铺垫，才能提升灵活解题的技能技巧。
2）以下十种解法是不全面的，更谈不上是最好的。
唯有在实践中不断摸索、总结，找到适合自己的解题方法，才能不断创新。
追求是永无止境的。
一、分割法例：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）2 解：将图形分割成两个全等的梯形。
7S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）例：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
解：将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例：左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）二、添辅助线例：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P 是任意一点。
求阴影部分面积。
C 解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
P S阴=4×4÷2=8（平方厘米）D BA例：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）例：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是A 这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
C 解：如图连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）三、倍比法例： A B 已知：OC=2AO，S ABO=2㎡，求梯形ABCDO 的面积。
解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4(㎡)S DOC=4×2=8(㎡)S ABCD=2+4×2+8=18(㎡)例：7.5 已知：S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
解：因为7.5÷2.5=3（倍）所以S空=3S阴。
S=8.75×（3＋1）=35（㎡）2.5例： A 下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，D E 那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？B C解：设三角形ABE面积为1个单位。
则S ABE=1×3=3 S ABC=3×5=15 15÷3=5所以三角形ABC的面积是三角形ADE的5倍。
四、割补平移例： A B 已知：S阴=20㎡， EF为中位线E F 求梯形ABCD的面积。
D C 解：沿着中位线分割平移，将原图转化成一个平行四边形。
从图中看出，阴影部分面积是平行四边形面积一半的一半。
S ABCD =20×2×2=80（㎡）例：10 求左图面积（单位：厘米）5 解1：S组=S平行四边形=10×（5+5）5 =100（平方厘米）10 解2：S组=S平行四边形=S长方形5 =5×（10+10）5 =100（平方厘米）10例：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。
求原长方形的周长。
2 解：C=（24÷2-2）×22 =20（厘米）五、等量代换已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。
解：因为AB//AC 所以S△AOE= S△BOC8 则S阴×8÷2=40（㎡）E 10 D（单位：m）例：下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。
求阴影部分面积。
解：因为S1+S2=S3+S2=6×4÷2所以S1=S3则S阴=6×6÷2=18(平方分米)例：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。
（ C ）A A 三角形DBF大B三角形CEF大D C C两个三角形一样大D无法比较B F （因为S等量减S等量，等差不变）E六、等腰直角三角形例：已知长方形周长为22厘米，长7 厘米，求阴影部分面积。
45°解：b=22÷2-7=4（厘米）S阴=〔7+（7-4）〕×4÷2=20（平方厘米）或S阴=7×4-4×4÷2=20（平方厘米）例：已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别是10厘米和6厘米。
求阴影部分的面积。
解：10-6=4（厘米）6-4=2（厘米）2 S阴=（6+2）×4÷2=16（厘米）例：下图长方形长9厘米，宽6厘米，求阴影部分A B 面积。
45°解：三角形BCE是等腰三角形F FD=ED=9-6=3（厘米）E D C S阴=（9+3）×6÷2=36（平方厘米）或S阴=9×9÷2+3×3÷2=36（平方厘米）七、扩倍、缩倍法例：如图：正方形面积是32 平方厘米，直角三角形中的短直角边是长直角边的四分之一，三角形a 面积是多少平方厘米？b 解：将正方形面积扩大2倍为64平方厘米，64=8×8 则a=8（厘米），b=8÷4=2（厘米）那么，S=8×2÷2=8（平方厘米）还原缩倍，所求三角形面积=8÷2=4（平方厘米）例：求左下图的面积（单位：米）。
30 解：将原图扩大两倍成长方形，求出长方30 形的面积后再缩小两倍，就是原图形面积。
40 S=（40+30）×30÷2=1050（平方米）例：左图中每个小方格都是面积为3平方厘米的正方形。
求阴影部分面积。
解：先将3平方厘米缩小3倍，成1平方厘米。
面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米。
将图形分割成两个三角形，S=3×2÷2+3×1÷2=4.5（平方厘米）再将4.5扩大3倍，S阴=4.5×3=13.5（平方厘米）八、代数法例：图中三角形甲的面积比乙的面积少8平方厘米,AB=8cm,CE=6cm。
求三角形甲和三角形乙的面积各是多少？解：设AD长为Xcm。
再设DF长为ycm。
8X+8=8(6+X)÷2 4y÷2+8=6（8-y）÷2E X=4 y=3.2S甲=4×3.2 ÷2=6.4（c㎡）S乙=6.4+8=14.4（c㎡）例：B 左图所示，AF=12，ED=10，BE=8，CF=6（单位：厘米）C求四边形ABCD的面积是多少平方厘米？A E F D 解：AE-FD=2（厘米）设FD长X厘米，则AE长（X+2）厘米。
S ABCD=8（X+2）÷2+6X÷2+（8+6）（10-X）÷2=4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米）例：左图是一个等腰三角形，它的腰长是20厘米，面积是144平方厘米。
在底边上任取一点向两腰20 20 作垂线，得a和b，求a+b的和。
a b 解：过顶点连接a、b的交点。
20b÷2+20a÷2=14410a+10b=144a+b=14.4九、看外高例：下图两个正方形的边长分别是6厘米和3厘米，求阴影部分的面积。
解：从左上角向右下角添条辅助线，将S阴看成两个钝角三角形。
（钝角三角形有两条外高）S阴=S△+ S△=3×（6+3）÷2+3×6÷2=22.5（平方厘米）例：下图长方形长10厘米，宽7厘米，求阴影部分面积。
解：阴影部分是一个平行四边形。
与底边2厘米对应的高是10厘米。
S阴=10×2=20（平方厘米）例：A D F 正方形ABCD的边长是18厘米，CE=2DEE （1）求三角形CEF的面积。
B C （2）求DF的长度。
解：BCF是一个钝角三角形，EFC也是一个钝角三角形EC=18÷（2+1）×2=12（厘米）(1) S CEF=18×18÷2-12×18÷2=54（平方厘米）(2) DF=54×2÷12=9（厘米）十、概念法例：一个直角三角形，三条边分别为4厘米、6厘米和7厘米。
求它的面积。
解：因为三角形两条直角边之和大于第三边，两边之差小于第三条边，所以这个三角形的两条直角边分别为4厘米和6厘米。
S=4×6÷2=12（平方厘米）例：用4个直角边分别是3厘米、4厘米和5厘米的直角三角形拼成一个菱形。
这个菱形的周长和面积各是多少？解：因为菱形的两条对角线互相垂直，所以斜边5厘米只能作为菱形的边长。
C=5×4=20（厘米）S=4×3÷2×4=24（平方厘米）例：一个平行四边形两条边分别是5厘米和3厘米，其中一条高为4.2，求这个平行四边形的面积。
解：因为在平行四边形中，高是一组对边间的距离，必定小于另一组对边的长度，所以高4.2厘米所对应的底只能是3厘米的边。
S=3×4.2=12.6（平方厘米）。