2019年高中物理第六章万有引力与航天第四节万有引力理论的成就分层训练新人教版

第四节 万有引力理论的成就
[A 级 抓基础]
1．人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，线速度为v ，周期为T .为使其周围变为8T ，可采用的方法有( )
A ．保持轨道半径不变，使线速度减小为v
8
B ．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r
C ．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r
D ．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r
解析：利用万有引力提供卫星的向心力，可以得出v ＝
GM
r ，T ＝2π r 3
GM
，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关．使轨道半径逐渐增大为4r ，能使其周期变为8T ，速率同时减小为v
2
，B 正确，A 、C 、D 错误．故选B.
答案：B
2．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可能推知( )
A ．这颗行星的公转周期与地球相等
B ．这颗行星的自转周期与地球相等
C ．这颗行星质量等于地球的质量
D ．这颗行星的密度等于地球的密度
解析：由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面．
答案：A
3．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，只需要( ) A ．测定飞船的运行周期 B ．测定飞船的环绕半径 C ．测定行星的体积
D ．测定飞船的运行速度
解析：取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2
T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3π
GT
2，故选A.
答案：A
4．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期，若知道比例系数G ，由此可推算出( )
A ．行星的质量
B ．行星的半径
C ．恒星的质量
D ．恒星的半径
解析：恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力，即G Mm r 2＝mr 4π2T 2，故M ＝4π2r
3
GT 2
，
可求出恒星的质量M ，选项C 正确．其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期求出，A 、B 、D 错误．
答案：C
5.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A 、B 、C ，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图所示，当卫星B 经过一个周期时( )
A ．A 超前于
B ，
C 落后于B B ．A 超前于B ，C 超前于B C ．A 、C 都落后于B
D ．各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上
解析：由G Mm r 2＝mr 4π
2
T
2，可得T ＝2π
r 3
GM
，故轨道半径越大，周期越大．当B 经过一个周期时， A 已经完成了一个多周期，而C 还没有完成一个周期，所以选项A 正确， 选项B 、C 、D 错误．
答案：A
6.(多选)如图所示，是在同一轨道平面上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动．关于各物理量的关系，下列说法正确的是( )
A ．线速度v A ＞v
B ＞v
C B ．周期T A ＞T B ＞T C C ．向心加速度a A ＞a B ＞a C
D ．角速度ωA ＞ωB ＞ωC
解析：根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ＝m 4π
2
T
2r ，得v ＝
GM r ，a ＝GM
r
2，T
＝2π
r 3
GM .由于v ＝GM
r
，所以线速度v A ＞v B ＞v C ，故A 正确；由于T ＝2π r 3
GM
，半径越大，周期越大，所以周期T A ＜T B ＜T C ，故B 错误；由于a ＝GM r
2，半径越大，向心加速度越小，所以向心加速度a A ＞a B ＞a C ，故C 正确；由于ω＝2π
T
＝
GM
r 3
，所以角速度ωA ＞ωB ＞ωC ，故D 正确．
答案：ACD
[B 级 提能力]
7.(多选)不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾．如图所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此以下说法中正确的是( )
A ．离地越低的太空垃圾运行周期越小
B ．离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C ．由公式v ＝gr 得，离地球高的太空垃圾运行速率越大
D ．太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
解析：太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T
2r 可得，离地越
低，周期越小，角速度越大，速度越大，选项A 、B 正确，选项C 错误；太空垃圾与同一轨道上同向飞行的航天器速率相等，不会相撞，选项D 错误．
答案：AB
8．(多选)设地球的半径为R ，质量为m 的卫星在距地面高为2R 处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g ，则( )
A ．卫星的线速度为 gR
3
B ．卫星的角速度为
g
8R
C ．卫星做圆周运动所需的向心力为1
9mg
D ．卫星的周期为2π
3R
g
解析：由G Mm R 2＝mg 和G Mm （3R ）2＝m v 23R ＝mω2
·3R ＝m 4π2
T
2·3R ，可求得卫星的线速度为v
＝
gR
3，角速度ω＝1
3 g
3R
，周期T ＝6π3R
g
，卫星做圆周运动所需的向心力等于万
有引力，即F ＝G Mm （3R ）2＝1
9
mg ，故选项A 、C 正确．
答案：AC
9．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )
A.3πGT 2·
g 0－g
g 0
B.3πGT 2·
g 0
g 0－g C.
3πGT
2
D.
3πGT 2·g 0
g
解析：物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，又地
球质量M ＝43πR 3
·ρ，联立以上三式，解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2（g 0－g ），故选项B 正确，
选项A 、C 、D 错误．
答案：B
10．“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器原本预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表中数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( )
A.3
B.2
C ．4
D ．6 解析：在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，故mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2
G ，
故地球的密度ρ＝M V ＝gR 2G
43
πR 3＝3g
4πGR
，
同理，月球的密度ρ0＝3g 0
4πGR 0
，
故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝3
2
.故选B. 答案：B
11．两颗靠得很近的恒星称为双星，这时两颗星必须各自以一定的速率绕其一中心转动，才不至于因万有引力而吸在一起，已知双星的质量分别为m 1和m 2，相距为L ，求：
(1)双星转动中心位置； (2)双星转动的周期．
解析：设双星的转动中心距m 1为x ，对双星分别列方程．
对m 1：G m 1m 2L 2＝m 14π
2
T 2x ；
对m 2：G m 1m 2L 2＝m 24π
2T
2(L －x )．
联解可得：x ＝m 2m 1＋m 2
L ，T ＝2πL
L
（m 1＋m 2）G .
答案：(1)x ＝
m 2
m 1＋m 2
L (2)T ＝2πL
L
（m 1＋m 2）G
12．2012年8月，“好奇号”火星探测器登陆火星，已知火星的半径R ，“好奇号”登陆火星前在火星表面绕火星做匀速圆周运动的周期为T ，将地球和火星的公转均视为匀速圆周运动，火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍，引力常量为G .
(1)求火星的质量M 及平均密度ρ； (2)火星年相当于多少地球年？
解析：(1)设“好奇号”质量为m ，由“好奇号”所受万有引力提供它做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2R ，解得M ＝4π2R 3GT 2， 又由M ＝ρ·V ＝ρ·43πR 3
，
联立解得ρ＝3π
GT
2.
(2)设地球和火星的公转半径分别为r 1、r 2，由火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍，可得
r 1＋r 2＝5×(r 2－r 1)，
由开普勒第三定律r 3T 2＝k ，得r 31T 21＝r 32
T 22
，
联立解得T 2＝3
4
6 年．
答案：(1)4π2R 3
GT 2 3πGT 2 (2)
3
4
6 年。