2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (27)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (47)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (47)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设P ={y|y =x 2,x ∈R}，Q ={y|=2x ,x ∈R}，则( )A. P =QB. Q ⊊PC. P ∩Q ={2,4}D. P ∩Q ={(2,4)} 2. 下列各角中，与−1376°终边相同的角是( )A. 36°B. 44°C. 54°D. 64°3. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (3,1) B. (2,−1) C. (−1,2) D. (−1,7)4. 某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n 的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n 为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 505. 已知向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. π4B. 5π12 C. π3D. π12 6. 若直线√3x −2y =0与圆(x −4)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A. 487B. 5C. 4√217D. 257. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则( )A. y =2sin(2x −π6) B. y =2sin(2x −π3) C. y =2sin(x +π6) D. y =2sin(x +π3)8. 已知cos2θ=35，求sin 4θ+cos 4θ= ( )A. 1725B. −1725C. 1625D. 1325E. 1723F. −16259. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 1210. 设f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，又f(−1)=0，则xf(x)<0的解集是( )A. (−1,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)11. 已知向量a ⃗ =(1,m ),b⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8 12. 函数y =2cos 2x −sin2x 的最小值是( )A. −2B. 1−√2C. 1+√2D. 2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图所示是一次歌咏大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，则中位数是______． 14. 已知α，β为锐角，cosα=√10，cosβ=√5，则cos(α+β)的值为______ ． 15. 在▱ABCD 中，E 是AB 边所在线上任意一点，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ= ______ ．16. 已知m ∈{−1,0，1}，n ∈{−1,1}，若随机选取m ，n ，则直线mx +ny +1=0不经过第二象限的概率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 一个容量为M 的样本数据，其频率分布表如下：(Ⅰ)完成频率分布表； (Ⅱ)画出频率分布直方图．分组 频数 频率(10,20] 2 0.10(20,30] 3(30,40] 40.20(40,50](50,60]40.20(60,70]20.10合计 1.0018.平面内给定三个向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,2)，c⃗=(4,1)．(1)若(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k；(2)若向量d⃗满足d⃗//c⃗，且|d⃗|=√34，求向量d⃗．19.两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？+a),1)，且a⃗//b⃗ ，20.已知a⃗=(7,1)，b⃗ =(tan(π4(1)求t a na的值；(2)求sinacosa+2cos2a的值．21.现有6名运动会志愿者，其中a1，a2是英语翻译志愿者，b1，b2是日语翻译志愿者，c1，c2是俄语翻译志愿者．现从中选出三种语言翻译志愿者各一名，组成一个翻译小组．(1)求a1被选中的概率；(2)求b1和c2不全被选中的概率．x的最值及取到最值时的自变量x的集合．22.求函数y=3−2sin12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵P ={y|y =x 2,x ∈R}={y|y ≥0}，Q ={y|=2x ,x ∈R}={y|y >0}， ∴Q ⊆P ． 故选B ．化简集合P ，Q ，根据集合之间的关系进行判断．本题主要考查集合的化简运算，根据集合之间的关系．比较基础． 2.答案：D解析：【分析】本题考查终边相同角，属于基础题．因为−1376°=−4×360°+64°，即可求解． 【解答】解： 因为−1376°=−4×360°+64°， 所以与−1376°终边相同的角是64°． 3.答案：A解析：解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)−(−1,3)=(3,1)． 故选：A ．用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示出AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题目． 4.答案：A解析：【分析】本题考查分层抽样，属于简单题．用分层抽样的方法，各层抽取的比例相等，只需计算出管理人员中的抽样比324=18，再乘以总人数即可． 【解答】解：管理人员中的抽样比324=18，而此单位的总人数为120+24+16=160， 故n =160×18=20．故选A ． 5.答案：A解析：【分析】本题考查向量夹角的运算，属于基础题．先求出OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，再代入向量夹角公式即可求解．【解答】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−1,2−3)=(1,−1)， ，又0≤<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >≤π，∴<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=π4． 故选A ．6.答案：C解析：解：由(x −4)2+y 2=r 2(r >0)，可知圆心坐标为(1,0)，半径为r ， ∵直线√3x −2y =0与圆(x −4)2+y 2=r 2(r >0)相切， 由圆心到直线的距离d =4√3√3+4=4√217， 可得圆的半径为4√217． 故选：C ．由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题． 7.答案：A解析：【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质.属于中档题．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象和周期得A =2和ω=2，再利用“五点作图法”得，从而得结论． 【解答】解：由图可得函数的最大值为2，最小值为−2，故A =2，T 2=π3+π6，故T =π，ω=2，故y =2sin(2x +φ)．将(π3,2)代入可得2sin(2π3+φ)=2， 则，即，|φ|<π，则，结合各选项可知A 选项正确．故选A ． 8.答案：A解析：【分析】已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos 2θ与sin 2θ的值，代入原式计算即可得到结果． 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 【解答】解：∵cos2θ=2cos 2θ−1=1−2sin 2θ=35， ∴cos 2θ=45，sin 2θ=15，则原式=(45)2+(15)2=1725.故选A .9.答案：B解析：【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得． 本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题． 【解答】解：由题意可得B(1,0)，把x =1代入y =x +1可得y =2，即C(1,2)，把x =0代入y =x +1可得y =1，即图中阴影三角形的第3个定点为(0,1)， 令−12x +1=2可解得x =−2，即D(−2,2)，∴矩形的面积S =3×2=6，阴影三角形的面积S′=12×3×1=32， ∴所求概率P =S′S=14． 故选B ． 10.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，∴f(1)=f(−1)=0； 又∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴当0<x <1时，f(x)>0，当x >1时，f(x)<0； ∴不等式xf(x)<0在(0,+∞)上的解集是(1,+∞)； 又f(x)是偶函数，∴f(x)在(−∞,0)上是增函数，当−1<x <0时，f(x)>0，当x <−1时，f(x)<0； 不等式xf(x)<0在(−∞,0)上的解集是(−1,0)； 综上，xf(x)<0的解集是(−1,0)∪(1,+∞)； 故选：C ．由题意，先求出不等式xf(x)<0在(0,+∞)上的解集，再求出不等式xf(x)<0在(−∞,0)上的解集． 本题利用偶函数的性质，考查了不等式的解法，是基础题． 11.答案：D解析：【分析】本题考查平面向量垂直的判定． 【解答】 解：a ⃗ +b ⃗ =(4,m −2)，因为(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ +b⃗ )·b ⃗ =0,∴3×4+(−2)×(m −2)=0,m =8． 故选D ． 12.答案：B解析：解：函数y =2cos 2x −sin2x =1+cos2x −sin2x =1+√2sin(2x −π4)， ∵sin(2x −π4)的最小值为−1，∴函数y =2cos 2x −sin2x 的最小值1−√2 故选：B ．利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式求解最小值即可．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题． 13.答案：86解析：解：由茎叶图可知，中位数为七个数据按从小到大的顺序排列， 中间的一个数为86， 即中位数是86． 故答案为：86．根据茎叶图中的数据，结合中位数的定义即可得出结果． 本题主要考查了茎叶图与中位数的应用问题，是基础题目．14.答案：−√22解析：解：∵α，β为锐角，cosα=√10，cosβ=√5， ∴sinα=√1−cos 2α=3√1010，sinβ=√1−cos 2β=2√55， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ =√10√5−3√1010×2√55=−√22， 故答案为：−√22．由同角三角函数的基本关系可得sinα和sinβ，代入两角和的余弦公式可得． 本题考查两角和与差的余弦函数，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 15.答案：2解析：解：∵△ABC 中，E 是AB 边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化简得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴结合平面向量基本定理，得{11+μ=−1μ1+μ=λ， 解之得λ=2，μ=−2， 故答案为：2．根据A 、M 、B 三点共线，可得存在实数μ使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，化简整理得CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．本题给出A 、M 、B 三点共线，求用向量CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题．16.答案：13解析：【分析】本题考查了古典概型的计算与应用，考查了分析问题等，属于中档题． 由题意可得(m,n)有6种可能的结果，其中使得直线mx +ny +1=0不经过第二象限的结果为(−1,1)，(0,1)，共2种，从而可得直线mx +ny +1=0不经过第二象限的概率．【解答】解：(m,n)有6种可能的结果，其中使得直线mx +ny +1=0不经过第二象限的结果为： (−1,1)，(0,1)，共2种， 故所求的概率为26=13．合计20 1.00(Ⅱ)频率分布直方图如图：解析：本题主要考查频率分布表的应用，熟悉频率分布直方图的应用是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题．(Ⅰ)根据频数比等于频率比，可算出(20,30]内的频率，然后根据频率和为1，计算出(40,50]内的频率；(Ⅱ)根据频率/组距计算出每个分组的纵距，画出频率分布直方图即可.18.答案：解：(1)∵向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,2)，c⃗=(4,1)，∴a⃗+k c⃗=(4k+3,k+2)，2b⃗ −a⃗=(−5,2)，∵(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，∴−5(4k+3)+2(k+2)=0，即18k+11=0，，解得：k=−1118(2)∵向量d⃗满足d⃗//c⃗，c⃗=(4,1)．设d⃗=(4x,x)，又∵|d⃗|=√34，∴17x2=34，解得：x=±√2，∴d⃗=(4√2,√2)或d⃗=(−4√2,−√2)解析：(1)由向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,2)，c⃗=(4,1)，可得：a⃗+k c⃗=(4k+3,k+2)，2b⃗ −a⃗=(−5,2)，进而根据(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，可得−5(4k+3)+2(k+2)=0，解得实数k的值；(2)由向量d⃗满足d⃗//c⃗，c⃗=(4,1).可设d⃗=(4x,x)，结合|d⃗|=√34，可得17x2=34，进而可得向量d⃗的坐标．本题考查的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量垂直的充要条件，是向量简单综合应用，难度不大，属于基础题．19.答案：解：机床甲的数据的平均数：x 甲=10+9.8+10+10.24=10．机床乙的数据的平均数： x 乙=10.1+10+9.9+104=10，机床甲的方差S 甲2=14[(10−10)2+(9.8−10)2+(10.2−10)2+(10−10)2]=0.02，机床乙的方差S 乙2=14[(10.1−10)2+(10−10)2+(9.9−10)2+(10−10)2]=0.005，∵x 甲=x 乙，S 甲2>S 乙2， ∴乙台机床生产的零件质量更符合要求．解析：由已知条件分别求出两组数据的平均数和方差，进行比较能判断哪台机床生产的零件质量更符合要求．本题考查平均数、方差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．20.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵a ⃗ =(7,1)，b ⃗ =(tan(π4+a),1)，且a ⃗ //b ⃗ ， ∴7×1−tan(π4+α)×1=0，------------------------------------(3分)∴7−1+tanα1−tanα=0，解得 tanα=34.---------------------(6分)(2)由(1)知tanα=34，sinαcosα+2cos 2α=sinαcosα+2cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+2tan 2α+1---------------(9分) =34+2(34)2+1=4425-------------------------------------(12分)解析：(1)通过向量平移的充要条件，列出方程，利用两角和的正切函数，即可求t a na 的值；(2)表达式sinacosa +2cos 2a 的分母利用“1”的代换，转化为正切函数的形式，然后求解即可． 本题考查两角和的正切函数的应用，向量共线的充要条件，考查计算能力．21.答案：解：从6名志愿者选出3人组成一个翻译小组，共有8个基本事件，分别是(a 1,b 1,c 1)，(a 1,b 1,c 2)，(a 1,b 2,c 1)，(a 1,b 2,c 2)，(a 2,b 1,c 1)，(a 2,b 1,c 2)，(a 2,b 2,c 1)，(a 2,b 2,c 2)且每种选法等可能(1)记“a 1被选中”为事件A ，其中事件A 包含基本事件为(a 1,b 1,c 1)，(a 1,b 1,c 2)，(a 1,b 2,c 1)，(a 1,b 2,c 2)，共4个，所以P(A)=48=12；(2)记“b 1和c 2不全被选中”为事件B ，事件包含的基本事件有：(a 1,b 1,c 1)，(a 1,b 2,c 1)，(a 1,b 2,c 2)，(a 2,b 1,c 1)，(a 2,b 2,c 1)，(a 2,b 2,c 2)共有6个．所以P(B)=68=34．解析：本题考查的知识点是古典概型，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．先用列举法，求出从6人中选出英语、俄语和日语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，(1)再列出a1被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解，(2)求出“b1，c2不全被选中”这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．22.答案：解：∵−1≤sin12x≤1，∴当sin12x=−1，即12x=2kπ−π2,k∈Z,x=4kπ−π,k∈Z时，y max=5，此时自变量x的集合为{x|x=4kπ−π,k∈Z}；当sin12x=1，即12x=2kπ+π2,k∈Z,x=4kπ+π,k∈Z时，y min=1，此时自变量x的集合为{x|x=4kπ+π,k∈Z}．解析：本题考查三角函数的最值，利用函数y=3−2sin12x的性质求出即可.关键是要写成集合形式.属于基础题．。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (53)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (53)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是()A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 球2.直线x+y=0的倾斜角为()A. π3B. π6C. 3π4D. π43.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A. 8B. 8πC. 4πD. 2π4.过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为()A. x+y−4=0B. 3x−y=0C. x+y−4=0或3x+y=0D. x+y−4=0或3x−y=05.若直线ax+2y−1=0与3x−6y−1=0垂直，则a的值为()A. 4B. −4C. 1D. −16.直线l1：(3+m)x+4y=5，l2：2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()A. −1B. −7C. −1或−7D. 1或77.经过点(0,−2)且在两坐标轴上截距和为2的直线方程是()A. x2+y−2=1 B. x−2+y2=1 C. x4+y2=1 D. x4−y2=18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=a，∠BAB1=∠B1A1C1=30°，则异面直线AB与A1C1所成的角、AA1与B1C所成的角分别为()A. 30°，30°B. 30°，45°C. 45°，45°D. 60°，45°9.已知m，n是两条不同直线，α,β,γ,是三个不同平面，则下列正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n10.已知直线l1：(2+m)x+y−3=0，l2：−3x−my+1=0，若l1//l2，则m的值为()A. 1B. 3C. −1或3D. 1或−311.圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+4y−17=0的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离12.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．(Ⅰ)PB与平面ACM的位置关系为___；(Ⅱ)设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，sinα·cosβ的值为____．A. (Ⅰ)平行(Ⅱ)−√23B. (Ⅰ)平行(Ⅱ)√23C. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)−√23D. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)√23E. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)√23F. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)−√23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点(1,1)到直线x+y−1=0的距离为_____________．14.直线l:(2m+1)x+(m+1)y−3m−1=0(m∈R)经过的定点为________________．15.若圆C的圆心为(1,1)，经过原点，则其方程为______ ．16.若直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一个平面的位置关系是____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.画出图中两个几何体的三视图．18.已知如图P为平面ABCD外一点，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF//平面PCE．19.在△ABC中，A(0,3)，C(1,−2)，若点B与点A关于直线y=−x对称，(Ⅰ)试求直线BC的方程；(Ⅱ)试求线段BC的垂直平分线方程．20.求经过点A(3,2)圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程．21.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2−4x+3=0相交于A,B两点．(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程；(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|．22.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，．(1)求四棱锥S−ABCD的体积;(2)求证：面SAB⊥面SBC．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥(N值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．根据已知的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：∵该几何体的正视图和侧视图都是长方形，俯视图是圆，∴该几何体的直观图是圆柱．故选A．2.答案：C解析：【分析】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x+y=0的斜率为−1，设直线的切斜角为α，则，又0≤α<π，∴α=3π．4故选C．3.答案：B解析：【分析】，即可得到圆根据圆柱侧面展开的原理，可得该圆柱的底面圆周长等于4，由此算出底面直径等于4π柱的轴截面面积．本题给出矩形做成圆柱的侧面，求该圆柱的轴截面面积．着重考查了圆柱侧面展开图、圆的周长公式和矩形面积公式等知识，属于基础题．【解答】解：∵用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，且圆柱高为ℎ=2，∴底面圆周由长为4的线段围成，．可得底面圆直径2r=4π∴此圆柱的轴截面矩形的面积为S=2r×ℎ=8．π故选B．解析：解：由题意设直线方程为xa +ya=1(a>0)，点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线上，∴1a +3a=1．∴a=4，所求直线方程为x+y−4=0，当直线经过原点时，此时直线方程为3x−y=0．故选：D．设出直线的截距式方程，代入点的坐标，推出a的值，即可求出直线方程．本题考查直线方程的求法，截距式方程的应用，基本知识的考查．5.答案：A解析：【分析】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线ax+2y−1=0与3x−6y−1=0垂直，∴−a2×(−3−6)=−1，解得a=4．故选A．6.答案：C解析：解：∵直线l1：(3+m)x+4y=5，l2：2x+(5+m)y=8平行，∴3+m2=45+m≠−5−8，解得m=−1，或−7．故选：C．利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：【分析】利用在两坐标轴上截距和为2，设出直线的截距式方程，通过点的坐标求出直线方程即可．本题考查直线的截距式方程的应用，直线方程的应用，注意截距和为2的直线方程的设法，考查计算能力．【解答】解：经过点(0,−2)且在两坐标轴上截距和为2的直线方程设为xa +y2−a=1，(0,−2)代入直线方程可得：−22−a=1，解得a=4，所求直线方程为：x4−y2=1．8.答案：B解析：【分析】本题考查了异面直线所成角，属于基础题．根据题意，可得∠B1A1C1即为异面直线AB与A1C1所成的角，∠BB1C即为异面直线AA1与B1C所成的角，即可得解．【解答】解：由题意，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°，所以AB//A1B1，∴∠B1A1C1即为异面直线AB与A1C1所成的角，∴异面直线AB与A1C1所成的角为30°，∵AA1//BB1，∴∠BB1C即为异面直线AA1与B1C所成的角，又BB1=a，AB1=A1C1=2a，AB=√3a，∴B1C1=BC=a，则四边形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C=45°，所以异面直线AA1与B1C所成的角为45°，故选B．9.答案：D解析：【题型】本题考查线线、线面、线面、面面的位置关系，要熟练掌握定理，并能灵活运用．【题型】解：A：m，n存在相交情况，故A错误；B：α,β存在相交情况，故B错误；C：α,β存在相交情况；D正确．故选D．10.答案：D解析：解：若m=0，则两直线方程分别为2x+y−3=0，和−3x+1=0，此时两直线不平行，故m≠0，则若l1//l2，则满足2+m−3=1−m≠−31，由2+m−3=1−m得m(2+m)=3，即m2+2m−3=0，解得m=1或m=−3，由1−m ≠−31，解得m≠13，综上m=1或m=−3，故选：D根据直线平行的等价条件进行求解即可得到结论．本题主要考查直线平行的应用，根据直线系数之间的比例关系是解决本题的关键．11.答案：A解析：解：两圆的标准方程为C 1：(x +1)2+(y +2)2=4，圆C 2：(x −2)2+(y +2)2=25， 则圆心坐标C 1：(−1,−2)，C 2：(2,−2)，半径r 1=2，r 2=5，圆心距离|C 1C 2|=3=|r 1−r 2|，即圆C 1与圆C 2内切．故选：A ．求出两圆的标准方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的关系进行判断即可． 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，根据圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键． 12.答案：A解析：(I)证明：连接BD ，MO在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO ，所以PB//平面ACM ．(II)解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为∠ADC =45°，且AD =AC =1，所以∠DAC =90°，即AD ⊥AC ．因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且MN =12PO =12，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角α．在Rt △DAO 中，AD =1,AO =12，所以DO =√52， 所以AN =12DO =√54， MN =12PO =12 ， 在Rt △ANM 中，AM =√MN 2+AN 2=√14+516=34， 所以 sinα=MN AM =1234=23 ， 过点N 作NE ⊥AC 于E ，则E 为AO 中点，连接ME ，由三垂线定理可知∠MEN 即为二面角M −AC −D 的平面角，因为MN =12，NE =12，所以ME =√22， 所以cos∠MEN =√22，因为二面角M—AC—B 的大小为β，所以cosβ=−cos∠MEN =−√22， 所以sinα·cosβ=−√23． 故选A ．本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．(I)由O 为AC 中点，M 为PD 中点，结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD ，MO ，则有PB//MO ，从而可证；(II)取DO 中点N ，由PO ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，从而可得∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角α，在Rt △ANM 中求解即可得sinα，过点N 作NE ⊥AC 于E ，则E 为AO 中点， 连接ME ，由三垂线定理可知∠MEN 即为二面角M −AC −D 的平面角，从而可得二面角M — AC — B 的大小为β=π−∠MEN ，在Rt △MNE 中求得cos∠MEN ，即得cosβ，从而求得sinα·cosβ．13.答案：√22解析：【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：利用点到直线的距离可得d =√2=√22， 故答案为√22． 14.答案：(2,−1)解析：【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．先分离参数m ，再令m 的系数等于零，求得x 、y 当的值，可得定点的坐标．【解答】解：直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −3m −1=0(m ∈R)，即直线l ：m(2x +y −3)+(x +y −1)=0，令2x +y −3=0，得x +y −1=0，由{2x +y −3=0x +y −1=0，解得x =2，且y =−1， 可得直线l 经过定点(2,−1)，故答案为(2,−1)．15.答案：(x −1)2+(y −1)2=2解析：解：∵圆C的圆心为(1,1)，经过原点，∴圆C的半径r=√(1−0)2+(1−0)2=√2，∴圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2．故答案为：(x−1)2+(y−1)2=2．由圆C的圆心为(1,1)，经过原点，利用两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．16.答案：平行或在平面内解析：【分析】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．若直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一个平面的位置关系是平行或在平面内．【解答】解：当一条直线与两个平行平面中的一个平面平行时，这条直线与另一个平面一定不能相交，所以这条直线与另一个平面平行或这条直线在另一个平面内．17.答案：解：(1)如图(2)如图解析：利用三视图的画法，直接画出几何体的三视图．本题考查三视图的画法，考查作图能力，是基础题．18.答案：证明：如图，取PC的中点M，连接ME、MF，CD．则FM//CD，且FM=12CD，又∵AE//CD，且AE=12∴FM//AE ，且FM =AE ，即四边形AFME 是平行四边形．∴AF//ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ，∴AF//平面PCE ．解析：本题考查线面平行的证明，属于简单题．取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，推导出四边形AFME 是平行四边形．从而AF//ME ，由此能证明AF//平面PCE ．19.答案：解：(1)∵A(0,3)，点B 与点A 关于直线y =−x 对称，∴B(−3,0)，又C(1,−2)两点，∴由两点式得BC 的方程为y =−2−01+3(x +3)，即x +2y +3=0．(2)设BC 中点D 的坐标为(x,y)，则x =−3+12=−1，y =−22=−1． ∵BC 的斜率k 1=−12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2=2，由点斜式得直线DE 的方程为y +1=2(x +1)，即2x −y +1=0．解析：(1)利用B 和C 的坐标，根据直线方程的两点式直接求出直线方程即可；(2)根据中点坐标公式求出B 与C 的中点D 的坐标，求出直线BC 的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为−1求出BC 垂直平分线的斜率，由D 的坐标，写出线段BC 的垂直平分线的方程即可． 考查学生会根据一点和斜率或两点坐标写出直线的方程，掌握两直线垂直时斜率的关系．会利用中点坐标公式求线段的中点坐标．20.答案：解：设所求圆心坐标为(a,2a)，则 依题意得√5=√(a −3)2+(2a −2)2=r ，解之得：a =2，r =√5或a =45，r =√5，∴所求的圆的方程为：(x −2)2+(y −4)2=5或(x −45)2+(y −85)2=5．解析：设出圆心的坐标为(a,2a)，利用两点间的距离公式表示出圆心到A 的距离即为圆的半径，根据圆与直线y =2x +5相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．21.答案：解：(1)由题知圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1=√5，圆C 2：x 2+y 2−4x +3=0为(x −2)2+y 2=1，圆心C 2(2,0)，半径r 2=1，设切线方程为y =kx ，即kx −y =0，则圆心C 2到切线的距离为d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33x ； (2)由{x 2+y 2−4x +3=0x 2+y 2=5两式作差得公共弦AB 的直线方程为x =2， 则圆心C 1到直线AB 的距离d =2，由勾股定理得|AB |=2√r 12−d 2=2√5−4=2．解析：本题考查圆的标准方程，圆的切线方程、以及两圆公共弦的弦长问题，是基础题．(1)设切线方程为y =kx ，由圆心C 2到切线的距离为d =√k 2+1=1，求得k =±√33，问题得解； (2)两圆方程作差得公共弦AB 的直线方程为x =2，易得圆心C 1到直线AB 的距离d =2，故|AB |=2√r 12−d 2=2，问题得解．22.答案：(1)解：∵底面是直角梯形的四棱锥S −ABCD 中，∠ABC =90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC =1，AD =12．∴四棱锥S −ABCD 的体积：V =13Sℎ=13×12×(AD +BC)×AB ×SA =16×(12+1)×1×1=14；(2)证明：∵SA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴SA ⊥BC ，∵AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ，∴BC ⊥面SAB ，∵BC ⊂面SBC ，∴面SAB ⊥面SBC ．解析：本题考查棱锥的体积公式，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．(1)由题设知四棱锥S −ABCD 的体积：V =13Sℎ=13×12×(AD +BC)×AB ×SA ，由此能求出结果；(2)由SA ⊥面ABCD ，知SA ⊥BC ，由AB ⊥BC ，BC ⊥面SAB ，由此能够证明面SAB ⊥面SBC ．。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (7)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (7)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC中，若sinC=(√3cosA+sinA)cosB，则()A. B=π3B. 2b=a+cC. △ABC是直角三角形D. a2=b2+c2或2B=A+C2.已知数列{a n}的通项公式为a n=5−kn(k≠0)，a1，a3，a4依次为等比数列{b n}的前3项，则a nb n的最大值为()A. 4B. 2C. 1D. 03.不等式|3x−2|>4的解集是()A. (2,+∞)B. (−∞,−23)C. (−∞,−23)∪(2,+∞) D. (−23,2)4.半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为()A. √3RB. √32R C. √2R D. √22R5.如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1−ABCD中，异面直线AB与A1D1所成的角等于()A. π6B. π4C. π3D. π26.已知直线l，m和平面α，β()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，m//α，则l//mC. 若l⊥α，m⊥β，则l//mD. 若l⊥α，l⊥β，则α//β7.将自然数1，2，3，…，n，…按第k组含k个数的规则分组：(1)，(2,3)，(4,5，6)，…那么2012所在的组是()A. 第64组B. 第63组C. 第62组D. 第61组8.下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是()A. ①②B. ②④C. ①③D. ②③9. 一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 3πB. 6πC. 12πD. 24π10. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，则AE 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A. 12B. √63C. √66D. √211. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,AB =AA 1=2,AD =1，正方形CC 1D 1D 所在平面记为α，若经过点A 的直线l 与长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所有的棱所成角相等，且l ∩α=M ，则线段AM 的长为( )A. √332B. 3C. √6D. √312. △ABC 中，若A =600，AC =4，S △ABC =3√3，则BC =( ) A. √13 B. 2√3 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是BD 上的一点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +527AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为______．14. 已知θ∈(3π4,π).给出下列判断：①sin θ+cos θ<0；②sin θ−cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ+cos θ>0.其中正确的是__________(填序号)．15. M 是棱长为2cm 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm ．16. 数列{a n }满足S n =3n +2n +1，则a 4= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ca+b +sinAsinB+sinC =1；(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若b =√2，求a 2+c 2的最大值．18.如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E=4，C1F=3，求几何体EFC1−DBC的体积．19.某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x(百套)的销售额(单位：万元)P(x)={−0.4x2+4.2x−0.8,0<x≤5 14.7−9x−3,x>5(1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．(注：利润=销售额−成本，其中成本=设计费+生产成本)20.如图：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，PB=PD=2√2，点E在PD上，且PE=13PD．(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；21.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6.D、E分别是AC、AB上的点，且DE//BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．(Ⅰ)求证：BC⊥平面A1DC；(Ⅱ)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；(Ⅲ)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22.在正项无穷等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3=5，a1，√S3，a5成的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=(√e)a n，求b2+b5+b8+⋯+b3n−1．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案．本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题． 【解答】解：△ABC 中，∵C =π−(A +B)，∴sinC =sin(A +B)， 代入sinC =(√3cosA +sinA)cosB 得， sin(A +B)=(√3cosA +sinA)cosB ， 化简可得，cosAsinB =√3cosAcosB ，① ∵0<A <π，∴分两种情况讨论，(1)当cosA ≠0时，①化为sinB =√3cosB ，则tanB =√3， ∵0<B <π，∴B =π3，则A +C =π−B =2π3=2B ；(2)当cosA =0时，A =π2，则a 2=b 2+c 2， 综上可得，a 2=b 2+c 2或2B =A +C ， 故选D ． 2.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．由已知列式求得k ，进一步求出等比数列的通项公式，代入a n b n ，分析n 的取值可得a nb n 的最大值． 【解答】解：由数列{a n }的通项公式为a n =5−kn(k ≠0)， 可得a 1=5−k ，a 3=5−3k ，a 4=5−4k ， 由a 1，a 3，a 4依次为等比数列{b n }的前3项，可得a 32=a 1⋅a 4，即(5−3k)2=(5−k)(5−4k)，解得k =1． ∴a n =5−n ，b 1=a 1=4，q =a 4a 3=12，则b n =4⋅(12)n−1=23−n ． ∴a nb n=5−n23−n ．当n =1时，a1b 1=1，当n =2时，a2b 2=32，当n =3时，a3b 3=2， 当n =4时，a 4b 4=2，当n ≥5时，an b n ≤0．∴a nb n的最大值为2．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．【解答】解：|3x−2|>4解得3x−2<−4或3x−2>4，所以x<−23或x>2．所以不等式|3x−2|>4的解集是．(−∞,−23)∪(2,+∞)．故选C．4.答案：B解析：【分析】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：R2，由此能求出圆锥的高．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：R2，所以圆锥的高：√R2−(R2)2=√3R2．故选：B．5.答案：D解析：解：∵在正方体A1B1C1D1−ABCD中，A1D1//AD，∴AB与AD所成角∠DAB即为异面直线AB 与A1D1所成的角．∵∠DAB=π2，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于π2．故选D．欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．本题主要考查异面直线所成角的求法，关键是把异面直线所成角转化为平面角．6.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，属于基础题．根据空间中线面的位置关系逐一判断即可．【解答】解：若l//α，l//β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l//α，m//α，则l与m平行，异面或相交，故B错误；若l⊥α，m⊥β，α//β，则l//m，故C错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．7.答案：B解析：【分析】本题考查数列的应用，归纳推理，解题时要认真审题，仔细求解．注意观察，每组数的最后一个数是自然数的和．算得：前62项和为=1953，前63项和为=2016，故2012在第63组内．【解答】解：注意观察，每组数的最后一个数是自然数的和．1在第1组末，是1的和；3在第2组末，是1+2的和；6在第3组末，是1+2+3的和；…自然数前n项和求和公式为：S n=n(n+1)，2算得：前62项和为=1953，前63项和为=2016，所以：第62组末，是1+2+3+⋯+62的和，最后一项为1953；第63组末，是1+2+3+⋯+63的和，最后一项为2016；故2012在第63组内．故选：B8.答案：B解析：解：对于①，分别在两个平面内的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于②，若两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面也无公共点，必平行于另一个平面，故正确；对于③，如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行，故错误；对于④，如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，存在两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；故正确的命题是：②④，故选：B根据空间直线与直线平行，平面与平面平行，直线与平面平行的判定方法和几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.答案：B解析：解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=√22+12+ 12=√6，所以这个球的表面积：4πr2=6π．故选：B．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力． 10.答案：C解析：解：作EF ⊥BD ，垂足为F ，连接AF ，则∵平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD =BF ， ∴EF ⊥平面ABD ，∴∠EAF 为AE 与平面ABD 所成角． 设AD =4，则DF =√2，∴由余弦定理可得AF =√16+2−2⋅4⋅√2⋅√22=√10，∵EF =√2， ∴AE =√12， ∴sin∠EAF =EFAE =√2√12=√66． 故选：C ．作EF ⊥BD ，垂足为F ，连接AF ，则∠EAF 为AE 与平面ABD 所成角，求出EF ，AE ，即可求出AE 与平面ABD 所成角的正弦值． 本题考查折叠问题，注意折叠前后，同一个半平面中的线线关系不变，考查空间想象能力计算能力． 11.答案：D解析：【分析】本题考查空间向量的应用，利用空间向量计算角和相等的长度，关键是确定点M 的位置，空间直角坐标系坐标系的建立，考查转化能力和计算能力，属于中档题． 建立空间直角坐标系，根据题意求出点M 的坐标后可得所求长度． 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D −xyz ．由题意得A(1,0,0)，设点M 的坐标(0,y,z)(y >0,z >0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,y,z)． 由题意得与DA,DC,DD 1平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，b ⃗ =(0,1,0)，c⃗ =(0,0,1)．因为直线AM 与所有的棱所成角相等，所以|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,a ⃗ >|=|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ >|=|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,c ⃗ >|，因此|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅a ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|a ⃗ |=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅b ⃗||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|b ⃗ |=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅c ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|c ⃗ |， 所以1|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=y |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=z|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，解得y =1,z =1，所以点M 的坐标(0,1,1)， 即为正方形DCC 1D 1对角线的交点，因此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，所以|AM|=√3． 故选D ．12.答案：A解析：解：根据题意，△ABC 中，若S △ABC =3√3， 则有S △ABC =12×AC ×AB ×sinA =3√3，解可得AB =3， 则BC 2=AB 2+AC 2−2×AB ×AC ×cosA =13， 则BC =√13； 故选：A ．根据题意，由三角形面积公式可得S △ABC =12×AC ×AB ×sinA =3√3，解可得AB 的值，又由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2−2×AB ×AC ×cosA ，计算可得答案．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题．13.答案：727解析：解：设BE ⃗⃗⃗⃗⃗=t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t 4AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +527AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +527AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{m =1−t 527=t 4，解得m =727．故答案为727．利用向量共线定理可设BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量的运算法则及已知可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用已知及向量相等即可得出．熟练掌握向量的共线定理、运算法则及向量相等是解题的关键． 14.答案：①②③解析：【分析】本题主要考查三角函数线.根据θ∈(3π4,π)时三角函数线即可求出结果． 【解答】解：∵θ∈(34π,π)时，θ的正弦线比余弦线短， 且正弦线数量为正，余弦线数量为负， 故④错误． 故答案为①②③．15.答案：√13解析：【分析】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，属于基础题．图形的展开方式有以BC为轴和以BB1为轴两种，分别求出距离比较大小即可得出结论．【解答】解：由题意，若以BC为轴展开，则AM两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，3，故两点之间的距离是√13，若以BB1为轴展开，则AM两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是√17，故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是√13cm，故答案为√13．16.答案：56解析：【分析】本题考查数列递推式，训练了由数列的前n项和求数列的项，是基础题，直接由a4=S4−S3求得答案．【解答】解：由S n=3n+2n+1，得a4=S4−S3=(34+2×4+1)−(33+2×3+1)=56．故答案为：56．17.答案：解：(Ⅰ)∵ca+b +sinAsinB+sinC=1，∴ca+b +ab+c=1，化简得：bc+c2+a2+ab=ab+ac+b2+bc，即a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =12，又∵B∈(0,π)，∴B=π3．(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理：b2=a2+c2−2accosB，∴(√2)2=a2+c2−2accosB，即2=a2+c2−ac，可得：ac=(a2+c2)−2，∵ac≤a2+c22，∴(a2+c2)−2≤a2+c22，可得：a2+c2≤4，(当且仅当a=c时取等号)∴a2+c2的最大值为4．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=ac，利用余弦定理可求cos B，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(Ⅱ)由余弦定理可得：ac=(a2+c2)−2，由基本不等式可求a2+c2≤4，即可得解a2+c2的最大值．18.答案：解：如图，连接DF，DC1，则几何体EFC1−DBC被分割成三棱锥D−EFC1及四棱锥D−CBFC1，所以几何体EFC1−DBC的体积V=V D−EFC1+V D−CBFC1=13×12×3×4×6+13×12×(3+6)×6×6=12+54=66，故几何体EFC1−DBC的体积为66．解析：本题考查体积的求法，考查了割补法在求解几何体体积中的运用，是中档题．直接利用等积法把几何体EFC1−DBC的体积转化为三棱锥D−EFC1及四棱锥D−CBFC1的体积求解．19.答案：解：(1)考虑0<x≤5时，利润y=P(x)−(2+x)=−0.4x2+4.2x−0.8−(2+x)=−0.4x2+3.2x−2.8，令y=−0.4x2+3.2x−2.8≥0，得1≤x≤7，所以x min=1；(2)当0<x≤5时，由(1)知y=−0.4x2+3.2x−2.8=−0.4(x−4)2+3.6，所以当x=4时，y max=3.6(万元).当x >5时，利润y =P (x )−(2+x )=14.7−9x−3−(2+x )=9.7−(x −3+9x−3)．因为x −3+9x−3≥2√(x −3)·9x−3=6， (当且仅当x −3=9x−3即x =6时，取“=”)，综上，当x =6时，y max=3.7(万元)．解析：本题考查了函数模型的选择与应用，同时考查了分段函数的最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)利润y =P (x )−(2+x )=−0.4x 2+4.2x −0.8−(2+x )=−0.4x 2+3.2x −2.8≥0，进而即可得到结果；(2)分别求出每一段上利润的最大值，进而即可得到结果．20.答案：(Ⅰ)证明：∵PA =AB =2，PB =2√2，∴PA 2+AB 2=PB 2，∴PA ⊥AB ，同理可证PA ⊥AD ，又AB ∩AD =A ，∴PA ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)解：以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P (0,0,2)平面ACD 的一个法向量为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， 因为PE =13PD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,43)， 设平面EAC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,43)， ∴{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23y +43z =0, 取x =2，得n⃗ =(2,−2,1)， 则cos <n ⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=22×√9=13， 设二面角E −AC −D 的平面角为θ，由图可知此二面角θ为锐角，∴cosθ=13， ∴二面角E −AC −D 的余弦值为13．解析：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．(Ⅰ)由已知条件推导出PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −D 的余弦值．21.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC 中，∠C =90°，DE//BC ，∴AD ⊥DE ，可得A 1D ⊥DE ．又∵A 1D ⊥CD ，CD ∩DE =D ，∴A 1D ⊥面BCDE ．∵BC ⊂面BCDE ，∴A 1D ⊥BC ．∵BC ⊥CD ，CD ∩BC =C ，∴BC ⊥面A 1DC.…(4分)(Ⅱ)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． …(5分)可得D(2,0，0)，E(2,2，0)，B(0,3，0)，A 1(2,0，4)．设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1BC 的一个法向量， ∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4)，∴{3y =02x +4z =0， 令x =2，得y =0，z =−1．所以n⃗ =(2,0，−1)为平面A 1BC 的一个法向量． …(7分) 设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sinθ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n >|=√5⋅√5=45． 所以BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为45. …(9分)(Ⅲ)设D(x,0，0)，则A 1(x,0，6−x)，∴A 1B =√(x −0)2+(0−3)2+(6−x −0)2=√2x 2−12x +45…(12分)根据二次函数的图象与性质，可得当x =3时，A 1B 的最小值是3√3，由此点D 为AC 的中点即D 为AC 中点时，A 1B 的长度最小，最小值为3√3. …(14分)解析：(I)由Rt △ABC 中，∠C =90°且DE//BC ，证出A 1D ⊥DE.结合A 1D ⊥CD ，可得A 1D ⊥面BCDE ，从而得到A 1D ⊥BC.最后根据线面垂直判定定理，结合BC ⊥CD 可证出BC ⊥面A 1DC ；(II)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、A 1各点的坐标，从而算出CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出n ⃗ =(2,0，−1)为平面A 1BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值；(III)设D(x,0，0)，可得A 1(x,0，6−x)，由此得到A 1B =√2x 2−12x +45，结合二次函数的图象与性质可得当D 为AC 中点时A 1B 的长度最小，并且这个最小值为3√3．本题在四棱锥中求证线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值并探索线段长度的最小值．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究直线与平面所成角和二次函数的性质等知识，属于中档题．22.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得，{a 3=5(√S 3)2=a 1a 5所以{a 1+2d =53a 1+3d =a 1(a 1+4d)， 解得{a 1=1d =2或{a 1=152d =−54(舍去)． 所以a n =2n −1．(2)因为a n =2n −1，所以b n =(√e)a n =e n−12，数列{b n }是等比数列，所以b 2+b 5+b 8+⋯+b 3n−1=e 32(1−e 3n )1−e ．解析：(1)利用已知条件列出方程组求出数列的首项，然后求解通项公式．(2)化简通项公式，利用等比数列求解数列的即可．本题考查数列的递推关系式，等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力．。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (30)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (30)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若1a <1b <0(a,b ∈R)，则下列不等式恒成立的是( )A. a <bB. a +b >abC. |a|>|b|D. ab <b 2 2. 过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 3. 若tan(π+α)=2，则sin2α=( )A. −25B. −45C. 25D. 454. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −5≤0x −2y +1≤0x −1≥0，则目标函数z =x +2y −1的最大值为( )A. 6B. 7C. 8D. 95. 某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是( )A. 23 B. 43 C. 4D. 2√536. 设等比数列{a n }的首项a 1=13，前n 项和为S n ，若S 1、2S 2、3S 3成等差数列，则{a n }的通项为( )A. a n =13nB. a n =3nC. a n =13n−1D. a n =131−n7. 若直线l//平面α，直线a ⊂α，则l 与a 的位置关系是( )A. l//aB. l 与a 异面C. l 与a 没有公共点D. l 与a 相交 8. △ABC 中，a =√3,A =π3,4bsinB =csinC ，则cosC =( )A. √32B. −√32C. −√32或√32D. 09. 设函数f(x)={2−|x|, x <1|x 2−2x|, x ≥1，则不等式f(x)≤3的解集是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [3,+∞)10.若点(0,12)到直线l:x+3y+m=0(m>0)的距离为√10，则m=()A. 7B. 172C. 14D. 1711.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，S n为数列{a n}的前n项和，则S3−S2S5−S3的值为()A. −2B. −3C. 2D. 312.某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为()A. 43B. 2 C. 83D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，点P(1,2)到直线4x+3y+5=0的距离是__________．14.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a7=______．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为___________．16.函数的最大值为______，此时x=__________________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求过点(2,−1)且与直线3x−4y−2=0平行的直线方程．18.如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．(Ⅰ)求三棱锥A−FGC的体积．(Ⅱ)求证：平面GEF⊥平面AEF．19.2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元(a为常数，2≤a≤5).设每枚徽章的售价为x元(35≤a≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．(1)求该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x的函数关系式；(2)当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m⃗⃗⃗ =(1,1)，n⃗(−cosA,sinA)，记f(A)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(1)求f(A)的取值范围(2)若m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为π3，C=π3，c=√6，求b的值．21.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF//平面BCE；(2)求二面角C−BE−D的余弦值的大小．22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=12，a n+1=n+12na n ．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =n(2−S n )，n ∈N ∗，若集合M ={n|b n ≥λ,n ∈N ∗}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵1a <1b<0(a,b∈R)，∴ab>0，∴b<a，∴ab<b2．故选：D．由1a <1b<0(a,b∈R)，可得ab>0，即可b<a．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查点到直线的距离公式，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．由题意，对直线斜率进行分类讨论求解即可．【解答】解：当直线斜率不存在时，直线为x=1，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y−3=k(x−1)，即kx−y−k+3=0，则2=1，解得k=43，∴直线方程为4x−3y+5=0，故存在2条符合条件的直线．故选B．3.答案：D解析：解：∵tan(π+α)=tanα=2，∴sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：C解析：解：由约束条件{x +y −5≤0x −2y +1≤0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x +y −5=0，解得A(1,4)，化目标函数z =x +2y −1为y =−x2+z2+12，由图可知，当直线y =−x2+z2+12过A 时，z 有最大值为8．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD ，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2， 所以该四棱锥的体积是V =13×2×2=43．故选：B ．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥， 结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题． 6.答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，若S1、2S2、3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，即为4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，即有4+4q=4+3q+3q2，解得q=13，即有a n=a1q n−1=13⋅(13)n−1=13n．故选A．设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式即可得到．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，考查化简的运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵l//α，∴直线l与平面α没有公共点，又a⊂α，∴直线a与直线l没有公共点．故选C．利用线面平行的定义判断，直线与平面内的直线没有公共点．本题考查线面平行的定义与性质．8.答案：D解析：解：∵a=√3,A=π3,4bsinB=csinC，∴由正弦定理可得4b2=c2，可得：c=2b，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得3=b2+4b2−2b⋅2b⋅12，可得b=1，c=2，∴cosC=a2+b2−c22ab =3+1−42×√3×1=0，故选：D．由已知利用正弦定理可求c=2b，进而由余弦定理可求b，c的值，根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：函数f(x)的图象如图，则不等式f(x)≤3的解集是{x|x≤3}；故选A．画出函数图象，利用图象找出满足不等式的x范围．本题考查了利用数形结合解不等式；关键是正确画出函数图象，直观的求满足不等式的自变量范围．10.答案：B解析：【分析】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．使用点到直线的距离公式可得m的方程，求出m即可．【解答】解：∵点(0,12)到直线l:x+3y+m=0(m>0)的距离为√10，∴|3×12+m|√1+9=√10，又m>0，∴m=172．故选B．11.答案：C解析：解：公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，∴(a1+2d)2=a1(a1+3d)，化为：a1=−4d．则S3−S2S5−S3=a3a5+a4=a1+2d2a1+7d=−4d+2d−8d+7d=2．故选：C．公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1⋅a4，可得(a1+2d)2=a1(a1+3d)，化为：a1=−4d.代入S3−S2 S5−S3=a3a5+a4，化简即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：几何体为大三棱锥P−ACD中切除一个小三棱锥P−ABD得到的几何体，直观图如图所示：其中AD⊥CD，AD=4，BC=BD=1，PD⊥底面ABC，PD=2，∴V P−ABC=13S△ABC⋅PD=13×12×1×4×2=43．故选A．作出几何体的直观图，根据三视图中的数据计算体积．本题考查了棱锥的三视图与体积计算，属于中档题．13.答案：3解析：【分析】本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．利用点到直线的距离公式，可求点P(1,2)到直线4x+3y+5=0的距离．【解答】解：∵点P(1,2)，直线4x+3y+5=0，∴由点到直线的距离公式可得点P(1,2)到直线4x+3y+5=0的距离为d=|4×1+3×2+5|√32+42=155=3．故答案为3.14.答案：1解析：【分析】本题考查数列的递推关系，考查运算求解能力，属于基础题．根据已知条件，直接计算即可．【解答】解：由已知，a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2，能够计算出，a3=1,a4=−1,a5=−2,a6=−1,a7=1．故答案为1．15.答案：√33解析：【分析】本题考查线面角，考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力，属于基础题．设正方体的棱长为a，易得四面体C1−A1BD为棱长是√2a的正四面体，设AC1∩平面A1BD=O，易证AC1⊥面A1BD，则∠C1BO即为直线BC1与平面A1BD所成的角，求出BO，即可求解．【解答】解：设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，可得四面体C1−A1BD为棱长是√2a的正四面体，连结AC1，设AC1∩面A1BD=O，易证AC1⊥面A1BD，则C1O⊥面A1BD，则BO=√2a×sin60°×23=√63a，则BC1与平面A1BD所成角的余弦值为BOBC1=√63a√2a=√33，故答案为√33．16.答案：解析：【分析】本题考查三角函数求最值，属于基础题．【解答】解：由于，得y max=5,此时，即故答案为．17.答案：解：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)．因为所求直线过点(2,−1)，所以3×2−4×(−1)+c=0，解得c=−10，所以所求直线的方程为3x−4y−10=0．解析：本题主要考查直线的一般式方程及与已知直线平行的直线系方程，是基础题．先设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)，根据其过点(2,−1)可求得c的值，进而可得所求直线的方程．18.答案：(Ⅰ)解：因为四边形BDEF为矩形，所以FB⊥BD，因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊂平面BDEF，所以FB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，所以AB⊥FB，又AB⊥BC，FB∩BC=B,FB⊂平面BCGF，BC⊂平面BCGF，所以AB⊥平面BCGF，所以V A−FGC=13S△FGC⋅AB=13×12×1×2×2=23．(Ⅱ)证明：如图，设EF中点为M，连接AM、GM、AG、AC.在Rt△ACG中可求得AG=3；在直角梯形FBCG、EDCG中分别可求得FG=EG=√5；在Rt△ABF、Rt△ADE中分别可求得AF=AE=2√2；从而在等腰△AEF，等腰△GEF中分别求得AM=√6，GM=√3，此时在△AMG中有AM2+GM2=AG2，所以AM⊥GM.因为M是等腰△AEF底边中点，所以AM⊥EF，因为，所以AM⊥平面GEF，因为，所以平面GEF⊥平面AEF．解析：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(Ⅰ)由平面BDEF⊥平面ABCD，得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB⊥平面BCGF，即AB为棱锥A−FGC的高；(Ⅱ)先利用线面垂直的判定定理证明AM⊥平面GEF，进而证明面面垂直．19.答案：解：(1)该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x，日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚，比例系数为：10e40．该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x的函数关系式：L(x)=10e40⋅x−30−ae x(35≤x≤41)；(2)当35≤x≤40时，L(x)=10e40⋅x−30−ae x ，L′(x)=10e40⋅31+a−xe x，4≤a≤6，35≤31+a≤37，因为35≤x≤40，令L′(x)=0得x=a+31当35≤x≤a+31时L′(x)>0当a+31≤x≤40时L′(x)<0故L max(x)=L(a+31)=10e9−a当40≤x≤50时，L(x)=(x−30−a)16000x2显然L(x)在40≤x≤50时，L′(x)=16000(x2−(x−30−a)2x)x4=16000(60+2a−x)x3>0所以L(x)在40≤x≤50时为增函数故40≤x≤50时，L max(x)=L(50)又L(a+31)=10e9−a≥10e3L(50)=325(20−a)≤32×165，故L(a+31)>L(50)于是每件产品的售价x为a+31时才能使L(x)最大，L(x)的最大值为10e9−a综上，若2≤a≤4，当每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润L(x)最大，且L(x)max=10(5−a)e5；若4<a≤5，当每枚徽章的售价为(a+31)元时，该商店的日利润L(x)最大，且L(x)max=10e9−a．解析：(1)求出比例系数，利用该商店的日利润L(x)等于销售量与每枚徽章的利润与比例系数乘积，列出函数关系式；(2)通过x的范围，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，然后求出L(x)的最大值．本题考查函数的实际应用，对数在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．难度比较大．20.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(1,1)，n⃗(−cosA,sinA)，∴f(A)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−cosA+sinA=√2sin(A−π4)，∵0<A<π，∴−π4<A−π4<3π4，∴−√22<sin(A−π4)≤1，则f(A)的取值范围为(−1,√2]；(2)∵m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为π3，∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =|m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗ |×cos π3=√2×1×12=√22， 即−cosA +sinA =√2sin(A −π4)=√22， ∴sin(A −π4)=12， 因为，所以， ∴A −π4=π6， 解得：A =5π12， ∵C =π3，∴B =π4， 由正弦定理c sinC =b sinB ，即√6sin π3=bsin π4，解得：b =2．解析：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．(1)利用平面向量数量积运算法则列出f(A)，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A 的范围确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f(A)的范围即可；(2)利用平面向量数量积运算求出m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值，确定出f(A)的值，进而求出A 的度数，由C 的度数求出B 的度数，再由c ，sin C ，以及sin B 的值，利用正弦定理求出b 的值即可．21.答案：证明：(1)设AD =DE =2AB =2a ，以A 为原点，AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，A(0,0，0)，C(2a,0，0)，B(0,0，a)，D(a,√3a,0)，E(a,√3a,2a)．∵F 为CD 的中点，∴F(3a 2,√3a 2,0)， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,√3a 2,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,a)， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0，−a)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，设CE 的中点为G ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AF//BG ，又∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF//平面BCE ．解：(2)设平面BCE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0m⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax −az =0，令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)． 设平面BDE 的一个法向量n ⃗ =(i,j ，k)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,−a)， 则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ai +√3aj +ak =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ai +√3aj −ak =0，令i =√3，得n ⃗ =(√3,−1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√64． 由图可知二面角C −BE −D 为锐二面角，故二面角C −BE −D 的余弦值为√64．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)设AD =DE =2AB =2a ，以以A 为原点，AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF//平面BCE ．(2)求出平面BCE 的一个法向量和平面BDE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角C −BE −D 的余弦值．22.答案：解：(I)由已知得a n+1n+1=12a n n，其中n ∈N ∗ ∴数列{a n n }是公比为12的等比数列，首项a 1=12 ∴a n n =(12)n∴a n =n2n(2)由(1)知S n =12+22+32+⋯+n 2，12S n =122+223+324…+n 2n+1， 两式相减可得，12S n =12+122+123+⋯+12n −n 2n+1，=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1∴s n =2−n+22n因此，b n =n(n+2)2n ，b n+1−b n =(n+1)(n+3)2n+1−n(n+2)2n =−n 2+32n+1所以，当n =1，b 2−b 1>0即b 2>b 1，n >2时，b n+1−b n <0即b n+1−b n <0b 1=32,b 2=2,b 3=158,b 4=32,b 5=3532,b 6=34要使得集合M有5个元素，实数λ的取值范围为34<λ≤3532．解析：(I)由已知得a n+1n+1=12a nn，结合等比数列的通项公式可求a nn，进而可求a n(2)由(1)知S n=12+222+323+⋯+n2n，利用错位相减可求s n，然后利用数列的单调性可求b n的最大值与最小值，进而可求实数λ的取值范围本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用，数列的错位相减求和方法的应用，及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用，试题具有一定的综合性。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (14)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (14)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x−y+1=0的倾斜角为()A. π6B. π4C. 3π4D. 5π62.己知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)直线l过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为()A. √77B. 2√55C. 25√5 D. 27√73.表面积为16π的球的内接正方体的体积为()A. 64√39B. 169 C. 16 D. 84.圆(x−1)2+y2=1的圆心到直线x−y+a=0的距离为√2，则a的值为()A. −1或−3B. −1或3C. 1或−3D. 1或35.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，离心率为√32，则椭圆的方程为()A. x24+y23=1 B. x216+y23=1 C. x216+y212=1 D. x216+y24=16.已知直线m，n，平面α，β，则下列四个结论正确的是()A. m⊥α，α⊥β⇒m//βB. m//α，n⊂α⇒m//nC. m⊥α，n//α⇒m⊥nD. m⊥n，m⊥α，n//β⇒α⊥β7.椭圆x22+y 2=1的弦AB被点(12,12)平分，则弦AB的长|AB| 为()．A. 5√66B. 6√55C. 56D. 658.若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则m的取值范围是()A. (−3,5)B. (−5,3)C. (−3,1)∪(1,5)D. (−5,1)∪(1,3)9.已知椭圆x216+y2m2=1(0<m<4)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为10，则m的值是()A. 2B. 2√2C. 3D. 2√310.已知圆x2+y2=r2 (r>0)与抛物线y2=2x交于A,B两点，与抛物线的准线交于C,D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于()A. √22B. √2 C. √52D. √511.已知四棱锥S−ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB=π，SA=2，BC=2√63，∠SBA的大小为π3，若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 4√2πB. 4πC. 8πD. 16π12.曲线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为()A. 118B. 54C. 32D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为12c，则双曲线的离心率为______________．14.直线3x−4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k=__________．15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=2|BF|=6，则p=___________．16.抛物线x2=2py(p>0)焦点为F，其准线与双曲线x2−y2=1交于A，B两点，若△ABF为正三角形，则P=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．(1)求证：EF//平面A1BD；(2)若A1B1=A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.18.已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x=1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0)．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，底面四边形ABCD为平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，PA=PD，E为PD中点，F为BC中点．(Ⅰ)求证：EF//平面PAB；(Ⅱ)当EF=√2时，求二面角F−PD−A的余弦值．20.如图：在三棱锥P−ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．(1)求证：EF⊥PD；(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；(3)求二面角E −PF −B 的正切值．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C 的离心率为e ．(1)若点A 的坐标为(2e,12)，求椭圆C 的方程； (2)记AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； ②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥√33，求e 的取值范围．22. 已知抛物线C:y 2=8x ，O 为坐标原点，动直线l:y =k(x +2)与抛物线C 交于不同两点A,B(1)求证：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数； (2)求满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点M 的轨迹方程。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (20)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (20)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知b<2a，3d<c，则下列不等式一定成立的是()A. 2a−c>b−3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c2.若a⊥b，b⊥c，则有()A. a//cB. a⊥cC. c异面D. A，B，C选项都不正确3.若sinx=3sin(x−π2)，则cosxcos(x+π2)=()A. 310B. −310C. 34D. −344.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)的最小正周期为π，则ω=()A. 1B. ±1C. 2D. ±25.若cosα=−12，0<α<π，则tanα=()A. √3B. √33C. −√3 D. −√336.当x<0时，函数f(x)=x2+1x2−x−1x的最小值是()A. −94B. 0C. 2D. 47.已知直线过点(−1,2)且与直线2x−3y+4=0垂直，则该直线方程为()A. 3x+2y−1=0B. 2x+3y−1=0C. 3x+2y+1=0D. 2x+3y−1=08.若等差数列{a n}中，a3=3，则{a n}的前5项和S5等于()A. 10B. 15C. 20D. 309.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12(弦+矢)×矢，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()(参考数据：π≈3.14，√3≈1.73)A. 220平方米B. 246平方米C. 223平方米D. 250平方米10.设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是()A. 若l⊥α.m⊥α，则l//mB. 若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊄α，m//n，则n//αD. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F为AB、B1C1的中点，则AD1与EF所成角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘12.在等比数列{a n}中，a1+a2=10，a3+a4=60，则a7+a8=()A. 110B. 160C. 360D. 2160二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−1),b⃗ =(λ,1)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则λ=______．14.在△ABC中，AC=7，BC=13，D在边BC上，BD=10，AD=5，则AB=________．15.几何体三视图如图所示，其中俯视图为边长为1的等边三角形，则此几何体的体积为______．16.已知圆C：(x−1)2+(y+2)2=4，若直线l：3x+4y+m=0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB=60°，则实数m的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知tanα=−3．4(1)求tan2α的值；).(2)若α是第二象限角，求sin(2α+π618.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=3，S11=0，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，S n最大，并求出S n的最大值．19.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．20.已知{a n}，是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−6x+8=0的根．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n2n}的前n项和．21.如图，在直三棱柱ABC−DEF中，底面ABC的棱AB⊥BC，且AB=BC=2.点G，H在侧棱CF上，且CH=HG=GF=1．(1)证明：EH⊥平面ABG；(2)求点C到平面ABG的距离．22.由动点P引圆O：x2+y2=4的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，若∠APB=90°．(1)求点P的轨迹方程；(2)直线l：mx−y+1=0与圆O的交点为M、N，求MN的中点Q的轨迹方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题．由不等式性质直接求解即可．【解答】解：由题2a>b,c>3d得2a+c>b+3d，故答案选C．2.答案：D解析：解：∵a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，也可能相交，也可能异面故A，B，C均不正确故选D由线线垂直的定义及几何特征，可得当a⊥b，b⊥c时，a与c可能平行，也可能相交，也可能异面，比照四个答案，可得结论．本题考查的知识点是空间线线关系的判断，熟练掌握空间线线关系的定义，判定，性质及几何特征是解答本题的关键．3.答案：A解析：解：sinx=3sin(x−π2)=−3cosx，解得：tanx=−3，所以：cosxcos(x+π2)=−sinxcosx=−tanxtan2x+1=310，故选：A．直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的周期性，属于基础题．函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π|ω|，据此进行求解．【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π|ω|，∴T=2π|ω|=π，即|ω|=2πT=2，故ω=±2．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα．【解答】解：∵cosα=−12，0<α<π，∴sinα=√32，∴tanα=sinαcosα=−√3．故选C．6.答案：D解析：解：∵x<0则−x>0∴−x−1x≥2，当x=−1时取等号f(x)=x2+1x2−x−1x≥2+2=4当且仅当x=−1时取等号故选D．两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为−3x−2y+c=0，再把点(−1,2)代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x−3y+4=0垂直，∴设方程为−3x−2y+c=0∵直线过点(−1,2)，∴−3×(−1)−2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y−1=0．故选：A．8.答案：B解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式及其性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式及其性质与求和公式即可得出．【解答】解：∵a1+a5=2a3，∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5×3=15．故选B．9.答案：C解析：解：如图，由题意可得：∠AOB=2π3，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×20=10，可得：矢=20−10=10，由AD=AO⋅sinπ3=20×√32=10√3，可得：弦=2AD=2×10√3=20√3，所以：弧田面积=12(弦+矢)×矢=12(20√3+10)×10≈223平方米．故选：C．在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=π6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ.β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m//n，则n//α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ.β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D．11.答案：A解析：【分析】本题考查了正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：取BB1中点G，连接EG,FG，BC1，∵G为BB1的中点，F为B1C1的中点，∴GF//BC1，又AD1//BC1，∴GF//AD1，则所求角为∠EFG ，设AB =1，则FG =EG =√22，EF =√62， cos∠EFG =(√22)2+(√62)2−(√22)22×√22×√62=√32， ∠EFG =30∘．故选A ．12.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题.根据已知条件，求出q 2=6，即可求出结果．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2=10，a 3+a 4=60，∴q 2(a 1+a 2)=10q 2=60，解得：q 2=6，则a 7+a 8=q 6(a 1+a 2)=10×63=2160．故选D ．13.答案：12解析：解：a ⃗ +b ⃗ =(λ+2,0),a ⃗ −b ⃗ =(2−λ,−2)；∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b⃗ |； ∴|λ+2|=√(2−λ)2+4；∴(λ+2)2=(2−λ)2+4；解得λ=12．故答案为：12．可求出a ⃗ +b ⃗ =(λ+2,0),a ⃗ −b ⃗ =(2−λ,−2)，根据|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b⃗ |即可得出(λ+2)2=(2−λ)2+4，解出λ即可．考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法． 14.答案：5√3解析：【分析】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C 的大小，利用正弦定理即可求出AB 的长度．【解答】解：如图所示：∵AD=5，AC=7，DC=3，∴由余弦定理得cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD =72+32−522×7×3=1114，∴AB=√AC2+BC2−2AC·BC·cosC=√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3故答案为5√3．15.答案：√34解析：【分析】几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图三角形的高，底面为直角梯形．本题考查了棱锥的结构特征，三视图和体积计算，弄清三视图中的数据意义是关键．【解答】解：三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图中等边三角形的高√32，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为12(1+2)×1=32．∴V=13×32×√32=√34．故答案为√34．16.答案：[−15,25]解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．由已知求得PC=4，即直线l上存在点P使得PC=4，这样转化为直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，再根据直线与圆的位置关系求解．【解答】解：圆C的圆心C(1,−2)，半径r=2.连接PC，AC，则在Rt △PCA 中，∠APC =30°，AC =2，所以PC =4，这样就转化为直线l 上存在点P ，且点P 到圆心C 的距离为4， 也就是直线l 与以C 为圆心，4为半径的圆有公共点， 所以√32+42⩽4，解得−15≤m ≤25，因此实数m 的取值范围是[−15,25]．17.答案：解：(1)∵tanα=−34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247； (2)∵tanα=sinαcosα=−34，∴sinα=−34cosα，∴sin 2α+cos 2α=916cos 2α+cos 2α=2516cos 2α=1， ∴cos 2α=1625；又∵α是第二象限角，∴cosα=−45，sinα=√1−cos 2α=35；∴sin2α=2sinαcosα=−2425，cos2α=2cos 2α−1=725；∴sin(2α+π6)=sin2αcos π6+cos2αsin π6=−2425×√32+725×12=7−24√350．解析：(1)把tanα的值代入二倍角公式，求出tan2α的值；(2)切化弦，由tanα求出cosα、sinα的值，即得sin2α、cos2α的值，从而求出sin(2α+π6)的值．本题考查了同角的三角函数的关系以及两角和差与二倍角的计算问题，考查了公式的灵活应用问题，也考查了一定的运算推理能力，是基础题．18.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=3，S11=0，∴a1+2d=3，11a1+11×102d=0，解得∴a1=5，d=−1，∴a n=5−(n−1)=6−n．(2)令a n=6−n≥0，解得n≤6．∴当n=5或6时，S n最大，最大值S5=S6=6×(5+0)2=15．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a3=3，S11=0，可得：a1+2d=3，11a1+11×102d=0，联立解得a1，d，即可得出．(2)令a n=6−n≥0，解得n，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)∵ba+c =a+b−ca+b，整理可得：b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=15，b=10，a>b，∴B为锐角，∴sinB=b⋅sinAa =10×√3215=√33，可得：cosB=√1−sin2B=√63．解析：本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知整理可得：b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值；(Ⅱ)利用大边对大角可求B 为锐角，利用正弦定理可求sinB =b⋅sinA a ，进而利用同角三角函数基本关系式可得cos B 的值．20.答案：解：(Ⅰ)在递增等差数列{a n }中，∵a 2，a 4是方程x 2−6x +8=0的根，则{a 2+a 4=6a 2a 4=8，解得{a 2=2a 4=4． ∴d =a 4−a 24−2=4−24−2=1．∴a n =a 2+(n −2)×d =2+n −2=n ； (Ⅱ)∵a n 2n =n 2n ，∴{an 2n }的前n 项和： S n =12+22+32+⋯+n 2 ①， 12S n =122+223+⋯+n 2n+1 ②，①−②得：12S n =12+122+⋯+12n −n 2n+1=1+12(1−12n )1−12−n 2n+1．∴S n =4−n+22n ．解析：(Ⅰ)由题意列式求出a 2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；(Ⅱ)把等差数列的通项公式代入数列{a n2n }，然后由错位相减法求其和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．21.答案：(1)证明：因为ABC −DEF 是直三棱柱，所以FC ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，所以FC ⊥AB ．又∵AB ⊥BC ，BC ∩FC =C ，且BC,FC ⊂平面BCFE ，∴AB ⊥平面BCFE ，又∵EH ⊂平面BCFE ，∴AB ⊥EH ．由题设知△EFH 与△BCG 均为直角三角形，∵EF =2=FH ，BC =2=CG ，∴∠EHF =45°，∠BGC =45°．设BG ∩EH =P ，则∠GPH =90°，即EH ⊥BG ．又AB ∩BG =B ，且AB,BG ⊂平面ABG ，∴EH ⊥平面ABG ．(2)解：∵AB=BC=2，AB⊥BC，∵CG⊥平面ABC．∴SΔABC=12AB×BC=2．∵CG⊥平面ABC，∴V G−ABC=13SΔABC×CG=43．由(1)知AB⊥BG，CG=2=BC，BG=√BC2+CG2=√22+22=2√2，∴SΔABG=12AB×BG=2√2．设点C到平面ABG的距离为h，则∴V C−ABG=13SΔABG⋅ℎ==23√2ℎ=V G−ABC=43，∴ℎ=√2．即点C到平面ABG的距离为√2．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明AB⊥平面BCFE，可得AB⊥EH，证明EH⊥BG，即可证明EH⊥平面ABG；(2)利用等体积转换，求点C到平面ABG的距离．22.答案：解：(1)由圆与切线的平面几何性质知，∠APO=45°，∵OA⊥AP，∴OP=√2OA=2√2，故P点的轨迹是以O为圆心，以2√2为半径的圆，方程为x2+y2=8；(2)直线l：mx−y+1=0过定点(0,1)，设M(x1,y1)、N(x2,y2)，Q(x,y)，则x12+y12=4①，x22+y22=4②，①−②得：y1−y2x1−x2=−x1+x2y1+y2=−xy(x1≠x2)，即y−1x−0=−x y (x,y ≠0)，整理得：x 2+(y −12)2=14(x,y ≠0)．验证点(0,0)(0,1)满足题意，∴MN 的中点Q 的轨迹方程为x 2+(y −12)2=14．解析：(1)直接由圆与切线的平面几何性质求得动点P 到原点O 的距离为定值2√2，则点P 的轨迹方程可求；(2)设出M 、N 、Q 的坐标，把M 、N 的坐标代入圆的方程，利用点差法得到MN 所在直线的斜率，再由弦中点及直线所过定点求斜率，由斜率相等得答案．本题考查轨迹方程的求法，训练了“点差法”，涉及弦中点问题，常采用此法，属中档题．。
2020年高一下学期期末考试数学押题卷附解答
2020年高一下学期期末考试数学押题卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．若全集U是实数集，集合A={x|1＜x≤4}，则∁U A= ．2．函数y=+的定义域为．3．已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|y=x2_1}，则A∩B= ．4．已知，则f（4）= ．5．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．6．已知a＞0，化简的结果是．7．设集合M={1，2}，则满足条件M∪N={1，2，3，4}的集合N的个数是．8．若B={﹣1，3，5}，下列集合A，使得f：x→2x+1是A到B的映射的是（填写正确的序号）①A={1，2}②A={﹣1，7，11}③A={﹣1，1，2}④A={﹣1，0，1}．9．若函数为奇函数，则m= ．10．已知函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，则实数k的取值范围为．11．= ．12．函数f（x）=2x﹣的值域为．13．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．14．函数满足对任意x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜5}，全集U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式，并画出大致图象．17．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x＜a}（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）设P=A∩N+，Q={x|ax=1}，且P∪Q=P，求实数a的值．18．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的简图（不需列表）；（2）讨论方程f（x）﹣k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）19．已知函数．（1）判断函数f（x）在区间（0，）和[，+∞）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明在区间（0，）上的单调性，（2）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求+的值；（3）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）设F（x）=f（x）﹣3x+2，g（x）=mx+5﹣2m．若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使F（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若函数h（x）=f（x）﹣3x+a（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7﹣2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q﹣p）．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．若全集U是实数集，集合A={x|1＜x≤4}，则∁U A= {x|x≤1或x＞4} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用补集的定义求解即可．【解答】解：根据补集的定义，∁U A={x|x∈U，x∉A}，∵U=R，集合A={x|1＜x≤4}，∴∁U A={x|x≤1或x＞4}．故答案为：{x|x≤1或x＞4}．2．函数y=+的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可．【解答】解：要使函数有意义，需满足解不等式组，得x≥﹣1，且x≠0∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0}故答案为{x|x≥﹣1，且x≠0}3．已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|y=x2_1}，则A∩B= {（1，0），（﹣2，3）} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】联立两集合中的方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2+x﹣2=0，即（x﹣1）（x+2）=0，解得：x=1或x=﹣2，即y=0或y=3，则A∩B={（1，0），（﹣2，3）}．4．已知，则f（4）= 23 ．【考点】3T：函数的值．【分析】利用函数的解析式，直接求解函数值即可．【解答】解：知，则f（4）=f（）=2×10+3=23．故答案为：23．5．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】利用条件B⊆A，得到3，4∈A，即2m﹣1=4，解出m的数值．【解答】解：因为B={3，4}，且B⊆A，所以3，4∈A，即2m﹣1=4，解得2m=5，所以m=．故答案为：．6．已知a＞0，化简的结果是 a ．【考点】44：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】首先把根式内部的两个根式化为分数指数幂，然后运用同底幂相乘，底数不变，指数相加，最后把化简的结果开算术平方根．【解答】解：因为a＞0，所以==．故答案为a．7．设集合M={1，2}，则满足条件M∪N={1，2，3，4}的集合N的个数是 4 ．【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】由题意得3，4一定是集合N中的元素，1和2可能是集合N的元素，把集合N 所有的情况写出来．【解答】解：∵集合M={1，2}，且M∪N={1，2，3，4}∴3，4一定是集合N中的元素，1和2可能是集合N的元素，则集合N可能是：{3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{，2，3，4}共4个．故答案为48．若B={﹣1，3，5}，下列集合A，使得f：x→2x+1是A到B的映射的是③（填写正确的序号）①A={1，2}②A={﹣1，7，11}③A={﹣1，1，2}④A={﹣1，0，1}．【考点】3C：映射．【分析】由题意分别取2x+1等于﹣1，3，5求得x值即可得到满足f：x→2x+1是A到B 的映射的一个集合A．【解答】解：由2x+1=﹣1，得x=﹣1；由2x+1=3，得x=1；由2x+1=5，得x=2．∴满足f：x→2x+1是A到B的映射的一个集合A可能为{﹣1，1，2}．故答案为：③．9．若函数为奇函数，则m= 4 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此可求得m值．【解答】解：函数的定义域为R，关于原点对称．因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0，所以m﹣4=0，解得m=4．故答案为：4．10．已知函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，则实数k的取值范围为（﹣∞，4]∪[12，+∞）．【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】对称轴为x=，函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，得≤1，或≥3求解即可【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣kx+1∴对称轴为x=，∵函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，∴≤1或≥3，即k≤4或k≥12，故答案为：（﹣∞，4]∪[12，+∞）．11．= ．【考点】46：有理数指数幂的化简求值．【分析】利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：原式=﹣1﹣+==．故答案为：．12．函数f（x）=2x﹣的值域为（﹣∞，2] ．【考点】34：函数的值域．【分析】根据1﹣x≥0便可求出x和的范围，从而得出2x和﹣的范围，这样即得出f（x）的范围，即得出函数f（x）的值域．【解答】解：1﹣x≥0；∴x≤1，；∴；∴f（x）≤2；∴f（x）的值域为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．13．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（﹣∞，0），（0，1），（﹣1，0），（0，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．14．函数满足对任意x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，则a的取值范围是[﹣，2）．【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】函数f（x）=满足对任意x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，由增函数的定义知，此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围【解答】解：根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；故有，解得﹣≤a＜2，则a的取值范围是[﹣，2），故答案为：[﹣，2）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜5}，全集U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】1E：交集及其运算．【分析】（1）直接利用交、并、补集的混合运算求解；（2）求解函数定义域化简C，结合A∩C≠∅，可得两集合端点值间的关系，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜5}，∴A∪B={x|1＜x≤8}，∁U A={x|x＜2或x＞8}，则（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}；（2）由={x|x＞a}，且A∩C≠∅，∴a＜8．即a的取值范围是a＜8．16．已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式，并画出大致图象．【考点】5B：分段函数的应用；3O：函数的图象．【分析】过A，D分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，由平面图形的知识可得线段长度，由面积公式分段可得函数解析式，作图可得．【解答】解：过A，D分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，∵ABCD是等腰梯形，底角45°，AB=2cm，∴BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，∴AD=GH=3cm，（1）当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y=x2，（2）当点F在GH上，即x∈（2，5]时，y=2+2（x﹣2）=2x﹣2，（3）当点F在HC上，即x∈（5，7]时，y=﹣（x﹣7）2+10，∴函数的解析式为y=作图如下：17．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x＜a}（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）设P=A∩N+，Q={x|ax=1}，且P∪Q=P，求实数a的值．【考点】18：集合的包含关系判断及应用；1D：并集及其运算．【分析】（1）A∩B=A即A⊆B，画出数轴写出a的范围；（2）求出集合P，P∪Q=P⇔Q⊆P，按集合Q是否为空集进行分类讨论，求出a的值．【解答】解：（1）A∩B=A可得A⊆B，∴a≥4．（2）P=A∩N+={2，3}，P∪Q=P⇔Q⊆P，当a=0时，Q=∅，符合题意；当a≠0时，Q={﹣}，则﹣=2或﹣=3，解得a=﹣或﹣，综上可得，a=0或﹣或﹣．18．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的简图（不需列表）；（2）讨论方程f（x）﹣k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）【考点】3L：函数奇偶性的性质；3O：函数的图象．【分析】（1）根据偶函数的性质求出f（x）在（﹣∞，0）上的解析式，从而得出解析式，根据二次函数的性质作图；（2）根据图象与直线y=k的交点个数得出结论．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）=﹣x（2+x），∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x（2+x），∴f（x）=．作出函数图象如图所示：（2）当k=1或k＜0时，f（x）=k有两个解；当k=0时，f（x）=k有三个解；当k＞1时，f（x）=k无解．当0＜k＜1时，f（x）=k有四个解．19．已知函数．（1）判断函数f（x）在区间（0，）和[，+∞）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明在区间（0，）上的单调性，（2）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求+的值；（3）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）化为分段函数，判断函数的单调区间，再根据定义证明即可，（2）根据函数的单调性可得0＜a＜＜b，且﹣2=2﹣，（3）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0，f（）=0，可得∉[m，n]，利用分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=∴f（x）在区间（0，）上为减函数，在[，+∞）上为增函数，证明如下：设x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣2﹣+2=＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（0，）上的为减函数，（2）由（1）可得f（x）在区间（0，）上为减函数，在[，+∞）上为增函数，∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴0＜a＜＜b，且﹣2=2﹣，∴+=4，（3）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．∵f（）=0，∉[m，n]，①若0＜m＜n＜，∵f（x）在（0，）上为减函数，∴，解得m=n=﹣1或m=n=﹣﹣1，不合题意．②若＜m＜n，∵f（x）在（，+∞）上为增函数，∴，解得不合题意．综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）设F（x）=f（x）﹣3x+2，g（x）=mx+5﹣2m．若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使F（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若函数h（x）=f（x）﹣3x+a（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7﹣2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q﹣p）．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用已知条件列出方程组求解即可．（2）根据任意的x1∈[1，4]，有F（x1）=f（x1）﹣3x1+2，总存在x2∈[1，4]，g（x2）=mx2+5﹣2m．使F（x1）=g（x2）成立，求解F（x）的值域M和g（x）的值域N，可得M⊆N，即可求解m的取值范围；（3）函数h（x）=f（x）﹣3x+a（x∈[t，4]）的值域为区间D，根据二次函数的性质讨论值域，即可求解．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），因为f（0）=1，所以c=1，f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=2x，∴2a=2且a+b=0，∴a=1，b=﹣1；∴f（x）=x2﹣x+1．（2）由F（x）=f（x）﹣3x+2=x2﹣4x+3，其对称轴x=2，当x∈[1，4]时，可得F（2）≤F（x）≤F（4）即F（x）的值域M=[﹣1，3]g（x）=mx+5﹣2m．x2∈[1，4]，当m≠0时，g（x）的值域N={5}，显然F（x1）=g（x2）不成立．当m＞0时，g（x）是单调递增函数，g（x）的值域N=[5﹣m，2m+5]，由题意M⊆N，∴，可得m：无解．当m＜0时，g（x）是单调递减函数，g（x）的值域N=[5+2m，﹣m+5]，由题意M⊆N，∴解得：m≤﹣2．故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．（3）函数h（x）=f（x）﹣3x+a=x2﹣4x+1+a（x∈[t，4]）其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[t，4]，当4＞t≥2时，h（x）值域为区间D=[t2﹣4t+1+a，1+a] 若长度为7﹣2t，即1+a﹣（t2﹣4t+1+a）=7﹣2t，可得：t2+6t﹣7=0解得：t=1或﹣7，不在范围内．舍去．当2＞t≥0时，h（x）值域为区间D=[﹣3+a，1+a]若长度为7﹣2t，即1+a﹣（﹣3+a）=7﹣2t，可得：2t﹣3=0解得：t=，在范围内．当t≤0时，h（x）值域为区间D=[﹣3+a，t2﹣4t+1+a] 若长度为7﹣2t，即t2﹣4t+1+a+3﹣a=7﹣2t，可得：t2﹣2t﹣3=0解得：t=﹣1或3（舍去）．综上可得满足题意t的值为﹣1和．。
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(二)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜02．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=______．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为______．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为______．13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是：∀x＞0，2x＞0．故选：A．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由正弦定理求出sinC=，C=60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，由正弦定理可得，∴sinC=，可得：C=60°或120°．当C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC是直角三角形．当C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+...+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+ (2)的值，∵输出的S是31，∴S==2n+1﹣1=31，解得n=4；退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4．故选：A．5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．【解答】解：连结EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG，又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．（2）∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，∴AG=AE=1，故（2）正确．（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．∵AE=2，AC==2，AF==，∴EF==．∴S△ACE===2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．故选：C7．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据等差数列的定义和性质进行判断，③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．④举反例进行判断即可．【解答】解：①若a=b=c，则a2+b2+c2=ab+ac+bc成立，反之若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc），整理得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；②当n=1时，a1=A+B；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2An+B﹣A，显然当n=1时也满足上式，∴a n﹣a n﹣1=2A，∴{a n}是等差数列．反之，若数列{a n}为等差数列，∴S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，令A=，B=a1﹣，则S n=An2+Bn，A，B∈R．综上，“S n=An2+Bn，是“数列{a n}为等差数列”的充要条件．故②正确，③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则当n≥2时，S n=S n﹣1+2，两式作差得S n+1﹣S n=S n+2﹣S n﹣1﹣2，即a n+1=a n，即=，（n≥2），当n=1时，S2=S1+2，即a1+a2=a1+2，即a2=﹣a1+2=2﹣=，则=≠，即{a n}不是等比数列；故③错误，④举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，则==是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．故正确的是①②，故选：B．8．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【考点】计数原理的应用．【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=1．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=，从而可得a2==1，a3===1+a1；从而解得．【解答】解：∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为﹣．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期为4，再根据条件确定跳出循环的i值，从而可得输出的a值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a==﹣2，i=6；…∴a值的周期为4，又跳出循环的i值为11，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D 为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，即可得出．【解答】解：如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，这个三棱锥的表面积S=+++=．故答案为：．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，∴则+的最小值为5+2，故答案为：5+2，13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE ⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n ∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12=（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2=a k+22﹣a k+12=a k+32﹣a k+22=…=a2k2﹣a k2=p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=a2k2﹣a k2=kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12=a kn﹣12﹣a kn﹣22=…=a kn+32﹣a kn+22=a kn+22﹣a kn+12=a kn+12﹣a kn2=p同上连加可得a kn+12﹣a kn2=kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p，且a n﹣a n﹣1=d（d≠0），所以a n+a n﹣1=，联立解得a n=+，所以{a n}为常数列，当d=0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）p为真时：由＞1解得﹣2＜a＜1，q为真时，当a＞0，一定存在ax2+ax﹣1≥0，当a＜0，△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，故q为真时，实数a的取值范围为a＞0或a≤﹣4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为（0，1）；（2）关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1，故m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．【解答】解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．由于AB＞AD，∴AD=3…..（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据CD∥平面ABEF即可得出CD∥EF，结合CD∥AB得出结论；（2）①以AD的中点O为原点建立空间坐标系，分别求出平面AEF 和平面ADF的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小；②假设存在H符合条件，设=λ，求出，令cos＜，＞=解出λ即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵CD∥AB，AB⊂平面ABEF，CD⊄平面ABEF，∴CD∥平面ABEF，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABEF=EF，∴CD∥EF．又CD∥AB，∴AB∥EF．（2）取AD的中点O，连结PO，OB，BD．∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，PA=PD=AD．∴△ABD，△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A=（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），C（，2，0），∴E（，1，），F（0，，）．①=（0，，），=（﹣，﹣，0），设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，﹣，3），∵OB⊥平面PAD，∴=（，0，0）为平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值为．②假设PC上存在点H使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，则与所成夹角为30°，设=λ=（﹣λ，﹣2λ，）（0≤λ≤1），则==（﹣，2﹣2λ，）．∴cos＜＞===，化简得19λ2﹣12λ﹣6=0，解得λ=或λ=（舍）∴线段PC上存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列式求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；（2）①把数列{a n}的通项公式代入|b n﹣b n﹣1|=2（n≥2），去绝对值，即可求得b3所有可能的取值；②在①的基础上依次求解，即可得到满足b k=2116时k的最小值．【解答】解：（1）由题意，，即（5+d）2=（5﹣d）（5+4d），整理得5d2﹣5d=0，∵d≠0，∴d=1，则a1=a2﹣d=5﹣1=4，∴a n=4+1×（n﹣1）=n+3；（2）①由|b n﹣b n﹣1|=2（n≥2），得，∴，则b2=±32．，当b2=32时，b3=﹣32或b3=96；当b2=﹣32时，b3=﹣96或b3=32．∴b3所有可能的取值为﹣96，﹣32，32，96；②=±128，当b3=96时，b4=224；，当b4=224时，；b5=580；，当b5=580时，b6=1092；，当b6=1092时，b7=2116．∴b k=2116，k的最小值为7．。
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）2．已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．3．如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（）A．B．C． D．4．设m∈R，向量=（1，﹣2），=（m，m﹣2），若⊥，则m 等于（）A．B．C．﹣4 D．45．函数y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π6．函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．D．7．在△ABC中，D是BC的中点，则等于（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sinx+cosx，那么的值是（）A．B．C．D．9．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B． C． D．210．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．设α是第二象限角，sinα=，则cosα=______．12．若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=______．13．2cos215°﹣1=______．14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为______．15．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为______．16．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B（其中），那么这一天6时至14时温差的最大值是______°C；与图中曲线对应的函数解析式是______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．18．设，向量=（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当||=||时，求角α．19．已知函数f（x）=2sin2（+x）+（sin2x﹣cos2x），x∈[，]．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量减法的三角形法则代入坐标得答案．【解答】解：∵=（2，4），=（1，3），∴=．故选：B．2．已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数值的符号．【分析】由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），从而得到角α的取值范围．【解答】解：由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），故α∈，故选B．3．如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（）A．B．C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中函数y=tan（x+φ）的图象经过点，根据正切函数的图象和性质，易构造出一个关于φ的三角方程，解方程即可求出满足条件的φ值．【解答】解：∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，解：∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，k∈Z，当k=0时，φ=﹣，故选A4．设m∈R，向量=（1，﹣2），=（m，m﹣2），若⊥，则m 等于（）A．B．C．﹣4 D．4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据⊥，然后利用向量数量积为0得到关于m的方程，直接求解即可．【解答】解：=（1，﹣2），=（m，m﹣2），∵⊥，∴，m=4．故选D．5．函数y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．【分析】把函数关系式利用完全平方公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出原函数的周期．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，∵ω=2，∴T==π．故选C6．函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据余弦函数的对称轴方程x=kπ确定选项．【解答】解：y=cosx的对称轴方程为x=kπ，当k=0时，x=0．故选A．7．在△ABC中，D是BC的中点，则等于（）A．B．C．D．【考点】向量的三角形法则．【分析】作出三角形的图象，利用平行四边形法则作出，由图象即可选出正确答案【解答】解：如图，作出平行四边形ABEC，D是对角线的交点，故D是BC的中点，且是AE的中点由题意如图==故选D8．已知函数f（x）=sinx+cosx，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】化简f（x）=sinx+cosx=sin（x+），直接代入求值．【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+）∴f（）==故选C．9．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B． C． D．2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【解答】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===1∴=1故选A．10．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．设α是第二象限角，sinα=，则cosα=﹣．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．12．若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．【解答】解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．13．2cos215°﹣1=．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角的余弦公式得出2cos215°﹣1=cos30°，然后运用特殊角的三角函数值求出结果．【解答】解：2cos215°﹣1=cos30°=故答案为：．14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为﹣8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用2个向量的数量积公式，2个向量相乘的结果，等于向量的模相乘，再乘以这两个向量夹角的余弦值．【解答】解：．故答案为﹣8．15．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【分析】根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．16．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B（其中），那么这一天6时至14时温差的最大值是20°C；与图中曲线对应的函数解析式是，x∈[6，14] ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30﹣10=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+∅）+b的半个周期，∴•=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为，x∈[6，14]．故答案为：20；，x∈[6，14]三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．【分析】（1）直接利用两角和的正切公式和特殊角的三角函数值，求出tan（+α）的值．（2）先求出sinα，cosα的值，然后利用二倍角的公式，解出sin2α+cos2α的值即可．【解答】解：（1）．…（2）由，tanα=﹣2，得，，…所以．…18．设，向量=（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当||=||时，求角α．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）计算||，，通过计算，证明向量与垂直；（2）将||=||两边平方，平方可得3（||2﹣||2）+8，从而得到以，然后求角α．【解答】解：（1）证明：由向量=（cosα，sinα），，得||=1，=1，则，所以向量与垂直．…（2）将||=||两边平方，化简得3（||2﹣||2）+8，由||==1，得，即．所以，注意到，得．19．已知函数f（x）=2sin2（+x）+（sin2x﹣cos2x），x∈[，]．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．【解答】解：（1）．（2）=．又，∴，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是；f（x）的单调递减区间是．（3）由（2）得，∴f（x）的值域是[2，3]．|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，．∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (35)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (35)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知随机事件A ，B 中，A 与B 互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A +B)=( )A. 0.3B. 0.6C. 0.7D. 0.9 2. sin810°+cos(−60°)=( ) A. 32 B. −12 C. 12 D. 2−√32 3. 五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A. 14 B. 23 C. 13 D. 110 4. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2,x −3)，c ⃗ =(x,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ 且a⃗ //c ⃗ ，则x 的值为( ) A. 2 B. −2 C. 1 D. −15. 一个三位数字的密码锁，每位上的数字都在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( )A. 1103B. 1102C. 110D. 110000 6. 设角α的终边经过点P(−3,4)，那么cos(π2−2α)=( )A. 725B. −725C. 2425D. −2425 7. 已知cos α=−45，且α∈(π2,π)，则tan(π4−α)等于 ( )A. −17B. −7C. 17D. 78. 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②9. 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件P ：取出的都是黑球，事件Q ：取出的都是白球，事件R ：取出的球中至少有一个黑球，则下列结论正确的是( )A. P 与R 互斥B. 任何两个均互斥C. Q 和R 互斥D. 任何两个均不互斥10. 已知直线2x −4y +9=0的倾斜角为α，则sin2α=( )A. 25B. 45C. 310D. 1211. 如图，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，正确的是( )．A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +34b ⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a ⃗ +14b ⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a ⃗ −14b ⃗12. 某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n =( )A. 50B. 100C. 150D. 200二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知3sinα=sin(α−π6)，则tan(α−π12)=______．14. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误是______ .(填序号)①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲罚球命中率比乙高；④甲的中位数是24．15. 设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,m)，若A ，C ，D 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知sinα=35，cosβ=35，其中α，β∈(0,π2)，则α+β=________。
2020年高一数学暑假补习题 (28)-0710(解析版)
2020年高一数学暑假补习题 (28)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知角α的终边过点P (−4m,3m )(m ≠0)，则2sin α+cos α的值是( )A. 1或−1B. 25或−25C. 1或−25 D. −1或25 2. sin4⋅tan7的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不大于03. 若，则角的终边落在直线( )上 A.B.C.D.4. 若把函数的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于y 轴对称，则正实数m 的最小值为( )A.B.C.D.5. 函数y =ax 2+bx 与在同一直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.6. 函数f (x )=xx 2+a 的图像可能是( )A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)7. 函数的大致图象是( )A.B.C.D.8. 的内角的对边分别为，若，则边等于( )A.B.C.D. 29. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)10. 已知，，则( )A. B.C.D.11. 已知函数y =f(1−x)的图象如图所示，则y =f(1+x)的图象为( )A.B.C.D.12. 若，则不等式等价于( )A. 或B.C.或D.或二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.已知角的终边过点(sin2π3,cos2π3)，则=__________．14.已知则=________．15.在中，，，且的面积为，则边的长为_________．16.已知，若恒成立，则实数的最大值是__________17.若函数f(x)=(3−m)xx2+m的图像如所示，则m的取值范围是___________．18.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）19.已知，且、().(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的值．20.已知函数在[0,π3]上单调递增，且满足f(x)=f(2π3−x)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0+π6)的值．21.如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，AB=4,BC=3，点D在边AC上，且AD=4DC，(1)求BD的长；(2)求sin∠CBD的值．22.(1)求函数y=x+9x−2(其中x>2)的最小值；(2)求函数y=x+9x−2(其中x≥6)的最小值．23.如图，△ABC中，sin∠ABC2=√33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√33.(Ⅰ)求：BC的长；(Ⅱ)求△DBC的面积．24.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，其中点P在边DE上(包括端点).求矩形BNPM面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，计算能力，属于基础题．求出OP的距离r，对m>0，m<0，分别按照题意和角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．【解答】解：r=√(−4m)2+(3m)2=5|m|，当m>0时，r=5m，sinα=3m5m =35，cosα=−4m5m=−45，2sinα+cosα=65−45=25；当m<0时，r=−5m，sinα=3m−5m =−35，cosα=−4m−5m=45，2sinα+cosα=−65+45=−25．故选B．2.答案：B解析：∵π<4<3π2，∴sin4<0.∵2π<7<5π2，∴tan7>0，∴sin4⋅tan7<0，故选B．3.答案：B解析：试题分析：有已知可得，即直线的斜率考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式点评：本题涉及到的基本公式有4.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．先根据平移得出解析式，再根据对称轴为y轴可得出答案．【解答】解：把函数的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到，因为所得图象关于y轴对称，所以，令k=1，则正实数m的最小值为．故选B．5.答案：D解析：由题意知a,b同号，故二次函数的对称轴在y轴左边，排除A，B，图C中由二次函数图象知ba>1，而对数函数中ba<1，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，属于基础题．因为是选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果．【解答】解：若a=0，则f(x)=xx2=1x，图(4)符合，若a≠0，则当x=0时，f(x)=0，图象过原点，排除(1)；a=1时，(2)符合，a=−4时，(3)符合，综上可知：图象(2)(3)(4)符合．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的性质求解即可得结果．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C和D，当x>0时，，f′(x)=1+lnx，当x>1e 时,f′(x)>0，所以f(x)在(1e,+∞)上是增函数，故排除B．故选A．8.答案：C解析：试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知故答案为C．考点：解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。
2020高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共三套)
范文2020学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案1/ 7(共三套)2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共三套）2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为． 4．函数 f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为． 5．若指数函数 f（x）=（a﹣1）x 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是． 6．已知直线 x﹣y=0 与圆（x﹣2）2+y2=6 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为． 7．已知两曲线 f（x）=cosx 与 g（x）= sinx 的一个交点为 P，则点 P 到 x 轴的距离为． 8．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为． 9．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，且 = ， = ．若=λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ 的值为．第1页（共78页）10．如图，已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2，△DEF 为平行于棱柱底面的截面，O1，O 分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO 的体积为． 11．将函数 f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数 g（x）的图象．若 g（x）图象的一个对称中心为（，0），则 f（x）的最小正周期为． 12．在△ABC 中，已知 AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交 AC 于点 D，则 ? 的值为． 13．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣3x．若方程 f（x）+x﹣t=0 恰有两个相异实根，则实数 t 的所有可能值为． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2a，0）（a＞0），直线 l1： mx ﹣ y ﹣ 2m+2=0 与直线 l2：x+my=0 （m∈R）相交于点 M ，且 MA2+MO2=2a2+16，则实数 a 的取值范围是．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．已知 tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα 的值；（2）求cos2α 的值．第2页（共78页）3/ 716．在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知DC∥AB，DC=2AB，E 为棱 PD 的中点．（1）求证：AE∥平面 PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面 PCD． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正△OAB 的顶点 A， B 均在第一象限，设点 A 在 x 轴的射影为 C，∠AOC=α．（1）试将 ? 表示α 的函数 f（α），并写出其定义域；（2）求函数 f（α）的值域． 18．如图，海平面某区域内有 A，B，C 三座小岛，岛 C 在 A 的北偏东70°方向，岛C 在 B 的北偏东40°方向，且 A，B 两岛间的距离为 3 海里．（1）求 B，C 两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D 位于岛 C 的北偏西50°方向，且与岛 C 相距 3 海里，求轮船在岛 A 的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）第3页（共78页）19．在平面直角坐标系 xOy 中，圆：x2+y2=4，直线 l：4x+3y﹣20=0．A （，）为圆 O 内一点，弦 MN 过点 A，过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P．（1）若MN∥l．①求直线 MN 的方程；②求△PMN 的面积．（2）判断直线 PM 与圆 O 的位置关系，并证明． 20．已知函数 f（x）=a|x﹣b|+1，其中 a，b∈R．（1）若 a＜0，b=1，求函数 f（x）的所有零点之和；（2）记函数 g（x）=x2﹣f（x）．①若 a＜0，b=0，解不等式 g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若 b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为 0，求 a 的取值范围．第4页（共78页）5/ 7参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得 a+1=3，由此能求出实数 a 的值．【解答】解：∵集合 A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数 a 的值 2．故答案为：2． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣4﹣2x=0，解得 x=﹣2．故答案为：﹣2． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，第5页（共78页）∴S△ABC= AB?AC?sinA= 故答案为：． =． 4．函数 f（x）=lg （2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数 f（x）=lg（2﹣x ﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即 x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数 f（x）的定义域为（﹣2，7/ 7。
2020年高一数学上期末模拟试卷附答案
2020年高一数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞2．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]3．若函数()2log ,?0,? 0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．eC ．21eD ．2e4．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]5．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B．2C ．14，2 D ．14，4 7．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．通过研究函数()4221021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.16．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；17．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________18．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0xf x k -=的所有根的和的最大值是_______.19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 22．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）23．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(三)
范文2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(三)1/ 62020 年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）学校班级姓名成绩一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ? ? 1．已知集合 A ? x ? R x2 ? x ? 6 p 0 ，则 A=( ) A．（-2,3) B．（-3,2) C.(2,+∞) D．（一∞，3) 2．已知等差数列?an? 中， a1 ? 1， a3 ? 9 ，则下列数中，不是?an? 中项的是( ) A．17 B．21 C．33 D．60 3．对于实数 a,b ，下列命题正确的是( ) A．若 a f b ，则 1 f 1 ba B．若 a f b ，则 a2 f b2 C．若 a f b ，则 log2 (a ? b) f 0 D．若 a f b ，则 2a f 2b 4．某次数学考试中，整个年级的数学成绩取值只有 x1, x2,K , xn 这 n 个数，这些值的频率分别为 p1, p2,K , pn ，若年级的平均成绩记为 x ，则下面结论正确的是( ) A． x f x1 p1 ? x2 p2 ?K ? xn pn B． x p x1 p1 ? x2 p2 ?K ? xn pn C． x ? x1 p1 ? x2 p2 ?K ? xn pn D．无法判断 x 与 x1 p1 ? x2 p2 ?K ? xn pn 的大小关系 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n, x的值分别为 3，2，则输出 v 的值为( ) A．9 B．18 C．20 D．35 6．已知数列?an? 满足 a1 ? a2 ? a3 ?K ? an ? 2 ? an 。
对 n? N* 成立，则 a1, a10 的值分别为( ) A.1， 1 29 c．1，210 B．1， 29 D．1， 1 210 7．从一批产品中随机取出三件产品，设“三件产品都是正品为事件A”，“三件产品都是次品为事件B”，“三件产品中有次品为事件C”，则下列结论正确的是( ) A．事件 A 与 C 为对立事件 B．事件 B 与 C 为互斥事件 C．事件 A，B，C 两两都是互斥事件 D．事件 A，B，C 两两都是对立事件 ?x ? y ?1? 0 8．若实数 x, y 满足不等式组 ??x ? y ?1 ? 0 ，将一颗质地均匀的骰子投掷 ?? y ?1 ? 0 两次得到的点数分别记为 a,b ，则 z ? 2ax ? by 在点（2，-1）处取得最大值的概率为( ) A． 1 6 B． 1 C. 2 5 5 D． 5 63/ 6二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填写在题中横线上． 9．在线段 AB 上任取一点 P，则 AP f 2 的概率是． AB 3 10.某班一个小组 5 名同学父亲、母亲的年龄，用茎叶图表示（如右图所示）．用 x1 ， x2 分别表示父亲、母亲的平均年龄，若 x1 ? x2 ? 2 ，则 a= 11．已知函数 f (x) ? x2 ? m (x f 0) 的最小值大于 4，请写出一个满足条 x 件的 m 值____． 12.已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图 1 和图2 所示，为了了解该地区学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 20%的近．视．学．生．进行调查，则样．本．容．量．为 , 从中抽取的高．中．生．近视人数为____ 13.已知△ABC 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，老师让同学们计算 cos?ABC 的值，小明给出三个思路：思路①：用向量夹角的方法求值；思路②：利用余弦定理求值；思路③：利用两角和的方法求值．请你从中选择一个思路，你的选择是____（只需填写序号）；按照你的选择，进行计算，得到的cos?ABC ? . 14.王亮同学在研究首项 a1 ? 2 ，公差 d=2 的等差数列?an?时，从中取连续的 5 项，其中 4 项的和为 134 ，则此连续 5 项的和为 . 三、解答题：本大题共 4 小题，共 44 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 12 分）已知数列?an?满足点( n, an )在直线 2x ? y ?1 ?0 上． ( I)若 a1 ， a4 ， am 成等比数列，求 m 的值；(Ⅱ)求?an?的前 n 项和Tn 。
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(五)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（五）（本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1、已知角α的终边经过点(1,2)P -,则tan α的值是（ ）.A ．2B ．-2C ．12 D ．12- 2、下列函数在其定义域内即是奇函数又是单调递增函数的是（ ）A. 1y x=- B.2log y x =- C. 3x y = D.3y x =3、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ ）. A. 100 B. 40 C. 20 D. 124、集合{}04A x N x +=∈<<的子集．．个数为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．85、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设b k a u +=，b a v -=2，若v u //，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C. 12 D ．16、已知函数()sin()4f x x πω=+(.0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度7、有一个几何体的三视图及其尺寸如图1所示 （单位：cm ），则该几何体的体积．．为 A ．336cm π B. 312cm πC. 315cm πD. 324cm π8、直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是A.相交且直线过圆心B.相切C.相交但直线不过圆心D.相离9、在△ABC 中，已知5AB AC ==，6BC =，则AB AC =uu u r uuu rg （ ）．A ．18B ．12C ．7D ．2410、已知221a b >>，则下列不等关系式中一定正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．33b a < D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、设cos127cos50sin53cos40a =+o o o o ，()2sin 56cos 562b =-oo ，()21cos802cos 5012c =-+oo ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>12、设实数x ，y 满足约束条件20,20,2x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()224x y ++的取值范围是A.[]2,68B.[]4,68C.2,217⎡⎤⎣⎦D.2,217⎡⎤⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13、已知a ∈（2π，π），sin a =53，则tan a =14、若0x >，则1x x+的最小值为_______． 15、 已知△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 16、已知数列}{n a 中，11=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a =三、解答题（本题共6小题,满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17、（本小题满分12分）若(3sin ,1),(1,cos )a x b x =-=r r(1)若a b ⊥r r，求x tan 的值（2）若b a x f ⋅=)(，求函数)(x f 的最小正周期以及最大值18、（本题满分10分）求不等式组解集22)(24)03210x xx x-+≥⎧⎨-++<⎩（19、（本题满分12分）已知数列{}na是一个等差数列，且21a=，55a=-。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (43)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (43)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知sinα=−√22，π2<α<3π2，则角α等于( )A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π42. 为了了解某地区的1003名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为( )A. 31003，120B. 10001003，120 C. 31003，501003 D. 10001003，501003 3. 同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )A. 16B. 518C. 19D. 5364. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. .函数的最小正周期是( )A.B. C.D.6. 程序执行两个语句“S =0，i =1”后，再连续执行两个语句“S =S +i ，i =i +2”三次，此时S 的值是( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 7. y =sin(x −π4)的图象的一个对称中心是( )A. (−π,0)B. (π2,0)C. (3π2,0)D. (−3π4,0)8. 已知函数f (x )=Asinωx (A >0,ω>0)与g (x )=A2cosωx 的部分图象如图所示，则( )A. A =1，ω=3π B. A =2，ω=π3 C. A =1，ω=π3 D. A =2，ω=3π9. 已知e 1⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，夹角为π3，则(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )⋅(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )等于( )A. −8B. 92C. −52D. 810. 已知sinx +√3cosx =65，则cos(π6−x)=( )A. −35B. 35C. −45D. 45二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.x 12 345y13.2m14.215.416.4从散点图可知，y 与x 呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线y ̂=0.8x +a ̂上，则m 的取值为______ ．12. 已知，则________．13. 已知a ⃗ =(−12,y 0)是单位向量，则y 0=______． 14. 从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15. 已知tan(π−α)=2(1)求tanα的值； (2)求sinα+cosαsinα−cosα的值．16. 已知向量b ⃗ 与向量a ⃗ =(1,−2)的方向相反，且|b ⃗ |=3√5．(1)求向量b ⃗ 的坐标；(2)若c ⃗ =(2,3)，求(c ⃗ −a ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )的值．17. 已知a ⃗ =(cos 32x,−sin 32x)，b ⃗ =(cos x2,sin x2)，x ∈[0,π2].若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12λ|a ⃗ +b ⃗ |的最小值为−32，求实数λ的值．18. 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋 (1)写出数量积X 的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19. 某公司的广告费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂其中b̂=x i n i=1y i −nxy∑x 2n −nx2，a ̂=y −b̂x ． (1)根据表中提供的数据，求出ŷ与x 的回归方程； (2)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵sinα=−√22，π2<α<3π2，则角α∈(π,3π2)，故α=5π4，故选D ．由题意可得sinα=−√22，且角α∈(π,3π2)，从而求得α的值．本题主要考查正弦在各个象限中的符号，根据三角函数的值求角，属于基础题． 2.答案：C解析：【分析】根据系统抽样方法的公平性，即抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，分析题意，可得答案． 本题考查系统抽样方法，注意抽样中的公平性即可． 【解答】解：根据题意，抽样过程中每个个体被剔除的概率是相等的，即为31003， 每个个体被抽取的概率是相等的，即为501003，故选：C ． 3.答案：C解析：【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果．古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体． 【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)，共有4种结果， 根据古典概型概率公式得到P =436=19， 故选C ．4.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|=1×1×cos120°1=−12，故选：A．根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．5.答案：B解析：y=sin(π3−2x)+sin2x=sinπ3cos2x−cosπ3sin2x+sin2x=√32cos2x−12sin2x+sin2x=sin(2x+π3)，∴周期6.答案：D解析：解：执行两个语句“S=S+i，i=i+2”一次，S=1，i=3；执行两个语句“S=S+i，i=i+2”二次，S=4，i=5；执行两个语句“S=S+i，i=i+2”三次，S=9，i=7．故选：D．模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查赋值语句，属于基础题．7.答案：D解析：解：对于函数y=sin(x−π4)，令x−π4=kπ，k∈Z，可得它的图象的对称中心为(kπ+π4,0)，k∈Z．令k=−1，可得它的图象的一个对称中心为(−3π4,0)，故选：D．由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查由函数图像确定函数解析式．根据函数图象即可得到A=2，ω=π3，属于基础题．【解答】解：由图可得过点(0,1)的图像对应的函数解析式为，即A2=1，A=2；过原点的图像对应函数f(x)=Asinωx．由f(x)图像可知，T=2πω=1.5×4，可得ω=π3．故选B．9.答案：C解析：解：根据条件，e1⃗⃗⃗ 2=e2⃗⃗⃗ 2=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12；∴(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )⋅(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−3e1⃗⃗⃗ 2+5e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ 2=−3+52−2=−52．故选C．据条件可得到，e1⃗⃗⃗ 2=1,e2⃗⃗⃗ 2=1,e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12，然后进行数量积的运算即可．考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．10.答案：B解析：解：∵sinx+√3cosx=65，∴2(12sinx+√32cosx)=65，∴2cos(π6−x)=65，∴cos(π6−x)=35，故选：B．由三角函数公式可得2(12sinx+√32cosx)=65，即2cos(π6−x)=65，易得答案．本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．11.答案：13.8解析：【分析】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．第四组数据在回归直线ŷ=0.8x+â上，可得15.4=0.8×4+a∧，求出a∧=12.2，求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入求出m的值．【解答】解：第四组数据在回归直线ŷ=0.8x+â上，可得15.4=0.8×4+a∧，∴a∧=12.2∵x=3，y=59.2+m5，∴代入得59.2+m5=2.4+12.2，解得m=13.8．故答案为13.8．12.答案：83解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系式和二倍角公式.利用tanα=sinαcosα化简即可求出结果．【解答】解：∵sin2α=34，∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinα·cosα=2sin2α=234=83．故答案为83．13.答案：±√32解析：【分析】本题考查了单位向量的概念，属于基础题．根据单位向量的模为1即可求出．【解答】解：∵a⃗=(−12,y0)是单位向量，∴14+y02=1，解得y0=±√32，故答案为：±√32．14.答案：25解析：【分析】先计算出从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数对应的基本事件总数，再列举出这3个数可以构成等差数列的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中本题易忽略1，3，5这种情况，而造成错解．【解答】解：从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有(1,2，3)，(1,2，4)，(1,2，5)，(1,3，4)，(1,3，5)，(1,4，5)，(2,3，4)，(2,3，5)，(2,4，5)，(3,4，5)共10种不同的情况；其中可以构成等差数列的情况有：(1,2，3)，(2,3，4)，(3,4，5)和(1,3，5)4种故这3个数可以构成等差数列的概率为410=25．故答案为：25．15.答案：解：(1)∵tan(π−α)=−tanα=2，…(3分)∴tanα=−2.…(5分)(2)sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1，…(9分)=−2+1−2−1=13.…(12分)解析：(1)利用诱导公式化简求解正切函数值即可．(2)利用同角三角函数基本关系式，化简求解即可．本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．16.答案：解：(1)设b⃗ =−λa⃗，λ>0，则b⃗ =(−λ,2λ)，则|b⃗ |2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=−3(舍去)，∴b⃗ (−3,6)，(2)∵c⃗(2,3)∴c⃗−a⃗=(2,3)−(1,−2)=(1,5)，c⃗−b⃗ =(2,3)−(−3,6)=(5,−3)，∴(c⃗−a⃗ )⋅(c⃗−b⃗ )=5−15=−10．解析：(1)设b⃗ =−λa⃗，λ>0根据向量的模即可求出，(2)根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.答案：解：∵a⃗=(cos32x,−sin32x)，b⃗ =(cos x2,sin x2)，∴|a⃗|=1，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =cos32x⋅cos32x−sin32x⋅sin x2=cos2x；∴|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =√2+2cos2x=√4cos2x=2|cosx|；又∵x∈[0,π2]，∴cosx∈[0,1]，∴|a⃗+b⃗ |=2cosx；∴f(x)=cos2x−λcosx=2cos2x−λcosx−1=2(cosx−λ4)2−(λ28+1)；①当λ4<0，即λ<0时，cosx=0，f(x)取得最小值，并且f(x)的最小值等于−1，不等于−32，不合题意，舍掉；②当0≤λ4≤1，即0≤λ≤4时，cosx =λ4，f(x)取得最小值， 并且f(x)最小值等于−λ28−1=−32，解得λ=2；③当λ4>1，即λ>4时，cosx =1，f(x)取得最小值，并且f(x)最小值等于1−λ=−32，解得λ=52，不满足λ>4，舍掉； 综上所述，λ=2．解析：根据题意，求出a ⃗ ⋅b ⃗ 与函数|a ⃗ +b ⃗ |的表达式，写出函数f(x)解析式，讨论λ的值，计算f(x)的最小值为−32时对应的λ值．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，也考查了三角函数的最值问题，是综合性题目．18.答案：解：(1)由题意可得：X 的所有可能取值为：−2，−1，0，1，(2)数量积为−2的有OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，共1种， 数量积为−1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共6种，数量积为0的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共4种， 数量积为1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共4种， 故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=715，去唱歌的概率P 2=415， 故不去唱歌的概率为：P =1−P 2=1−415=1115解析：(1)由题意可得：X 的所有可能取值为：−2，−1，0，1，(2)列举分别可得数量积为−2，−1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案． 本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19.答案：解：(1)根据题意，计算x =15×(2+4+5+6+8)=5，y =15×(30+40+60+50+70)=50，∴∑x i 5i=1y i =2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，∑x i 25i=1=22+42+52+62+82=145，b ̂=∑x i 5i=1y i −nxy ∑x i 25i=1−nx2=1380−5×5×50145−5×52=6.5； â=y −bx =50−6.5×5=17.5； ∴线性回归方程为ŷ=6.5x +17.5； (2)由题得：ŷ=115， 即6.5x +17.5=115，解得x=15．即大约需要15万元广告费．解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属于基础题．(1)根据题意，计算x、y，求出回归方程的对应系数，写出回归方程；(2)利用回归方程计算ŷ=115时x的值即可．第11页，共11页。
2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (34)-0715(解析版)
2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (34)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知直线mx +4y −2=0与2x −5y +1=0互相垂直，则m 的值为( )A. 10B. 20C. 0D. −4 2. 等差数列{a n }的前11项和S 11=88，则a 3+a 9=( )A. 8B. 16C. 24D. 323. 已知平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,x)，若a ⃗ //b ⃗ ，则x 等于( )A. 2B. −3C. 6D. −6 4. 若1a <1b <0(a,b ∈R)，则下列不等式恒成立的是( )A. a <bB. a +b >abC. |a|>|b|D. ab <b 2 5. 已知点A(3,a)在直线2x +y −7=0上，则a =( ) A. 1 B. −1 C. 2D. −26. 已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=( )A. 16(1−4−n )B. 16(1−2−n )C.323(1−4−n ) D.323(1−2−n )7. 若双曲线C ：x 2m−y 23=1的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则双曲线C 的离心率为( )A. 4B. 3C. 2D. 328. 数列{a n }满足a 1=1，na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，且b n =a n cos 2nπ3，记S n 为数列{b n }的前n项和，则S 30=( ) A. 294 B. 174 C. 470 D. 304 9. 圆x 2+y 2−4x −4y +7=0上的动点P 到直线y =−x 的最小距离为( )A. 2√2−1B. 2√2C. √2D. 1 10. 已知直线y =kx −k −1与曲线C ：x 2+2y 2=m(m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是 ( )A. [3,+∞)B. (−∞,3]C. (3,+∞)D. (−∞,3)11. 公比为q 的等比数列{a n }的各项为正数，且a 2a 12=16，log q a 10=7，则公比q =( )A. 12B. √2C. 2D. √2212. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P 使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为 A. √3 B. 2 C. √5 D. √6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为2π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 14. 若⊙O 1：x 2+y 2=5与⊙O 2：(x −m)2+y 2=20(m ∈R)有公共点，则m 的取值范围是___________________．15. △ABC 中，a =1,b =√7，且△ABC 的面积为√32，则c =______．16. 等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)=4，则a 40a 60等于______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }是递增的等差数列，前n 项和为S n ，若S 5=25，a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量p⃗ =(2sinA,cos(A −B))，q ⃗ =(sinB,−1)，且p ⃗ ⋅q ⃗ =12． (1)求角C 的大小；(2)若c =√3，求b −a 的取值范围．19. 已知圆C 的圆心在直线2x +y =0上，且与另一条直线x +y =1相切于点A (2,−1)．(1)求圆C 的标准方程；(2)已知P (5,4)，点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．20. 设过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA⃗⃗⃗⃗⃗ 且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4． (1)求点P 的轨迹M 的方程；(2)过F(2,0)的直线与轨迹M 交于C ，D 两点，求FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N∗，都有2S n=(n+1)a n．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求证：T n<1．(2)若数列{4a n(a n+2))，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|=2|PB|．22.已知点A(0,2),B(0,12(1)求曲线Γ的方程；(2)设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SG⃗⃗⃗⃗⃗ =0？，若存在，求交直线l：y=3于点F、G.试问在y轴上是否存在一个定点S，使得SF出点S的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】由直线的垂直关系可得2m−20=0，解方程可得m的值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．【解答】解：∵直线mx+4y−2=0与2x−5y+1=0垂直，∴2m−20=0，解得m=10，故选：A2.答案：B解析：【分析】根据等差数列性质可以得出结论．【解答】解：因为S11=11(a1+a11)2=11(a3+a9)2=88，所以a3+a9=16．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查向量平行的充要条件，属于基础题．根据向量平行的充要条件，列出方程即可求出x的值．【解答】解：∵平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,x)，且a⃗//b⃗ ，∴2×(−3)−x=0，解得x=−6．故选D．4.答案：D解析：解：∵1a <1b<0(a,b∈R)，∴ab>0，∴b<a，∴ab<b2．故选：D．由1a <1b<0(a,b∈R)，可得ab>0，即可b<a．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意可得2×3+a−7=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程，属基础题．【解答】解：∵点A(3,a)在直线2x+y−7=0上，∴2×3+a−7=0，解得a=1，故选A．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查等比数列的证明以及求和问题，属于中档题．先根据a2=2，a5=14，求出公比q，再判断出{a n a n+1}为等比数列，根据等比数列求和公式得到答案．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=a2q3=2⋅q3=14，∴q=12，a1=4，a1a2=4×2=8，∵a n+1a n+2a n a n+1=q2=14，∴数列{a n a n+1}是以8为首项，14为公比的等比数列，∴a1a2+a2a3+a3a4+⋯+a n a n+1=8[1−(14)n]1−14=323(1−4−n).故选：C．7.答案：C解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0)，双曲线C：x2m −y23=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，∴c=2，b2=3，m=1，∴e=ca =21=2．故选：C．先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：x2m −y23=1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，可得a n+1n+1−a nn=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n=n2，b n=n2cos2nπ3，可得b3k−2=(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，同理可得b3k−1=−12(3k−1)2，b3k=(3k)2，k∈N∗.即可得出所求和．【解答】解：∵na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，∴a n+1n+1−a nn=1，∴数列{a nn}是等差数列，公差与首项都为1．∴a nn=1+(n−1)，可得a n=n2．∵b n=a n cos2nπ3，∴b n=n2cos2nπ3，∴b3k−2=(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，同理可得b3k−1=−12(3k−1)2，b3k=(3k)2，k∈N∗．∴b3k−2+b3k−1+b3k=−12(3k−2)2−12(3k−1)2+(3k)2=9k−52，则S30=9×(1+2+⋯+10)−52×10=470，故选：C．9.答案：A解析：解：由题意得，圆x2+y2−4x−4y+7=0即(x−2)2+(y−2)2=1，圆心为(2,2)，半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得d=2=2√2，所以圆上动点到直线的最小距离为2√2−1．故选：A．先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径即为所求．本题考查圆的标准方程的形式及意义，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．10.答案：A解析：【分析】本题考查直线与曲线的位置关系，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．直线：y=kx−k−1恒过定点(1,−1)，利用直线：y=kx−k−1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，定点在椭圆内或椭圆上，即可得出m的取值范围．【解答】解：直线：y =kx −k −1=k(x −1)−1恒过定点(1,−1)， ∵直线：y =kx −k −1与曲线C ：x 2+2y 2=m 恒有公共点， ∴12+2×(−1)2≤m ， ∴m ≥3，即m 的取值范围是[3,+∞)． 故选A . 11.答案：B解析：【分析】本题考查等比数列的性质、通项公式，以及对数的运算性质，属于基础题．根据等比数列的性质将a 2a 12=16化为a 72=16，求出a 7的值，由log q a 10=7得a 10=q 7，根据等比数列的通项公式求出q 的值． 【解答】解：因为等比数列{a n }各项为正数，且a 2a 12=16，所以q >0，a 72=16，得a 7=4，由log q a 10=7，得a 10=q 7，所以a 7q 3=q 7， 即q 4=4，解得q =√2， 故选：B ． 12.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，由焦点到渐近线的距离为b ． 【解答】解：因四边形OPFQ 为矩形，设P 在双曲线上，Q 在渐线上， 则直角三角形OQF 与直角三角形OPF 全等， 由|OF|=c ，|FQ|=b ，|OQ|=a ，则得P(b 2c ,−ab c)，代入x 2a 2−y 2b 2=1得 b 4a 2c 2−a 2b 2b 2c 2=1，所以 (c 2−a 2)2a 2c 2−a 4a 2c 2=1化简得 c 2=3a 2， 解得e =ca =√3 故选A ．13.答案：6解析：解：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为2π3， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos 2π3=4×3×(−12)=−6， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =6． 故答案为：6．运用向量的数量积的定义，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，再由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到． 本题考查平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于基础题．14.答案：[−3√5,−√5]∪[√5,3√5]解析：【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．由题意，可得r2−r1≤|O1O2|⩽r1+r2，即可求出m的取值范围．【解答】解：由题意，设⊙O1与⊙O2的半径分别为r1和r2，可得O1(0,0)，O2(m,0)，圆O1的半径为r1=√5，圆O2的半径为r2=2√5，因为⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：(x−m)2+y2=20(m∈R)有公共点，所以r2−r1≤|O1O2|⩽r1+r2，得√5⩽|m|⩽3√5，解得√5⩽m⩽3√5或−3√5⩽m⩽−√5．故答案为[−3√5,−√5]∪[√5,3√5]．15.答案：2或2√3解析：解：∵a=1,b=√7，且△ABC的面积为√32=12absinC=12×1×√7×sinC，∴可得：sinC=√217，可得cosC=√1−sin2C=±2√77，∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√1+7−2×1×√7×(±2√77)=2或2√3．故答案为：2或2√3．由已知利用三角形面积公式可求sin C，根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值，进而利用余弦定理可求c的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：16解析：解：由题意，∵log2(a2a98)=4∴a2a98=16等比数列{a n}中，a40a60=a2a98=16故答案为：16先利用对数的定义，再利用等比数列的性质，即可求得结论．本题考查对数的定义，考查等比数列的性质，正确运用等比数列的性质是关键．17.答案：解：(1)由条件S5=5a1+10d=25,a1⋅a5=a22，∴a1=1，d=2，a n=2n−1,n∈N∗…(5分)(2)因为a n=2n−1,n∈N∗，、所以b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=n2n+1数列{b n}的前n项和T n=n2n+1…(10分)解析：(1)利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，然后求解通项公式． (2)利用(1)化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和即可． 本题考查数列的求和，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力． 18.答案：解：(1)由p ⃗ ⋅q ⃗ =12，得2sinAsinB −cos(A −B)=12， ∴2sinAsinB −cosAcosB −sinAsinB =12，∴−cos(A +B)=12， 即cosC =12，又0<C <π， ∴C =π3；(2)∵c =√3，C =π3，∴√3sin π3=a sinA =bsinB ，∴a =2sinA ，b =2sinB ；∴b −a =2sinB −2sinA=2sin[π−(π3+A)]−2sinA=2sin(π3+A)−2sinA=2(√32cosA −12sinA) =2cos(A +π6)，∵0<A <2π3，∴π6<A +π6<5π6，∴−√32<cos(A +π6)<√32，∴2cos(A +π6)∈(−√3,√3)，∴b −a 的取值范围是(−√3,√3).解析：(1)由平面向量的数量积，利用三角恒等变换求得cos C 的值，再结合范围0<C <π得出C 的值；(2)由正弦定理求得a =2sinA ，b =2sinB ，再利用三角恒等变换与三角函数的图象与性质求出b −a 的范围．本题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积应用问题，也考查了三角函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用问题．19.答案：解：(1)设圆C 的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2，由题意得，解得则圆C 的方程为(x −1)2+(y +2)2=2． (2)设M (x,y )，B (x 0,y 0)，则有5+x 02=x,y 0+42=y ，所以x 0=2x −5,y 0=2y −4代入(x −1)2+(y +2)2=2得 (2x −6)2+(2y −2)2=2，整理得(x −3)2+(y −1)2=12．解析：本题考查圆的方程的求法和利用相关点法求轨迹方程．(1)设圆C 的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2，根据条件列出方程组求出结果； (2)根据相关点法求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．20.答案：解：(1)∵过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称， ∴Q(−x,y)，设A(a,0)，B(0,b)，∵O 为坐标原点，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −b)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,−y)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,b)，∵BP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， ∴{x =3(a −x)y −b =−3y ax +by =4， 解得点P 的轨迹M 的方程为x 23+y 2=1．(2)设过F(2,0)的直线方程为y =kx −2k ， 联立{y =kx −2k x 23+y 2=1，得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−3=0，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=12k 23k 2+1，x 1x 2=12k 2−33k 2+1，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =(1+k 2)(x 1−2)(x 2−2)=(1+k 2)[x 1x 2−2(x 1+x 2)+4]=(1+k 2)(12k 2−33k 2+1−24k 23k 2+1+4)=k 2+13k 2+1=13+29k +3，∴当k 2→∞，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值→13；当k =0时，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1． ∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(13,1]．解析：(1)由点P(x,y)，点Q 与点P 关于y 轴对称知Q(−x,y)，设A(a,0)，B(0,b)，由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，知{x =3(a −x)y −b =−3y ax +by =4，由此能求出点P 的轨迹M 的方程．(2)设过F(2,0)的直线方程为y =kx −2k ，联立{y =kx −2k x 23+y 2=1，得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−3=0，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(1+k 2)(x 1−2)(x 2−2)，利用韦达定理能求出FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查求向量乘积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量知识的合理运用．21.答案：(1)解：∵2S n =(n +1)a n ，∴当n ≥2时，2S n−1=na n−1，可得2a n =(n +1)a n −na n−1，∴a n n =a n−1n−1． ∴a n n =a 11，∴a n =2n ．(2)证明：4a n (a n +2)=42n(2n+2)=1n −1n+1， ∴T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1，∴T n <1．解析：本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)2S n =(n +1)a n ，当n ≥2时，2S n−1=na n−1，可得a n n =a n−1n−1=a 11，可得a n ;(2)4a n (a n +2)=42n(2n+2)=1n −1n+1，利用“裂项求和”即可得出． 22.答案：解：(1)设P(x,y)，∵点A(0,2),B(0,12)，点P 为曲线Γ上任意一点且满足|PA|=2|PB|．∴√x 2+(y −2)2=2√x 2+(y −12)2， 整理得：x 2+y 2=1，∴曲线Γ的方程为x 2+y 2=1．(2)由题意得M(0,1)，N(0,−1)，设点R(x 0,y 0)，(x 0≠0)，∵点R 在曲线Γ上，∴x 02+y 02=1，直线RM 的方程y −1=y 0−1x 0x ，∴直线RM 与直线y =3的交点为F(2x 0y0−1,3)， 直线RN 的方程为y +1=y 0+1x 0x ，∴直线RN 与直线y =3的交点为G(4x 0y 0+1,3)，假设存在点S(0,m)，使得SF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SG⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立， 则SF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2x 0y0−1,3−m)，SG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4x 0y 0+1,3−m)， ∴2x 0y 0−1⋅4x 0y 0+1+(3−m)2=0，∵x 02+y 02=1，∴−8+(3−m)2=0，解得m =3±2√2，∴存在点S ，使得SF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立， ∴S 点的坐标为(0,3±√2).解析：(1)设P(x,y)，由|PA|=2|PB|.得√x 2+(y −2)2=2√x 2+(y −12)2，由此能求出曲线Γ的方程．(2)由题意得M(0,1)，N(0,−1)，设点R(x 0,y 0)，(x 0≠0)，由点R 在曲线Γ上，得x 02+y 02=1，直线RM 的方程y −1=y 0−1x 0x ，从而直线RM 与直线y =3的交点为F(2x 0y 0−1,3)，直线RN 的方程为y +1=y 0+1x 0x ，从而直线RN 与直线y =3的交点为G(4x 0y 0+1,3)，假设存在点S(0,m)，使得SF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立，则2x 0y 0−1⋅4x 0y 0+1+(3−m)2=0，由此能求出存在点S ，使得SF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立，且S 点的坐标为(0,3±√2). 本题考查曲线方程的求法，考查是否存在满足向量积为0的点的判断与求法，考查圆、直线方程、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
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2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (27)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知tan >0，则sinα⋅cosα的值( )A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为零D. 可能为零 2. 已知−sinα=2cosα，则sinα⋅cosα=( )A. −25B. −15C. 25D. 153. 某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势4. 为了研究椭圆的面积公式，研究人员制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形ABCD 的长、宽分别为2a ，2b ，以矩形的中心O为中心制作得的内切椭圆如图阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了十次试验，若十次试验在矩形ABCD 中共随机撒入5000颗豆子，落在阴影部分内的豆子是3925颗，那么，据此估计椭圆的面积S 的公式为( )A. S =πabB. S =34πabC. S =3abD. S =3.2ab5. 方程组{x +y =2x −y =0的解构成的集合是( )A. {(1,1)}B. {1,1}C. (1,1)D. {1}6. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，4则输出v 的值为( )A. 399B. 100C. 25D. 67. 某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：广告费用x(万元) 4 2 3 5销售额y(万元) 49 26 39 m根据上表可得回归方程ŷ=9x +10.5，则m 为( ) A. 54 B. 53 C. 52D. 51 8. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. 1B. √2C. 2D. √59. 已知，则tan(π4+α)=( )A. 13B. −3C. 13D. 310. 从A ，B ，C ，D 四个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为( )A. 13B. 14C. 12D. 2311. sin65°cos35°−cos65°sin35°=( )A. 12B. √22C. √32D. 112. 平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. √3−1 C. 0 D. √2−1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,⋅⋅⋅,840随机编号，则抽取的42人中，若第一组抽取的编号为6，则抽取的编号落在区间[488 , 720]的人数是__________. 14. 在函数y =−2sin(4x +23π)的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是__________． 15. 等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 作一条直线与边AB 交与点D ，AD ≥AC 的概率为______ ． 16. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2015)= __________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知cos(2π−α)=−45，且α为第三象限角，(1)求cos(π2+α)的值； (2)求f(α)=tan(π−α)⋅sin(π−α)⋅sin(π2−α)cos(π+α)的值．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，．(1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=4，∠DAB =600，分别求|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19. 某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获得利润y 万元之间有如下的统计数据：x 2 3 4 5 Y18273235y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)试根据(2)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：若变量x 和y 用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：y ̂=b ̂x +a ̂，其中：b̂=i n i=1i −nxy∑x 2n −n(x)2，a ̂=y −b̂x ，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．20.已知函数的图象关于直线x=π对称，且图象上相3邻两个最高点的距离为π．(1)求ω和φ的值；]时，求函数y=f(x)的最大值和最小值．(2)当x∈[0,π221.苏州市一木地板厂生产A、B、C三类木地板，每类木地板均有环保型和普通两种型号，某月的产量如下表(单位：片)：类型木地板A木地板B木地板C环保型150200Z普通型250400600A类木地板10片．(1)求Z的值；(2)用随机抽样的方法从B类环保木地板抽取8片，作为一个样本，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5的概率．22.已知向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,cosx)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=1，a=1，求△ABC面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵tan>0，∴sinα、cosα同号，∴sinα⋅cosα>0．故选：A．由tan>0，可得sinα、cosα同号，即可得出结论．本题考查三角函数值的符号，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系，属于基础题；根据同角三角函数关系式和二次齐次式的化简求解．【解答】解：由−sin α=2cos α，得tanα=−2，所以sin α⋅cos α=sin α⋅cos αsin2 α+cos2 α=tanαtan2α+1=−2(−2)2+1=−25；故选A．3.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个，从而在这12个月中任取1个月，则所取这个月的最高气温平均值不低于25℃的概率为512．【解答】解：由2017年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值8月高于7月，故D错误．故选D．4.答案：A解析：解：由几何概型，得：S椭圆S矩形=S椭圆2a⋅2b=39255000，解得S椭圆=3.14ab≈πab．由几何概型，得S 椭圆S矩形=S 椭圆2a⋅2b =39255000，由此能估计椭圆的面积S 的公式．本题考查椭圆面积公式的求法，考查几何概型等基础知识，考查学生分析解决问题的能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，以及点集的表示，同时考查运算能力，属于基础题． 根据题意，方程组的解是一个有序实数对． 【解答】解：解方程组得x =1且y =1，则方程组的解构成的集合是{(1,1)}． 故选A ． 6.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案，属基础题． 【解答】解：∵输入的x =4，n =3，故v =1，i =2，满足进行循环的条件，v =6，i =1， 满足进行循环的条件，v =25，i =0， 满足进行循环的条件，v =100，i =−1 不满足进行循环的条件， 故输出的v 值为100． 故选B ．7.答案：A解析：【分析】本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．根据线性回归直线过样本中心点，即可求出m 的值． 【解答】解：由题意，x =14(4+2+3+5)=3.5，代入y ̂=9x +10.5，可得y =42， ∴14(49+26+39+m)=42，得m =54． 故选A ．解析：解：∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)−(1,0)=(0,1)． ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√02+12=1． 故选：A ．利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题． 9.答案：B解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式，诱导公式的应用以及同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系得到tanα=2，通过两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答】解：已知cos(π2+α)=2cos(π−α)，可得−sinα=−2cosα， 所以tanα=2， 则．故选：B ．10.答案：C解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 先求出基本事件有6种，再求出A 被选中包含的基本事件有3种，由此能求出A 被选中的概率． 【解答】解：从A 、B 、C 、D 四名同学中选2人参加普法知识竞赛， 基本事件为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共计六种， A 被选中包含基本事件为AB ，AC ，AD 共计三种， ∴A 被选中的概率为p =36=12． 故选C ． 11.答案：A解析：解：sin65°cos35°−cos65°sin35°=sin(65°−35°)=sin30°=12， 故选：A利用两角和差的正弦公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 12.答案：A解析：【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A =120°，再建立坐标系，得到MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x −2)+34=x 2−2x +34=(x −1)2−14，设f(x)=(x −1)2−14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决． 本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题． 【解答】解：∵平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1， AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =−1， ∴cosA =−12，∴A =120°，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴， 建立如图所示的坐标系，∴A(0,0)，B(2,0)，D(−12,√32)，设M(x,√32)，则−12≤x ≤32，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−√32)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−√32)， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x −2)+34=x 2−2x +34=(x −1)2−14，设f(x)=(x −1)2−14，则f(x)在[−12,1)上单调递减，在[1,32]上单调递增， ∴f(x)min =f(1)=−14，f(x)max =f(−12)=2，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是2，故选：A ． 13.答案：11解析：由系统抽样方法可知：抽取42人需将840人分成42组，每组20人；故42组应为：第一组1,2,⋅⋅⋅,20；第二组21,22,⋅⋅⋅,40，⋅⋅⋅，第42组为821,822,⋅⋅⋅,840，每组抽一个人，而第一组抽的是6号，故第k 组抽取的编号就应是：6+20(k −1)，由488≤6+20(k −1)≤720解得：25.1≤k ≤36.7，又因为k ∈N ，所以k =26,27,⋅⋅⋅,36，故抽取的编号落在区间[488 , 720]的人数是11.14.答案：(π12 ,0)解析：函数y =−2sin(4x +23π)的图象与x 轴的相交，∴4x +23π=kπ，即x =−π6+kπ4,k ∈Z ，当k =1，交点离原点最近，坐标为(π12 ,0)，因此答案为(π12 ,0)．15.答案：14解析：解：在AB 上取AC′=AC ，则∠ACC′=(180°−45°)÷2=67.5°．则所有可能结果的区域为∠ACB ，事件A 构成的区域为∠ACC′． ∵∠ACB =90°，∠ACC′=67.5°． ∴AD ≥AC 的概率为P =1−67.5°90°=1−34=14．故答案为：14由于过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一射线CD ，故可以认为所有可能结果的区域为∠ACB ，可将事件A 构成的区域为∠ACC′，以角度为“测度”加以计算，可得本题答案．本题着重考查了等腰直角三角形的性质、几何概型计算公式及其应用等知识，关键是明确满足AD ≥AC 的测度，属于中档题． 16.答案：0解析：【分析】本题考查三角函数图象与性质的应用，属于中档题目． 由函数图象求出函数解析式即可得出答案． 【解答】解：由已知得T2=6，所以T =12=2π|ω|，ω=π6，且A =5， 所以f(x)=5sin(π6x +φ)，又函数图象过(2,5)，有sin(π3+φ)=1，且0≤φ<2π， 所以φ=π6，则f (2015)=5sin(π6×2015+π6)=0． 故答案为0．17.答案：解：(1)∵cos(2π−α)=cosα=−45，且α为第三象限角，∴sinα=−√1−cos 2α=−35， ∴cos(π2+α)=−sinα=35． (2)求f(α)=tan(π−α)⋅sin(π−α)⋅sin(π2−α)cos(π+α)=−tanα⋅sinα⋅cosα−cosα=sin 2αcosα=925−45=−920．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．(1)利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式求得cos(π2+α)的值．(2)利用诱导公式求得所给式子的值．18.答案：解：(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13A ⃗ D =−23a ⃗ +13b ⃗ ； (2) ∵|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=4，∠DAB =600，，∴|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−23a ⃗ +13b ⃗ )2=√49a ⃗ 2−49a ⃗ ·b ⃗ +19b ⃗ 2=2√33， 易知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ⃗ +b ⃗ )·(23a ⃗ −13b ⃗ )=23a ⃗ 2+13a ⃗ ·b ⃗ −13b ⃗ 2=23+23−163=−4．解析：本题考查了向量的数量积，考查了向量的线性运算．(1)根据向量的运算直接求解即可；(2)由向量的数量积以及向量的模求解．19.答案：解：(Ⅰ)x =2+3+4+54=3.5，y =18+27+32+354=28，∑x i 4i=1y i =2×18+3×27+4×32+5×35=420，∑x 24i=1=22+32+42+52=54，b ̂=i ni=1i −nxy ∑x 2n −n(x)2=420−4×3.5×2854−4×3.52=5.6． â=y −b ̂x =28−5.6×3.5=8.4 所求线性回归方程为：ŷ=5.6x +8.4． (Ⅱ)当x =10时，ŷ=5.6×10+8.4=64.4(万元)， 故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．解析：(Ⅰ)根据表中所给的数据，求出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(Ⅱ)把所给的x 的值，代入上一问求出的线性回归方程中，求出对应的y 的值，这是一个估计值，预报值．本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是细心地求出线性回归方程要用的系数． 20.答案：解．(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T =π，故ω=2πT =2， 又因为f(x)的图象关于直线x =π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ−π6，k ∈Z ，又−π2⩽φ<π2，所以φ=−π6．综上，ω=2，φ=−π6；(2)由(1)知，当x∈[0,π2]时，−π6⩽2x−π6⩽5π6，所以，当2x−π6=π2，即x=π3时f(x)max=√3；当2x−π6=−π6，即x=0时，f(x)min=−√32．解析：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)图象相邻两个最高点的距离得周期，从而得ω=2，再利用函数y= Asin(ωx+φ)图象的对称性，结合题目条件得φ=−π6，从而得结论；(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域计算得结论．21.答案：解：(1)Z=50×300+10010−(100+300+150+450+600)=400；(2)样本平均数为18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9．则与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数有6个；则概率为P=68=0.75．解析：(1)利用分层抽样求出Z；(2)求出平均数，比较得出概率．考查了分层抽样与古典概型概率的求法，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,cosx)，则f(x)=a⃗⋅b⃗ =√3sinxcosx+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，令2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z得kπ−π3≤x≤π6+kπ，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,π6+kπ]，k∈Z；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin(2x+π6)+12，∵f(A)=1，即sin(2A+π6)+12=1，∴sin(2A+π6)=12，∵0<A<π，可得A=π3，余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc，即bc=b2+c2−1，∵b2+c2≥2bc.当且仅当b=c时取等号，∴bc+1≥2bc．即bc≤1，△ABC面积的最大值S=12bcsinA≤12×1×√32=√34故△ABC面积的最大值为√34．解析：(Ⅰ)由f(x)=a⃗⋅b⃗ .根据向量的坐标运算可得f(x)，化简，结合三角函数的性质求f(x)的单调递增区间(Ⅱ)根据f(A)=1，求解A，由a=1，结合余弦定理，基本不等式即可求解△ABC面积的最大值．本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，余弦定理和基本不等式的应用．。