扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题

1扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题2013．01全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合}11|{≤≤-=x x M ，2{|20}N x x x =-≤，则M∩N = ▲ ． 2．将复数ii-+121(是虚数单位)写成),(R b a bi a ∈+，则=+b a ▲ ． 3．已知向量()()k ,1,1,2-==，若⊥，则k 等于 ▲ ． 4．已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则=)]0([f f ▲ ． 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ▲ ．6．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．8．已知圆C 的圆心为抛物线x y 42-=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．9．设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若,a b a α⊥⊥，则//b α， ②若,a βαβ⊥⊥，则//a α, ③若βαβα⊥⊥则,,//a a④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ▲ ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ． 11．已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． 12． 如图所示：矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ▲ ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ▲ ．14．数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且 122012111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量)1,(sin -=x ，)21,cos 3(-=x n ，函数2)(2-⋅+=n m m x f ．（Ⅰ）求)(x f 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求CA tan 1tan 1+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O 。

（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设E 为线段PC 上一点，若AC BE ⊥，求证：//PA 平面BED17．（本小题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）若数列{}n a 是等比数列，满足23132a a a =+， 23+a 是2a ，4a 的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分15分）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）19．（本小题满分16分）如图，已知椭圆1E 方程为22221(0)x y a b a b+=>>，圆2E 222x y a +=，过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于B 、C ．（Ⅰ）若11k =时，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆1E （Ⅱ）若椭圆1E 的离心率e =12，2F 为椭圆的右焦点，当2||||2BA BF a +=时，求1k 的值；（Ⅲ）设D 为圆2E 上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为2k ，当2122k b k a=时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（本小题满分16分）记函数()()*1,n n f x a x a R n =⋅-∈∈N 的导函数为()n f x '，已知()3212f '=． （Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）设函数2()()ln n n g x f x n x =-，试问：是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若实数0x 和m （0m >，且1m ≠）满足：()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'='，试比较0x 与m 的大小，并加以证明．第二部分（加试部分）21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）若矩阵A 有特征值13λ=,21λ=-,它们所对应的特征向量分别为110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ,求矩阵A .…………………10分21．C ． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）已知椭圆C ：221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，求PAB ∆面积的最大值。

22．（本题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，1AB AD PD ===，2CD =．设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45°．23．（本题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求1(1)2mx +展开式的中间项； （Ⅱ）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++ 与13的大小.扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 参 考 答 案2013．01第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．[0,1]；2．；3．2；4．0；5．121； 6．3；7．49； 8．22(1)4x y ++=；9．③④；1011．e 3-；12． 216；13．35；14．27-二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2)()(-⋅+=m n m x f 221cos sin 31sin 2-+++=x x x 62sin(2cos 212sin 23212sin 2322cos 1π-=-=-+-=x x x x x ．……… 3分 故1)(max =x f ，此时Z k k x ∈+=-,2262πππ，得Z k k x ∈+=,3ππ，∴取最大值时x 的取值集合为},3|{Z k k x x ∈+=ππ． ………………… 7分（Ⅱ）()sin(216f B B π=-=，20π<<B ，65626πππ<-<-∴B ， 262B ππ∴-=，3B π=． …………………………… 10分由ac b =2及正弦定理得C A B sin sin sin 2=于是C A AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+2sin()1sin sin A C B B +===……………………………………14分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥…………………2分 又AC BD ⊥，,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD ∴⊥平面PAC ， (4)分而BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC …………………6分（Ⅱ）证：AC BE ⊥ ，AC BD ⊥，BE 和BD 为平面BED 内两相交直线，AC ∴⊥平面BED ， …………………8分 连接EO ，EO ⊂ 平面BED ，AC EO ∴⊥， …………………10分PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂ 平面ABCD ，AC PA ∴⊥，又,,AC PA EO 共面，//EO PA ∴， …………………12分 又PA ⊄ 平面BED ，EO ⊂平面BED ，//PA ∴平面BED …………………14分17．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a ……3分由)1(得 0232=+-q q ，解得1=q 或2=q . 当1=q 时，不合题意舍；当2=q时，代入(2)得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=- . …………………7分（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{}n a ，设此数列的公差为d ，则 方法1： 211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+，得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立， 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩…………………10分 解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =，或2n a n =-．故存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+．其中2n a n =， 或2n a n =-． …………………15分 方法2：令1n =，214a =，得12a =±，令2n =，得2212240a a a +⋅-=， …………………9分①当12a =时，得24a =或26a =-，若24a =，则2d =，2n a n =，(1)n S n n =+，对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+；若26a =-，则8d =-，314a =-，318S =-，不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+．…………………12分②当12a =-时，得24a =-或26a =，若24a =-，则2d =-，2n a n =-，(1)n S n n =-+，对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+；若26a =，则8d =，314a =，318S =，不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+． 综上所述，存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+．其中2n a n =，或2n a n =-． …………………15分18．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程为2000()f x a x b x c =++，依题意： 00000004,420,931,c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ …………………3分解得，01a =，04b =-，04c =，∴助跑道所在的抛物线方程为2()44f x x x =-+． …………………7分 （Ⅱ）设飞行轨迹所在抛物线为2()g x ax bx c =++（0a <），依题意：(3)(3),'(3)'(3),f g f g =⎧⎨=⎩得931,62,a b c a b ++=⎧⎨+=⎩解得26,95,b ac a =-⎧⎨=-⎩…………………9分∴22311()(26)95(1a g x ax a x a a x a a-=+-+-=-+-， 令()1g x =得，22311()a x a a--=，∵0a <，∴31123a x a a a -=-=-，…11分当31a x a -=时，()g x 有最大值为11a-，则运动员的飞行距离2233d a a=--=-， ………………13分飞行过程中距离平台最大高度1111h a a=--=-，依题意，246a ≤-≤，得123a≤-≤，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．………………15分 19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）当11k =时，点C 在y 轴上，且(0,)C a ，则(,)22a aB -，由点B 在椭圆上， 得2222()()221a a a b -+=， …………………2分 ∴2213b a =，22222213c b e a a==-=，∴e = …………………4分（Ⅱ）设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆定义知，12||||2BF BF a +=，∴1||||BF BA =，则点B 在线段1AF 的中垂线上，∴2B a cx +=-，…………6分 又12c e a ==，∴12c a =，b =，∴34B a x =-，代入椭圆方程得B y ==，∴1B B y k x a =+=9分 （Ⅲ）法一：由12222(),1,y k x a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222122()0k x a x a a b +-+=， ∴x a =-，或22212221()a b k a x b a k -=+， ∵B x a ≠-，∴22212221()B a b k a x b a k -=+，则21122212()B B ab k y k x a b a k =+=+．……11分 由2222(),,y k x a x y a =+⎧⎨+=⎩得22222()0x a k x a -++=， 得x a =-，或2222(1)1a k x k -=+，同理，得2222(1)1D a k x k -=+，22221D ak y k =+，……13分 当2122k b k a =时，422222222422222222()()B b a b k a a b k a x b a b k b k a--==++，2222222B ab k y a b k =+， 22222222222222222222222211()(1)1BDab k ak a b k k k k a a b k a k a b k k -++==----++，∴ BD ⊥AD ，∵2E 为圆， ∴ ∠ADB 所对圆2E 的弦为直径，从而直线BD 过定点（a ,0）. ……………16分 法二：直线BD 过定点(,0)a ， …………………10分证明如下：设(,0)P a ，(,)B B B x y ，则：22221(0)B B x y a b a b+=>>22222212222222()1B B B AD PB PB B B B y y y a a a a b k k k k b b x a x a b x a b a ==⋅⋅=⋅=-=-+--，所以PB AD ⊥，又PD AD ⊥所以三点,,P B D 共线，即直线BD 过定点(,0)P a 。