3-4定积分的分部积分法与换元积分法则

∴ 原式 =
∫
t 2 −1 3 2 + 1 t
2
tdt
1 3 2 = ∫ (t + 3) d t 2 1 3 1 1 3 = ( t + 3t) 2 3 1
补例 计算 解
∫
π
∫
π
π
2 0
cos5 x sin xdx
2 0
cos5 x sin xdx
ϕ (t ) ϕ ′ (t ) ϕ (t ) d ϕ ( t )
[ 例9 求 ∫ 0 ( x − [ x])dx, 其中n为正整数，而 x]为不超过x的 最大整数.
n
解 显然，被积函数x − [ x]是以1为周期的函数 由命题2有 .
( x − [ x])dx = n∫ ( x − [ x])dx = n∫ xdx = n . ∫0 0 0 2 当0 ≤ x < 1时， ] = 0. [x
例7 求 解
3. 偶函数 奇函数及周期函数的定积分 偶函数,奇函数及周期函数的定积分 偶函数 奇函数 周期函数
f ( x) = f (−x),
f ( x) = − f (−x) ,
f ( x + T ) = f ( x) ,
∀ x ∈ [ − a, a ] ,
∀ x ∈ [ − a, a ] ,
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt = π ∫ f (sin x)dx − ∫ xf (sin x)dx
0
π
0
π
dx = − dt
π π
0
π
∴ ∫ xf (sin x)dx =
0
π
π
0
∫π
π
∴ ∫ xf (sin x)dx = π ∫ 2 f (sin x)dx, 0 0 π π π x sin x sin x d (cos x) dx = π 2 dx = −π 2 ∫0 1 + cos2 x ∫0 1 + cos2 x ∫0 1 + cos2 x = −π arctan(cos x) |0 =
0
π 2
π 2
02 x cos x d x
= ( n − 1) ∫ sin n − 2 x (1 − sin 2 x ) d x
I n−2 =
I n−4 =
⋅
n−3 n−2
I n−4
= ( n − 1) I n − 2
由此得递推公式 I n =
n −1 I n n−2
0
n−5 n−4
I n−6
n− ⋅ n−5 I n−6 4
∫0 f (−t ) d t + ∫0 f ( x) dx a = ∫ [ f (− x) + f ( x) ] dx 0
=
f (− x) = f ( x )时 f (− x) = − f ( x)时
例8 计算
π
cos5 xdx ∫π
2 − 2
π
解
4 2 16 cos5 xdx = 2∫ 2 cos5 xdx = 2 ⋅ ⋅ = . ∫−π2 0 5 3 15
例2 求定积分 解 则 u ′ = ( n − 1) sin n − 2 x cos x ,
π 2
π 2
令
v = − cos x
∴ I n = [ − cos x ⋅ sin n −1 x ] 0 + ( n − 1) ∫ sin n − 2 x cos 2 x d x 0
I n = ( n − 1) ∫ sin n − 2
配元不换限
= −∫ 2 cos xd cos x
5 0
cos x 2 1 = [− ]0 = . 6 6
6
π
例 5 证明 证 令x=
∫
π
2 0
π 2
∫0
π 2
π − t ( 0 ≤ t ≤ ), 则 2
sin n ( π π 2
2
cosn xdx = ∫ 2 sin n xdx
0
π
sin x d x = − ∫
d x 100 100 sin ( x − t ) d t = _sin _ _ _x_ _ __ 1. dx ∫0
提示: 提示 令 u = x − t , 则
∫0
x
sin 1 0 0 ( x − t ) d t
sin
100
u
习题3-4 1,3,5,7,9,13,20,21,22,23,24. 习题
2
π
命题2 命题
是实轴上的连续函数,并且以 并且以T为 设 f (x) 是实轴上的连续函数 并且以 为 周期,则对任意实数 周期 则对任意实数 a, 则
∫ f ( x ) dx = ∫
T 0
a +T
a
f ( x ) dx.
证
令t = x − T
命题表明：对于以T为周期的函数 为周期的函数， 命题表明：对于以 为周期的函数，在任意一个长度 为T区间上积分，其积分值相等. 区间上积分，其积分值相等 区间上积分
或简写为
∫ udv =[uv] − ∫
a b a
b
b
a
vdu
例1 计算 解 原式 = x arcsin x
1 2
0
−∫
1 2
x 1− x
2
0
dx
−1 π 1 1 2 2 2 = + ∫ (1 − x ) d (1 − x 2 ) 12 2 0 1 1 π = + (1 − x 2 ) 2 2 12 0 π 3 = −1 + 12 2
x x x 0 0 0
t
x
= x ∫ f (t )dt − tf (t )dt = xf (t )dt − tf (t )dt 0 ∫ ∫ ∫
= ∫ f (t ) ⋅ ( x − t )dt
0
x
证法二 左端 = ∫ [ ∫ f ( x)dx]dt）= ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt ′ （
3-4 定积分的分部积分法与换元积分法则 1. 定积分的分部积分公式
定理1. 定理 设u ( x ) 及v ( x ) 在 [ a, b ]上可导
且其导函数在 [ a, b ]上连续, 则
b a b a
∫
b
a
u ( x)v′( x)dx = [u ( x)v( x)] − ∫ v( x)u′( x)dx.
n
0
− t ) d t = ∫ cos n txddtx
0
π 2
习题3-4 22. 证明 例 习题
π
∫
π
0
xf (sin x)dx = π ∫ 2 f (sin x)dx,
0
π
x sin x 并计算∫ dx. 2 0 1 + cos x 证 π xf (sin x)dx x = π − t − 0 (π − t ) f (sin(π − t ))dt ======= ∫ ∫
2. 定积分的换元积分法则
于是
上有连续的导函数, 且当t在 [α , β ]中变动时φ ( t ) 在 [ A, B ]上变动, 假定
定理2. 设f ( x ) 在 [ A, B ]上连续, φ ( t ) 在 [α , β ] 定理
φ (α ) = a ,
b a
φ ( β ) = b,
β
a, b ∈ [ A, B ] ,
π2
4
.
习题3-4 21. 若f(x)连续，则 连续， 习题 连续
∫ [∫
0
x
t
0
f ( x)dx]dt = ∫ f (t ) ⋅ ( x − t )dt
0
t 0
x
证法一
∫ [∫
0
x
x
f ( x)dx]dt = (t ∫ f ( x)dx) | − ∫ tf (t )dt | 0 0 u dv
x 0
∴ 原式 =
π a 2 02
∫
cos t d t
2
y
y= a −x
2
2
a2 = 2
2
∫ 0 (1 + cos 2 t ) d t
π 2
π 2
o
a x
a 1 = ( t + sin 2 t ) 2 2 0
例 4 计算
t 2 −1 , dx = t d t , 且 解 令 t = 2 x + 1,则 x = 2 当 x = 0 时 , t = 1; x = 4 时 , t = 3 .
I0 =
∫0 d x =
π 2
,
I1 =
∫0 sin x d x = 1
π 2
注:
I n = ∫ sin xdx
2 0 n
π
3 1 π n −1 n − 3 n ⋅ n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 , n为正偶数， = n − 1 ⋅ n − 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 , n为大于1的正奇数. n n−2 7 5 3
π 2
2 π
π x =π −t 0 f (sin x)dx ======= − ∫π f (sin(π − t )dt = 2 f (sin x)dx ∫0 dx =π − dt 2
2
2∫
π
0
f (sin x)dx [=
π
2
( ∫ f (sin x) + ∫π f (sin x)dx)]
2 0
π
0
π
x
t
x
∫ [∫
0
x
t
0
f ( x)dx]dt − ∫ f (t ) ⋅ ( x − t )dt = C