九年级期末复习重难点以及典型例题

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九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(附答案解析)

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。

中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。

九年级数学圆锥曲线期末复习3

高二数学期末复习三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。

3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。

注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138；（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。

九年级数学难题压轴题

九年级数学难题压轴题题目：如图，在平面直角坐标系中，抛物线公式与公式轴的一个交点为公式，与公式轴的交点为公式，对称轴是公式，对称轴与公式轴交于点公式。

（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过公式的直线公式平移后与抛物线交于点公式，与公式轴交于点公式，当以公式为顶点的四边形是平行四边形时，求出点公式的坐标。

解析：（1）1. 对于抛物线公式（本题公式），已知抛物线对称轴公式公式，对称轴是公式，所以公式，即公式。

2. 因为抛物线公式过点公式，把公式代入抛物线方程可得：公式。

3. 将公式代入上式得：公式，公式，解得公式。

4. 再把公式代入公式，得公式。

5. 所以抛物线的函数表达式为公式。

（2）1. 首先求公式点坐标，当公式时，公式，所以公式。

2. 由对称轴公式可得公式。

3. 设直线公式的解析式为公式，把公式，公式代入可得公式，解得公式，所以直线公式的解析式为公式。

4. 因为直线公式平移后与抛物线交于点公式，与公式轴交于点公式，设平移后的直线公式的解析式为公式。

5. 设公式，联立直线公式与抛物线方程公式，消去公式得：公式，整理得公式。

6. 即公式，根据韦达定理公式（设方程的另一个根为公式）。

7. 当以公式为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：当公式为平行四边形的边时：因为公式平行公式，公式。

设公式，则公式。

由直线公式，当公式时，公式，即公式。

根据两点间距离公式公式。

又因为公式，联立方程求解。

由公式，公式，将其代入距离公式求解公式的值，进而得到公式的坐标。

当公式为平行四边形的对角线时：公式，设公式，公式。

根据中点坐标公式，公式中点坐标为公式，公式中点坐标公式，则公式，公式，即公式。

把公式代入抛物线公式，解得公式或公式。

当公式时，公式与公式重合，舍去。

当公式时，公式。

苏教版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

初三数学知识点总结加经典例题讲解

初三数学上册期末总复习（经典例题）目录第一章、图形与证明（二） (2)（一）、知识框架 (2)(二)知识详解 (2)（三）典型例题 (5)第二章、数据的离散程度 (7)（一）知识点复习 (7)（二）经典例题 (8)第三章、二次根式 (9)（一）、知识框架 (10)（二）、典型例题 (10)第四章、一元二次方程 (11)（一）知识框架 (11)（二）、知识详解 (12)（三）、典型例题 (13)第五章、中心对称图形二（圆的有关知识） (14)（一）、知识框架 (14)（二）知识点详解 (15)（三）、典型例题 (20)2.直角三角形全等的判定：HL4.等腰梯形的性质和判定5.中位线三角形的中位线梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为：，面积为：。

1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4个判定定理矩形的性质和判定菱形的性质和判定：3个判定定理正方形的性质和判定：2个判定定理注注意：（1）中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。

（2）菱形的面积公式：ab S 21=（b a ,是两条对角线的长）注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需要掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=21（l -中位线长）第一章、图形与证明（二）（一）、知识框架(二)知识详解2．1、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）2．2、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

初三期末复习重点题型

一元二次方程1、关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是_____2、关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________3、一元二次方程0182=--x x 配方后可变形为（）A . 17)4(2=+xB . 15)4(2=+xC . 17)4(2=-xD . 15)4(2=-x 5、已知一元二次方程2430x x --=的两根为m ,n ,则22m mn n -+= . 6、某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 . 7、若m ，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，则m 2+2m +n 的值为．二次函数1、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 3、二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④4、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.（1）请写出每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？5、一位运动员在距篮圈中心的水平距离4m 处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线。

当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈。

九年级数学必考要点分类汇编精华版新题难题解析

最新九年级数学必考重点分类汇编精髓版一、讲堂高效，深刻理解,着重知识间的联系1、D为△ABC的边AB上一点，过点D作直线截ABC，使截得的三角形与原三角形相像。

你以为知足条件的直线有几条？ADB C〔直角三角形直角边、斜边，钝角三角形〕2、凡是问题：某旅馆客房部有60个房间供游旅居住，当每个房间的订价为每日200元时，房间能够住满．当每个房间每日的订价每增添10元时，就会有一个房间安闲．对有旅客入住的房间，旅馆需对每个房间每日支出20（元的各样花费．设每个房间每日的订价增添x元．求：1〕房间每日的入住量y〔间〕对于x〔元〕的函数关系式．2〕该旅馆每日的房间收益z〔元〕对于x〔元〕的函数关系式．3〕假定该旅馆某天的房间所得收益为11600元，那么每个房间的收费是多少元？〔涨价多少；售价多少〕二、习题的办理方法1、抓住问题的实质。

〔1〕如图，假定正方形的极点B 和正方形ADEFOABC的极点E都在函数y1x〔x0〕的图象上，那么点E的坐标是〔，〕.y 反比率函数的考点C B E FO ADx2〕折叠问题：全等求线段长〔勾股、相像、三角函数〕；求角〔内角和、外角〕2、学会方法，不仅逗留在得出答案。

〔1〕在平面直角坐标系中，点A〔4，0〕，〔2，B 0〕，假定点C在一次函数y1x2的图象上，且2ABC为直角三角形，那么知足条件的点C有〔〕。

〔等腰三角形分为腰底；在矩形中，卷子〕〔2〕如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，此中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q抵达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t〔s〕，解答以下问题：〔1〕当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明原因；2〔2〕设△BPQ的面积为S〔cm〕，求S与t的函数关系式；〔3〕作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为什么值时，△APR∽△PRQ？〔第20题〕3、把有关问题归类1〕规律性结论：平行+角分线=等腰特别四边形边角对角线的性质及判断2〕特别图形：CDOA P B如图，在等腰Rt△ABC中，A 90，AC9，点O在AC上，且AO2，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°获得线段OD．要使点D恰巧落在BC上，那么AP的长等于．面积〔1〕如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线剪开,再把△沿着方向平移，获得△AC ABC AD1cm2，那么它ABCˊ，假定两个三角形重叠局部的面积是挪动的距离AAˊ等于A DA AˊDcm.CB C B C〔2〕如图，直线y4x4x yB，C，3和轴，轴的交点分别为点A的坐标是(2，0)．1〕试说明△ABC是等腰三角形；2〕动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒个单位长度．当此中一个动点抵达终点时，它们都停止运动．设点M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当点M在线段OB上运动时，能否存在S4的情况？假定存在，求出对应的t值；假定不存在，说明原因；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．yCA OB x4、把难题分解，勤着手。

九年级数学重难点题型全攻略

九年级数学重难点题型全攻略
以下是九年级数学的重难点题型全攻略：
1. 方程与不等式：包括一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组等。

重点是理解方程与不等式的意义和解题方法，以及如何应用到实际问题中。

2. 几何运算：包括平面图形的面积、体积的计算，几何变换等。

重点是理解几何运算的原理和方法，能够正确应用到实际问题中。

3. 函数与图像：包括函数的概念、性质、图像的绘制等。

重点是理解函数的含义和图像的特点，能够准确绘制函数图像，分析函数的变化规律。

4. 统计与概率：包括统计图表的分析、数据的处理、概率的计算等。

重点是理解统计和概率的基本概念和方法，能够正确解读和分析统计数据，计算概率问题。

5. 平方根与立方根：包括平方根和立方根的概念、性质、计算等。

重点是掌握平方根和立方根的计算方法和性质，能够正确应用到实际问题中。

6. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等三角函数的概念、性质、计算等。

重点是理解三角函数的含义和性质，能够正确应用三角函数解决实际问题。

7. 数列与数列的通项公式：包括等差数列、等比数列等的概念、性质、计算等。

重点是理解数列的基本概念和性质，能够正确计算数列的通项公式和求和公式。

8. 平面向量：包括向量的概念、运算、坐标表示等。

重点是理解向量的几何意义和运算法则，能够正确应用向量解决几何和物理问题。

以上是九年级数学的重难点题型全攻略，希望对你有所帮助！。

九年级数学重点难点题

九年级数学重点难点题
九年级数学重点难点题
一、代数表达式
1.求解代数式的值：给定代数式，求解该代数式的值是九年级数学中的重点难点。

学生需要理解变量的含义，并根据给定的数值替换变量，最终计算出代数式的值。

2.化简代数式：化简代数式是九年级数学中的难点之一。

学生需要运用各种代数运算规则，如合并同类项、分配律等，将复杂的代数式化简为简化形式。

二、方程与不等式
1.一元一次方程的解：解一元一次方程需要学生掌握方程的解的概念，运用逆运算原则解方程，同时需要注意特殊情况的处理。

2.一元一次不等式的解：解一元一次不等式也是九年级数学中的难点。

学生需要了解不等式的解的概念，并根据不等式的性质进行运算，最终确定不等式的解集。

三、平面图形
1.平面图形的性质：九年级数学中，学生需要掌握各种平面图形的性质，如三角形的内角和为180度、平行四边形的性质等。

理解和应用这些性质是解题的关键。

2.平面图形的相似与全等：判断平面图形的相似与全等是九年级数学中的重点难点。

学生需要比较图形的各个角度和边长，并运用相似和全等的判定条件进行推理判断。

四、统计与概率
1.频数统计与频率统计：九年级数学中的统计与概率部分，学生需要掌握频数统计和频率统计的概念，并且能够运用统计图表进行数据的分析和比较。

2.概率计算：概率计算是九年级数学中的难点之一。

学生需要理解概率的定义，掌握计算概率的方法，如事件的排列组合、事件的互斥与相容等。

以上是九年级数学中的重点难点题目，希望对学生的复习和备考有所帮助。

通过充分理解和掌握这些题目，学生可以更好地应对数学
考试中的各类问题。

九年级上册数学重难点题型全攻略

九年级上册数学重难点题型全攻略一、直线与圆的位置关系重点掌握直线与圆的相切、相交、内含三种位置关系的判定方法及位置关系，并理解垂直于半径并且过半径外端点的直线是圆的切线，切线长相等．二、三角形的重心与外心重心：三条中线的交点；外心：三条垂直平分线的交点．掌握三角形重心和外心的位置及确定方法．三、函数与图像的关系函数是研究变量与图像间的对应关系，要善于从函数的角度研究图像，从图像的角度研究函数关系．学会从图像中获取信息，体会数形结合思想．四、锐角三角函数的应用重点掌握锐角三角函数的定义及运用．锐角三角函数是解直角三角形中重要的恒量，经常在计算、证明等题中出现，要注意这些知识点的运用．五、圆与正多边形圆是一种特殊的曲线，它具有一切曲线的性质；正多边形是特殊的平面图形，每个内角都相等，每个外角都相等且和为360°，它有许多特殊的性质．在计算、证明中经常遇到，要善于运用所学过的知识点解决问题．六、概率与统计初步这部分涉及较多的概念，要对这些概念正确理解，并能熟练运用．在解决问题时，要善于从统计和概率的角度去分析问题．七、相似三角形的应用相似三角形是特殊的三角形，要掌握它的特殊性质及运用．在解直角三角形中经常用到相似三角形；在解含字母的图形问题时，也经常用到相似三角形；在求多边形的面积时，也经常先化为若干个三角形，利用相似三角形的性质求出每一个三角形的面积，再求出多边形的面积．这部分涉及到的知识点较多，在中考中经常出现，必须熟练掌握．八、解直角三角形的应用解直角三角形是重要的知识之一，在解直角三角形时，要灵活运用各种方法．如：勾股定理、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中经常出现，必须熟练掌握．九、圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积与全面积是立体几何初步中的重要知识之一．在计算圆锥的侧面积和全面积时，要灵活运用各种方法．如：扇形的面积公式、直角三角形的面积公式等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中也经常出现，必须熟练掌握．十、圆的切线性质与判定圆的切线性质与判定是重要的知识之一，在解决圆的切线问题时，要灵活运用各种方法．如：切线的判定定理、垂直于半径且过半径外端的直线是圆的切线等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中也经常出现，必须熟练掌握．十一、三角形的内切圆与内心三角形的内切圆与内心是重要的知识之一．要掌握三角形的内心和内切圆与三角形的三边的关系及内切圆的半径的求法等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中也经常出现，必须熟练掌握．。

2019-2020年九年级知识点归纳复习题含解析10

2019-2020年九年级知识点归纳复习题含解析10 【复习要点】1、平行四边形：性质：判定：2、矩形：性质：判定：3、菱形：性质：判定：4、正方形：性质：判定：5、等腰梯形：性质：判定：6、直角梯形：性质：判定：【实弹射击】1、在 □ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE ＝CF 求证：BF ∥DE 。

2、菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：四边形OCED 是矩形。

3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，Ｄ为BC 上的一动点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，则DE ＋DF 是否随D 点变化而变化？若不变化请证明。

4、如图，梯形ABCD 中，AD ＝18cm ，BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 边向D 以1m/s 的速度移动，点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以2m/sA D F E C AD E CB O A B DCE FA P DB QC的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动时间为t 秒，求：（1）t 为何时，四边形ABQP 为矩形？（2）t 为何时，四边形PQCD 为等腰梯形？5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点。

求证：MN 和PQ 互相平分。

6、如图，梯形OABC 中,O 为直角坐标系的原点,A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动。

当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

(1)设从出发起运动了x 秒，且x ﹥2.5时，Q 点的坐标； (2)当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形？ (3)四边形OPQC 能否成为等腰梯形？说明理由。

N MQPDCBAPA (14,0x (4)设四边形OPQC 的面积为y,求出当 x ﹥2.5时y 与x 的函数关系式；并求出y 的最大值；7、等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º． M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．（1）设ND 为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围．（2）设t=10-x,用t 表示△AMN 的面积．（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN 的形状．8、如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.9、如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n . （1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积；QD第10题图2第10题图1（3）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.10、如图(1)，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F. (1) 求证：BP=DP ；(2) 如图47(2)，若四边形PECF 绕点C 旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP ？若是，请证明之；若不是，请举出反例； (3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.。

初三期末复习大纲和典型题型

初三期末复习大纲知识点重点难点1.区分平方根、算术平方根、二次根式2.求被开方数的取值范围3.二次根式的性质4.最简二次根式、同类二次根式1.求取值范围2.二次根式的性质3.二次根式的化简、计算1.二次根式的性质运用2.二次根式化简式，再合并同类二次根式。

典型例题：1、下列二次根式中与2是同类二次根式的是（） A ．12 B ．20 C ．4 D ．182、若式子12x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______.3、如图，实数a 、b 在数轴上的位置化简：222()a b a b ---4、计算：0(π1)123+-+- 1320455--第3题知识点重点难点1.一元二次方程的概念、一般式2.解一元二次方程3.根的判别式、根与系数的关系4.一元二次方程的应用1.解一元二次方程2.根与系数的关系3.一元二次方程的应用1.根与系数的关系2.一元二次方程的应用 3、配方法求最值熟练解方程的四种方法；掌握根与系数的几种基本变形；理解应用题中销售问题，增长率问题，牵手问题、几何问题的基本框架。

典型例题：1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、02、用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是（）A ．（x －1）2=2B ．（x －1）2=4C ．（x －1）2=1D ．（x －1）2=73、已知a 、b 、c 是三角形的三边，则方程(a + b)x 2+ 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 4、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则b aa b+的值是（） A ．n 2+2 B ．-n 2+2 C ．n 2-2 D ．-n 2-25、设a 、b 是方程x 2+x-2009=0的两个实数根，则a 2+2a+b=______。

九年级人教版数学重难点细目表

通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题，学会将实际问题转化成数学模型。
1.注重基础
2.数学思想的运用
3.辅助线的添加
第
二
十
九
章
投影与视图
29.1投影
2
第一课时
认识概念：投影，中心投影，平行投影及正投影。
第二课时
能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
正确理解概念，把握它们之间的联系与区别。
归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。
理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
1.补角、余角、对顶角的概念，2.垂线、垂线段的概念及垂线段最短的性质，3.线段垂直平分线及其性质，4.点到直线距离的意义，用三角尺或量角器过一点画一条已知直线的垂线。
平行线
1
识别同位角、内错角、同旁内角。
列一元一次不等式，解决简单的问题，（填空或选择）。
不等式、组及应用
1
解由两个一元一次等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集，求整数解；列一元一次不等式组，解决简单的问题。
列一元一次不等式组，解决简单的问题.
解一元一次不等式组并根据条件求整数解，（选择题）；
列一元一次不等式组解决简单问题，（应用题）。
二元一次方程组
1
掌握消元、换元方法解方程组；列二元一次方程解决实际问题，并检验解的合理性。
列二元一次方程组解决实际问题
解二元一次方程组，（选择题）；列方程组解应用题，（应用题）
一元二次方程
1
会解一元二次方程；列一元二次方程解决实际问题，并检验方程解的合理性。
列一元二次方程解决实际问题。

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ABC PD图形与证明教学重点：探索并掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理的证明；掌握直角三角形全等的判定定理；掌握平行四边形和特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质定理和判定定理；教学难点：能够应用上述定理证明简单的几何问题。

复习指导：1、注重证明步骤的书写；2、熟练掌握判定与性质；只有书上的定理以及判定才是证明的依据；在证明这一章可以让学生书写一两个步骤，纠错。

1、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确．．．的是( ). A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，若△P AB 是等边三角形，则∠DP A 的度数是（▲） A ．60° B ．75°C ．80°D ．90°3、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝70°，∠C ＝40°，若AD ＝3cm ，BC ＝10cm ，则CD 等于 cm.4、顺次连接等腰梯形四边的中点，所得四边形的形状是 ▲ ．5、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，CD ＝3cm ，AB ＝9 cm ，点M 、N分别为AB 、CD 的中点，则线段MN ＝ ▲ cm ．ABCD NM（）6、如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的 ADEF 是否总是存在?7、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，四边形ABDE 为平行四边形．（1）求证：DE ＝CD ；（2）若∠ABC ＝2∠E ，求证：四边形ABCD 为菱形．8、如图，正方形ABCD 的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、H 分别在BC CD 、AE 上．若9BE ，求小正方形EFGH 的边长．HG F EDCBA9、如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且∠EAF ＝60º．求证：△AEF 是等边三角形．）AB CDE数据的离散程度教学重点：极差的定义，方差、标准差的应用。

教学难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。

复习指导：一定要掌握定义和公式；在要求文字描述优劣时，要注意统计学的语言和全面。

典型例题：1、某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：（单位：分）[来源:学&科&网Z&X&X&K]班级平均数众数中位数标准差一班79 70 87 19.8二班79 70 79 5.2（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。

二次根式教学重点：1．能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简；2．能够比较熟练进行二次根式的运算；3．会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题．教学难点：二次根式的应用．复习指导：掌握二次根式的性质，特别是双重非负性；二次根式的计算注意运算法则，分母有理化。

基本概念1、化简()24-=_________2、使2x-有意义的x的取值范围是3、函数中，自变量的取值范围是．4、下列根式中属最简二次根式的是A.21a+ B.12 C.8 D.275、已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是A、5B、6C、7D、86、若，则的取值范围是A．B．C．D．7、已知xy ，化简二次根式2yxx-的正确结果为（）A. yB.y-C.y-D.y--8. 对于所有实数,a b，下列等式总能成立的是（）A.()2a ba b+=+ B. 22a b a b +=+C.()22222aba b +=+ D.()2a b a b+=+9. 23-和32-的大小关系是（）A. 2332--B. 2332--C. 2332-=-D. 不能确定 10. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 计算（1）（2）（）（3）（）．（4））．（5）27124148÷⎪⎭⎫⎝⎛+一元二次方程重难点教学重点：掌握一元二次方程定义、四种基本的解法、根的判别式；熟练应用一元二次方程解决实际问题教学难点：一元二次方的应用复习指导：会解基本的一元二次方程，掌握a ≠0，根的判别式的灵活应用；经济类问题如何列一元二次方程。

基本概念1、关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m .2、已知方程032=+-mx x 的两个实根相等，那么=m 3、方程2650x x +-=的左边配成完全平方式后所得的方程为( )．A 、2(3)14x +=B 、2(3)14x -= C 、21(6)2x +=D 、以上答案都不对4、如果关于x 的一元二次方程22110kx k x -++=x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A ．12k <B ．1k <且0k ≠C ．1122k -≤<D ．1122k -≤<且0k ≠若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，那么实数a 的取值范围是___________6、已知一元二次方程0158x -x 2=+的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（）[来源:Z 。

xx 。

] A 、13 B 、11或13C 、11D 、127、方程0152=--x x 的根的情况是( )A 、有两个不相等实根B 、有两个相等实根C 、没有实数根D 、无法确定计算题用适当的方法解下列一元二次方程：(36分)（1） x x 432= （2）0)1(3)1(2=-+-x x x（3）072)3(22=--x （4）02232=+-x x （5） 22)12()3(+=-x x （6）14)3)(23(+=++x x x解答题1、已知关于x 的方程03522=-++p x x 的一个根是4-，求方程的另一个根和p 的值．2、两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。

请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？4、①利用一面墙（墙的长度不限），用20m 长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？5、某市土地沙漠化严重，2005年沙漠化土地面积为100Km2，经过综合治理，希望到2007年沙漠化土地面积降到81 Km2，如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同，求每年的沙漠化土地的降低百分率。

6、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少 10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？7、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游,推出如下收费标准,如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。

8、已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果QP,分别从BA,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2?说明理由.圆教学目标1．理解、掌握圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆的关系2．探索、总结、归纳与圆有关的各种问题，进行知识梳理，构建圆的知识体系3．渗透数形结合和分类的数学思想，并逐步学会用数学的眼光认识世界、解决问题，学会有条理的表达、推理教学重点：与圆有关的知识的梳理教学难点：会用圆的有关知识解决问题复习指导：要掌握圆中基本的性质，归纳常见的辅助线基本概念1、下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。

其中正确的有( ).A．4个B．3个C．2个D．1个2、如图，小红要制作一个高为8cm，底面圆直径是12cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 cm 2.3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD ＝∠A. （1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AD ：AO ＝8：5，BC ＝8，求BD 的长。

4、如图，AC 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，四边形ABCD 是平行四边形，AB 交⊙O 于点E ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AB ＝10，求线段BE 的长．A COEBD5、如图，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11cm ，⊙A 、⊙B 的半径为1cm. ⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （cm ）与时间t （秒）之间的关系式为 r ＝1＋t （t ≥0）.(1)当t ＝1时，AB ＝ cm ；当t ＝6时，AB ＝ cm ； (2)问点A 出发后多少秒两圆相切？二次函数教学重点：1、通过复习，进一步掌握二次函数的有关性质。

2、能用二次函数解决简单的实际问题3、通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题等。