厦门大学运筹学2

从工厂的决策者来看，当然希望 w 的值越大越好；但 从接受者的角度来看，他支付的越少越好。所以工厂决策 者只能在满足 所有产品的单位利润条件下，使其总收入 尽可能地小，才能实现工厂决策者的意愿。为此需要解如 下的线性规划问题：
Min w 8 y1 16 y2 12 y3 y1 4 y2 2 2 y1 4 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
以生产一件产品I，可获利2元，那么生产每件产品I的设备
台时和原材料出租和出让的所有收入应不低于生产一件产
品I的利润。这就有： y1 + 4y2 2 ；对于产品II同理有：
2 y2 + 4y3 3； 把工厂所有设备台时和资源都出租和出让
，其收入应为：w = 8y1 + 16y2 + 12y3 。
3. 若原问题的第 i 个约束条件是“=”，则对偶问题的第 i 个变量 yi 无约束。 证明：对于“=”约束条件，设： ai1x1 + ai2x2 + · · ainxn = bi ·+ 则此式等价于
ai1x1 + ai2x2 + · · ainxn bi ·+ - ai1x1 - ai2x2 - · · ainxn -bi ·利用标准型对偶关系可知原问题的对偶问题是：
5.若原问题的第 j 个变量 xj 无约束，则其对偶问题的第 j
个约束条件为“= ” 号。
证明：假设 xj 无约束，令 xj = xj/ - xj// ，则原问题和对偶
问题分别为如下形式：
原问题： max Z c1 x1 c j x /j c j x // cn xn j
4. 若原问题的第 j 个变量 xj 0，则对偶问题的第 j 个约
束条件为“ ” 型；若原问题的第 j 个变量 xj 0，则对 偶问 题的第 j 个约束条件为“ ” 型。
证明：对于xj 0，则由标准型(2.3)与(2.2)可知对偶问题 的第 j 个约束条件为“ ” 型；对于xj 0，问题，令： x / = - x ，则 x / 0，原问题变成：
1. 引进记号Y T = CBTB-1 ，称为单纯形乘子。由(2.1) 式，
可知对于最优解所对应的单纯形表有 Y 0。
2. 对应于基变量 XB 的检验数是0，它是CBT-CBTB-1B = 0。
包括基变量在内的所有检验数可用 CT-CBTB-1A 0 即 AT Y C 。
AT Y C Y 0
(2.2)
第二节
线性规划问题的对偶理论
以上讨论可以直观地了解到原线性规划问题与对偶问 题之间的关系，这一节将从理论上进一步讨论线性规划问 题的对偶问题。 2.1 原问题与对偶问题的关系
由第一节的讨论，如下形式的线性规划问题的对偶问
题是(2.2)
Max Z C X
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
根据上述例题可见，对于形如如下形式的线性规划问 Max Z C T X Min w Y T b 题： 我们可以马上得出 AX b AT Y C 它的对偶问题： Y 0 X 0 其中：AT、bT 分别是原线性规划问题中的约束条件矩阵 A 的转置矩阵与约束条件中右边列向量的转置(即为行向量) 。从以上的线性规划问题和其对偶问题中，我们可以得出 ：原问题的约束条件的个数 m 就是对偶问题的变量的个 数；原问题的变量的个数 n 就是对偶问题的约束条件的个 数；若原问题的目标函数是 Max 型，则对偶问题的目标 函数必是 Min 型。它们二者的最优目标函数值相等。
第一节
对偶问题的提出
在第一章第一节的例1中，我们讨论了工厂生产计划模
型及其解法，现从另一个角度来讨论这个问题。假设该工
厂的决策者决定不生产产品I、II，而将其所有资源出租或 出售。这时，工厂的决策者就要考虑给每种资源进行定价 的问题。设用 y1、 y2、 y3 分别表示出租单位设备台时的 租金和出让单位原材料 A、B 的附加费。作决策时，需要 如下的比较：若一个单位设备台时和四个单位原材料 A可
/ i
m / akj yk aij yi c j ( j 1,2, n) k 1 k i / yk 0 k 1, , i 1, i 1, , m , yi 0
另 –yi/ = yi ，则 yi 0，上述问题变成：
min W b1 y1 bi yi bm ym m akj yk c j ( j 1,2, n) k 1 y 0 k 1,, i 1, i 1,, m , y 0 i k
n
min W b1 y1 bm y m m l 1, , j 1, j 1, , n ail yi cl i 1 m ( aij ) yi c j i 1 y1 , , y m 0
即为：
min W b1 y1 bm y m m l 1, , j 1, j 1, , n ail yi cl i 1 m aij yi c j i 1 y1 , , y m 0
者应把已有的资源卖出，这时企业的获利比由自己生产的
还高。可见，影子价格对市场有调节作用。
下面再从另一个角度来讨论该问题：
从第一章第三节得到的检验数的表达式是 CNT-CBTB-1N 与 0 – CBTB-1（松弛变量对应的检验数）。当满足条件： CNT-CBTB-1N 0 ， – CBTB-1 0 得到最优解的条件。 (2.1) 这表示线性规划问题已得到最优解。可见 (2.1) 式是作为
T
AX b X 0
(2.3)
我们称(2.3)与(2.2)是原问题与对偶问题的标准形式。对其
他形式的原问题的对偶问题，我们可进行如下分析：
首先我们可以总结得出： 1. 线性规划原问题的约束条件的个数 m ，就是其对偶问 题的变量的个数；原问题的变量个数 n ，就是其对偶问题 的约束条件的个数。 在原问题目标函数为极大化（Max）的条件下有： 2. 若原问题的第 i 个约束条件是“”，则对偶问题的第 i 个变量 yi 0 ；原问题的第 i 个约束条件是“ ”，则对 偶问 题的第 i 个变量 yi 0 （0 i m）。
min W b1 y1 bi y bi y bm ym
/ i // i
m / // akj yk aij ( yi yi ) c j j 1,2, n k 1 k i / // yk 0 k 1,, i 1, i 1, , m , yi , yi 0
Z * T 1 T * (CB B ) Y b
所以变量
y
第 i 种资源的变化所引起的目标函数最优值的变化。由第 一章的例1的最终计算表表1—7可见： 3 1 * * y1 1.5 , y2 0.125 , 2 8
* i
的经济义是在其它条件不变的情况下，
y 0
* 3
这说明，在其它条件不变的情况下，机器台时增加一台时 ，该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元，原材料 A 每 增加一公斤，可多获利0.125元，原材料 B 每增加一公斤 ，对获利没有影响。
max Z c1 x1 c j x cn xn
/ j
其对偶问题变为：
ail xl aij x j bi (i 1,2, , m) l 1 l j / x1 ,, x j 1 , x j , x j 1 , , xn 0
yi 0， 0 i m ；对于“ ”约束条件，设： ai1x1 + ai2x2 + · · ainxn bi ·+ 将上式两边同乘以（-1）得： （- ai1x1 ）+ （-ai2x2） + · · （-ainxn ） -bi ·+ 利用标准型对偶关系可知原问题的对偶问题是：
min W b1 y1 (bi ) y bm ym
对偶问题：
n ail xl aij x /j aij x // bi (i 1,2, , m) j l 1 l j x1 , , x j 1 , x /j , x // , x j 1 , , xn 0 j
min W b1 y1 bm y m m ail yi cl , l 1, , j 1, j 1, , n i 1 m m aij yi c j , ( aij ) yi c j i 1 i 1 y1 , , y m 0
3. 由于 -Y T = - CBTB-1 ，将此式两边同时右乘于b 得到： -Y Tb= -CBTB-1b 即： Y Tb= CBTB-1b = Z 4. 综合1、2、3的讨论，我们可以得到另一个线性规划问 题：
Min w Y b
T
称此线性规划问题为原线性规划问题 {Max Z = CTX | AX b ，X 0 } 的对偶线性规划问题。 从这两个规划问题的表达式可以看出，只要根据原线性规 划问题的系数矩阵 A、C、b，就可以写出它的对偶问题。
二、对偶问题的经济解释——影子价格 设 B 是线性规划问题{Max Z = CTX | AX b ，X 0 } 的最优基，则该线性规划问题的最优解为 ( B-1b，0)T，其 对应的目标函数最优值则为：Z* = CTB-1b = (Y *)b ，其中 ： Y * = CTB-1 ( 我们称为单纯形乘子) 由此可得：
第二章
对偶理论与灵敏度分析
在这一章中，我们将通过举例来说明线性规划对偶问 题的提出并说明它的经济意义；由此来阐述它们两者之间 的关系。进一步来探讨如何求一个线性规划问题的对偶问 题、以及线性规划与它的对偶问题之间的关系、对偶单纯
形算法以及对线性规划问题解的变化的进一步讨论（即灵
敏度分析和参数规划等等）。
从上图我们可以看到：设备每增加一台时，代表约束
条件的直线就由 移至 ，相应地最优解由点 A =(4，2) 移到点 B = (4，2.5)，目标函数值 Z = 24 + 32.5 = 15.5， 即比原来的增大1.5。又若原材料 A 增加一公斤，代表约 束条件的直线就由 移至 ' ，相应地最优解由点 A =(4，2) 移到点B = (4.25，1.875)，目标函数值 Z = 24.25 +31.875 = 14.125，即比原来的增大0.125。原材料 B 增加一公斤时
，该约束条件的直线由 移至
‘
，这时的最优解不变。
yi 的值代表对第 i 种资源的估价。这种估价是针对具
体产品而存在的一种特殊价格，我们称它为“影子价格”
在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的每小时
出租费为1.5元，一公斤原材料 A 的出让费为除成本外再 附加0.125元，一公斤原材料 B 可按原成本出让，这时该 厂的收入与自己组织生产时获利相等。影子价格随具体情 况而异。在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价 格低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大再生产； 而当某种资源的市场价格高于影子价格时，则企业的决策
令 yi = yi/ - yi// ，则显然 yi 无非负限制，上述问题变成如
下形式：
min W b1 y1 bi yi bm ym m akj yk c j ( j 1,2, n) k 1 y 0 k 1,, i 1, i 1,, m , y 无限制 i k