高二数学课件：双曲线及其标准方程(2)(新人教版A版必修2)
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高中数学2-2-1双曲线及其标准方程课件新人教A版
1 1 3 所以S△PF 1 F 2 = 2|PF1||PF2|sin 60° =2× 36× 2 =9 3. x2 y2 解:由方程 − =1,得 a=4,b=3,故 c= 16 + 9=5, 16 9
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、 纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦 点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a 求解,注意对所求结果进行必要 的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于 c-a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意 定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a 的应用;其次是要利用余弦定理、勾 股定理等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技 巧的应用.
2.2
双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2
课前预习导学
目标导航
学习目标 1.能记住双曲线的定义、几何图形, 会分析标准方程的推导过程; 2.能记住双曲线的标准方程; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决 简单的应用问题.
重点、难点 重点:1.双曲线的定 义和标准方程; 2.会用待定系数法求双 曲线的标准方程; 难点:双曲线标准方程的 推导.
二、双曲线的标准方程及应用
活动与探究 2 个交点 A 的纵坐标为 4,求此双曲线的方程.
x2 y2 设双曲线与椭圆27 + 36=1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一
思路分析:(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时,应首 先明确焦点在哪个坐标轴上; (2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点,则可设双曲线为
F1(0,-c),F2(0,c)
预习交流 2
(1)如何判断双曲线焦点的位置? 提示:在 x2,y2 的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提 下,如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y2 项的系数 是正的,那么焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此,不能 像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 为
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、 纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦 点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a 求解,注意对所求结果进行必要 的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于 c-a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意 定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a 的应用;其次是要利用余弦定理、勾 股定理等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技 巧的应用.
2.2
双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2
课前预习导学
目标导航
学习目标 1.能记住双曲线的定义、几何图形, 会分析标准方程的推导过程; 2.能记住双曲线的标准方程; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决 简单的应用问题.
重点、难点 重点:1.双曲线的定 义和标准方程; 2.会用待定系数法求双 曲线的标准方程; 难点:双曲线标准方程的 推导.
二、双曲线的标准方程及应用
活动与探究 2 个交点 A 的纵坐标为 4,求此双曲线的方程.
x2 y2 设双曲线与椭圆27 + 36=1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一
思路分析:(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时,应首 先明确焦点在哪个坐标轴上; (2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点,则可设双曲线为
F1(0,-c),F2(0,c)
预习交流 2
(1)如何判断双曲线焦点的位置? 提示:在 x2,y2 的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提 下,如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y2 项的系数 是正的,那么焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此,不能 像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 为
高二数学课件-双曲线及其标准方程2 推荐
340m/s , 求曲线的方程.
P
A
B
例题
例 3 一个炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的 时间比在 B 处晚 2 s .
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
340m/s , 求曲线的方程. y
P
Ao
Bx
练习
1.设F1、F2 为双曲线
面积是
3
.
2. 讨论方程 x2 y2 1 k≠9，25）表
25 k 9 k
示何种圆锥曲线，他们有何共同特征？
课后作业
P108 习题 8.3 3(3)、 4、5 、 6.
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
340m/s , 求曲线的方程.
P
A
B
例题
例 3 一个炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的 时间比在 B 处晚 2 s .
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
A. 椭 圆
B. 线 段
C. 双曲线
D. 两条射线
2.若方程 x2 sin y2 cos 1 表示焦点
在y轴上的双曲线，则角 所在象限
是
.
练习
1. 平面内到两定点F1（－3，0）、F2（3，0）的 距离的差的绝对值等于 6 的点的轨迹是
（D ）
A. 椭 圆
B. 线 段
C. 双曲线
D. 两条射线
2.若方程 x2 sin y2 cos 1 表示焦点
在y轴上的双曲线，则角 所在象限
是 第四象限
.
练习
P
A
B
例题
例 3 一个炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的 时间比在 B 处晚 2 s .
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
340m/s , 求曲线的方程. y
P
Ao
Bx
练习
1.设F1、F2 为双曲线
面积是
3
.
2. 讨论方程 x2 y2 1 k≠9，25）表
25 k 9 k
示何种圆锥曲线，他们有何共同特征？
课后作业
P108 习题 8.3 3(3)、 4、5 、 6.
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
340m/s , 求曲线的方程.
P
A
B
例题
例 3 一个炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的 时间比在 B 处晚 2 s .
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A、B 两地相距 800 m , 并且此时声速为
A. 椭 圆
B. 线 段
C. 双曲线
D. 两条射线
2.若方程 x2 sin y2 cos 1 表示焦点
在y轴上的双曲线，则角 所在象限
是
.
练习
1. 平面内到两定点F1（－3，0）、F2（3，0）的 距离的差的绝对值等于 6 的点的轨迹是
（D ）
A. 椭 圆
B. 线 段
C. 双曲线
D. 两条射线
2.若方程 x2 sin y2 cos 1 表示焦点
在y轴上的双曲线，则角 所在象限
是 第四象限
.
练习
高二数学人教A版选修2-1课件：2.3.1 双曲线及其标准方程(共23张ppt)
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！
TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比
探究点2 双曲线的标准方程
1. 建系.
如图建立直角坐标系xOy，使
y
M
x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线 段F1F2的垂直平分线.
F1 O F2 x
2. 设点. 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距
为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数2a.
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1
，
解得mn＝＝19－，116
，
x2 y2
y2 x2
所以所求双曲线方程为－16＋ 9 ＝1，即 9 －16＝1.
1.双曲线定义及标准方程； 2.双曲线焦点位置的确定方法； 3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.
如果我们投一辈子石块，即使闭着眼 睛，也肯定有一次击中成功.
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！
TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比
探究点2 双曲线的标准方程
1. 建系.
如图建立直角坐标系xOy，使
y
M
x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线 段F1F2的垂直平分线.
F1 O F2 x
2. 设点. 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距
为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数2a.
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1
，
解得mn＝＝19－，116
，
x2 y2
y2 x2
所以所求双曲线方程为－16＋ 9 ＝1，即 9 －16＝1.
1.双曲线定义及标准方程； 2.双曲线焦点位置的确定方法； 3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.
如果我们投一辈子石块，即使闭着眼 睛，也肯定有一次击中成功.
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
高二数学双曲线的标准方程课件_新课标_人教版
_ 2a (x-c)2 + y2 = +
4.化简.
( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 2a
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
( x c)
2
y
2
2
2a
( x c)
2
y
2
2
cx a 2 a
( x c) 2 y 2
例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
解:根据双曲线的焦点在 x 轴 上，设它的标准方程为：
∵2a = 6,
2 ∴b =
x y 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b
2
2
c=5 ∴a = 3, c = 5
得1 m 2
变式一:2 2 方程 x y 1 表示
2m m1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
双曲线时，则m的取值
m 1 或 m 2 范围_________________.
思考：焦点在X轴时M的取值范 围？当在Y轴时M的取值范围？
变式二:上述方程表示焦点 在y轴的双曲线时，求m的 范围和焦点坐标。
2
2
练习1：根据双曲线的方程指出焦点坐标： x y （1） 1 16 9
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
2
2
F1 (5,0) F2 (5,0)
x2 y 2 （2） 1 64 36 （3） 4 x 9 y 36
2 2
F1 (0, 10) F2 (0,10)
人教版高中数学选修2.2.1双曲线及其标准方程ppt课件
,F2Q。
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2）
x2 y 2 1(m是n否表0示)双曲线？ mn
m 0
n
0
表示焦点在
x 轴上的双曲线；
m 0
n
0
表示焦点在 轴上y的双曲线。
m x 2 y 2 1表示双曲线，求 的范围。
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出
及焦a点坐,标b。, c
1 x2 y 2 1
42
2 x2 y 2 1
几点说明：
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a. (1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
（2）定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|？ ①当 2a=| | MF1|－|MF2| |=0时，
轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
F1
O
F2
②当2a=|F1F2|时
M
P
F1
F2
Q
| | MF1|－|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的
M
F1 O F2 x
① 方程用“－”号连接。
y2 x2
a2
b2
1(a 0,b 0)
y
M
F2
x
O
F1
② 分母是 a 2 , b2 , a 0但, b 0大小不a定,。b ③ c2 a2 。b2
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2）
x2 y 2 1(m是n否表0示)双曲线？ mn
m 0
n
0
表示焦点在
x 轴上的双曲线；
m 0
n
0
表示焦点在 轴上y的双曲线。
m x 2 y 2 1表示双曲线，求 的范围。
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出
及焦a点坐,标b。, c
1 x2 y 2 1
42
2 x2 y 2 1
几点说明：
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a. (1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
（2）定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|？ ①当 2a=| | MF1|－|MF2| |=0时，
轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
F1
O
F2
②当2a=|F1F2|时
M
P
F1
F2
Q
| | MF1|－|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的
M
F1 O F2 x
① 方程用“－”号连接。
y2 x2
a2
b2
1(a 0,b 0)
y
M
F2
x
O
F1
② 分母是 a 2 , b2 , a 0但, b 0大小不a定,。b ③ c2 a2 。b2
高二数学《双曲线的标准方程》课件
常数=2a, F1F2 =2c
x2 a2
c2
y2 a2
1
2c 2a c a c2 a2 0
令c2 a2 b2 (b 0) 代入得
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
这个方程叫做双曲线的标准方程。
它所表示的是焦点在 x 轴上。
焦点坐标F1(c, 0), F2 (c, 0)
已知双曲线C的方程是
y2 x2 1 16 20
4 2、双曲线的标准方程 则 a
,b 2 5 ,c 6 ,
(1)焦点在 x 轴上
x2 a2
y2 b2
1,
(a 0, b 0)
(2)焦点在 y 轴上
y2 x 2 1, a2 b2
(a 0, b 0)
焦点坐标为 (0,6),(0,6) ;焦距= 12
2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
x2 a2
y2 b2
1,
(a 0, b 0)
例3 若方程 x2 y2 1表示双曲
2 m m1
线，求m的取值范围。
m 2或m 1
(2)焦点在 y 轴上
y2 x 2 1, a2 b2 (a 0, b 0)
c2 a2 b2
由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a
代入坐标得 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简得
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
两边同除以 a2 (c2 a2 )得
1、定义： 平面内与两定点F1， F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹 叫做双曲线。 记：
x2 a2
c2
y2 a2
1
2c 2a c a c2 a2 0
令c2 a2 b2 (b 0) 代入得
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
这个方程叫做双曲线的标准方程。
它所表示的是焦点在 x 轴上。
焦点坐标F1(c, 0), F2 (c, 0)
已知双曲线C的方程是
y2 x2 1 16 20
4 2、双曲线的标准方程 则 a
,b 2 5 ,c 6 ,
(1)焦点在 x 轴上
x2 a2
y2 b2
1,
(a 0, b 0)
(2)焦点在 y 轴上
y2 x 2 1, a2 b2
(a 0, b 0)
焦点坐标为 (0,6),(0,6) ;焦距= 12
2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
x2 a2
y2 b2
1,
(a 0, b 0)
例3 若方程 x2 y2 1表示双曲
2 m m1
线，求m的取值范围。
m 2或m 1
(2)焦点在 y 轴上
y2 x 2 1, a2 b2 (a 0, b 0)
c2 a2 b2
由双曲线的定义得 MF1 MF2 2a
代入坐标得 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简得
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
两边同除以 a2 (c2 a2 )得
1、定义： 平面内与两定点F1， F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹 叫做双曲线。 记：
人教版A版高中数学选修2-1双曲线及其标准方程_优秀课件2
y
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
新人教A版(选修2-1)2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
(4)焦点在x轴上，且过P(-
2,-
3)，Q(
15 3
,
2).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(m 0, n 0)
(4)变式：过P(-
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
3-2-1双曲线及其标准方程课件(人教版)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
例 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点 A1，4 310，且 a＝4； (2)经过点 A2，233，B(3，－2 2)； (3)求与双曲线x42－y22＝1 有相同焦点且过点 P(2，1)的双曲线 方程．
【解析】 (1)设所求双曲线标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)， 则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
(2)若方程 x2sinθ＋y2＝sin2θ(θ∈R)表示焦点在 x 轴上的双曲 线，则 θ∈________________________．
【解析】 设过点 P 的两切线分别与圆切于 S，T，则|PM| －|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝4 －2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与 x 轴相交，a＝1，c ＝3，所以 b2＝8，故 P 点的轨迹方程为 x2－y82＝1(x>1)．
以大小分 a，b(如x42＋y92＝1 以正负分 a，b(如x42－y92＝1 中， 中，9>4，则 a2＝9，b2＝4) 4>0，－9<0，则 a2＝4，b2＝9)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2(a 最大)
c2＝a2＋b2(c 最大)
课时学案
题型一 双曲线的定义
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
例 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点 A1，4 310，且 a＝4； (2)经过点 A2，233，B(3，－2 2)； (3)求与双曲线x42－y22＝1 有相同焦点且过点 P(2，1)的双曲线 方程．
【解析】 (1)设所求双曲线标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)， 则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
(2)若方程 x2sinθ＋y2＝sin2θ(θ∈R)表示焦点在 x 轴上的双曲 线，则 θ∈________________________．
【解析】 设过点 P 的两切线分别与圆切于 S，T，则|PM| －|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝4 －2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与 x 轴相交，a＝1，c ＝3，所以 b2＝8，故 P 点的轨迹方程为 x2－y82＝1(x>1)．
以大小分 a，b(如x42＋y92＝1 以正负分 a，b(如x42－y92＝1 中， 中，9>4，则 a2＝9，b2＝4) 4>0，－9<0，则 a2＝4，b2＝9)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2(a 最大)
c2＝a2＋b2(c 最大)
课时学案
题型一 双曲线的定义
双曲线及其标准方程 课件(人教版)
()D.45
解析：(1)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2| ＝2a＝2 2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝
（4 22）×24＋（2×2 22）2 2－42＝34. 答案：C
解：(1)法一：由题意知双曲线的两焦点为 F1(0，－
3)，F2(0，3)． 设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)， 将点 A(4，－5)代入双曲线方程得2a52－1b62＝1. 又 a2＋b2＝9，解得 a2＝5，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
法二：||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5＝2a，
[迁移探究 2] (变换条件)上例中将条件“|PF1|＝ 2|PF2|”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积是 ________．
解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|
＝2a＝2 2， 由于P→F1·P→F2＝0，所以P→F1⊥P→F2.
所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2. 答案：2
双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
温馨提示 把定常数记为 2a，当 2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，其轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包 括端点)；当 2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
即2a 680, a 340
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
又 AB 800，所以2c 800，
c 400, b 2 c 2 a 2 44400
因为 PA PB 680＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x 340
x2
y2
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 340)
115600 44400
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
练1.双曲线 − = 的焦距是6，则k=
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
.
变1.已知方程
=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(
− ||−
A.(5,+∞)
B.(-2,2)∪(5,+∞)
C.(-2,2)
)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
双曲线的轨迹问题
5.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆
的另一焦点 F 的轨迹方程.
2
x
y2
1( y ≤ 1)
48
6.已知动点P(x,y)满足 ( + ) + - ( − ) + =2,求动点P的轨迹方程.
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
(3)面积公式:△ = r1r2sin θ.
双曲线中的焦点三角形
变式训练3:设双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积;
高二数学人教A版选修2-1课件：2.3.1 双曲线及其标准方程
目标导航
预习导引
12
2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上
标准方程 焦点坐标
a,b,c 的关系
x2 a2
−
yb22=1(a>0,b>0)
(±c,0)
c2=a2+b2
焦点在 y 轴上
y2 a2
−
x2 b2
=1(a>0,b>0)
(0,±c)
目标导航
预习导引
12
双曲线的标准方程中“a”与“b”的大小关系是否确定?如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在位置? 提示:给定一个双曲线的标准方程,判断它代表的双曲线的焦点的位置时,应根据x2和y2的系数的正负来确定. 如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.双曲线的标准方程中的a 和b之间没有确定的大小关系,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点所在的坐标轴.
∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积是
(
)
A.1
B.
5 2
C.2
答案:A
解析:方法一:设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°, 于是有������12 + ������22=|F1F2|2=20,
因此,������△������1������������2 = 12d1d2=14 (������12 + ������22-|d1-d2|2)=1.
+ 5, + 1,
两式相减得|PM1|-|PM2|=4<|M1M2|=5,
所以动圆圆心 P 的轨迹是以点 M1(-4,0),M2(0,3)为焦点的双曲线
人教A版选修【数学】双曲线定义与标准方程课件
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线 定义与 标准方 程 课件(共33张PPT)
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线 定义与 标准方 程 课件(共33张PPT)
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义 方程
焦点 a.b.c 的关系
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
cx a2 a (x c)2 y2
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) c2 a2 b2
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线 定义与 标准方 程 课件(共33张PPT)
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准
方程
双曲线及其标准方程
自学思考
❖ 1、什么叫椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改 写为“差”，那么点的轨迹会怎样？
❖ 2 、什么叫双曲线？当常数 2a =2c； 2a＞2c时， 动点P的轨迹分别是什么？
❖ 3、例1中求双曲线的方程有哪些主要步骤?双曲 线的标准方程是什么？
❖ 4、焦点在y轴上，双曲线的标准方程又是怎样呢？ ❖ 5、如何判断椭圆与双曲线的焦点在哪一条轴上？
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线 定义与 标准方 程 课件(共33张PPT)
焦点在X轴上如下图， 若建系时, 焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0, a2 b2 c2 )
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线 定义与 标准方 程 课件(共33张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
意义同上，这时双曲线的方程是
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
高二数学双曲线的标准方程课件新课标人教27页PPT
5.2.0
上
页
M
下 页
小 结
F1
o
F2
x
结 束
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和
等于常数 (大于|F1F2|)tion only.
M x, y
eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
3.
y
2
Copxy2righ1t
2004-201y12Aspxo2se Pty 4. 1
Ltd.
F(0,±5)
16 9
9 16
练习1：根据双曲线的方程指出焦点坐标：
（1）x2 y2 1 16 9
F1(5,0) F2 (5,0)
Evaluation only.
eat首页ed
上 页
w（it2h）CA6xo42sppyor3isyge62h.Stl2id01e0s4f-o2Fr01(1.0N1,EA1Ts0p)3o.5sFe2C(P0lit,e1yn0Lt) tPdr.ofile
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2 a2 b2 (b 0)
Evaluation only.
1(a 0, b 0) eat首页ed wixth2Asposey.2Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
Oo Client
PrFoF2f2ilexx5.2.0
3上页.列式．C|MopFyr1i|g-ht|M20F042-|2=0112Aaspose Pty Ltd.
下 页
小即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
高中数学人教A版选修课件：双曲线及其标准方程
练习巩固: 高中数学人教（A版）选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共28张PPT)
下列方程各表示什么曲线?
(1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2
4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线的一支
(3) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 6
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)yF1源自OMF2 xy
O
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
问题1：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上（谁正对 应谁），焦点位置与分母大小无关。)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 y2 1
16 9
方程标准化
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
如何建立适当的直角坐标系？ 高中数学人教（A版）选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共28张PPT)
探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y
M
y FO1 O O F2x xx
y
O
x
O 方案一x
方案二
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
高中数学人教（A版）选修2-1课件：2 .3.1双 曲线及 其标准 方程( 共28张P PT)
2.怎样建立双曲线的方程呢? 求曲线的方程一般步骤: 建系 设点 列式 化简 得方程
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
新课标高中数学A版必修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程 优质课件 .ppt
2.2.1双曲线及其标准方程
1
问题：
与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆． 那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨 迹是怎样的曲线？
2
画双曲线
3
双曲线的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值 等于常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两 焦点的距离 F1F2 叫做双曲线的焦距．
两边再平方后整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知：2c 2a 即：c a c2 a2 0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
7
例题 已知两点 F1 5，0、F2 5，，0 求与它们的距离
的焦点坐标．
3．已知方程
2
x2 m
y2 m
1
1表示双曲线，求的取值范围．
9
双曲线定义 图形
小结 m MF1 MF2 2a2a F1F2
( F1、F为2 定点， a为常数)
标准方程 焦点坐标
a,b, c 关系
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
y2 a2
的差的绝对值为6的点的轨迹方程． 如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什 么情况？
8
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）a 4 b 3 （2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）．
2．已知方程 mx 2 ny2 m nm 0 m n ，求它
1
问题：
与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆． 那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨 迹是怎样的曲线？
2
画双曲线
3
双曲线的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值 等于常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两 焦点的距离 F1F2 叫做双曲线的焦距．
两边再平方后整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知：2c 2a 即：c a c2 a2 0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
7
例题 已知两点 F1 5，0、F2 5，，0 求与它们的距离
的焦点坐标．
3．已知方程
2
x2 m
y2 m
1
1表示双曲线，求的取值范围．
9
双曲线定义 图形
小结 m MF1 MF2 2a2a F1F2
( F1、F为2 定点， a为常数)
标准方程 焦点坐标
a,b, c 关系
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
y2 a2
的差的绝对值为6的点的轨迹方程． 如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什 么情况？
8
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）a 4 b 3 （2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）．
2．已知方程 mx 2 ny2 m nm 0 m n ，求它
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练习1：写出下列双曲线的焦点坐标。
（1）
x
2
2
y
2
1
16
9
2
x y （2） 1 12 4
（3）
9 y 2 x 36
2 2
x2 y2 例题2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
变式:已知方程
x y 1 9k k 3
2
2
方程表示椭圆，则K的取值范围是_______ 方程表示双曲线，则K的取值范围是_____
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
如何判断其焦点所在轴？
根据所学知识完成下表
定 义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2 | )的点的轨迹 y y M M F2
F1
O F 2
不 同 点
图
形
x
O
F1
x
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面两条曲线合起来叫做双曲线
(一)双曲线的定义
• 平面内与两个定点F1，F2的距离 的差的绝对值等于常数（小于 |F1F2 |且不等于零）的点的轨 迹叫做双曲线。 • 这两个定点F1、F2叫做双曲线 的焦点。 • 两焦点的距离叫做焦距(2c)。
练习2:证明椭圆
x2 y 2 1 25 9
与双曲线
x2-15y2=15的焦点相同. 变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
|PF1|+|PF2|=10, | PF1 | | PF2 | 2 15.
F
1
符号表述：
MF1 MF2 2a (0 2a F1 F2 )
M
F
2
3
想一想？
MF1 MF2 2a(0 2a F1 F2 )
1、 2a < |F1F2 |
双曲线
两条射线 无轨迹
2 、2a= |F1F2 |
3、2a> |F1F2 |
(二)推导双曲线方程 如图所示
“建---设---现---代---化---说明” x
双曲线及其标准方程
（第一课时）
1．了解双曲线标准方程的推导过程．
2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程．
3．掌握双曲线的定义与标准方程．
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
M x, y
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
(二)双曲线的标准方程--形1
y
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
F
O
1
2
2
M
F
2
x
6
(二)双曲线的标准方程--形2
y
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
M
F2 x
O
F1
7
x2 y2 2 1 2 a b
y
M
y
M பைடு நூலகம்2
F ( ±c, 0)
x2 y2 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b a b
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c ，F2 0,c
c2 a2=b2 系数哪个为正，焦点就在哪个轴上
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例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴两个焦点的坐标分别是 (5,0), (5,0) ， 双曲线 上的点与两焦点距离之差的绝对值等于 8； ⑵双曲线的一个焦点坐标是 (0,6) ，经过点 A ( 2,5) 。