中考数学(人教版)总复习基础过关训练-第3课时 分式
备战九年级中考数学一轮复习第3课 分式(全国通用)
由题知x≠0，当x＝2时，x－ 4x 4 ＝0
x
∴x的值只能取1.当x＝1时，原式＝
1
1
2
＝－1
14．(202X·贵州)计算： x 2 ＝____1____. x2 x2
15．化简：x2 1 x 1 ＝___x－__1___. xx
c 16．计算： c2 a2c ＝___2_a_3___.
B. x ＜ y 33
D．－3x＜－3y
考点3 分式化简求值
4
11.(202X·湘潭)若 y 3 ，则 x y ＝___7_____.
x7
x
12.【例3】(202X·深圳)先化简，再求值：
a2
a
1 2a 1
2
3a a 1
，其中，a＝2.
解：原式
a 1
a 12
2a
23 a 1
a
a 1
a 12
x2 4xy 4 y2
yx
1
x 2y2
x 2y x2 y2
x2y x yx y
1 x 2y 2x 3y
xy xy
由题x＝cos 30°×12 －2
＝3
2
×23
2
3+＝33，2y＝(π－3)013－1
32
将x＝3，y＝－2代入，得原式＝
＝0.
＝1－3＝
2a94＝.(210952X，·滨a5州＝)12视16察，下…列，各根式据：其a中1＝的23规，律a可2＝得53an，＝a_n3_2＝_2_1n_70_11_，_n1
是__x_≠_－__1__.
考点2 分式的基本性质
9.【例2】(202X·河北)若a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
精品课件：人教版数学中考复习第3讲《分式》
12 2 12 2 12－2（m＋3） 解： 2 ＋ ＝ － ＝ m －9 3－m （m＋3）（m－3） m－3 （m＋3）（m－3） －2（m－3） = ＝－ 2 . （m＋3）（m－3） m＋ 3
－2 ＝ ×(a－1) （a＋1）（a－1）
2 ＝－ . a＋1
2 原式＝－ 2－1＋1
＝－ 2.
泸州市中考题：
A．x≠5 B．x≠－5 C．x＞5 x2－1 3．若分式 的值为 0，则( B ) x－1 D．x＞－5
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝± 1
D．x≠1
考点二：分式的基本性质
分式的基 同一个不为 0 的整式，分式的值不变 分式的分子与分母乘(或除以)_____________________ 本性质 最简分式：分式的分子与分母____________ 没有公因式的分式叫做最简分式； 约分 分式的约分是根据分式的基本性质约去分式中分子与分母的 分式基本 性质的运 用 ________ 公因式 ，使分式变成________ 最简分式
1、（2011年）先化简，再求值：(
，
x 1 1 x 2 ) x 1 x 2x 1 x 1
x2 2x 2x 1 ( x 1 ), 2、（2012年）先化简，再求值： 2 x 1 x 1 ，其中 x= 2 a2 2a 3 ( 1 ), ，其中 a= 2 3、（2013年）先化简，再求值： 2 a 1 a 1 a 1 b ( ) 4、(2014年）化简： 2 a b2 a b b a
3．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式： x2－4xy＋4y2，x2－4y2，x－2y.
解：答案不唯一， x2－4xy＋4y2 （x－2y）2 x－2y 如： ＝ ＝ . x2－4y2 （x＋2y的运算
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
命题点 2：分式方程解的运用(近 6 年考查 4 次)
5 ． (2020 · 荆 门 第
11
题
3
分)已经关于
x
的
分
式
方
程
2x＋3 x－2
＝
（x－2）k（x＋3）＋2 的解满足－4<x<－1，且 k 为整数，则符合条件的
所有 k 值的乘积为
(A )
A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
6．★(2021·荆州第 15 题 3 分)若关于 x 的方程 2xx－＋2m＋x2－－1x＝3 的解是
【分层分析】设第二次购买材料 x t，由②得第二次购买的单价为x2211x0000
元，由③得第一次购买材料的吨数为 2x2 t，由①，③得第一次购买的
45210000 单价为x 2x
元，由④可列方程为x452x0x00－211000＝0021
000 x
.
45 000 解：设第二次购买材料 x t，则第一次购买材料 2x t．根据题意得 2x
周
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.分式方程的解法，应用分式方程 解决简单的实际问题．分式方程的解法考查形式有：直接解分式方程； 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围；2.分式方程的应用主要 以选择题的形式考查列方程，常在解答题中与不等式、函数的实际应用 结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
4 是原来每天用水量的5，这样 120 t 水可多用 3 天．求现在每天用水量是 多少吨？
4 解：设原来每天的用水量为 x t，则现在每天的用水量为5x t，由题意可 列方程： 1542x0－1x20＝3，解得 x＝10， 经检验，x＝10 是原方程的解．
44 而5x＝5×10＝8. 答：现在每天的用水量为 8 t.
2024年中考数学一轮复习考点03 分式(精讲)(解析版)23
考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。
【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 为分子，B 为分母。
（2）对于分式A B 来说：①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0；④当A =B ≠0时，分式的值为1；⑤若A B >0，则A 、B 同号，若AB<0，则A 、B 异号。
2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式。
（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
中考数学一轮复习课件：第三节 分式
x2＋x22－x＋ 1 1－x－1 1÷x－x21． 解：原式＝(x＋(x1＋)(x1－)2 1)－x－1 1·x－x21
＝x＋x－1－1 1·x－x21
＝x－x 1·x－x21 ＝1x．
● (1)当x－3＝0时,求值；
●
解：பைடு நூலகம்x－3＝0,
●
∴x＝3,
∴原式＝13．
(2)当 x＝ 2－1 时，求值；
___x_≠__1___．
考法 2 分式的化简
2．(2022 河南)化简：x2－x 1÷1－x1． 解：原式＝(x＋1)x(x－1)÷x－x 1
＝(x＋1)x(x－1)·x－x 1····················································(3 分) ＝x＋1． ······································································(5 分)
1．(1)若分式x－5 4有意义，则实数 x 的取值范围是__x__≠__4___；
(2)若分式a－5 5的值等于 0，则 a 的值为__5___；
(3)
使
分
式
x＋1 x2＋1
＋
x x＋1
＋
x－1 x
＋
x2＋1 x－1
无
意
义
的
x
的取值是
__－__1_或__0_或__1___．
考点 2 分式的运算
加减法
1．同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝ a±c b； 2．异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后相 加减，即ba±dc＝abdd±bbdc＝adb±d bc
中考数学复习分式3[人教版]
![中考数学复习分式3[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/52872f169ec3d5bbfc0a7456.png)
(100x+100y)
解：
x y 2xy (x y)2
x y ∵Q1－Q2＝ 2 2 又∵x≠y ∴(x-y) ＞0 乙两次共购粮Q1食＝_____________；___2_____kg．
10xxQ02＝__y∴___x_21.Q210(yx＞x0yQy2y
)
∴乙的购粮方式合算一些．
例6. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场 消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
B
A、b 1 m a
B、 b 1m a
C、 a b 1mD、 a 1m
a
b
10. 解分式方程
x x 1
x 1 x2
x2
a x
2
时产生增根，则a的值为（ ）
D
A、2 C、 0或－3
3
B、－3 D、- 3或
二、填空题
11. 用科学记数法表示0.000028为 __________．
2.8×10－5
消费金额a( 元)的范围
200≤a＜400
400≤a＜500
500≤a＜700
700≤a＜900…
获得奖券 的金额(元)
30
60
100
130…
根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠
如购买标价为450元的商品 则消费金额为450×80%＝360元 获得的优惠额为450×(1－80%)＋30＝120元
12. 若93m+1÷32m＝27，则m=_____.
13. 若代数式 则x的取值范围为
x 有意义， 1 x 3
x 2 x 4 ___________________________．
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第3课时 分式
定 __B_≠__0___，则—BA =0. 理 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等
于0的整式，分式的值不变，用式子表示为—BA =
_A_·__C B·C
=
A_÷__C_ B÷C
（C≠0）.
续表
3. 约分：把一个分式的分子和分母的_公__因__式___约去，这种变形称为 分式的约分. 概 4. 通分：根据分式的基本性质，把_异__分__母___的分式化为_同__分__母___的 念 分式而不改变分式的值，这一过程称为分式的通分. 定 5. 最简公分母：一般取各分式分母系数的_最__小__公__倍__数_与字母因式的 理 最__高__次__幂__的积作为公分母，它叫做最简公分母. 6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有_公__因__式___时，这个分式叫 做最简分式.
解：原式= _xx_++_33_-_1·(_x_-_3_x)_+(_2x_+_3_) =x-3.
当x=3+ 时，原式= ．
4. （2020乐山）已知y=—2x ，且x≠y，求（_x_1-_y_+ _x_1+_y_）÷_x_x2_-2y_y_2 的值．
解：原式= (_x_+_y_)2_(x_x_-_y_)_÷_x_x2-_2yy_2_ = _x_22-_xy_2_·_x_x2_-2y_y_2
x-1
4.
（2020金华）分式
_x_+_5_ x-2
的值是零，则x的值为
A. 2
B. 5
C. -2
D. -5
（D ）
返回目录
考点点拨： 本考点是广东中考的一个重要知识点，题型一般为选择题或填空题，难 度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握分式有意义（或无意义或值为零） 的条件. 注意以下要点： （1）分式无意义：分母为零； （2）分式有意义：分母不为零； （3）分式值为零：分子为零且分母不为零.
初中数学人教版八年级上册第15章+《分式》综合复习(三)+新
初中数学人教版八年级上册实用资料一、本课时知识要点1.分式方程(1)定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
334212123x xx x+=-=+-⎧⎪⎨⎪⎩整式方程，如有理方程分式方程, 如2. 解分式方程方法3. 列分式方程解应用题(1)步骤:依据实际问题的数量关系→列代数式→依据等量关系→列出分式方程。
(2)与列一元一次方程解应用题的不同之处在于：所列的为分式方程，要检验是否为所列方程的根。
二.分式方程题型分析【题型一】用常规方法解分式方程例1.解下列分式方程。
（1）0132=--xx；（2）114112=---+xxx；【题型二】特殊方法解分式方程例1.解下列方程4441=+++xxxx；【题型三】求待定字母的值 例1.若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.例2.若分式方程x mx x -=--221无解，求m 的值例3.若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【自测自结】1．解下列方程：（1）021211=-++-x xx x ； （2）22322=--+x x x ；（3）2123524245--+=--x x x x2．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k会产生增根，求k 的值.4．若关于x 的分式方程2233xm x x -=--无解，则m 的值为 ．。
中考数学(人教版)总复习基础过关训练-第3课时 分式
第3课时分式知能优化训练中考回顾1.(2017天津中考)计算的结果为( )A.1B.aC.a+1 D2.(2017新疆中考)已知分式的值是0,则x的值是( )A.-1B.0C.1D.±13.(2017重庆中考)要使分式有意义,x应满足的条件是( )A.x>3B.x=3C.x<3D.x≠34.(2017四川成都中考)化简求值:,其中x=-1.=当x=-1时,原式=5.(2017青海西宁中考)先化简,再求值:÷m2,其中m-n===∵m-n=,∴n-m=-原式==-模拟预测1.使分式有意义,x 应满足的条件是( ) A.x ≠1 B.x ≠2C.x ≠1或x ≠2D.x ≠1,且x ≠2,(x-1)(x-2)≠0,解得x ≠1,且x ≠2.故选D.2.如图,电路的总电阻为10 Ω,若R 1=2R 2,则R 1,R 2的值分别是( )A.R 1=30 Ω,R 2=15 ΩB.R 1= Ω,R 2= ΩC.R 1=15 Ω,R 2=30 ΩD.R 1= Ω,R 2= Ω3.化简的结果等于( ) A.a-2B.a+2 C D4.若=2,则的值等于( ) AB.1 C D.25.若代数式-1的值为零,则x= .6.若x+y=1,且x ≠0,则的值为 .7.化简并求值:,其中x,y 满足|x-2|+(2x-y-3)2=0.=∵|x-2|+(2x-y-3)2=0,∴|x-2|=0,(2x-y-3)2=0.∴x=2,y=1.∴原式=8.化简求值:,其中x是不等式<x+的最大整数解.===,解不等式<x+得x<3,∴该不等式的最大整数解为x=2,∴当x=2时,原式=。
2021年春人教版数学九年级中考复习知识点过关课件 分 式
甲：原式＝（x＋3x）2－（4x－2） －xx2－－24 ＝
（x＋3）（x－2）－x－2 x2－4
＝xx22－ －84
；
乙：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；
丙：原式＝xx＋＋32 －（x＋2x）－（2x－2） ＝xx＋＋32 －x＋1 2 ＝
x＋3－1 x＋2
1．求分式有意义的条件即分式中所有分母不为零时未知数的取值范围； 2．求分式值为零时即分子为零且分母不为零时未知数的取值.
1. (2020·衡阳)要使分式x－1 1 有意义，则 x 的取值范围是( B ) A. x>1 B. x≠1 C. x＝1 D. x≠0
2. (2019·北京)若分式x－x 1 的值为 0，则 x 的值为__1__．
1 A. 3＋x
B. －3＋1 x
1 C. x－3
D. －x－1 3
4. (2020·河北)若 a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
A.
a＋2 b＋2
＝ba
B.
a－2 b－2
＝ba
C.
a2 b2
＝ba
D.
12a 12b
＝ba
5. (2019·攀枝花)一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为 a 千米/时，下山速度为 b 千米/时．则货车上、下山的平均速度为 ( D )千米/时．
的数代入求值．
解：原式＝[a＋a2 2
－（aa＋＋22）2
（a＋2）（a－2）
]·
4a
①
＝－（a4＋a＋2 4）
（a＋2）（a－2）
·
4a
②
＝－（a＋1）a（a－2） .③
请接着完成解答： 小明补充的解答过程如下： 当a＝－2时，原式＝2.④ 以上解题过程是否正确？如果不正确，错误在哪一步？并说明理由．请给 出正确的解答过程． 易错分析 (1)分式化简过程中通分注意加括号与去括号符号的改变；(2) 由于a的值是从给出的三个数中选择的，所以此题是一道开放性的试题， 但在选择a的值时，一定要注意所选择的a的值要保证原分式及解题过程中 的分式有意义．
人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题[1]
![人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f84b80917fd5360cbb1adbce.png)
(直打版)人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(直打版)人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题(word版可编辑修改)的全部内容。
第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则 3。
分式的化简求值（通分与约分） 4。
幂的运算法则【主要公式】1。
同分母加减法则:()0b c b ca a aa±±=≠ 2。
异分母加减法则：()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠；3。
分式的乘法与除法：b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则：实际是合并同类项 5。
同底数幂的乘法与除法；am●a n =a m+n ； a m ÷ a n =am －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n， （a m）n= amn7。
负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b ）(a —b ）= a2- b 2;（a ±b ）2= a 2±2ab+b 2（一)、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的有： 。
人教版数学中考复习方案：第3课时 分式(共26张PPT)
2x 2x＋6 例 3 (1)[2014·扬州] 化简：x＋1－ x2－1 ÷
x＋3 x2－2x＋1.
2x 2x＋6 x＋3 解：(1)x＋1－ x2－1 ÷x2－2x＋1
2x
2（x＋3）
（x－1）2
＝x＋1－（x＋1）（x－1）· x＋3 ，
＝x2＋x1－2（xx＋－11）＝x＋2 1.
赣考解读
考点聚焦
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第3课时 分式
x2－1 (2)[2014·南昌样卷] 如果分式 x＋1 的值为 0，则 x 的值是
( A) A．1 B．0
C．－1 D．±1
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第3课时 分式
探究二 分式的基本性质
例 2 [2014·赣州模拟] 下列运算错误的是( D )
13 5 7 9 例 4 [2014·毕节] 观察下列一组数：4，9，16，25，36，…. 它们是按一定规律排列的，那么这一组数据中的第 n 个数是 2n－1 （_n_＋__1_）__2_(n 是正整数)．
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第3课时 分式
此类问题通过计算，观察结果的变化规律，猜想一般性的 结论，再用分式的性质或运算予以证明．
中 A，B，M 是整式，且 M≠0) .
2．添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都
不改变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．
3．分式的符号变化法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，
a －a a 改变其中任何两个，分式的值不变，用式子表示： －b＝ b ＝－b.
初中数学 赣考探究
第3课时 分式
【人教版】2020年中考数学总复习 第3讲 分式 新版 新人教版
＝ .
7.分式的混合运算
(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算 乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入 求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式 有意义；
(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 题时，一定要注意所求得的值满足分母 不为0.
例：当 的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
( 1 )基本性质： (C≠0)．
简公分母，然后根据分式的性质通分.
例：分式 和 的最简公分母为 .
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 ± ＝ ；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 ± ＝ .
例： ＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法： · ＝ ；(2)除法： ＝ ；
(3)乘方： ＝ (n为正整数).
第3讲分式
一、知识清单梳理
知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1.分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④ ，其中 是分式是②③④；最简分式③.
（2）由基本性质可推理出变号法则为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3课时分式
知能优化训练
中考回顾
1.(2017天津中考)计算的结果为()
A.1
B.a
C.a+1 D
答案:A
2.(2017新疆中考)已知分式的值是0,则x的值是()
A.-1
B.0
C.1
D.±1
答案:C
3.(2017重庆中考)要使分式有意义,x应满足的条件是()
A.x>3
B.x=3
C.x<3
D.x≠3
答案:D
4.(2017四川成都中考)化简求值:,其中x=-1.
解:原式=
当x=-1时,原式=
5.(2017青海西宁中考)先化简,再求值:÷m2,其中m-n=
解:原式=
=
∵m-n=,∴n-m=-
原式==-
模拟预测
1.使分式有意义,x应满足的条件是()
A.x≠1
B.x≠2
x≠2 D.x≠1,且x≠2
解析:根据题意得,(x-1)(x-2)≠0,解得x≠1,且x≠2.故选D.
答案:D
2.如图,电路的总电阻为10 Ω,若R1=2R2,则R1,R2的值分别是()
A.R1=30 Ω,R2=15 Ω
B.R1=Ω,R2=Ω
C.R1=15 Ω,R2=30 Ω
D.R1=Ω,R2=Ω
答案:A
3.化简的结果等于()
A.a-2
B.a+2 C D
答案:B
4.若=2,则的值等于()
A B.1 C D.2
答案:C
5.若代数式-1的值为零,则x=.
答案:3
6.若x+y=1,且x≠0,则的值为.
答案:1
7.化简并求值:,其中x,y满足|x-2|+(2x-y-3)2=0.
解:原式=
∵|x-2|+(2x-y-3)2=0,
∴|x-2|=0,(2x-y-3)2=0.∴x=2,y=1.
∴原式=
8.化简求值:,其中x是不等式<x+的最大整数解.解:原式=
=
=,
解不等式<x+得x<3,
∴该不等式的最大整数解为x=2, ∴当x=2时,原式=。