2019届湖南省长沙市雅礼中学高三月考(七)数学(理)试题(解析版)

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湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(一)数学(理)试题含答案

C
(cos )sin , c (sin )cos ，则． b<a<c D ． c<a<b
8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有金，长五尺、斩本一尺，重四斤，斩末
一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，
在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤：问依次每一尺各重多少斤？”
6．函数 y＝ f （ x）是 R 上的奇函数，满足 f （3＋ x）＝ f （ 3－ x），当 x （0， 3）
f
（
x
）＝
2
x
，则当
x
（－ 6，－ 3）时， f （ x）＝
A．
x
2
6
B
．
x6
2
x6
C
、2
D
．
x6
2
7．已知 A． a<b<c
(0, ), a (sin )sin ,b 4
B ． a<c<b
． [ 2, 1) 3
C ． ( 1 , 2] 3
2 cos 2xdx ，则 a 等于
0
D ． (1 , 2) 3
A． 1
B
．1 C ．2 D ．4
3．函数 f ( x) x2 2(a 1)x 与 g( x) 个充分不必要条件是实数 a
a1
这两个函数在区间［ 1． 2］上都是减函数 B ． ( 1,0) (0,2)
C ． (1, 2) D
． (1,2]
x1
4．已知实数 x，y 满足
y 1 ，则 x＋ y 的取值范围为
2x y 6
A． [2,5]

2019届湖南省长沙市雅礼高三下学期一模数学（理）试题

2019届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期一模数学（理）试题一、单选题1．a 为正实数，i 为虚数单位，，则a=（）A ．2B ．C ．D ．1【答案】B 【解析】略2．已知集合123A x z z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，{}2450B x x x =--≤，则A B =（） A ．{}1,0,1,3- B ．1,0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】分别求解出集合,A B ，再求解A B 即可【详解】{}{}15,9,7,6,5,4,2,1,0,1,3,9,|15A B x x =--------=-≤≤ {}1,0,1,3A B ∴⋂=-故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，集合交集的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．【答案】C【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.4．设02x π≤≤，且sin cos x x =-，则（） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】1sin 2-==|sin cos |x x =- sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544xππ∴故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（）A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．2±【答案】B【解析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f . 【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.7．若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（） A．BC ．6D ．【答案】D【解析】先根据向量坐标运算求出()3,3u v +=和cos ,u u v +，进而求出sin ,u u v +，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意()(1,3v u u v =--=，则()3,3u v +=，3cos,2u u v +=，得1sin ,2u u v +=，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c bE x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．yx =± B ．2y x =±C ． y =D ．y =【答案】B【解析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=，因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（） A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）【答案】B【解析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据6x π=-是对称轴，得出,62k k Z ππωϕπ--=+∈，求出w 的最小值与对应的ϕ，写出()f x 即可求出其单调增区间. 【详解】依题意得，2sin 1033f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 32πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1236k πωπϕπ+=+或25236k πωπϕπ+=+（其中1k ，2k ∈Z ）.① 又sin 16πωϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即362k πωπϕπ-+=+（其中3k ∈Z ）.②由①-②得()13223k k πωππ=--或()23223k k πωππ=-+，即()132223k k ω=--或()232223k k ω=-+（其中1k ，2k ，3k ∈Z ），因此ω的最小值为23.因为sin sin 169πωπϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以92k ππϕπ-+=+（k ∈Z ）. 又0ϕπ<<，所以29ππϕ=+，所以()222sin 12cos 132939f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22239k x k ππππ-≤+≤（k ∈Z ），则53336k x k ππππ-≤≤-（k ∈Z ）. 因此，当ω取得最小值时，()f x 的单调递增区间是53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故选：B 【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.11．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A【解析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO ，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积；【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC∠==⋅⋅，33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.12．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D【解析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=，当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减；不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤，从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+，所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.二、填空题13．设变量x ，y ，z 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值是______. 【答案】7【解析】作出不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A (2,1),B (1,2),C (4,5)设z =F (x ,y )=2x +3y ，将直线l :z =2x +3y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F (2,1)=714．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．【答案】13. 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值. 详解：由题意可知了，比赛可能的方法有339⨯=种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为3193p ==. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15．过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若MN =，则l 的斜率为______.【解析】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，根据抛物线定义和MN AB =求得MNN '∠，从而求得直线l 的倾斜角. 【详解】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，由抛物线的定义知AF AA '=，BF BB ='，()1122NN AA BB AB '''=+=，因为MN =，所以NN '=，所以30MNN '∠=︒，即直线MN 的倾斜角为150︒，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60︒，3AB k =.故答案为：3 【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.16．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.【答案】33【解析】分两种情况讨论：（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，（2）若在若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【详解】（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则16cos 5PB θ=，16sin 5PC θ=，从而116166464cos sin sin 22552525S θθθ=⋅⋅=≤. 当4πθ=时，max 6425S =此时85PH =，符合.（2）若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin PH θ=，2cos OH θ=，由65OH OC ≤=知3cos 5θ≤. ()()()122cos 2sin 2sin 1cos 2S θθθθθ∴=+⋅=+， ()()()2cos 12cos 1S θθθ'=+-当πθ0,3时，()0S θ'>，()S θ单调递增，当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0S θ'<，()S θ单调递减， ()3364325S S πθ⎛⎫∴≤=>⎪⎝⎭.当3πθ=，即1cos 2θ=时，()S θ最大. 故答案为：332. 【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log n n b a x =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）已知11n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，1n n b x-=（0x >）；（2）11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【解析】（1）根据{}n a 是等差数列，22181a a =+，1S 、4S 、16S 成等比数列，列两个方程即可求出1,a d ，从而求得n a ，代入化简即可求得n b ；（2）化简n c 后求和为裂项相消求和，{}n n c b +分组求和即可，注意讨论公比是否为1. 【详解】（1）由题意知11S a =，4146S a d =+，16116120S a d =+，由42116S S S =⋅得()()21114616120a d a a d +=+，解得120d a =>.又()2221181a a d a =+=+，得211981a a =+，解得11a =或119a =-（舍）. 2d ∴=，21n a n =-.又()1222log 22log log n nb n x -=-=（0x >）， 1n n b x -∴=（0x >）.（2）()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，①当1x =时，()()121n n n T c c c b b =++++++111221n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭. ②当1x ≠时，11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.18．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即{x yx y az+=-+=，取,,2x a y a z==-=-，则(),,2n a a=--依题意2cos,3m nm nm n a⋅〈〉===⋅+，则2a=．于是()()2,2,2,2,2,4n PA=--=-．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则2 sin cos,3PA nPA nPA nθ⋅=〈〉==⋅即直线PA与平面EAC19．已知圆M：(2264x y++=及定点()N，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足2NA NB=，0GB NA⋅=，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线12y x=和12y x=-分别交于P、Q两点.当12k>时，求OPQ∆（O为坐标原点）面积的取值范围.【答案】（1）221164x y+=；（2）()8,+∞.【解析】（1）根据题意得到GB是线段AN的中垂线，从而GM GN+为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】（1）2NA NBBGB NA⎧=⇒⎨⋅=⎩为AN的中点，且GB AN GB⊥⇒是线段AN的中垂线，AG GN∴=，又8GM GN GM GA AM MN+=+==>=，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221x yab+=（0a b>>），则4a=，c=，2b∴==，所以曲线C 的方程为221164x y +=.（2）设直线l ：y kx m =+（12k ≠±），由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()2222644144160km k m ∆=-+-=，22164m k =+.①又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭；同理可得2,1212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.② 将①代入②得222224181441OPQm k S k k ∆+==--，当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞. 【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目. 20．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（ii）若1p =-份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 【答案】（1）110（2）（i ）()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11kp k<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 31p =-,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-（0x >）, 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈, 5ln 53∴<,∴k 的最大值为4 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性21．{}max ,m n 表示m ，n中的最大值，如{max =，己知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设21()()3(1)2h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-='+=---=，．．．．．．．．．．．．．1分令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得）（2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，则2223ln 42{1324422x x x a x a x a a x a+<+⎛⎫-+-++<+ ⎪⎝⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 42{20x x ax x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x'-=-=-=，令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭．故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--． ∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<，故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②若()()220x x a+->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a+≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦．故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE-的值. 【答案】（1）2y =-，24y x =；（2）12【解析】(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，则直线l的普通方程为2y =-.由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =. 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且120,0t t ><. 121212*********2t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|24}x R x ∈-≤≤（2）214(,][,)33-∞-+∞ 【解析】（1）当1a =时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对a 分成2a >和2a <两类，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，求得()f x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()31f x x =- 由()9f x ≤得13x -≤ 由13x -≤得313x -≤-≤ 解：313x -≤-≤，得24x -≤≤∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤（2）①当2a >时，232aa <-，()333,233,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是增函数，所以()min 3322a af x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题设得3342a -≥，解得143a ≥.②当2a <时，同理求得23a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为][214,,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。

2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(二)数学(理)试题

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1．已知集合{}{}220,lg(1)A x x x B x y x =-<==-，则A UB ＝A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2, +∞)D ．（-∞，0） 2．设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3．已知直线m ，n 和平面a ，B 满足m ⊥n ，m ⊥α，a ⊥β，则A ．n ⊥βB ．n ∥αC ．n ∥β或n β⊂D ．n ∥α或n α⊂4．△ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB = ．若,CB a CA b ==，则CD =A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +5．设lg a e =，2(lg )b e =，c =A ． a >b >cB ．a >c >bC ． c >a >bD ． c >b >a6，现有四个函数：①sin y x x =，②cos y x x =，③cos y x x =，④2x y x =⋅的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A ．①③②④B ．②①③④C ．③①④②D ．①④②③ 7．数列{}n a 满足：a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－2，a n ＋2＝a n+1－a n （n N ∈），则数列{}n a 的前2019项的和为A ．1B ．—2C ．-1514D ．-15168．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3有公共点，则b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1- 9．若sin ,(0,),()cos ,x x aa f x x x a π>⎧∈=⎨≤⎩的图像关于点（a ，0）对称，则f (2a )=A ．1-B ．12-C ．0D ．-10．已知圆O 的半径为2，A ，B 是四上两点且∠AOB 23π=，MN 是一条直径点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN ⋅ 的最小值为A ．-3B ．C ．0D ．2 11．正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为A B C D 12．已知函数(),()ln(2)4x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A ．ln 21--B ．ln 21-C ．ln 2-D ． l n 2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x ，y ，z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为___________。

立体几何中的最值问题【解析版】

第四章立体几何专题17 立体几何中的最值问题【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.一、涉及几何体切接问题最值计算求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；二.涉及角的计算最值问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1.（2018·全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A B C ．4D 【答案】A 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26(2S ==，故选A. 例2.（2018·全国高考真题（文））设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2393ABCSAB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.例3.（2017·全国高考真题（理））a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③ 【解析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC |＝1，|AB|=斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1，直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =（cosθ，sinθ，﹣1），|'AB|=设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]，则cosα()()10102'cos sin a AB θθ--⋅==⋅，，，，， ∴α∈[4π，2π]，∴③正确，④错误．设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]，cosβ()()'11002''AB b cossin AB bbAB θθ⋅-⋅===⋅⋅，，，，|cosθ|，当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sinθ|3πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cosβ2=|cosθ|12=，∵β∈[0，2π]，∴β3π=，此时'AB 与b 的夹角为60°， ∴②正确，①错误．故答案为：②③．例4.（2017·全国高考真题（理））如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．【答案】15【解析】如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则133OG x =3x =. ∴35FG SG x ==-，222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积2113355333ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭451535123x x =-. 设()4535n x x x =-，x >0，则()345320n x x x '=，令()0n x '=，即43403x =，得43x ，易知()n x 在43x 处取得最大值. ∴max 154854415V =-=例5.（2016·浙江高考真题（理））如图，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】【解析】中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.过作直线的垂线，垂足为.设，则，即，解得.而的面积.当平面PBD⊥平面BDC 时：四面体的体积.观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为例6.（2019·安徽芜湖一中高三开学考试）在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =．Rt AOC ∆可以通过Rt AOB ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的正弦的最大值．【答案】（1）详见解析；（2277【解析】（1）AOB ∆为直角三角形，且斜边为AB ，2AOB π∴∠=.将Rt AOB ∆以直线AO 为轴旋转得到Rt AOC ∆，则2AOC π∠=，即OC AO ⊥.二面角B AO C --是直二面角，即平面AOC ⊥平面AOB . 又平面AOC平面AOB AO =，OC ⊂平面AOC ，OC ∴⊥平面AOB .OC ⊂平面COD ，因此，平面COD ⊥平面AOB ；（2）在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，122OB AB ∴==且3OBA π∠=. 由（1）知，OC ⊥平面AOB ，所以，直线CD 与平面AOB 所成的角为ODC ∠. 在Rt OCD ∆中，2COD π∠=，2OC OB ==，2224CD OD OC OD =+=+，22sin 4OC ODC CD OD ∴∠==+，当⊥OD AB 时，OD 取最小值，此时sin ODC ∠取最大值，且sin33OD OB π==.因此，22227sin 774OC ODC CD OD ∠==≤=+，即直线CD 与平面AOB 所成角的正弦的最大值为277. 例7.（2019·深圳市高级中学高三月考（文））如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值； (3)若，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，故三棱锥P－ABC体积的最大值为.(3)解：在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以.同理，所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．从而，即CE＋OE的最小值为.例8.（2016·江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【解析】（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.（2）设A 1B 1=a （m ），PO 1=h （m ），则0<h<6，OO 1=4h.连结O 1B 1. 因为在中，所以，即于是仓库的容积，从而. 令，得或（舍）.当时，，V 是单调增函数；当时，，V 是单调减函数.故时，V 取得极大值，也是最大值.因此，当m 时，仓库的容积最大.【压轴训练】1．（2019·四川石室中学高三开学考试（文））在ABC △中，已知23AB =6BC =045ABC ∠=，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（） A.()23,26 B.()6,23C.()3,6D.()0,23【答案】B 【解析】由将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -，且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，如图2所示，AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥，在折叠前图1中，作AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于点1M ，当运动点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，此时M 与点1M 无限接近，在图2中，由于AB 是直角ABM ∆的斜边，BM 为直角边，所以BM AB <，由此可得1BM BM AB <<,因为ABC ∆中，023,26,45ABC AB BC ∠===，由余弦定理可得23AC =,所以221(23)(6)6BM =-=，所以623BM <<由于BM x =，所以实数x 的取值范围是()6,23，故选B ．2．（2019·四川高三月考（文））已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，P 满足2AC BC ==2AB =．若四面体PABC 体积的最大值为23，则球O 的表面积为（） A ．254πB ．254π C ．2516π D ．8π【答案】A 【解析】当平面ABP 与平面ABC 垂直时，四面体ABCP 的体积最大．由AC BC ==2AB =，得90ACB ︒∠=．设点Р到平面ABC 的距离为h，则112323h ⨯=，解得2h =．设四面体ABCP 外接球的半径为R ，则()22221R R =-+，解得5R=4．所以球O 的表面积为2525444ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（） A．),2π B．π⎡⎤⎣⎦C．}D．,2π⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=，又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin22α=∈ ∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈),2π 故选：A.4．（2019·安徽高考模拟（理））如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A ．14B ．24C ．34D ．1【答案】A 【解析】将正四面体补成正方体，如下图所示：EF α⊥ ∴截面为平行四边形MNKL ，可得1NK KL +=又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥ KN KL ∴⊥ 可得2124MNKLNK KL S NK KL +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭四边形（当且仅当NK KL =时取等号）本题正确选项：A5．（2019·湖北高三月考（理））若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A ．3 B ．2C ．3D ．33【答案】A 【解析】设正方形的边长为a ，则四棱锥的高为227h a =2a ，则其外接圆的半径22r a =.设球的半径为R ，则()222h R r R -+=，解得44222272727210844108a a R a a a =+=++4322272793441084a a a ≥⋅⋅=，当且仅当42274108a a =，即3a =时等号成立，此时，四棱锥的高为2272739h a ===.故选A. 6．（2019·四川雅安中学高三开学考试（文））已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（）A.50081πB.1009πC.259πD.4π【答案】B 【解析】2AB BC ==，2AC = 222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥112ABC S AB BC ∆∴=⋅= 如下图所示：若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d = 即：3DO '=设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()22213R R =+-，解得：53R =∴球的表面积：210049S R ππ==本题正确选项：B7．（2017·山西高三（理））两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为( ) A ．(323p B ．(423pC ．(323p +D ．(423p【答案】A 【解析】设球1O 与球2O 的半径分别为r 1,r 2,∴r 1+r 23r 1+r 2)= 3 r 1+r 2313+=332-， r 1+r 2⩾12r r 球1O 与球2O 的面积之和为： S =4π(21r+21r)=4π(r 1+r 2)2−8π12r r ⩾()212π13+−2π()2313+=(6−3)π,当且仅当r 1=r 2时取等号其面积最小值为(6−3π. 故选A.8．（2019·广东高考模拟（理））平面四边形ABCD 中，2AD AB ==5CD CB ==且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为（）A ．2B ．12C 3D 3【答案】D 【解析】取BD 的中点O,则,,,A B A D BC CD A O BD CO BD '''==∴⊥⊥即BD ⊥平面A OC ',从而平面BCD ⊥平面A OC ',因此A '在平面BCD 的射影在直线OC 上，即A CO '∠为直线A C '与平面BCD 所成角，因为2AD AB ==5CD CB ==AD AB ⊥，所以111,2sin sin sin 22A O A O OC A CO OA C OA C OC '''''==∴∠=∠=∠≤,即A CO '∠最大值为π6，因此直线A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为π3tan63=，选D.9．（2019·云南省玉溪第一中学高二月考（理））已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD -内接于球1O ．若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为__________．【答案】8 【解析】如图所示，正四棱锥S ABCD -内接于球1O ，1SO 与平面ABCD 交于点O ，正方形ABCD 中，42,4AB AO ==，在直角三角形SAO 中，2222(25)42SO SA OA =-=-=，设球1O 的半径为R ，则在直角三角形1OAO 中，222(2)4R R -+=，解得5R =，所以球1O 的直径为10，当求2O 与平面ABCD 相切且与球1O 相切时，球2O 的直径最大，又因为球2SO =，所以球2O 的直径的最大值为1028-=.10．（2019·山西高三月考）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是__．【答案】323【解析】如图所示，设,AB m AC n ==，则12ABCS mn ∆=，ABC ∆22m n +22934m n +-，三棱锥P ABC -的体积公式为222222111(93)(93)324344m n m n m n mn +++⨯-≤⨯-，设224m n t +=，则1()(93)3f t t t =-+，1()93329f t t t '⎫=-+⎪-⎭，令()0f t '=，解得8t =，()f t 在()0,8单增，[]8,9单减，max 32()(8)3f t f ∴==，所以三棱锥P ABC -体积最大值为32311．（2019·云南师大附中高三月考）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且14BB =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为2，则球O 的表面积的最小值是_____________. 【答案】28π 【解析】如图，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b ，则22BC b c =+，取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B △中，2222222221()4424b c b c R BC OO ++⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2=4πS R =球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b c b c bc ⎛⎫++=+++=+= ⎪⎝⎭≥，当且仅当b c =时取“=”，所以球O 的表面积的最小值是28π，故答案为28π.12．（2019·湖南高三月考（文））已知三棱锥A BCD -满足3AB BD DC CA ====，则该三棱锥体积的最大值为________. 【答案】3【解析】取AD 中点E ，连接BE ，CE ，因为3AB BD DC CA ====，所以BE AD ⊥，CE AD ⊥，且BE CE =，由题意可得，当平面⊥BAD 平面CAD 时，棱锥的高最大，等于BE ，此时体积也最大；所以此时该三棱锥体积为113sin sin 362-∆=⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅=⋅∠A BCD ACD V S BE CA CD ACD BE CE ACD ，设ACD θ∠=，则sin 3cos 22πθθ-⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭CE CD ，所以239cos sin 9sin cos 9sin sin 222222θθθθθθ-⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪⎝⎭A BCD V ，令sin2θ=x ，因为0θπ<<，所以0sin12θ<<，设3()=-f x x x ，01x <<，则2()13'=-f x x ，由2()130'=->f x x 得303x <<；由2()130'=-<f x x 得313x <<；所以函数3()=-f x x x 在30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；所以max 333323()33279⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭f x f ，因此三棱锥体积的最大值为239239-=⋅=A BCD V . 故答案为2313．（2019·河南高三月考（文））已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==，2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.【答案】323π 【解析】如图所示：设球心为O ，ABC △所在圆面的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ；因为6BA BC ==2ABC π∠=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以1O 是AC 中点；所以当三棱锥体积最大时，P 为射线1O O 与球的交点，所以113p ABC ABC V PO S -=⋅⋅；因为16632ABCS==，设球的半径为R ，所以2221113PO PO OO R R AO R R =+=-=+-(213333R R ⋅-⋅=，解得：2R =，所以球的体积为：343233R ππ=.14．（2019·四川双流中学高三月考（文））已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______.【答案】2 【解析】因为球的直径4DC =，且6ADC BDC π∠=∠=，所以2AC BC ==，23AD BD ==13A BCD BCD V S h -∆=⨯⨯（其中h 为点A 到底面BCD 的距离），故当h 最大时，A BCD V -的体积最大，即当面ADC ⊥面BDC 时，h 最大且满足4223h =⨯3h =112233232A BCD V -=⨯⨯⨯=.15．（2019·河北高三月考）在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____. 【答案】6π 【解析】∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，设()03CD x x =<<，则3PD x =-.从而球O 的表面积为()()222223431262x x x x πππ⎛⎫++- ⎪⎡⎤=-+≥⎣⎦ ⎪⎝⎭. 故答案为6π 16.（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC 将ACD 翻折成ACD'，直线AC 与BD' 所成角的余弦的最大值是______.6 【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线AC 与'BD 所成的角为θ．O 是AC 的中点.由已知得6AC =，以OB 为x 轴， OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则60,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 302B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 60,2C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.作DH AC ⊥于H ，连接D′H 翻折过程中， 'D H 始终与AC 垂直，则266CD CH CA ===则63OH = 15306DH ⨯==因此30630'cos ,sin 636D αα⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（设∠DHD′=α），则3030630'BD αα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，与CA 平行的单位向量为()0,1,0n =，所以cos cos ',BD n θ= ''BD n BD n⋅=＝6395cos α+，所以cos 1α=-时， cos θ取得最大值，为66． 17．（2019·重庆一中高三开学考试（理））已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B-ACD .若O 为AC 的中点，点M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =，则当三棱锥N-AMC 的体积取得最大值时，点N 到平面ACD 的距离为______.【答案】1【解析】由题意知，BO AC ⊥，而平面ABC ⊥平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，设BN x =，三棱锥N AMC -的高为NO ，则2NO x =-，由三棱锥体积公式得21122=22(2)(1)3233N AMC V y x x x -=⨯⨯⨯-=--+，∴x ＝1时，y max ＝23.此时，211NO =-=. 故本题正确答案为1.18．（2019·浙江高三开学考试）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23，则1C P 的最小值是___________．【答案】2305【解析】由已知得四面体1A BMP 体积1122,33A MBP MBP V S -∆=⨯⨯= 所以1,MBPS ∆=设P 到BM 的距离为h ，则151,2MBP S h ∆=⨯⨯= 解得25,5h =所以P 在底面ABCD 内（不包括边界）与BM 平行且距离为255的线段l 上，要使1C P 的最小，则此时P 是过C 作BM 的垂线的垂足.点C 到BM 的距离为45,5所以25,5CP = 此时()221min 252302.55C P ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为2305. 19．（2019·安徽合肥一中高考模拟（文））如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．【答案】305 【解析】取BC 中点N ，连结11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连1C O ，因为面1//B DN 面面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为1115222552DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 20．（2019·湖南高三期末（文））点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 及其边界上运动，并保持1AP BD ⊥，若正方体边长为2，则PB 的取值范围是__________．【答案】2,2⎡⎤⎣⎦【解析】连结1AB ，AC ，1CB ，易知平面11ACB BD ⊥，故P 点的轨道为线段1CB ，当P 在1CB 当P 与C 或1B 重合时：最大值为2则PB 的取值范围是2⎤⎦.故答案为：2⎤⎦。

2019届高三雅礼中学月考七试卷

炎德·英才大联考雅礼中学2019届高三月考试卷（七）语文一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

“传”由对文本的解释而转换为记事文体的“传”，应发生于史家对孔子《春秋》的解释。

先秦对孔子《春秋》的系统注释，流传下来的有《春秋左氏传》《春秋公羊传》和《春秋榖梁传》。

三传都是传注行为的产物，注释的对象都是《春秋》，但在由注释之“传”向记事之“传”转换中的作用不尽相同。

《公羊》《谷梁》是以注释家的身份去解释《春秋》，虽也对有些事件的本原作了注释，但侧重于对字、词所包含的意义进行解释，更多具有注释性质。

而《左传》的作者是以“史”这一职官和史学学者身份来解释具有历史记述性质的《春秋》，总结国家和个人兴衰成败的教训也是其主要目的之一。

因而，《左传》虽也有对《春秋》体例的解释，但更多的是依据历史记载，恢复《春秋》以“微言”掩盖了的国家和个人兴衰成败的原委，化《春秋》之隐晦为明白晓畅，很大程度上“创造性地复原了《鲁春秋》”。

也正是这种出于行为目的需要的复原，《左传》将“传”这一注释典籍的方式，基本上转换成为一种历史记述的文体。

《左传》为解释孔子《春秋》而作，故仍然采用了编年之体，有着不少解释性及梗概式记事的文字。

受传注体例的限制，《左传》将一个事件发生的前因后果过程的记述，分解在不同的年份，且这一年份内还要记述不同诸侯国或不同性质的行为事件。

但是，《左传》却对各种事件的发生采取了全视角记述。

它不仅记述了每一具体事件的来龙去脉，而且通过政治、经济、文化、外交、军事等各方面的相关记述，记述了事件发生发展的大的历史背景。

如记晋文公复兴晋国，通过僖公前后二十多年的记载，记述了重耳出亡、秦国与晋国的关系、晋国救宋、重耳随从的品格等等，从政治、经济、文化、外交、军事等诸多领域的视角，比较完整地展示了晋国兴盛前后的历史。

较之《国语·晋语》单一记述晋骊姬之难，更具有总结历史经验教训而服务于政治的意义。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(七)文数(答案)

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湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期11月份月考数学(理)试题(解析版)

2019届湖南雅礼中学高三上学期11月份月考试题第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集I是实数集R，都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，由图知阴影部分所表示的集合为故选B．【点睛】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，解题的关键是根据图象得出再由集合的运算求出阴影部分所表示的集合．2.设，其中x，y是实数，则A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.3.已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，，所以命题为假命题；若函数为偶函数，即函数的图象向右平移1个单位后关于轴对称，所以的图象关于直线对称，所以命题为假命题。

由此可判断选项A为真命题. 考点：逻辑联结词与命题。

4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A. 56B. 60C. 120D. 140【答案】D【解析】【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选：D．【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．5.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④.则输出的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：对①，显然满足，且存在零点.故选A.考点：程序框图及函数的性质.6.若变量x，y满足则x2+y2的最大值是A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.【此处有视频，请去附件查看】7.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。

湖南省长沙市雅礼中学近年届高三数学月考试题(七)文(含解析)(最新整理)

16。在中，角， , 所对的边分别为，，，若，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用余弦定理将及化为三角形边的关系，可得 ,再利用基本不等式可得最小值.
【详解】根据题意，
由余弦定理得，
得，
依据正弦定理：
，当且仅当时取等号,综上所述，答案为2.
故答案为2.
【分析】
利用偶函数条件将不等式化为，再利用函数在上的单调性化简，解出x的范围。
【详解】由题意可得： , ，在上递增，于是，解得的取值范围是。
故答案为。
【点睛】本题考查抽象函数性质综合及不等式的求解问题，其中掌握函数基本性质是解决此类问题的关键，着重考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
∴ 为常数，∴数列是首项为1，公差为的等差数列.
（2）∵ ，
∴
.
【点睛】由数列的前项和求时，利用，注意验证与的式子能否统一,裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
18.如图所示, 是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于，的任意一点, .
【答案】C
【解析】
由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2,高为，因此
。故选C。
11。如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍然以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

湖南省雅礼中学2019届高三第七次月考数学文试题

湖南省雅礼中学2019届高三第七次月考数学理试题考试时间：120分钟总分值：150分一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、假设集合{1234}A =，，，，{2478}{1,3,4,5,9}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于〔 D 〕A. {2,4}B. {1,2,3,4}C. {2,4,7,8}D. {1,3,4}2、复数i z +=31，i z -=12，则复数12z z 在复平面内对应的点位于〔 A 〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于〔 B 〕 A.20 B.(10,30)- C.54D.(8,24)-4、假设3tan 4α=，且sin cot 0αα⋅<，则sin α等于〔A 〕 A. 35- B. 35C. 45-D. 455、已知命题01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x R x q x R x p 都有命题使，.01,:25sin ,:>++∈∀=∈∃x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使，.01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使给出以下结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的选项是〔 B 〕A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有〔C 〕 A. 34A 种 B. 3133A A 种 C. 2343C A 种 D. 113433C C A 种7、设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为〔 D 〕A ．4B ．24C ．22D ． 6 8、假设nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为〔 B 〕 A ．10 B ．20C ．30D ．1209、数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122014111m a a a =+++的整数部分是〔〕BA. 0B. 1C. 2D. 310、在平面直角坐标系中，(){}(){}22,1,,4,0,340A x y xy B x y x y x y =+≤=≤≥-≥则()()(){}12121122,,,,,,P x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为〔〕DA ．6B ．6π+C ．12π+D ．18π+二．填空题：共25分。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考(七)数学(理)试题-fcccad832761499292ab12926a2d7c67

外…………○…………装学校:___________姓名内…………○…………装绝密★启用前湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考（七)数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={x|x 2−6x +5≤0}，B ={x|x <a +1}.若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为（） A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．(4,+∞)D ．[4,+∞)2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1+√3i)z =(−√3+i)2，则共轭复数z 的虚部为（） A ．√3iB ．−√3iC ．√3D ．−√33．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是( )A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同…装…………○…………○…………不※※要※※在※※装※※订※※线题※※…装…………○…………○…………4．设f(x)+g(x)=∫2tdt x+1x ，x ∈R ，若函数f(x)为奇函数，则g(x)的解析式可以为（） A ．x 3B ．1+xC ．cosxD ．xe x5．如图所示，在ΔABC 中，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，若AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．236．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A ．8+12πB ．8+16πC ．9+12πD ．9+16π7．抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则ΔMNF 的面积为（） A ．√22B ．√2C ．3√22D ．3√28．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（） A ．34B ．13C ．310D ．259．用[a]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设x 1，x 2分别是方程x +e x =4，x +ln(x −1)=4的根，则[x 1+x 2]=（）○…………订……班级：___________考号：___○…………订……10．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上，且AF 2⊥x 轴，若ΔAF 1F 2的内切圆半径为(√3−1)a ，则其离心率为（） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．2√311．球O 与棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的各个面都相切，点M 为棱DD 1的中点，则平面ACM 截球O 所得截面的面积为（） A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π312．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1,−1)处标2，点(0,−1)处标3，点(−1,−1)处标4，点(−1,0)处标5，点(−1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签20172的格点的坐标为（）A ．(1009,1008)B ．(1008,1007)C ．(2017,2016)D ．(2016,2015)…………外…………………内………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在二项式(√x +3x )n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A +B =72，则展开式中常数项为___．14．已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ−σ,μ+σ)，(μ−2σ,μ+2σ)，(μ−3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.6826，0.9544，0.9974.若某种袋装大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布N(50,0.01)，任意选一袋这种大米，质量在49.8∼50.1kg 的概率为_．15．设数列{a n }的通项公式为a n =2n ，S n 为其前n 项和，则数列{a n+1S n S n+1}的前9项和T 9=________．16．设函数y ={−x 3+x 2,x <e alnx,x ≥e 的图象上存在两点P ，Q ，使得ΔPOQ 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是____．三、解答题17．在ΔABC 中，已知3+2sinB =4cos2B ，且B 为锐角. （1）求sinB ；（2）若(4+√15)sinB =AC ⋅(sinA +sinC)，且ΔABC 的面积为√152，求ΔABC 的周长. 18．如图甲所示，BO 是梯形ABCD 的高，∠BAD =45°，OB =BC =1，OD =3OA ，现将梯形ABCD 沿OB 折起为如图乙所示的四棱锥P −OBCD ，使得PC =√3，点E 是线段PB 上一动点.（1）证明：DE 和PC 不可能垂直；（2）当PE =2BE 时，求PD 与平面CDE 所成角的正弦值.○…………线………_○…………线………19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点组成的四边形的面积为2√2，且经过点(1,√22).（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线x =2上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ΔONP 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值.20．已知A 1，A 2，A 3，…，A 10等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为p(0<p <1).（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有m(1≤m ≤10)所通过的概率为f(p)，当p 为何值时，f(p)取得最大值；（2）若p =12，该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望. 21．已知函数f(x)=ax −x +alnx .（1）讨论f(x)的单调性；（2）已知f(x)存在两个极值点x 1，x 2，令g(x)=f(x)+12x 2−(a −1)x −ax ，若∃a ∈R ，g(x 1)+g(x 2)>t(x 1+x 2)，求t 的取值范围.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ， θ∈[0,π2].（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l:y =√3x +2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.已知函数f(x)=|x+b2|−|−x+1|，g(x)=|x+a2+c2|+|x−2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1.（1）当b=1时，求不等式f(x)≥1的解集；（2）当x∈R时，求证f(x)≤g(x).参考答案1．A【解析】由已知A={x|1≤x≤5}，若A∩B≠∅，则a+1>1，即a>0，故选A．2．C【解析】【分析】根据条件求出复数z，然后再求出共轭复数z̅，从而可得其虚部．【详解】∵(1+√3i)z=(−√3+i)2=2−2√3i，∴z=√3i)1+√3i =√3i)2(1+√3i)(1−√3i)=−1−√3i，∴z=−1+√3i，∴复数z̅的虚部为√3．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数z是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了i2=−1．3．D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S.2018年一本达线人数为0.24×1.5S=0.36S，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.4×1.5S=0.6S，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28×1.5S =0.42S .不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键． 4．B 【解析】试题分析：，则，代入，得为奇函数，满足题意，故选B.考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算. 5．B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 写成BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的实数倍，从而得到AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，从而确定出λ=14,μ=34，最后求得结果. 详解：AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +34BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +34(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以λ=14,μ=34，从而求得λμ=13，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果. 6．B 【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为1 高为2 长方体，卯为底面半径为r =2，高为2 的中空的圆柱体，设表面积为S ，侧面积为S 1=2π×2×2+4×2=8π+8 ，上下底面积的和为S 2=2×π×22=8π，则有S =S 1+S 2=16π+8 ，故选B 【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理—榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。

雅礼实验中学2019学年初一数学月考及解析

雅礼实验中学2019学年（秋）初一第一次月考数学（解析版）命题人：林润昊审题人：庄德全录入：姚瞰禹一. 选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列四个数中，最大的数是（） A.2-B.13C.0D.6【考点】有理数比较大小【解答】 D2. 《九章算术》中注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数、若气温为零上8℃记为8℃，则2-℃表示气温为（） A.零上2℃B.零下2℃C.零上6℃D.零下6℃【考点】正负数的实际意义【解答】B3.下列各数：122300.2527π--、、、、、其中有理数的个数为（） A.3B.4C.5D.6【考点】有理数【解答】C4.若数轴上点A 表示的数是1-，则与点A 相距3个单位长度的点B 表示的数是（） A.4-B.1C.4-或1D.4-或2【考点】用数轴表示数；数轴上的距离问题【解答】D5. 已知a b 、互为相反数，则下列结论：①a b =②0a b +=③a 表示一个数，b 一定是负数④设a 为一个正数，则a b 、在数轴上对应的点关于原点对称，一定正确的结论的个数有（） A.1B.2C.3D.4【考点】相反数的概念【分析】a b 、互为相反数，∴a b =，①正确；a b 、互为相反数，∴0a b +=.②正确；a b 、互为相反数，当a 表示正数时，b 一定是负数，当a 为0时，b 一定是0，当a 表示负数时，b 一定是正数.③错误；a b 、互为相反数，a 为正数，则b 为负数，且a b 、符号相同，绝对值相等，关于原点对称.④正确.综上，①②④正确.选C . 【解答】C6. 下列两数比较大小，正确的是（） A.()()12--<-+B.83217-<- C.103>-D.1123-<- 【考点】有理数比较大小【解答】D7. 若120a b -++=，则ba b+值为（） A.2B.23 C.2-D.12【考点】绝对值的非负性（00模型）【分析】120a b -++=，∴1020a b -=⎧⎨+=⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩，将12a b =⎧⎨=-⎩代入ba b +得： ba b +=()22==2121--+--.选A. 【解答】A8.下列关于有理数说法正确的是（）A.有理数就是整数B.0没有相反数C.任何数的绝对值都不是负数D.规定了原点、正方向、单位长度的射线是数轴【考点】有理数；相反数；绝对值的非负性；数轴【分析】有理数包含整数和分数.A 错误；0的相反数是0.B 错误；一个数的绝对值只能是0或正数，不能是负数（绝对值的非负性）.C 正确；规定了原点、正方向、单位长度的直线是数轴.D 错误.综上，选C.【解答】C9.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，则下列式子成立的是（） A.a b <B.a b <C.0a b +>D.0ab>【考点】数轴【分析】数轴上a 在b 的右边，则a b >.A 错误；数轴上a 到原点的距离比b 到原点的距离要小，则a b <.B 正确；由图可知,a b 不是互为相反数，则0a b +≠.C 错误；数轴上,a b 分别在原点的异侧，则,a b 异号，故0ab<.错误.综上，选B. 【解答】B10. 下列判断正确的是（） A.()44=0-- B.()()143++-=- C.()1.6 1.20.4-+= D.211333⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 【考点】有理数的加减法11.下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是( ) A.74B.104C.126D.144【考点】找规律【分析】依图可得规律：如右图，3bc a d +=.且每个正方形中第一排第二个数分别为6、8、10、12...为等差数列；每个正方形中第二排第一个数分别为4、6、8、10...也为等差数列.所以第四个图中第一排第二个数为12，第二排第一个数为10，依规律可得：101238144m =⨯+⨯=.选D. 【解答】D12. 如果1a b c a b c++=-，那么ab bc ac abcab bc ac abc +++的值为（） A.2-B.1-C.0D.不确定【考点】绝对值的代数意义【分析】11x x x x ⎧==⎨-⎩()()00x x ><，即对于a a 、b b 、c c ，它们分别取值为1+或1- 又1a b c a b c ++=-，∴a a 、b b 、cc的取值为一个1+，两个1-，即a 、b 、c 中必有两负一正.∴ab 、bc 、ac 中必有两负一正，abc 为负. ∴ab bc ac abc ab bc ac abc+++=()()1111=2-+-++--.选A.二. 填空题（每小题3分，共24分）13. 长沙某天最高气温是6℃，最低气温是1-℃，那么当天的最大气温差是 ℃. 【考点】正负数的实际意义【解答】714. 当2a =时，1a -值为 . 【考点】绝对值【解答】115. 若24a -与2-互为相反数，则a = .【考点】相反数的性质【分析】24a -与2-互为相反数，∴()2420a -+-=，即260a -=，解得3a =.【解答】316. 若2,1,a b ==-且0a b ⋅<，则a b += .，【考点】绝对值，有理数【分析】22a a =∴=±，0a b ⋅<，a b ∴、异号，又10b =-<，0a ∴>，即2a =+.故a b +=1 【解答】117. 若“∆”表示一种新运算，规定：()a b a b a b ∆=⨯-+，则()()245=∆-∆-⎡⎤⎣⎦ 【考点】新定义；有理数的混合运算【分析】由定义可得：()()()()()()()45=4545=209=29-∆--⨯---+---⎡⎤⎣⎦()()()245=229=229229=5831=27∆-∆-∆⨯-+-⎡⎤⎣⎦.【解答】2718. 一只电子跳蚤从数轴的原点出发，第一次向右跳一格，第二次向左跳两格，第三次向右跳三格，第四次向左跳四格...，按这样的规律跳100次，跳蚤所在的点为【考点】数轴上的数；找规律【分析】由题意，可以依次得到：第1次，跳蚤到达数轴上1的位置；第2次，跳蚤到达数轴上-1的位置；第3次，跳蚤到达数轴上2的位置；第4次，跳蚤到达数轴上-2的位置； ...第n 次，当n 为奇数时，跳蚤到达数轴上12n +的位置；当n 为偶数时，跳蚤到达数轴上2n-的位置.则100次时，跳蚤到达数轴上-50的位置. 【解答】-50三. 解答题（共60分）19. （6分）直接写出计算结果：（1）()3530=+-______. （2）()02=--_____. （3）3612-=______. （4）()117=7-÷⨯_____. （5）()()1000.12=⨯-÷-_____. （6）9369=11÷______. 【考点】有理数的四则运算【解答】（1）5.（2）2.（3）3-.（4）149-.（5）5.（6）1411. 20. （6分）已知有理数,a b ，其中数a 在下图的数轴上对应的点为M ，b 是负数，且b 在数轴上对应的点与原点的距离为3.5.（1）a =____________;b =____________；（2）将1022b --、、、所对应的点在上图的数轴上表示出来，并用“<”连接这些数. 【考点】数轴表示数；有理数比较大小【解答】（1）如图可得a =2，且b 是负数，且b 在数轴上对应的点与原点的距离为3.5∴b =-3.5；（2）表示如图：数轴上右边的数比左边的大，可得：1202b <-<-<. 21. （8分）计算：（1）()()812317--+--（2）()11111.25248612⎛⎫⎛⎫÷-+-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【考点】有理数的混合运算【解答】（1）解：原式=812317+-- （2）解：原式=()()5382444⎛⎫⨯-+-⨯- ⎪⎝⎭=2020- =1018-+ =0 =822. （8分）已知a b 、互为相反数，c d 、互为倒数，2018x =，求22aa b cdx b+++的值.【考点】相反数的性质；倒数的性质；有理数的混合运算【解答】解：a b 、互为相反数，0a b ∴+=且=1ab-；c d 、互为倒数，1cd ∴=；2018x =，2018x ∴=±；则22a a b cdx b +++=()()2=2011aa b cdx x x b+++⨯+-+=- ∴原式=20181=2017-，或原式=20181=2019---.综上，22aa b cdx b+++=2017或2019-.23. （9分）在数4,1,3,4,0-+-+中任取三个数相乘，其中最大的积是a ，最小的积是b . （1）求a 与b 的值；解：=a （）⨯（）⨯（）=_______; =b （）⨯（）⨯（）=_______; （2）若0x a y b -++=，求()x y y +÷的值.【考点】有理数的四则运算；有理数比较大小；绝对值的非负性. 【解答】（1）解：=a ()()434=48-⨯-⨯；=b ()414=16-⨯⨯-.（2）解：0x a y b -++=，∴00x a y b -=⎧⎨+=⎩，即4816x a y b ==⎧⎨=-=⎩∴()x y y +÷=()481616=4+÷.24. （9分）某食品厂上周日生产100袋食品，下表是这周的生产情况（注：用正数记生产袋数比前一日上升数，用负数记生产比前一日下降数）（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产食品多少袋？（2）根据记录的数据可知该厂本周内生产袋数最高是多少袋？最低是多少袋？（3）已知这周生产的所有食品成本3000元，现规定本周食品售价为每袋5元，在卖出所有袋数时，需收取成交额10％的交易税，则食品厂这周的收益情况如何？【考点】正负数的实际意义；有理数的混合运算【解答】解：由题意得：每天的生产袋数如下：星期一：1005=105+（袋）；星期二：1051=104-（袋）；星期三：1047=97-（袋）；星期四：9711=108+（袋）；星期五：1089=99-（袋）；星期六：995=104+（袋）；星期日：1049=113+（袋）故：星期三生产食品97袋；本周最高生产袋数为113袋，最低为97袋.本周的收益为：()()10510497108991041135110%3000=285++++++⨯⨯--（元）答：该厂星期三生产食品97袋；本周内生产袋数最高是113袋，最低是97袋.食品厂这周的收益为盈利285元.25. 同学们都知道，()21--的绝对值表示2与-1差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数2对应的点与负数-1对应的点之间的距离.试探索：（1）()21--=_________；如果12x -=，则x =_____________; （2）求24x x -+-的最小值，求此时x 的取值范围；（3）由以上探索，已知()()241610x x y y -+-⋅-+-=，求x y +的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，123...20172018x x x x x -+-+-++-+-的最小值. 【考点】绝对值的几何意义【解析】解：（1）()21=3--；1212,3x x x -=∴-=±∴=，或1-；（2）当24x ≤≤时，24x x -+-取得最小值为2；（3）当24x ≤≤时，24x x -+-取得最小值为2，当16y ≤≤时，16y y -+-取得最小值5，符合2510⨯=.此时，当2,1x y ==时，x y +取得最小值为3；当4,6x y ==时，x y +取得最大值为10.（4）由“奇点偶段”可知：当10091010x ≤≤时，123...20172018x x x x x -+-+-++-+-取得最小值为：()()()()()20181+20172+20163+...1011100810101009---+-+-=2017+20152013...31++++=()2017110092+⨯=10091009⨯ =101808126.A B 、两点在数轴上如图所示，其中O 为原点，点A 对应的有理数为a ，点B 对应的有理数为b ，且点A 距离原点6个单位长度，a b 、满足=2b a -. （1）a =_________,b =_________;（2）动点p 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t 秒()0t >，①当2PO PB =时，求点P 的运动时间t ； ②当6PB =时，求t 的值；（3）当P 点运动到线段OB 上时，分别取AP 和OB 的中点E F 、,则AB OPEF-的值是否为一个定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 【考点】数轴上的动点问题；中点公式；化简绝对值【解析】解：（1）点A 在原点的左边，∴a 为负数；又点A 距离原点6个单位长度，∴6a =，∴6a =-将6a =-代入=2b a -中，得：62b --=，即268b =+=. 综上，6a =-，8b =.（2）由题意得：t 秒时，动点P 在数轴上的位置为62t -+；此时，62PO t =-+，628PB t =-+-=142t -+;第 11 页共 11 页 ①当2PO PB =时,有622142t t -+=-+.62284t t⇒-+=-+()62284222113417622840634063t t t t t t t t -+=-+⇒=⇒=⎧⎪⇒⎨-++-+=⇒-=⇒==⎪⎩综上，当2PO PB =时，P 的运动时间t 为11秒或173秒； ②当6PB =时，即142=6t -+，142610142614264t t t t t -+=⇒=⎧⇒-+=±⇒⎨-+=-⇒=⎩ 综上，当6PB =时，=10t 或4；（3）P 点表示的数为62t -+，∴当P 点运动到线段OB 上时，此时0628t ≤-+≤，即6214t ≤≤，即37t ≤≤. E 为AP 的中点，由中点公式得：E 点表示的数为：()662122==622t t t -+-+-+-+；F 为OB 的中点，同理可得F 点表示的数为：4； ∴()14621423=1064t t AB OP EF t t --+---=--+- 37t ≤≤，3033t t t ∴-≥⇒-=-，1001010t t t -<⇒-=-. ∴()()14231423210202==210101010t t t AB OP t EF t t t t-------===---- 即无论t 为何值，AB OP EF-为定值2.。

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2019届湖南省长沙市雅礼中学高三月考（七）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，.若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，若，则，即，故选A．2．设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．3．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为. 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4．设，，若函数为奇函数，则的解析式可以为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，则，代入，得为奇函数，满足题意，故选B.【考点】（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.5．如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A．B．C．2 D．【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.6．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为高为长方体，卯为底面半径为，高为的中空的圆柱体，设表面积为，侧面积为，上下底面积的和为，则有，故选B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理—榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。

故整个构件的上下表积刚好是两个完整的圆形的面积。

7．抛物线：的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点在抛物线上，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设在抛物线上可得,由抛物线的对称性，不妨设，，可得,由两点距离公式可得点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据的中点在抛物线上，确定点的坐标，再根据为直角，可得点的坐标，由两点距离公式可得8．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】元分成份，可能性有，第一个分法有种，第二个分法有种，第三个分法有种，其中符合“最佳手气”的有种，故概率为.9．用表示不大于实数的最大整数，如，设，分别是方程，的根，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为分别是方程，的根，所以分别是及的零点，由于是单调递增函数，又，所以，由在定义域内递增且可，，故选C.10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．【答案】A【解析】∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选A11．球与棱长为2的正方体的各个面都相切，点为棱的中点，则平面截球所得截面的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆心到截面距离为，截面半径为，连结，由，即,∴，又，∴，所以截面的面积为.故选D.【方法点晴】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及等积变换的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.12．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，选A.二、填空题13．在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为___．【答案】9【解析】令得各项系数之和为，,二项展开式的二项式系数和为,，解得,根据展开式的通项得到，令得，即可代入求得结果.【详解】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，∴，二项展开式的二项式系数和为，∴，∴，解得，∴的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为.故答案为:9【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14．已知服从正态分布的随机变量在区间，，内取值的概率分别为0.6826，0.9544，0.9974.若某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为_．【答案】0.8185【解析】根据正态分布曲线的性质得到质量在49.8kg到50.2kg之间的大米概率为0.9544，则小于49.8kg的大米的概率为，质量在49.9kg到50.1kg的大米的概率为0.6826，故质量大于50.1kg的大米的概率为，让1减去这些概率之和得到结果. 【详解】根据题意得到质量在49.8kg到50.2kg之间的大米概率为0.9544，则小于49.8kg的大米的概率为；质量在49.9kg到50.1kg的大米的概率为0.6826，故质量大于50.1kg的大米的概率为.故质量在的概率为故答案为：0.8185.【点睛】本题考查正态分布的概率及其性质，是基础题．15．设数列的通项公式为，为其前项和，则数列的前9项和________．【答案】【解析】将化简得，利用裂项相消求得结果.【详解】因为，所以.因为，所以.故答案为.【点睛】本题考查了数列求和的方法，考查了学生的运算能力，属于基础题．16．设函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】试题分析：假设函数图象上存在两点，,满足题意,则，两点只能在轴两侧,设,则,因为△是以为直角顶点的直角三角形,所以,即（1）,当时,,代入（1）中,得,方程无解,故,所以,代入（1）中,得,设函数,则,所以函数在区间上为增函数,,由题意有,所以有.【考点】1.分段函数的应用；2.函数性质及应用；3.分析法解题.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用,用导数研究函数的单调性等,属于中档题. 本题方法:分析题意,由斜边的中点恰好在轴上，得出，两点只能在轴两侧,假设出，两点的坐标,由直角三角形,得出两向量垂直,坐标运算,求出关于的方程,由的不同范围,得到的表达式,利用导数研究单调性,求出的范围.三、解答题17．在中，已知，且为锐角.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用二倍角公式化简已知等式，可求角B的大小.（2）利用已知及余弦定理求得及b,可求的周长.【详解】（1）∵，∴或.在中，∵，∴.（2）设的内角的对边分别为，∵，∴，∴.又∵的面积为，∴，∴.当为锐角，∴，由余弦定理得，∴，∴的周长为.当为钝角时，，由余弦定理得，∴，∴的周长为.【点睛】本题结合三角形面积公式考查学生对二倍角公式及余弦定理的熟练运用能力，考查了学生的计算能力，属于中档题．18．如图甲所示，是梯形的高，，，，现将梯形沿折起为如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.（1）证明：和不可能垂直；（2）当时，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析; （2）.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可证，又，由直线与平面垂直的判定定理，可证以平面,所以，进而证明平面（2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半作交于点，连接、，可求出，作交于，求得，而，而，可知平面再由点到平面距离为，点到平面的距离为，而，所以与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）因为是梯形的高，，所以因为，，可得，如图乙所示，，，，所以有，所以而，，所以平面,所以又，所以、、两两垂直．所以平面（2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半作交于点，连接、，则，作交于，则，而，而，由，平面可知平面再由点到平面距离为，点到平面的距离为，而所以与平面所成角的正弦值为.19．已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为，，又在椭圆上，所以，解方程组得，（2）先确定面积计算方法：，，再确定计算方向：设，根据两点间距离公式求，根据两直线交点求点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长，最后根据表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）试题解析：（1）因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）由（1）可知，设，则当时，，所以，直线的方程为，即，由得，则，，，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，，，，，所以当时，.点睛：在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.20．已知，，，…，等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有所通过的概率为，当为何值时，取得最大值；（2）若，该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按，，，…，顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.【答案】（1）当时，取得最大值；（2）见解析【解析】（1）根据题干得到同学恰好通过所高校自主招生考试的概率为，将这个表达式看做m的函数式，对函数求导，可得到单调性进而得到最值；（2）根据题干知学生需要的费用有可能为a,到10a,这些情况，再分别求出对应的概率值，可得到分布列和期望值.【详解】（1）因为该冋学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过所高校自主招生考试的概率为当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得最大值.（2）设该同学共参加了次考试的概率为.∵，∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：所以，令，①则，②由①-②得，所以，所以（元）.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知存在两个极值点，，令，若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.【详解】（1）.（ⅰ）当，即时，，在上单调递减；（ⅱ）当，即或时，令，得或.①当时，在上，单调递增；在上，单调递减.②当时，在和上，单调递减；在上，单调递增.（2），则，由（1）可知，，，且.则，从而.令，，则.因为，所以，所以在上单调递减，则，即.因为，，即，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.【答案】(1) （为参数，）；（2）【解析】（1）把半圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的直角坐标方程与其参数方程关系确定半圆的参数方程；（2）利用（1）中参数方程设D的坐标，由C在D的切线与l垂直，得CD∥l，利用斜率公式求D对应参数，确定D的坐标.【详解】（1）由题意知：，，所以，，即，可化为，，可得的参数方程为（为参数，）.（2）设，由（1）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，∴，解得，即，故的直角坐标为，即.【点睛】掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握圆的参数方程形式(为参数)及参数的几何意义，确定参数有无限制条件.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，，其中，，均为正实数，且.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求证.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（1）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f （x）≥1的解集．（2）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．试题解析：（1）由题意，当时，，当时，，不等式无解；当时，，解得，所以；当时，恒成立，所以的解集为（2）当时，；．而当且仅当时，等号成立．即，因此，当时，，所以，当时，点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可．。