谈重积分
重积分的积分性质和计算规则
重积分的积分性质和计算规则重积分是高等数学中的一种重要概念,指对于一个二元函数而言,将其在一个二维区域上进行积分的过程。
与单积分类似,重积分也有其特定的积分性质和计算规则。
本文将详细介绍重积分的这些性质和规则,以帮助读者更好地理解和应用重积分的相关知识。
一、积分性质1. 线性性质:重积分具有线性性,即对于常数c与两个可积函数f(x,y)和g(x,y),有如下式子成立:∬ (c*f(x,y) + g(x,y)) dxdy = c * ∬ f(x,y) dxdy + ∬g(x,y)dxdy2. 可积性与非负性:如果函数f(x,y)在一个有限二维区域上是可积的,那么它在该区域上的积分一定存在;而如果函数g(x,y)在该区域上非负,则其积分也是非负的。
3. 积分次序可交换:如果二元函数f(x,y)在一个矩形区域上是可积的,则对于该区域内的任意两个积分限定,这两个积分的次序可以任意交换而不影响结果,即:∬ f(x,y) dxdy = ∬ ( ∬f(x,y)dy ) dx = ∬(∬f(x,y) dx)dy二、计算规则1. Fubini定理:Fubini定理是重积分中的一个重要定理,可以将对二元函数在一个区域上的重积分转化为两个一元函数相应区域上的积分,即:∬f(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y)dxdy = ∫b∫a f(x,y)dydx = ∫a∫b f(x,y)dydx其中f(x,y)为被积函数,a和b分别为区域在x和y轴上的积分限。
2. 直角坐标系下的计算规则:在直角坐标系下,重积分可以用二重积分的形式表示,即:∬f(x,y)dxdy = ∫c∫d f(x,y)dxdy其中 c 和 d 分别为区域在x和y轴上的积分限,这个积分区域可以是矩形、梯形、三角形等形状。
在进行计算时,通常需先用对x或y的积分公式进行计算,再对另一个变量进行积分。
3. 极坐标系下的计算规则:在极坐标系下,重积分可以用二重积分的极坐标形式表示,即:∬f(x,y)dxdy = ∫α∫β f(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中α和β为对应极角的积分限,r是到极点的距离,θ是到x轴的角度。
重积分的积分应用和物理意义
重积分的积分应用和物理意义重积分是高等数学中一个重要的概念和工具。
它的出现是为了解决多元函数在空间区域内的积分问题。
在实际应用中,重积分有着广泛的应用,尤其是在物理学领域。
本文就对重积分的积分应用和物理意义进行分析。
一、重积分的积分应用1.体积和质量的计算在几何学和物理学中,体积和质量的计算都涉及到对空间中某个区域的积分。
例如,在三维空间中,某个具有规则形状的立体体积可以通过三重积分计算得出。
具体地,设空间中一个体积为V的区域为S,对其进行三重积分可以得到S的体积为:V = ∫∫∫ S dx dy dz同样的,如果在空间中某一点对应有一定质量,那么对该区域进行三重积分可以得到该区域的质量。
这时需要考虑到每个小立方体所包含的质量及其对应的体积,即:m = ∫∫∫ S ρ(x, y, z) dx dy dz其中,ρ(x, y, z)表示该点的密度。
2.力的计算在物理学中,重积分可用于计算某个物体所受的外力。
例如,平面上某个点的引力如果可以看成是均匀分布的,那么该点所受的外力可以通过对其周围区域进行二重积分得到。
具体地,如果某一点所受的引力函数的密度为ρ(x, y),则该点所受的外力F可以表示为:F = ∫∫ D ρ(x, y) dS其中,D为该点周围的区域面积,dS为微小面积元素。
3.能量的计算在物理学中,重积分还可用于计算某个系统所具有的能量。
例如,某个三维物体所具有的动能可以通过对其质点进行积分计算得到。
具体地,设空间中某个物体的速度场为V(x, y, z),则其动能可以表示为:E = 1/2 * m * ∫∫∫ S [V(x, y, z)]^2 dx dy dz其中,m为该物体的总质量。
二、重积分的物理意义重积分在物理学中有着广泛的应用,它可以帮助我们理解物理现象的本质和规律。
以下就以几个例子来说明重积分的物理意义。
1.空间电荷密度在电学中,空间电荷密度常常需要进行积分计算。
例如,在计算某一电场强度时,我们需要考虑到空间中每个点的电荷密度对该点电场强度的影响。
重积分基本概念
重积分基本概念重积分是微积分中的一个重要概念,它主要应用于对三维空间中复杂体积的计算。
通过重积分,我们可以将曲线、曲面以及空间区域的某种量进行求和或者平均。
本文将介绍重积分的基本概念,包括重积分的定义、性质以及计算方法。
一、重积分的定义在三维空间中,如果将一个曲线、曲面或者空间区域划分成无数个微小的体积元素,每个微小体积元素的体积可以表示为dV,并且在每个体积元素上都定义了一个函数f(x, y, z),那么重积分可以用下式表示:∬f(x, y, z)dV其中,∬代表重积分的符号,f(x, y, z)是被积函数,dV表示微小体积元素。
二、重积分的性质1.线性性质:如果f(x, y, z)和g(x, y, z)是可积函数,k是常数,那么以下性质成立:∬[kf(x, y, z) + g(x, y, z)]dV = k∬f(x, y, z)dV + ∬g(x, y, z)dV2.保号性质:如果在积分区域上,f(x, y, z) ≥ 0,那么∬f(x, y, z)dV ≥ 0;如果f(x, y, z) ≤ 0,那么∬f(x, y, z)dV ≤ 0。
3.单调性质:如果在积分区域上,f(x, y, z) ≤ g(x, y, z),那么∬f(x, y, z)dV ≤ ∬g(x, y, z)dV。
三、重积分的计算方法1.直角坐标系的计算方法:在直角坐标系中,我们可以采用三重积分的方法来计算重积分。
具体而言,我们可以将积分区域划分成小的立体体积,然后通过求和的方式将每个小立体体积的贡献加起来,得到整体的重积分值。
2.柱坐标系的计算方法:在柱坐标系中,我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(r,θ,z)和r dθ dr dZ,其中r表示从原点到点(x,y)的距离。
通过应用柱坐标系的变量替换和雅可比行列式的计算,可以将立体体积的重积分转化为曲线和平面的二重积分。
3.球坐标系的计算方法:在球坐标系中,我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(ρ,θ,φ)和ρ²sinφ dφ dθ dρ,其中ρ表示从原点到点(x,y,z)的距离,θ和φ分别表示极角和方位角。
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是多元函数积分的一种形式,应用广泛。
本文将介绍重积分的计算方法和应用。
一、重积分的计算方法1. 重积分的定义重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分,它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。
假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R,那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。
2. 重积分的计算方法重积分的计算方法与一元函数积分类似,可以使用曲线积分或者换元法进行求解。
特别的,对于二元函数f(x,y),可以通过极坐标系进行重积分的计算,在极坐标系中,面积可以用rdrdθ表示,积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。
如果要计算三元函数的重积分,则需要使用球坐标系,积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。
二、重积分的应用重积分在实际生活中有许多应用,比如:1. 计算物体的质量和重心物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值,因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。
同样的,对于一个平面图形,可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。
2. 计算物体的体积重积分还可以用于计算物体的体积。
假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S,那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。
3. 计算动量和角动量在物理学中,物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。
物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积,因此可以通过对速度的积分来计算动量。
同样的,物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积,因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。
4. 计算电荷量和电场强度在电磁学中,电荷量可以通过积分来计算。
同样的,电场强度也可以通过积分来计算。
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中,自变量不再是一个,而是两个或两个以上。
例如,z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数,还是二元函数,其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数,也就是变量,处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限,与一元函数的极限类似,只是在多个自变量的情况下,我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性,我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,但要求更加严格。
在重积分中,对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义,就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上,重积分的意义就更加明显了。
在空间当中,一定有一个虚拟的某一点,作为观察点。
而对整个空间进行积分,就是将所有的观察点都进行积分,求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质,例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说,保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中,保号性和保序性也是一个非常重要的概念,它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用,而且在实际应用中,对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说,交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中,交换积分次序同样是需要一些技巧的,有时候并不是直接可行的,需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说,分部积分法同样是非常重要的。
重积分基础概念
重积分基础概念在数学中,积分是一个非常重要的概念,它是微积分中的一个核心内容。
而在积分的概念中,重积分是其中的一种特殊情况。
本文将为您介绍重积分的基础概念。
1. 一重积分的定义一重积分是对一维空间中的函数在给定区间上的积分运算。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续,则[a, b]上f(x)的积分可以表示为:∫[a,b] f(x) dx其中∫表示积分运算,f(x)为被积函数,dx表示积分变量。
2. 重积分的定义重积分是对多维空间中的函数在给定区域上的积分运算。
设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则D上f(x,y)的积分可以表示为:∬D f(x,y) dσ其中∬表示重积分运算,f(x,y)为被积函数,dσ表示面积元素。
3. 重积分的几何意义重积分的几何意义是计算多维区域上的体积或者质量。
对于函数f(x,y),它在区域D上的积分结果表示了函数f(x,y)在该区域上的平均值乘以区域D的面积。
4. 重积分的计算方法对于重积分的计算,可以使用多种方法,包括直接计算和变量替换等。
直接计算是将区域D划分成小的子区域,然后计算每个子区域的面积乘以函数值的和。
变量替换是将原来的积分区域通过变换映射到更易计算的区域上。
5. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质,包括线性性、保号性和积分中值定理等。
线性性表示对于任意实数k,两个函数f(x,y)和g(x,y)的线性组合的积分等于它们分别积分后再求和。
保号性表示对于函数f(x,y),如果f(x,y)在区域D上总是非负的,则D上f(x,y)的积分也非负。
积分中值定理表示在区域D上,存在一点(x0, y0),使得f(x0,y0)等于D上f(x,y)的平均值。
在实际问题中,重积分在物理学、经济学、工程学等领域中有广泛的应用。
通过对重积分的理解和运用,可以更好地解决实际问题,并推动科学的发展和进步。
总结起来,重积分是对多维空间中函数在给定区域上的积分运算。
它有着重要的几何意义和计算方法。
高等数学重积分笔记
高等数学重积分笔记重积分是高等数学中的一个重要概念,它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。
以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念:重积分是一种积分方法,它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。
重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域,然后对每个小区域进行积分。
最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。
2. 重积分的基本公式:重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。
基本公式如下:∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy其中,∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积,f(x,y) 表示区域AB 内的函数值,∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值,∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值,CB 表示区域 AB 的边界。
3. 重积分的应用领域:重积分广泛应用于空间内的图形计算,例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。
此外,重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。
4. 重积分的变量替换法:在重积分的计算中,有时候会遇到难以求解的积分,这时可以通过变量替换法来解决。
变量替换法是指将某些变量替换成其他变量,使得积分变得容易求解。
例如,当积分式中含有根号时,可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法:在重积分的计算中,有时候会遇到难以求解的积分,这时可以通过分部积分法来解决。
分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量,然后分别进行积分。
例如,当积分式中含有 lnx 时,可以通过分部积分来解决。
以上是重积分的一些笔记内容,希望有所帮助。
重积分的定义和基本概念
重积分的定义和基本概念重积分,是计算空间中某个区域内函数值的一种数学工具。
重积分可以理解成是对三维空间中的物体进行划分,并将每个小立方体的体积和函数值相乘,最终将乘积总和加起来。
这个加总过程称为三重积分。
三重积分是重积分的一种形式,二重积分是它的特殊情况。
在教学中,会先深入学习二重积分,再逐步学习三重积分。
重积分的定义用双重积分的思想,可以扩展到三重积分(即重积分)的概念。
在二元函数方程 $f(x,y)$ 的平面区域 $D$ 上,已经学习了如何用双重积分求其平面积。
而在曲面 $z=f(x,y)$ 的三维空间区域$G$ 上,将区域 $G$ 分解成很多小的部分,每个小部分$V_{i}$ 的体积为 $\Delta V_{i}$,则重积分的式子可以表示为:$$\iiint\limits_{G}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}\sum f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta V_{i}$$其中 $\Delta V_{i}$ 表示体积元素,$\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}$ 表示等式右侧的求和式的迭代极限。
基本概念在学习重积分时,需要了解一些基本概念。
1. 曲面 $z=f(x,y)$ 的方程曲面 $z=f(x,y)$ 是三重积分的重要对象。
它可以用来描述物体在三维空间中的形状。
2. 积分区域积分区域是曲面区域 $G$ 在空间内的一个划分。
可以通过网格方法将空间划分为很多小的体积元素 $V_{i}$,然后对每个体积元素 $V_{i}$ 进行积分求和。
3. 坐标轴和方向在重积分中,由于需要考虑的区域有三个方向,因此需要使用$x,y,z$ 三个坐标轴来描述区域。
同时还需要确定积分的方向,顺或逆,这通常与曲面的法向有关。
4. 变量变换变量变换是重积分中常用的一种技巧,它可以将一个不易计算的积分转换成易于计算的积分。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点,是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结,以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义:对于二重积分来说,可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说,则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序:在某些情况下,交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质:包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中,可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法:将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献,通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法:根据被积函数在直角坐标系内的表达式,利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法:将被积函数用极坐标系表示,通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题,极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中,同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法:将被积函数看做是空间内每一点的贡献,通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法:根据被积函数在直角坐标系内的表达式,利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法:将被积函数用柱坐标系表示,通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题,柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点,在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结,希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解,从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点,是对多重积分进行研究的内容。
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节,包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分,其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D,其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di,其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S,且S趋近于0,则重积分可以表示为:$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积,$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似,重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时,由于重积分的定义,其也满足如下性质:1.积分与被积函数与积分区域的连续性,即对于在区域D上连续的函数f(x,y),有:2.积分与区域的可加性,即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间,则:同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式:对于极坐标,有:$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域,$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算,常用的有以下几种方法:1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分,以二重积分为例,若:$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域,那么可以先将y作为常数,对x进行积分,再将x作为常数,对y积分,即可得到:其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是数学中的一个重要分支,它在科学、工程和社会学中都有广泛应用。
重积分可以用于计算空间中的体积、质心、惯性矩以及流量等问题,其计算方法和应用十分繁多。
本文将深入探讨重积分的计算方法及应用。
一、重积分的概念重积分是对多元函数在一个特定区域内的积分,通常表示为:$I=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$其中,$\Omega$为三维空间中的一个区域,$f(x,y,z)$为在该区域内的三元实函数。
计算重积分时,可以将区域$\Omega$分成许多小块,然后用Riemann和或迭代积分的方法将小块内的函数积分起来。
此外,还可以利用极坐标、球坐标等坐标系来简化计算。
二、重积分的计算方法1. 利用Riemann和计算重积分Riemann和法是比较基本的计算重积分的方法,它将积分区域$\Omega$分成若干小块,然后在每个小块上用矩形的面积逼近函数值。
具体来说,可以按照以下步骤计算重积分:(1)将积分区域$\Omega$分成$n$个小块:$\Omega_1,\Omega_2,\cdots,\Omega_n$。
(2)在每个小块$\Omega_i$内选择一个点$(x_i,y_i,z_i)$,作为该小块的代表点。
(3)计算每个小块$\Omega_i$上的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$。
(4)计算每个小块$\Omega_i$的体积:$V_i=\Delta x\Deltay\Delta z$。
(5)将每个小块的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$与体积$V_i$相乘,得到小块的贡献值:$f(x_i,y_i,z_i)V_i$。
(6)将所有小块的贡献值相加得到积分:$I=\sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)V_i$。
2. 利用迭代积分计算重积分迭代积分是计算重积分的一种方法,它将三维积分转化为一系列二维积分或一维积分。
具体来说,可以按照以下步骤计算重积分:(1)将积分区域$\Omega$用某种方法描述出来,例如:$0\leqslant z\leqslant \sqrt{x^2+y^2},\quad 0\leqslant x\leqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant 1$(2)选择一个自变量,例如$x$,将积分区域$\Omega$分成若干个垂直于$x$轴的小块,每个小块的底面为一个矩形,顶面为一个曲面。
重积分的历史和哲学研究
重积分的历史和哲学研究重积分是微积分学中的重要概念之一,它是对多元函数在高维空间中确定的区域上的积分操作。
这个概念的历史可以追溯到17世纪以来,当时的数学家们正在尝试创造一个通用的数学工具,来描述和解决各种科学问题。
在这篇文章中,我们将介绍重积分的历史和哲学研究,探究它是如何被发现的、为什么被发现、以及它的哲学意义。
1. 重积分的历史在Newton和Leibniz发明微积分的时候,他们是在一个“自发的”方式中发掘和发展了这门学科,以尝试解决物理学和工程学中实际问题。
在这个过程中,曲面积分的概念被开发出来,它允许数学家测量和计算曲面在高维空间中的面积。
这个概念的发展引起了微积分学的一个巨大的飞跃,它被证明能够被广泛应用于科学和工程的各种领域。
然而,曲面积分却没有完全满足数学家们的需求,因为它只能计算二维曲面的面积,而不能计算三维曲面和四维曲面的体积。
因此,他们开始尝试创造一个新的积分概念,从而实现这一目标。
最初,这个概念并不是完全理解的,而是通过合并几个不同的积分概念,包括道路积分、环积分、曲面积分和循环积分,才得以建立起来。
最终,它被称为一个基础积分概念,成为微积分学中的重要领域。
2. 重积分的哲学研究重积分的研究不仅局限于数学领域,它也具有一定的哲学意义。
在现代哲学中,重积分被看作是解决量子物理学和哲学问题的重要工具。
例如,在测量非常微小的粒子或电子时,重积分的概念可以帮助科学家们计算这个体积内存在的某些物理量的值。
此外,重积分的研究还有助于哲学家们思考时间、空间和现实世界中的量子现象等问题,从而帮助他们研究现实世界的本质。
由于重积分的多变性和复杂性,它在哲学和科学界中被广泛应用,并为我们带来了关于时间和空间本质的新颖观点。
3. 重积分的应用现状重积分不仅在微积分学和哲学领域中得到广泛应用,还在现代工程、计算机科学、经济学和生物学等领域发挥着重要作用。
例如,在机器学习、图像处理和神经网络等领域中,重积分概念可以帮助人们计算不同区域间数据重合程度的相似度,并从中学习一些规律。
重积分的概念与性质
重积分的概念与性质重积分是微积分中的一个重要概念,它是曲线、曲面或空间区域上某一标量函数的积分。
本文将介绍重积分的概念、性质以及在实际应用中的意义。
一、重积分的概念重积分是对多元函数在某一曲线、曲面或空间区域上的积分运算。
在定义重积分之前,我们先回顾一下一元函数的定积分概念。
定积分是对曲线上函数的弧长进行积分,将曲线分成无穷多个微小的弧段,然后将这些微小弧段的长度相加,从而得到整个曲线的长度。
而对于多元函数,重积分的概念在这个基础上进一步推广。
它是将曲线、曲面或空间区域分成无穷多个微小的面元,然后将这些微小面元的函数值相加,最终得到整个区域上的积分值。
重积分的符号表示为∬ f(x,y) dxdy 或者∭ f(x,y,z) dxdydz,其中 f(x,y) 表示函数在区域上的值,dxdy 表示微小面元的面积。
二、重积分的性质重积分具有以下几个重要性质:1. 线性性质:重积分具有线性运算的性质。
即若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 在区域上可积,且 a 和 b 为常数,则有∬ (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a∬f(x,y) dxdy + b∬ g(x,y) dxdy。
这一性质使得我们可以更方便地进行积分运算。
2. 区域可加性:对于区域的分割,整个区域上的重积分可以通过对各个小区域的重积分相加得到。
即若 R = R1 ∪ R2,其中 R1 和 R2 为无交的区域,并且 f(x,y) 在 R 上可积,则有∬ f(x,y) dxdy = ∬ f(x,y) dxdy + ∬ f(x,y) dxdy。
这一性质使得我们可以将复杂的区域分解成简单的部分来进行计算。
3. 坐标变换性质:对于某些复杂的区域,通过适当的坐标变换,可以将原来的积分转化为更简单的形式。
例如,可以通过极坐标变换将某些对称区域简化为一个角度范围上的定积分,从而简化计算过程。
三、重积分的应用重积分在实际应用中有着广泛的应用,尤其是在物理学、工程学、统计学等领域。
重积分的定义与性质
重积分的定义与性质重积分是高等数学中的一个重要概念,是对多元函数在空间内的积分运算。
在实际应用中,经常需要对物理量、几何量等进行多个变量的积分运算,这时就需要用到重积分。
本文将对重积分的定义和性质进行详细阐述。
一、连续函数的重积分对于连续函数$f(x,y)$,其中$(x,y)$为定义域内的任意一个点,其重积分定义如下:$$\iint_D f(x,y) dxdy$$在上式中,$D$为定义域。
这个式子的含义是在二维平面上对函数$f(x,y)$从定义域$D$内的每个点$(x,y)$到坐标轴正方向的区域进行积分。
其中,$dxdy$表示微元,用来表示积分的范围。
重积分也可以用极坐标系进行表示:$$\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta) rdrd\theta$$这里,$r$和$\theta$分别表示极坐标系下的径向坐标和角度坐标。
二、重积分的性质对于重积分,我们要了解一些基本的性质。
1. 线性性:若$f(x,y)$和$g(x,y)$是$D$上的可积函数,$k_1$和$k_2$为常数,则:$$\iint_D (k_1f(x,y)+k_2g(x,y)) dxdy=k_1\iint_D f(x,y)dxdy+k_2\iint_D g(x,y) dxdy$$也就是说,重积分运算具有线性性。
2. 绝对可积性:如果$\iint_D |f(x,y)| dxdy$有定义,则称$f(x,y)$是$D$上的绝对可积函数。
3. 积分中值定理:如果$f(x,y)$在$D$上连续,则存在一点$(\xi,\eta)\in D$,使得:$$\iint_D f(x,y) dxdy=f(\xi,\eta) Area(D)$$这个公式的含义是,若在平面上将定义域$D$分成许多小的矩形,则在每个小矩形上,函数$f(x,y)$的大小是近似相等的。
因此,整个定义域上的积分值与函数的平均值在某个点上相等。
重积分知识点
重积分知识点什么是重积分?重积分是微积分中的一个重要概念。
它是对有一定形状的曲线、曲面或者立体内某一物理量的总量进行求解的数学工具。
重积分可以用于求解多元函数在一个区域内的平均值、体积、质心等问题。
一重积分与二重积分在重积分中,存在一重积分和二重积分两种形式。
一重积分也叫定积分,是对一元函数在一个区间上的积分运算。
它可以表示为:b(x) dx∫fa其中a和b表示积分区间的起点和终点,f(x)表示被积函数。
二重积分则是对二元函数在一个闭区域上的积分运算。
它可以表示为:(x,y) dA∬fD其中D表示积分区域,f(x,y)表示被积函数,dA表示面积元素。
重积分的计算方法重积分的计算方法有多种,其中较常见的有换元法、分部积分法和极坐标法等。
换元法换元法是指通过变量替换将一个积分转化为另一个形式的积分,从而使得计算变得更加简单。
常见的变量替换包括线性换元,平方换元和三角换元等。
分部积分法分部积分法是通过对积分表达式进行分部拆分,将一个积分转化为另一个形式的积分。
分部积分法的公式可以表示为:∫u dv=uv−∫v du极坐标法极坐标法是将二重积分的计算问题转化为极坐标系下的积分问题。
通过引入极坐标系的坐标变换,可以简化积分表达式,并且适用于具有对称性的问题。
重积分应用举例重积分在实际问题中有着广泛的应用,以下是几个常见的例子:计算曲线长度对于曲线y=f(x),可以使用一重积分来计算曲线的长度。
具体的计算方法是将曲线分成一个个小线段,计算每个小线段的长度,然后将所有小线段长度相加。
bL=∫√1+(f′(x))2 dxa其中a和b是积分的区间。
计算表面积对于曲面z=f(x,y),可以使用二重积分来计算曲面的面积。
具体的计算方法是将曲面分成一个个小面元,计算每个小面元的面积,然后将所有小面元的面积相加。
2 dAS=∬√1+(f x(x,y))2+(f y(x,y))D其中D是曲面的投影区域。
计算质心对于曲线、曲面或者立体,可以使用重积分来计算质心的坐标。
《重积分概念性质》课件
积分的极限性质
积分的极限性质是指积分的极限值与被积函数的极限值之间的关系 积分的极限性质是重积分的一个重要性质,它反映了重积分的稳定性和连续性
积分的极限性质可以用于求解一些复杂的积分问题,如积分的极限值、积分的收敛性等
积分的极限性质还可以用于证明一些重要的定理,如积分的极限定理、积分的连续性定理等
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重积分概念性质
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目录
CONTENTS
01 重积分的概念
02 重积分的性质
03 重积分的计算
04 重积分的应用
重积分的概念
定义与公式
重积分的定义:对多元函 数在某一区域内的积分
重积分的公式: ∫∫f(x,y)dxdy
重积分的性质:线性性、 可加性、绝对收敛性等
重积分的应用:计算体积、 面积、质量等
重积分的几何意义在于,它可以用来计算曲面或曲面上的面积、体积等几何量
重积分的几何意义还可以用来计算曲面或曲面上的曲率、挠率等几何量
重积分的性质
积分区间可加性
积分区间可加性:如果f(x)在[a,b]上可积,且[a,b]可分成两个不相交的子区间[a,c]和[c,b],则 f(x)在[a,b]上的积分等于f(x)在[a,c]和[c,b]上的积分之和。
计算方法
直接计算法: 直接计算积分
值
换元法:将积 分变量替换为
另一个变量
分部积分法: 将积分分为两 部分,分别计
算
积分表法:利 用积分表直接
查找积分值
数值积分法: 通过数值方法 近似计算积分
值
蒙特卡洛法: 通过随机采样 方法近似计算
积分值
几何意义
重积分是积分的一种,用于计算曲面或曲面上的函数值 重积分是将曲面或曲面上的函数值进行积分,得到曲面或曲面上的积分值
重积分的社会和政治研究
重积分的社会和政治研究重积分是微积分中的一个重要概念,它在社会和政治研究中也有着广泛的应用。
本文将探讨重积分在社会和政治研究中的作用和意义。
1. 什么是重积分在微积分中,重积分又叫做二重积分或者三重积分,是对二维或三维区域内的函数进行积分。
二重积分是将一个平面区域内的函数沿着$x$轴和$y$轴分别积分得到的值,其定义式如下:$$\iint\limits_D f(x,y)dxdy$$其中$D$是二维平面内的区域,$f(x,y)$是定义在该区域内的函数。
类似地,三重积分是将一个空间区域内的函数沿着$x$、$y$和$z$轴分别积分得到的值,其定义式如下:$$\iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz$$其中$V$是三维空间内的区域,$f(x,y,z)$是定义在该区域内的函数。
2. 重积分在社会研究中的应用重积分在社会研究中有着广泛的应用,其中一种常见的应用是人口密度的计算。
例如,如果我们想知道某个城市的人口密度是多少,可以先将城市的边界划分为若干个小区域,然后对每个小区域内的人口数量进行测量。
接着,可以使用二重积分的方法将每个小区域内的人口密度加起来,得到整个城市的人口密度。
除了人口密度,重积分还可以用来计算其他社会指标,例如贫富差距、教育水平等。
这些指标都可以通过将区域划分为小块,然后分别计算每个小块内的指标值,最终使用重积分将所有小块的指标值加起来得到。
3. 重积分在政治研究中的应用重积分在政治研究中同样有着广泛的应用,其中一个例子是选举结果的分析。
例如,在一个选区内,如果我们想知道某个候选人在该选区内的得票率是多少,可以先将选区划分为若干个小区域,然后对每个小区域内的选民进行测量。
接着,可以使用二重积分的方法将每个小区域内的选票数加起来,得到该候选人在整个选区中的得票数和得票率。
除了选举结果,重积分也可以用来分析其他政治数据,例如经济发展水平、社会稳定程度等。
这些数据同样可以通过将区域划分为小块,然后分别计算每个小块内的数据值,最终使用重积分将所有小块的数据值加起来得到。
重积分的数值计算和积分算法
重积分的数值计算和积分算法重积分是高等数学中的一个重要概念,其表示对于二元函数在某一区域内的积分。
而相对于一元函数积分,重积分涉及到更为广泛的应用,例如经济学、力学、物理学等诸多领域。
对于重积分的数值计算和积分算法,我们需要进行深入研究。
1. 数值计算重积分的数值计算是将二元函数的积分转化为数值计算的一种方法。
其主要思路是通过将被积函数在区域内分割成多个小矩形,然后对于每个小矩形进行面积和函数值之积的近似计算,最后将每个小矩形的计算结果加和得到总的数值积分结果。
在计算重积分时,我们需要通过一些数值方法来实现积分值的精确计算,一些经典的数值计算方法包括:中心矩形法、梯形法、辛普森法、高斯-勒让德法等。
中心矩形法是一种初步的数值计算方法,其核心思想是将积分区间的每一小段区间等分为一定数量的小区间,然后通过每个小区间中心点的函数值和小区间的长度相乘得到每个小区间的积分估计值,最后将所有小区间的积分值加和即为总的积分估计值。
梯形法是另一种常用的数值计算方法,其基本思路是通过将积分区间的每一小段区间作为梯形的底边,然后通过连接所有相邻点并形成的“梯形”来近似计算每个小区间的面积,最后将所有小区间的积分值加和得到总的积分估计值。
2. 积分算法除了数值计算以外,积分算法也是重积分领域的核心研究内容。
其中常用的积分算法包括:线性积分、带权积分、定积分等。
线性积分是针对一元函数积分的一种常用算法,在计算时需要对于每个小区间进行数值计算,并将其所有的值相加得到总的积分结果。
带权积分则是针对二元函数积分的一种算法,在计算时需要将小区间的面积乘以相应的权重,并将其加和得到总的积分结果。
定积分则是一种基本的积分算法,其核心思路是将积分区间分割成多个小区间,并通过区间长度和函数值之积的积分计算得到每个小区间的积分值,最后将所有小区间的积分值加和得到总的积分结果。
总结重积分作为高等数学中的一个基本概念,其数值计算和积分算法也是重要的研究方向。
重积分的计算方法探讨
重积分的计算方法探讨重积分是微积分的重要内容之一,用于研究多元函数的积分。
它的计算方法有多种,包括直接计算、换元法、极坐标法、柱坐标法等。
本文将对这些方法进行探讨。
一、直接计算法:直接计算法是最基本的计算方法,它通过将重积分分解为一重积分、二重积分或三重积分的形式,逐层计算积分。
对于单元函数,直接计算法可以得到精确解。
但是对于复杂的函数,这种方法往往计算量大且难以求得解析解。
二、换元法:换元法在重积分的计算中起到了很重要的作用,它通过引入新的变量,将原积分转化为新的坐标系下的积分形式,从而简化了计算。
常用的换元法有直角坐标系到极坐标系的转换,柱坐标系到球坐标系的转换等。
通过适当选择变换的方式,可以将积分区域的形状转化为更简单的形式,使得计算更加便捷。
三、极坐标法:极坐标法是平面重积分计算中常用的方法之一,它将直角坐标系下的积分区域转化为极坐标系下的积分形式。
具体方法是利用坐标变换公式,将被积函数通过极坐标变换转化为极坐标下的函数,然后再进行积分计算。
极坐标法适用于具有旋转对称性的积分问题,可以减少计算的复杂度。
四、柱坐标法:柱坐标法是三维重积分计算中常用的方法之一,它将直角坐标系下的积分区域转化为柱坐标系下的积分形式。
具体方法是利用坐标变换公式,将被积函数通过柱坐标变换转化为柱坐标下的函数,然后再进行积分计算。
柱坐标法适用于具有旋转对称性的积分问题,可以减少计算的复杂度。
五、其他方法:除了上述介绍的方法外,还有一些其他的计算方法可以用于求解重积分。
比如分部积分法、格林公式、斯托克斯公式等。
这些方法利用了微积分中的一些定理和公式,通过变换和化简,将原积分转化为更容易求解的形式。
这些方法在特定情况下可以大大简化积分的计算过程。
综上所述,重积分的计算方法有多种,每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中,根据具体的问题和条件,选择合适的方法进行计算是十分重要的。
对于一些简单的积分问题,直接计算方法是较为常用的选择;对于具有对称性的问题,可以考虑使用换元法、极坐标法或柱坐标法进行计算;而在一些特殊情况下,其他方法也可以发挥作用。
大一高数重积分知识点论文
大一高数重积分知识点论文随着数学的日益发展,重积分作为高等数学中的重要知识点之一,在科学研究、工程技术以及经济管理等领域中发挥着重要作用。
本文将围绕大一高数重积分的基本概念、性质、计算方法以及应用展开探讨,以期帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、重积分的基本概念重积分是对多变量函数在一定区域上进行积分运算的方法,其概念可由一元积分的思想推广而来。
在重积分中,我们需要关注以下几个概念:1. 区域:指平面或空间中被考虑的特定范围。
2. 重积分的累次积分形式:对于二重积分,可以通过反复积分的方式,将其转化为两次一重积分的形式;对于三重积分,则是通过三次一重积分。
这种形式简化了重积分的计算。
3. 重积分的完整形式:在求解重积分时,不仅考虑到函数值,还需要考虑到积分区域的大小和形状。
因此,在计算重积分时,需要使用累次积分公式并结合合适的积分区域来确定计算边界。
二、重积分的性质在掌握了重积分的基本概念后,我们需要进一步了解其性质,以便更好地应用于实际问题的求解中。
以下是重积分的主要性质:1. 线性性质:即重积分满足线性运算,可通过将函数与常数相乘、相加等方式进行运算。
2. 保号性质:如果被积函数在某个区域上非负(或非正),则重积分的值也非负(或非正)。
3. 保序性质:如果被积函数在某个区域上小于(或大于)另一个函数,则重积分的值也小于(或大于)另一个函数的重积分值。
三、重积分的计算方法为了能够准确计算重积分,我们需要熟悉以下计算方法:1. 直角坐标系下的计算方法:当积分区域为直角坐标系下的简单几何体时,我们可以利用积分上下限的确定、积分顺序的切换以及适当的积分方法(如曲线积分、面积积分等)来求解重积分。
2. 极坐标系下的计算方法:当积分区域具有极坐标对称性或旋转对称性时,我们可以将直角坐标系下的重积分转化为极坐标系下的重积分。
这种计算方法通常在柱坐标系和球坐标系中得到应用。
3. 应用定理的计算方法:重积分的计算可以通过应用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等定理来简化运算过程,从而提高计算效率。
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小谈重积分,全微分
机电工程学院力学1班曹阳1203040101
本文摘要:主要讲述重积分的方法,重点习题。
关键字:解题方法,重积分,认真,努力。
我很高兴,在大一下学期,能继续跟刘老师一起学习高数,高数,让头脑得到了锻炼,让思维得到发展,高数的神秘吸引着我,引导着我,让我走得更高更远。
高数学习中重积分让我印象深刻,接下来我就谈谈重积分,全微分。
重积分和定积分一样,都是来自实践中非均匀求和的需要,各种积分是不同维数空间的具体表现,重积分概念及性质关于重积分的概念,可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例,在回顾定积分定义的基础上,通过分割、近似、求和、取极限。
重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的,转化的关键是确定积分的上下限。
对于二重积分,在推出直角坐标和极坐标的计算公式之后,解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。
关于三重积分,这部分内容比较复杂,教学上应细致。
计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。
对于直角坐标,关于极坐标和球面坐标。
重积分的具体计算,通常要考虑到以下几个方面,选择合适的坐标系及恰当的积分顺序,确定积分的上下限,正确使用对称性。
重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法,其次要结合足够实例,使用重积分来计算几何量(如面积体积等)及物理量(重心、转动惯量等)
全微分的定义如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ),其中A、B不依赖于△x, △y,仅与x,y有关,ρ=根号下((△x)^2+(△y)^2),此时称函数z=f(x, y)在点(x,y)处可微分,A△x+B△y 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分,记为dz即dz=A△x +B△y。
该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。
多元函数在某点处连续,存在
偏导、可微、存在连续偏导这四个概念之间的关系:以二元函数为例(i)由第
三节2(4)知, 在连续不能保证在存在偏导;反过来,
在存在偏导也不能保证在连续(ii)
在可微可保证在连续,并可保证在存在偏
导,但反之均不对。
(iii)在存在连续偏导可保证在可微,但反之不对。
(i)(ii)的反例可在教材中找到,(iii)的反例如下
则
同理
且
= 故
在(0,0)可微,但当时
当沿y = x趋于(0,0)时,
的极限不存在.故
在(0,0)不连续.一.重要结论:如果积分区域D关于y对称,}0
,
)
,
()
,
{(
1
≥
∈
=x
D
y
x
y
x
D
则
⎰⎰⎰⎰
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
-
=
-
=
D
D
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(时
当
时
当
σ
σ
如果积分区域D关于x轴对称,
}0
,
)
,
()
,
{(
1
≥
∈
=y
D
y
x
y
x
D
则
⎰⎰⎰⎰
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
-
=
-
=
D
D
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(时
当
时
当
σ
σ
如果积分区域D关于坐标原点O对称,则
⎰⎰⎰⎰
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
-
-
=
-
-
=
D
D
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
y
x
f
y
x
f
d
y
x
f
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(时
当
时
当
σ
σ
其中
}0
,
)
,
()
,
{(
1
≥
∈
=x
D
y
x
y
x
D
如果积分区域D关于直线x
y,对称,则
⎰⎰
⎰⎰=
D
D
d
x
y
f
d
y
x
fσ
σ)
,
(
)
,
(
二、重积分,全积分重点例题
(一).1. 利用二重积分性质,估计积分
⎰⎰++=D
d y x I σ
)94(22的值,其中D 是图形区域:42
2≤+y x
解法1. 首先求94),(2
2
++=y x y x f 在D 上的最小值m 和最大值M
由于x x f 2=∂∂,y y f 8=∂∂,令0
=∂∂x f ,0=∂∂y f 得驻点),00(,9)0,0(=f
D 的边界42
2
=+y x ,此时94494),(2
2
2
2
++-=++=y y y x y x f 2313y +=
402≤≤y 25),(13≤≤∴y x f
25}25,13,9max{
==∴M ,9}25,13,9min{==m ,25),(9≤≤y x f
σ
σσ25)9(922≤++≤⎰⎰D
d y x
πσ4= ,ππ100
36≤≤∴I 解法2:由积分中值定理,在D 上至少D ∈∃),(ηξ,使
σ
ηξσ)94()94(2222++=++=⎰⎰D
d y x I
其中πσ4=,且422≤+ηξ(4:2
2≤+y x D )
9)(494)94(2
22222++≤++≤++ηξηξηξ
259169492
2=+≤+η+ξ≤ π≤≤π100I 36 2 求
σ
-=⎰⎰d x y I D
2,其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-
解: 如图,曲线2
x y =把区域D 分为1D 和2D ,其中1x 1D 1≤≤-:
,2
x y 0≤≤;2y x ,1x 1:D 22≤≤≤≤-
σ
-+σ-=σ-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰d x y d y x d x y I 21
D 2D 2D
2
()
()⎰⎰
⎰⎰
--=-⋅+-⋅=1
1
22
1
1
2
2
215
1
3x
x dy x y dx dy y x
dx
3 证明
⎰⎰⎰
-=x a
b
a
b
a
dy
y b y f dy y f dx ))(()((f 连续)
证:左端=
⎰
⎰x a
b
a
dy
y
f
dx)
(
,⎩
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
b
x
a
x
y
a
D
,作出积分域交换积分顺序,⎩
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
b
y
a
b
x
y
D
左端=
=
⎰
⎰x a
b
a
dy
y
f
dx)
(⎰
⎰b y
b
a
dx
y
f
dy)
(⎰=
-
=b
a
dy
y
b
y
f)
)(
(
右端,证毕!
(二).1求的全微分,其中
解
故
2设
其中问K为何值时,Z在(0,0)可微,K为何值时,Z在(0,0)不可微?
解:由二、2、(3)中可微的充要条件判断. 当
时的极限. 当时因从而
,由夹
逼定理知
故此时z在可微.
(2)当时,
令点沿直线趋于
,有.,可见
不是的高阶无穷小,故此时z在(0,0)
不可微。
最后祝老师身体健康,工作顺利。
参考文献:
《高等数学解题方法与同步训练》,同济大学基础数学教研室,同济大学2003. 《高等数学学习指导》张昕主编,广东科技出版社,2008.
《高等数学》(上、下册)(第五版) 同济大学应用数学系主编,2002
《高等数学习题全解指南》高等教育出版社,2004年。