妙用图形变换巧求面积
平移齐次化法求面积
平移齐次化法求面积平移齐次化法是一种通过平移和齐次化来求解几何问题的方法。
在求面积的问题中，平移齐次化法可以将复杂的几何图形转化为简单的几何图形，从而简化计算过程。
假设我们要求一个平面几何图形的面积，我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.首先，将图形进行平移，使得其中一个顶点移动到坐标原点。
这样做的目的是为了简化计算，因为平移不会改变图形的面积。
2.接下来，将图形进行齐次化。
具体来说，将图形上的每个点都乘以一个非零常数，使得图形的所有顶点都位于坐标轴上。
这样做可以进一步简化计算，因为齐次化也不会改变图形的面积。
3.最后，利用简单的几何知识计算图形的面积。
由于我们已经将图形平移和齐次化，所以现在可以使用简单的几何公式来计算面积。
下面是一个具体的例子：假设我们要求一个直角三角形ABC的面积，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.将点A移动到坐标原点(0,0)，得到新的点D(-x1,-y1)。
2.将图形进行齐次化。
具体来说，将三角形ABC上的每个点都乘以一个非零常数k，得到新的点E(-kx1,-ky1)，F(-kx2,-ky2)，G(-kx3,-ky3)。
3.由于平移和齐次化不会改变图形的面积，所以三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积。
而三角形DEF是一个直角三角形，其面积为(1/2)*DE*EF。
4.最后，利用勾股定理计算DE和EF的长度，从而得到三角形ABC的面积。
通过以上步骤，我们可以使用平移齐次化法求出直角三角形ABC的面积。
这种方法可以推广到其他类型的几何图形，如平行四边形、梯形等。
用图形解决面积与周长问题
用图形解决面积与周长问题在数学中，面积与周长是两个基本概念。
面积指的是一个图形所占据的空间大小，而周长则是图形的边界长度。
解决面积与周长问题，可以通过图形的形状和尺寸来进行计算和推导。
下面将通过几个实际例子，展示如何用图形解决面积与周长问题。
首先，我们来考虑一个简单的问题：如何用图形解决矩形的面积和周长问题。
矩形是一个有四个直角的四边形，它的相邻边长相等。
假设矩形的长为L，宽为W，我们可以用图形来表示矩形，如下所示：（插入一个矩形图形）根据图形，我们可以看出矩形的周长是所有边长的总和，即2L + 2W。
而矩形的面积则是长乘以宽，即L × W。
通过这个图形，我们可以很容易地计算出矩形的面积和周长。
接下来，我们考虑一个稍微复杂一些的问题：如何用图形解决圆的面积和周长问题。
圆是一个几何图形，它的边界由一条连续的曲线组成，该曲线与一个固定点的距离相等。
假设圆的半径为r，我们可以用图形来表示圆，如下所示：（插入一个圆形图形）根据图形，我们可以看出圆的周长是圆的边界的长度，即2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。
而圆的面积则是圆的边界围成的空间大小，即πr²。
通过这个图形，我们可以很容易地计算出圆的面积和周长。
除了矩形和圆，还有许多其他形状的图形可以用来解决面积与周长问题。
例如，三角形是一个有三个边的图形，它的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，而周长则是所有边长的总和。
同样地，正方形、梯形、菱形等图形也都有相应的计算公式，可以用来解决面积与周长问题。
总结起来，用图形解决面积与周长问题是一种直观且实用的方法。
通过将图形的形状和尺寸转化为数学公式，我们可以很容易地计算出图形的面积和周长。
这种方法不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够培养我们的数学思维和几何直觉。
因此，在学习数学的过程中，我们应该注重培养用图形解决面积与周长问题的能力，以提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。
通过上述例子，我们可以看到，图形在解决面积与周长问题中起到了重要的作用。
小学数学必会图形求面积的个方法图文并茂,太神奇了
小学数学必会图形求面积的10个方法！图文并茂，太神奇了！01小学数学学过的几何图形有三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形，这些几何图形一般称为基本图形或规则图形，我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1：如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2：如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形。
总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。
02常用的基本方法1 相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
浅谈巧求平面图形面积的几种特殊解法
浅谈巧求平面图形面积的几种特殊解法韶关市吴礼和中心小学 倪韶武平面图形是小学数学教学的一个重要内容。
它更贴近学生的生活，很多数学问题都是从生活实际出发，所以在教学中，教师应该侧重从实际出发，注重操作实践、直观演示，让学生对知识真正达到理解，从而能够灵活运用，解决实际问题。
在解答求平面图形面积的各种解题方法中，我结合在实际教学，尤其是在多年的奥数教学中，浅谈巧解平面图形面积的几种特殊方法。
一、善于观察，运用等量代换解题。
在解平面几何题时，观察是很重要的。
一个不善于观察的学生，是不可能把数学知识学好并灵活运用的。
教师在教学过程中要注重培养学生的观察力，通过观察，找出题中是否具有等量关系，能否运用等量代换的方法来解答，从而起到特殊而又有效的效果。
例如，如右图，长方形长10厘米，宽8厘米。
梯形ABFD 的面积比梯形CGEF 的面积多20平方厘米，AB=EG ，求CG 的长度。
如果把梯形ABFD 看作①，把梯形CGEF 看作②，把三角形BCF 看作③，这题乍看，①的面积比③的面积多20平方厘米，这三者好像没有什么联系，但通过仔细观察，却发现①和③旁边有个公共的部分②，通过等量代换，用①的面积+②的面积比③的面积+②的面积还是多20平方厘米，这样就得到长方形的面积比三角形BGE 的面积多20平方厘米，而长方形的面积是可求的，进而把三角形BGE 的面积求出来，再把BG 的长求出，最后就可以把CG 的长解答出来。
具体解法如下：10×8=80（平方厘米），80-20=60（平方厘米），60×2÷10=12（厘米），12-8=4（厘米）。
又如：大小正方形边长分别长6厘米和10厘米。
求三角形AGE 的面积。
此题学生很容易用填补法解答：C DA B GB E（6+10）×6÷2+10×10÷2-（6+10）×6÷2=50（平方厘米）如果把小正方体边长6厘米这个条件去掉，又应该怎样解呢？通过上题的解答，发现梯形ABCG 的面积和三角形ABE 的面积是相等的，用梯形ABCG 的面积减去公共的部分梯形ABCO 的面积和用三角形ABE 的面积减去公共的部分梯形ABCO 的面积，剩下的两个三角形AOG 和COE 的面积也应该相等。
活用转化思想巧算图形面积
活用转化思想 巧算图形面积江苏省连云港市赣榆县塔山中学 单青青计算图形面积的基本方法是割补法，即将不规则图形割成几个规则图形或补成规则图形从而利用它们面积的和或差来计算，但这种方法对解有的问题应用较繁琐，还有的问题无法解决，而灵活地应用转化的思想方法可以巧妙的计算图形面积，达到化繁为简，迎刃而解的目的。
一、等积转化法即利用面积相等的图形将不规则图形转化为规则图形从而容易计算出面积，此法考题较多，应用广泛。
例1 (2005年湖北襄樊)如图1： 已知半圆的直径AB=4cm ，点C 、D 是这个半圆的三等分点，则弦AC 、AD 和围成的部分面积为_____cm 2。
例2(2005年四川) 如图2，在Rt △ABC 中，∠BCA=900，∠BAC=300，AB=6，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上点C ′处，那么AC 边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是 (不取近似值)。
分析：对于例1，则△ACD 和△OCD 面积相等，易证∠COD=600，所以阴影部分面积就等于扇形OCD的面积64π，对于例2，根据旋转的性质易证△A ’B ’C ’≌△ABC ，从而面积极相等，所以S 阴影=S 扇形BAA ’-S 扇形BCC ’=36062120⨯π-36032120⨯π=9π二、化零为整法即将求零散形图形面积和的问题化归为整体的思想方法加以计算的方法。
例3 (2002年河南) 如图3 ☉A 、☉B 、☉C 、☉D 、☉E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形的面积之和是 。
分析：这个问题是求扇形面积之和，但分别计算出各个扇形面积不可能，因为圆心角度数未知，根据半径相等和扇形面积公式可提出公共部分3601⨯π，要求五个扇形面积之和只需求五个扇形内角之和，既五边形ABCDE 的内角只和既可。
由此可得3601⨯π×（5－2）×180=23π。
小学必会图形求面积的10个方法
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形.那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了.例1：如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积.一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和.例2：如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2.所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）.例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米.如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积.一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有1相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积.一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积2相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.3直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形.4重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图.5辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积.一句话：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面积替换丙的面积，组成一个大三角ABE，这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.6割补法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如：下图，若求阴影部分的面积.一句话：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.7平移法这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形.8旋转法这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如：下图（1），求阴影部分的面积.一句话：左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.9对称添补法这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积.10重叠法这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分.例如：下图，求阴影部分的面积.一句话：可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.。
图形变换的应用.
图形变换的应用浙江省舟山市定海五中薛晓波一、巧用图形变换计算面积1、如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线l是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r,你能借助轴对称的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。
简析：本题只需利用轴对称可以将这个图形进行补形，阴影部分面积为半圆的面积，这样就成了一个规则的几何图形，容易求解。
解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部分反射到m的右边，那么它们的像恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是2r2π二、利用图形变化设计图案2、如图2-1所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图2-2中，把A B C，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图2-1一样的图案：（1）请你在图2-2中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；（2）你所用的变换方法是______（在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述）．①将菱形B向上平移；②将菱形B绕点O旋转120︒；③将菱形B绕点O旋转180︒．析解：由题意知三菱形以O为顶点的角分别为60︒，故可选①或③也可自己写其它正确的方法，结果见图2-3．图2-1 图2-2AOBC图2-33、学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等份请你利用平移、旋转、轴对称等知识设计几个方案。
以正方形的八分之一为基本图形进行变换:析解：先取一块八分之一面积的长方形，给过平移的方式将整个正方形分割成一模一样的八块。
以正方形的四分之一为基本图形进行变换:析解：先做一个四分之一的图形，这个四分之一的图形由二块面积相等的图形组成，如图1中以一个四分之一图形为基本图形进行旋转就可以将这个正方形八等份。
而图2中则是将四分之一的图形为基本图形进行平移。
:… …先做一个二分之一的图形，将这个二分之一的图形四等份，然后以这个二分之一的图形为基本图形进行轴对称变换就可以得到。
利用几何变换巧求图形面积
利用几何变换巧求图形面积作者：洪倩来源：《启迪与智慧·教育版》2018年第06期几何变换包括旋转变换、平移变换、轴对称变换等变换形式，通过几何变化巧求图形面积，往往能达到化难为易的效果。
一、旋转变换在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。
在利用几何变换求面积的几种变换中，旋转变换最常用。
求几何面积的诸多问题中，如果用常规解法往往过程繁琐，甚至会出现学生现有知识无法解答的情况。
这个时候我们就需要另辟蹊径，借助旋转变换进行解答。
例1 如图1，△ABC是直角三角形，四边形ACDE、FGBA都是正方形，AB=3cm，BC=4cm，求△AEF的面积。
解析：在这里，很多人在一开始看到此类题目，首先会利用勾股定理算出AC的长度，然后无从下手，或者构造三角形，利用三角形全等来解决。
如果我们利用旋转变换的思想，就可以化简为易。
将△ABC逆时针旋转90°，使AC和AE重合，得到△AME（因为∠EAC=∠FAB=90°，所以∠EAF+∠BAC=180°，F、A、M在同一条直线上）S△EFA=S△EAM=3×4÷2=6cm2例2 如图3，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10cm，DC=7cm，求阴影部分面积。
解析：将三角形CED绕D点逆时针旋转90°。
（如图4）使得E与F重合，则C点落到线段AB与G点，阴影部分面积转化为Rt△BGD的面积所以阴影部分面积为：10×7÷2=35cm2二、平移变换在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动。
平移是几何变换的一种，利用平移对图形中有关部分进行变换，将其余部分保持不变，为题目所求变换，化不利条件为有利条件，巧求图形面积。
例3 如图5，六边行ABCDEF中，AB=ED， AF=CD， BC=EF，且有AB//ED，AF//CD， BC//EF，对角线FD垂直于BD，已知FD=24cm，BD=18cm，求六边行ABCDEF的面积是多少平方厘米？例题解析：将△BCD平移，使得CD与AF重合，将△DEF平移，使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG上，组成了一个长方形BGFD（如图6），它的面积与原六边形的面积相等，即为：24×18=432cm2三、对称变换如果一个图形沿着一条线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
巧用图形变换求矩形中的面积
巧用图形变换求矩形中的面积作者：徐卫平来源：《考试·教研版》2012年第06期【摘要】新课程改革以来,初中几何发生了很大的变化,而图形的变换的适时融入是一大亮点。
在平面内,将一个图形经过某种确定的方法转换成另一图形,称为图形的变换。
常见图形的变换有平移变换、旋转变换、轴对称变换以及中心对称变换等等。
利用图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,使图形动起来,让图形更容易操作,在图形的变化中把握不变的几何关系,从而找到解决问题的简单途径。
图形的变换能够展现几何图形的内在性质与几何图形的外在美,而围绕图形面积的知识也是近年来考查的热点.而矩形是一个特殊的四边形,对边平行且相等,四个角都是直角,既是轴对称又是中心对称图形,所以近几年有关利用图形变换求矩形面积的题目越来越多,下面我们结合几道例题一起来探索巧用图形的变换求矩形中的面积。
【关键词】图形变换矩形面积平移变换旋转变换中心对称变换轴对称变换【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)03(b)-0064-021 利用平移变换求矩形中的面积在平面内,将一个图形沿着某一个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做图形的平移。
平移不改变图形的形状和大小。
例1:一块长a米,宽b米的矩形土地被踩出如图所示的三条小路,并且过A、B间的任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段的长都是2米,问哪条小路浪费的土地面积大？三条小路浪费的土地面积各是多少？解析:如图1所示,若将小路1剪掉,由于其宽度处处为2米,所以可以将剩余的左右两部分重新拼接在一起,组成一个新矩形,设小路1的面积为S1=S原矩形-S新矩形=ab-(a-2)b=2b(米2);用同样的方法可计算出小路2和小路3的面积分别为S2=2b(米2),S3=2b(米2),所以3条小路浪费的土地面积同样大,其面积均为2b米2。
【反思】上面的解法需要较强的空间想象力和创造性,这就要求同学们必须有一定的生活常识和实际知识,将实际生活中的土地问题转化为几何问题,通过计算可知,每条小路的面积与小路的弯曲情况无关。
浅谈巧求平面图形面积的几种特殊解法
浅谈巧求平面图形面积的几种特殊解法巧求平面图形面积的几种特殊解法平面图形的面积是我们数学学习中常常遇到的一个问题。
人们对于这一问题的解法也有很多种不同的方法。
今天，我们就来浅谈一下巧求平面图形面积的几种特殊解法。
1.在坐标系中解决第一种解决方法是在坐标系中解决。
此方法适用于最基础的平面图形：矩形。
我们可以把矩形框进一个方格，将每个方格看作1，而每行和每列的方块数目就是矩形的长和宽。
于是矩形的面积就可以用长乘宽求出。
对于不规则图形，我们可以用坐标系来求解。
首先，我们需要将图形用坐标系表示出来，然后再对图形进行分割，将其分割为几个我们容易求解的部分，再把这些部分的面积求出来相加即可得到所求的答案。
2.运用三角形的性质解决第二种解决方法是运用三角形的性质解决。
我们可以把一个不规则图形分割成许多小三角形，并将其用勾股定理计算。
这种方法适用于图形的边缘是直线或者射线的情况。
在这种情况下，我们可以将不规则图形分割成多个三角形，根据勾股定理计算每个三角形的面积，再将它们相加就可以得到所求的答案。
3.极坐标解决第三种解决方法是运用极坐标解决。
极坐标是表示平面上任一点坐标的一种坐标系。
在极坐标系中，我们可以用极角和半径分别表示图形的各个部分。
由于这种坐标系适用于各种形状的图形，我们可以用它来解决许多复杂的问题。
4.向外引伸最后一种解决方法是将图形向外引伸，构造出一个大的矩形，然后再将不规则图形分割成若干个小矩形。
用整个大矩形的面积减去这些小矩形的面积即可求出所求的答案。
总之，巧求平面图形面积的几种特殊解法并不是一成不变的，我们需要根据不同的情况选择不同的方法。
这种方法不仅可以帮助我们更好地理解平面图形的面积计算，而且还能够提高我们的数学思维能力。
利用图形解决面积问题
利用图形解决面积问题面积是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在解决面积问题时，我们可以利用图形的性质和特点，通过几何推理和计算来求解。
本文将探讨一些常见的面积问题，并介绍如何巧妙地利用图形解决这些问题。
一、矩形和正方形的面积计算矩形和正方形是最简单的图形，其面积计算公式也是最基本的。
矩形的面积等于长乘以宽，即S=长×宽。
正方形的面积等于边长的平方，即S=边长×边长。
利用这些公式，我们可以迅速计算出给定矩形或正方形的面积。
二、三角形的面积计算三角形是另一个常见的图形，其面积计算稍微复杂一些。
常用的计算公式是海伦公式和高度公式。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，公式为S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为半周长，a、b、c为三边的长度。
高度公式适用于已知底边和高的情况，公式为S=底边×高÷2。
利用这些公式，我们可以轻松地计算出给定三角形的面积。
三、圆的面积计算圆是一个特殊的图形，其面积计算需要用到π（圆周率）。
圆的面积公式为S=πr²，其中r为半径。
由于π是一个无理数，不能精确地表示为有限的小数，因此在计算时通常使用近似值3.14或3.14159。
利用这个公式，我们可以求解出给定圆的面积。
四、复杂图形的面积计算对于复杂的图形，我们可以将其分解为简单的图形，然后计算各个简单图形的面积，最后将这些面积相加得到整个图形的面积。
例如，一个由矩形和三角形组成的图形，可以将其分解为几个矩形和三角形，分别计算它们的面积，然后相加得到整个图形的面积。
这种方法在解决复杂图形的面积问题时非常实用。
五、利用图形解决实际问题除了基本的面积计算，图形还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算房间的面积，以确定所需的材料数量；在农业生产中，我们需要计算农田的面积，以确定种植的作物数量。
利用图形解决这些问题，不仅可以提高计算的准确性，还可以节省时间和成本。
图形求解面积技巧
图形求解面积技巧图形求解面积是几何学中的基本内容，根据不同的图形形状，求解面积的方法也不同。
在解题过程中，我们可以利用一些技巧来更快地求解面积。
以下是一些常见的图形求解面积的技巧。
一、矩形和正方形的面积求解技巧矩形和正方形是最简单的图形，其面积求解公式是直接应用的，即面积等于长度乘以宽度。
如果给定的是边长，可以根据给定的边长求解面积。
二、三角形的面积求解技巧三角形的面积求解有多种方法。
常见的方法有：1. 正直角三角形的面积求解：对于直角三角形，可以利用两条直角边的长度来求解面积，公式为面积等于直角边乘以直角边除以2。
2. 任意三角形的面积求解：根据三角形的海伦公式，可以利用三条边长来求解面积，公式为面积等于根号下（p * (p - a) * (p - b) * (p - c)），其中 p 为半周长，p = (a +b + c) / 2。
三、圆的面积求解技巧圆的面积求解需要用到圆周率π。
常见的圆的面积求解方法有：1. 根据半径求解圆的面积：对于给定半径的圆，可以直接用公式面积等于π乘以半径的平方来求解。
2. 根据直径求解圆的面积：如果给定的是圆的直径，可以先将直径除以2得到半径的长度，然后利用公式面积等于π乘以半径的平方来求解面积。
四、梯形的面积求解技巧梯形的面积求解需要利用梯形的上底、下底和高。
常见的梯形的面积求解方法有：1. 根据上底和下底求解梯形的面积：对于给定上底、下底和高的梯形，可以利用公式面积等于上底加下底乘以高除以2来求解面积。
2. 根据对角线和高求解梯形的面积：如果给定的是梯形的对角线和高的长度，可以利用公式面积等于对角线之和乘以高除以2来求解面积。
五、平行四边形的面积求解技巧平行四边形的面积求解需要利用平行四边形的底和高。
常见的平行四边形的面积求解方法有：1. 根据底和高求解平行四边形的面积：对于给定底和高的平行四边形，可以利用公式面积等于底乘以高来求解面积。
2. 根据对角线和夹角求解平行四边形的面积：如果给定的是平行四边形的对角线和夹角，可以利用公式面积等于对角线之积乘以夹角的正弦值来求解面积。
巧算异形面积计算公式
巧算异形面积计算公式在数学中，异形指的是不规则形状的图形，它们的面积计算通常比较复杂。
然而，通过一些巧妙的方法，我们可以推导出一些通用的计算公式来求解异形的面积。
本文将介绍一些常见的异形面积计算公式，并通过具体的例子来演示如何应用这些公式。
1. 矩形和正方形的面积计算公式。
矩形和正方形是最简单的几何图形，它们的面积计算公式非常简单。
矩形的面积公式为，面积 = 长×宽，而正方形的面积公式为，面积 = 边长×边长。
例如，如果一个矩形的长为5米，宽为3米，那么它的面积就是5 × 3 = 15平方米。
同样地，如果一个正方形的边长为4米，那么它的面积就是4 × 4 = 16平方米。
2. 三角形的面积计算公式。
三角形是另一个常见的几何图形，它的面积计算公式为，面积 = 底边长×高÷2。
其中，底边长指的是三角形底边的长度，高指的是从顶点到底边的垂直距离。
举个例子，如果一个三角形的底边长为6米，高为4米，那么它的面积就是6× 4 ÷ 2 = 12平方米。
3. 圆的面积计算公式。
圆是一种特殊的几何图形，它的面积计算公式为，面积 = π×半径的平方。
其中，π是一个无理数，约等于3.14，半径指的是圆的半径长度。
比如，如果一个圆的半径为5米，那么它的面积就是3.14 × 5 × 5 = 78.5平方米。
4. 梯形的面积计算公式。
梯形是一个有两个平行边的四边形，它的面积计算公式为，面积 = （上底 + 下底）×高÷ 2。
其中，上底和下底分别指梯形的两条平行边的长度，高指的是两条平行边的距离。
举个例子，如果一个梯形的上底为3米，下底为5米，高为4米，那么它的面积就是（3 + 5）× 4 ÷ 2 = 16平方米。
5. 不规则图形的面积计算公式。
对于不规则图形，我们可以通过分割成多个简单的几何图形来计算其面积。
小学五年级下册数学能力提升巧妙应用几何变换解决问题
小学五年级下册数学能力提升巧妙应用几何变换解决问题在小学五年级下册的数学学习中，几何变换是一个重要的知识点。
通过巧妙应用几何变换，可以解决许多数学问题。
本文将以几何变换为主线，探讨小学五年级下册数学能力提升的方法和技巧。
一、平移变换解决问题平移变换是指在平面上保持形状和大小不变的情况下，将图形在平面上移动一定的距离。
通过平移变换，我们可以解决一些关于位置和方向的问题。
例如，有一个矩形ABCD，现在把它向右平移5个单位，记为A'B'C'D'，这个过程中，矩形的形状和大小没有改变。
通过平移变换，我们可以解决如下问题：1. 若知道矩形的一个顶点为B，求平移后的矩形的顶点B'的坐标。
2. 若知道矩形的某一边的长度，求平移后的矩形的相应边长。
二、旋转变换解决问题旋转变换是指将图形绕一个固定点旋转一定的角度。
通过旋转变换，我们可以解决一些与角度和方向有关的问题。
例如，有一个已知点A，现在将它逆时针旋转45°得到A'，通过旋转变换，我们可以解决如下问题：1. 若知道旋转前的点A的坐标，求旋转后的点A'的坐标。
2. 若知道旋转前的线段AB的长度，求旋转后的线段A'B'的长度。
三、对称变换解决问题对称变换是指将图形关于某条“轴”对称。
通过对称变换，我们可以解决一些关于对称性的问题。
例如，有一条已知的直线l，现在将图形关于直线l进行对称得到图形l'，通过对称变换，我们可以解决如下问题：1. 若知道直线l上的点A的坐标，求对称后的点A'的坐标。
2. 若知道直线l上的线段AB的长度，求对称后的线段A'B'的长度。
四、拼凑解决问题拼凑是指将已知的图形成分重新拼凑在一起，通过将图形按照一定的方式拼凑，我们可以解决一些复杂的问题。
例如，有一个已知的图形由三个正方形组成，现在将这三个正方形拼凑成一个大正方形，通过拼凑，我们可以解决如下问题：1. 若知道三个正方形中一个正方形的边长，求大正方形的边长。
妙用勾股定理巧求图形面积
课题研究报告妙用勾股定理巧求图形面积西工大附中初一四班赵怡君丁悦惠宣铭候哲鑫一、研究内容巧用勾股定理求图形面积二、研究方法图象法计算法分析法三、研究过程勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三边之间平方关系，对于一些与直角三角形面积有关的问题运用勾股定理求解方便快捷。
例1：如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C证=PE=PFPD所以四边形BEPD是正方形它的边长可由三角形的面积求得。
设PD=PE=PF=m，得ABC PCA PBC PAB S S S S ∆∆∆∆=++即CA m BC m AB m ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅21212124721⨯⨯=由勾股定理知2524722=+=AC3=m所以247)25247(⨯=++m 故932==BEPD S 四边形分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。
由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a ，2b 的矩形，再由面积的割补来求解。
解：作矩形ABCD ，如图2，使，，b AD a AB 22==E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
由勾股定理知：2222b a AF AE EF +=+= 22224b a FD CD CF +=+= 22224b a BE BC CE +=+=从而可知，EFC S ∆就是题目所要求的三角形面积，即)(DFC BEC AEF ABCD EFC S S S S S ∆∆∆∆++-=矩形ab a b b a ab ab 23221221214=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+-= 例3：已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积。
分析：要求梯形的面积，先确定上、下底的长，再求其高。
解：以1，2，3，4为边作梯形有以下六种可能： （1）以1，2为底的长；（2）以1，3为底的长； （3）以1，4为底的长；（4）以2，3为底的长； （5）以2，4为底的长；（6）以3，4为底的长。
妙用图形变换巧求面积
妙用图形变换巧求面积武鸣县民族中学韦秋华进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。
由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。
但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。
因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。
而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。
因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。
下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。
例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积30°每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。
次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k这个量。
但是学生通过观察，发现要单独求S1、S2、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。
如果将S2、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题。
例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？学生在做这道题的时候，感觉比较困难。
小学必会图形求面积的10个方法
小学必会图形求面积的10个方法实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1：如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2：如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形。
总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。
常用的基本方法有1、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
例如：求下图整个图形的面积。
一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积2、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例如：下图，求阴影部分的面积。
一句话：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
五年级奥数.图形变换求面积问题
实用标准文案图形变换求面积问题一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离。
平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。
一般有2种方法：平移条件平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。
几何题多数都是逆向思考的。
二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形。
旋转变换把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。
在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径三、对称〔也可理解为翻折〕：某图形对于某条线对称的图形通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。
当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：出现了明显的轴对称、中心对称条件时。
出现了明显的垂线条件时。
【例1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地局部的面积〔阴影局部〕有多大？【稳固】如下图，一个正十二边形的边长是1厘米，空白局部是等边三角形，一共有12个．请算出阴影局部的面积．1cm【例2】如下图，梯形ABCD中，AB平行于CD，又BD 4，AC 3，AB CD 5．试求梯形ABCD 的面积．文档A BD C【稳固】如下列图，六边形ABCDEF中，AB ED，AF CD，BC EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，FD24厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？BA CF DE【例3】如图2，六边形ABCDEF为正六边形，P为对角线CF上一点，假设PBC、PEF的面积为3与4，那么正六边形ABCDEF的面积是_____________。
C DB PEA F 文档【稳固】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2021平方厘米，B1、B2、B3、B4、B5、B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是____________平方厘米。
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妙用图形变换巧求面积
武鸣县民族中学韦秋华
进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。
由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。
但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。
因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。
而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。
因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。
下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：
一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形
比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。
例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积
30°
会发现将每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则刚好是楼梯水平宽度。
所以地毯的长度就是（2+2×
就轻松解决了这道题。
在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。
横坐标依次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的
在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k 这个量。
但是学生通过观察，发现要单独求S1、S2、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。
如果将S2、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐
又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题。
例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？
学生在做这道题的时候，感觉比较困难。
但是如果把横彩条向下平移，而将竖彩条向右平移，则空白部分就变成一个矩形。
所以可设横、竖彩条的宽度分
别为3x 、2x ，则可得如下的方程：
于是，彩条的宽度就可求了。
所以解决这类不规则图形时，合理的使用平移，往往能使图形转化为规则图形，从而特殊就转化为一般，从而达到解决问题的目的。
课本中有不少这样的题目，比如，九年级上册第103页的第16题等等。
二、利用旋转变换，将几个图形合并成一个规则的图形，从而求解面积 例1、如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AD 、BC 于点E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ B ）(八下同步第57页) A 、3
1 B 、41 C 、
51 D 、10
3
由于阴影部分由两个部分来组成，它的底和高又不能确定。
但是如果把 △BOF 按逆时针旋转180°，则△BOF 与△DOE 完全重合。
那么阴影部分的面积就变成△AOD 的面积。
∴选B
类似的题目还有不少，比如九上课堂作业第59页就有这样的一道题 例2、如图，两个同心圆中，大圆的半径为2，∠
AOB=120°，半径OE 平分∠AOB ，则图中阴影部分的面积是
B C
F
E
D
因为阴影部分面积由两个部分来构成，每一部分阴影的条件又不完全，所以不能分开来求。
但如果是把小圆部分的阴影按逆时针方向旋转60°，则两个阴影部分的面积就变成了求扇形的面积。
例3、（九上课堂作业60页）如图，在R t △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°.AB=6cm
，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长由于阴影部分是不规则图形，所以可以将通过△A ′BC ′按逆时针旋转到 △ABC 的位置，则阴影部分面积就是两个扇形的面积之差。
∴S 阴影=S 扇形A ′BA -S
小扇形
=9π
三、利用翻折求图形的面积，关键是要找出翻折前后对应的线
例：如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积是
若根据条件分别求各个阴影部分的面积是不可行的。
但是通过观察，如果将正方形ABCD 沿对角线AC 翻折，就得到三个阴影图形正好组合成一个整体（△ADC
或△ABC ）
AB ×BC=2
1×4×4=8
例、(八下课本第110页)如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4
，CD=3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 。
四边形是什么图形？为什么？它的面
C
D
积是多少？
根据题目条件，可知AD=EC=BC=3,AB=AE=CD, 又∵DE=DE ， ∴△AD E ≌△CED 同理，△ADC ≌△CEA ∴∠EDC=∠DEA,∠EAC=∠DCA 又∵∠1=∠2
∴∠EDC=∠DEA=∠EAC=∠DCA ∴DE ∥AC 又∵DE ≠AC ∴四边形是等腰梯形
过点D 分别作AC 的垂线，垂足为F ∵2
1AC ×DF=2
1AE ×EC
∴2243+ ×EG=3×4 ∴DF=
512 ∴
∴DE=5-2
DE+AC ）×DF=2
1×5
12 四、割补法
例、（八下课本，第71页）如图， R t △ABC 的面积为20cm 2.在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。
因为阴影部分是由两个部分来组成，而且 用平移法和旋转法都没有办法解决，这个时 候可以通过割补来完成。
整个图形的面积是
由两个分别以AC和BC为半径的半圆和一个直角三角形来组成，还可以认为是以AB为直径的半圆和阴影部分来组成。
∴S阴影+ S3 = S1+ S2 +S△ABC
=20
这样的题目在我们的学习过程中还有很多。
总之，对于具体的题目，应该根据其图形的特点，选择正确的方法，巧妙利用图形变换，才能使得问题易于求解。
当然“工欲善其事，必先利其器”，只有很好的掌握了所学的知识，解起题来才能得心应手。
参考文献：1、初中数学教与学，2009.4，第11页
2、初中数学教与学，2009.6，第16页
3、八年级数学课本下册第110页。