2018届浙江高三数学二轮专题复习讲义 集合与命题

集合与命题考情考向分析1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．热点分类突破热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1(1)(2017·台州调研)若集合A＝{x|－1<x<1，x∈R}，B＝{x|y＝x－2，x∈R}，则A∪B等于()A．[0,1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1)∪[2，＋∞) D．∅答案 C解析由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1<x<1或x≥2}，故选C.(2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为() A．77 B．49 C．45 D．30答案 C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)(2017·衢州质检)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3}，集合B ＝{1,2,4}，则(∁U B )∩A 等于( ) A ．{2} B ．{3} C ．{5,6} D ．{3,5,6}答案 B解析 由题意得∁U B ＝{3,5,6}，则(∁U B )∩A ＝{3}， 故选B.(2)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案 B解析 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2， 由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3. 由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0， 得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3. 热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件．例2 (1)(2017届抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( ) A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分 D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分 答案 C解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格，p 的逆否命题是：若A ，B ，C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.(2)(2017·温州九校协作体联考)已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎨⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆区域(含边界)，故由⎩⎨⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A. 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q 且qD ⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)(2017·绍兴模拟)已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b ，a ⊂α，则“a ⊥b ”是“a ⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 平面α⊥平面β，且α∩β＝b ，a ⊂α，若a ⊥b ，则a ⊥β，充分性成立；平面α⊥平面β，因为α∩β＝b ，所以b ⊂β，若a ⊥β，则a ⊥b ，必要性成立，所以“a ⊥b ”是“a ⊥β”的充要条件，故选C. (2)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件； ②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立； ③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题． 其中正确的命题序号是________． 答案 ①解析 ①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一条直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件，所以①正确；②log 2x ＝lg x lg 2，log 3x ＝lg x lg 3，因为lg 2<lg 3，所以1lg 2>1lg 3，当x ∈(0,1)时，lg x lg 2<lg xlg 3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误；③中原命题的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误．故填①.真题体验1．(2016·浙江改编)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝____________. 答案 (－2,3]解析 由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．2．(2017·天津改编)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12， ∴－π12<θ－π12<π12，即0＜θ＜π6.显然当0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但当sin θ＜12时，由周期函数的性质知，0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分不必要条件，即“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分不必要条件． 3．(2017·浙江改编)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝________. 答案 (－1,2)解析 ∵P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}， ∴P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}．4．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0. 当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0， 此时不存在负数λ，使得m ＝λn .故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos m ，n ＜0⇔cos m ，n ＜0 ⇔ m ，n ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当 m ，n ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 押题预测1．若集合A ＝{x |1≤2x ≤8}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( ) A ．(2,3] B ．[2,3]C ．(－∞，0)∪(0,2]D ．(－∞，－1)∪[0,3]押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 A解析 A ＝[0,3]．又log 2(x 2－x )>log 22，即x 2－x >2， 解得x <－1或x >2，所以B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 所以A ∩B ＝(2,3]．2．设x >0，则“a ＝1”是“x ＋ax ≥2恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A解析 由题意得x ＋a x ≥2⇔⎝⎛⎭⎫x ＋a x min ≥2⇔2a ≥2⇔a ≥1，故“a ＝1”是“x ＋ax ≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.3．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中是“Ω集合”的所有序号为( ) A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．①③④押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 A解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A. 强化练习A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ，∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．设集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1] B ．[－1,0) C ．[－1,0] D ．(－∞，1]答案 B解析 因为A ＝[－1,1]，B ＝(－∞，0)， 所以A ∩B ＝[－1,0)．故选B.3．(2017·浙江省五校联考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(∁U A )∩B等于( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |0<x ≤3}D ．{x |0≤x <3}答案 D解析 因为U ＝R ，A ＝{x |x ≥3}，所以∁U A ＝{x |x <3}，又因为B ＝{x |0≤x <5}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x <3}，故选D.4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合， 集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.5．(2017·绍兴一中适应性考试)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中含有元素1的子集个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由于A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，则B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，则集合B 中含有元素1的子集为{1}，{1,2}，{1,5}，{1,2,5}，共4个，故选B. 6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ， 所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0D ⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 7．(2017·杭州学军中学模拟)已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 由于公比q <1时数列{a n }未必是递减数列，如q ＝－1<1，数列{a n }为摆动数列，所以充分性不成立；另一方面，当数列{a n }为递减数列时，不一定有公比q <1，例如：－2，－4，－8，所以必要性不成立，故选D. 8．以下四个命题中，正确的个数是( )①命题“若f (x )是周期函数，则f (x )是三角函数”的否命题是“若f (x )是周期函数，则f (x )不是三角函数”；②已知函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋2)，若f ⎝⎛⎭⎫12>0，则0<a <1； ③在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“A >B 成立”的充要条件； ④若函数f (x )在(2 015,2 017)上有零点，则一定有f (2 015)·f (2 017)<0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于①，命题“若f (x )是周期函数，则f (x )是三角函数”的否命题是“若f (x )不是周期函数，则f (x )不是三角函数”，①错；对于②，f ⎝⎛⎭⎫12＝log a54>0，则a >1，②错；对于③，在△ABC 中，当sin A >sin B 时，由正弦定理a sin A ＝bsin B 有a >b ，由大边对大角有A >B ，当A >B 时，得a >b ，由正弦定理有sin A >sin B ，所以“sin A >sin B ”是“A >B 成立”的充要条件， ③正确；对于④，举例：函数f (x )＝(x －2 016)2在(2 015,2 017)上有零点x ＝2 016，但f (2 015)·f (2 017)＝1>0，④错．故只有1个正确．9．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝______，(∁R A )∩B ＝________.答案 [－2,2] (0,2] 解析 ∵A ＝{x |－2≤x ≤0}， ∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．10．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值的集合为__________． 答案 {a |－2<a ≤0}解析 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥0，－a <2，即－2<a ≤0.11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列命题：①命题“若方程ax 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则a ≤14”的逆否命题是真命题；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③函数f (x )＝2x －x 2的零点个数为2；④幂函数y ＝x a ()a ∈R 的图象恒过定点()0，0；⑤“向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b <0”； ⑥方程sin x ＝x 有三个实根． 其中正确命题的序号为________． 答案 ②解析 ①若方程ax 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则a ≠0且Δ≥0，解得a ≠0且a ≤14，可知原命题为假命题，其逆否命题也为假命题，①错误；②f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，由函数f (x )的最小正周期为π，可得a ＝±1，充分性不成立，由a ＝1，可得函数f (x )的最小正周期为π，②正确；③由函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象可知，两函数图象有三个交点，故函数f (x )＝2x －x 2的零点个数为3，③错误；④当a <0时，幂函数y ＝x a 的图象不过点()0，0，④错误；⑤“向量a 与b 的夹角是钝角或平角”的充要条件是“a ·b <0”，⑤错误；⑥函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内切线斜率为(0,1)，可知其函数图象在⎝⎛⎭⎫0，π2内与函数y ＝x 没有交点，故方程sin x ＝x 只有一个实根x ＝0，⑥错误．B 组 能力提高13．已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2 (r >0)，若p ：1≤r ≤3；q ：圆C 上至多有3个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由点到直线的距离公式，得圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离为2，故当0<r <1时，圆上到直线的距离为1的点有0个；当r ＝1时，圆上有1个点满足；当1<r <3时，圆上有2个点满足；当r ＝3时，圆上有3个点满足；当r >3时，圆上有4个点满足．故选A. 14．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由[x ]的定义，当[x ]＝[y ]时，则|x －y |<1，若|x －y |<1时，比如x ＝3.5，y ＝2.9，此时[x ]＝3，[y ]＝2，[x ]≠[y ]，所以“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的充分不必要条件．15．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立．当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎨⎧ a <3<5a ，5a≤5， 解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25.当a <0时，不符合题意．综上，答案为⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]． 16．(2017届福建连城县二中期中)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．答案 ①④ 解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12∉Z 不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i 则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．。