第三章 参数多项式的插值与逼近
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
数值分析讲义第三章 函数逼近
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
插值与逼近
l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
多项式插值和最佳逼近简析及比较
多项式插值和最佳逼近简析及比较多项式插值法是将若干离散的数据点用某个规律的多项式的综合函数来拟合表示，适用于已知曲线但未知函数时，利用经过几个点的函数值形成的初等多项式确定曲线上所有点的值。
最佳逼近是以尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，或者存在一般约束条件下最小化拟合误差的极小曲线为目的。
条件约束的最小曲线常数的综合函数叫做最佳逼近曲线，其特色是在一定条件下准确地逼近离散点，甚至可以精确地逼近实质上的曲线。
比较：
1. 多项式插值更加简单，计算量小，但过拟合的可能性比较大，特别是当数据点分布不够均匀时；
2. 最佳逼近算法比较复杂，耗时较长，但是更拟合数据，并且能够尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，更能够认型数据分布规律。
插值与逼近
的线性插值函数 。
线性插值的几何意义:通
过点 A( x0 , f ( x0 )) B( x1 , f ( x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)。由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为 y1 y 0 p( x) y 0 ( x x0 ) x1 x0
y=f(x) p(x)=ax+b A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
称之为基本插值多项式。事实上
P( xi ) y0 p0 ( xi ) y1 p1 ( xi ) yn pn ( xi ) yi pi ( xi ) yi
再证明插值多项式的唯一性。假设次数不高于n 的多项式P(x),q(x)都经过数据点( xi , yi )(i 0,, n) 则P(x)-q(x)是次数不高于n的多项式，它有n+1 个零点x0 , x1 , xn ，所以它的所有系数都等于零 ．即P(x)和q(x)的对应系数相等。
[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值
为已知 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xn ) ,即 y i f ( xi ) 若存在一个f(x) 的近似函数 p ( x ) ,满足
p( xi ) f ( xi ) (i 1,2,, n)
则称 p ( x)为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插值函数, 而 误差函数 r ( x) f ( x) p( x) 称为逼近余项, 区间[a, b]称为
插值函数 p ( x) 在n+1个互异插值节点 x (i=0,1,…,n )
i
处与 f ( xi )相等,在其它点x就用 p ( x) 的值作为f(x)的近似值 ，这一过程称为插值，点 x 称为插值点。换句话说, 插
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
第三章 参数多项式的插值与逼近
第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。
2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。
这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。
4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。
5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。
• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。
• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。
• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。
多项式逼近和插值
多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。
多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。
下面介绍它们的原理和应用。
一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。
最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。
假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。
我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。
最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。
最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。
例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。
二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。
两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。
在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。
插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。
它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
逼近论是研究函数逼近的数学分支。
它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。
逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。
插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。
插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。
插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。
数学中的函数逼近与插值理论
曲线拟合是通过一系列已知的数据点，找 到一条曲线来近似地表示这些数据点。曲 线拟合方法包括线性拟合、非线性拟合等， 用于分析数据的规律和预测未知数据点的 取值。
线性回归分析
优势 效果
应用
简单易懂 数据关系
预测与决策
非线性拟合方法
01 多项式拟合
适应性广泛
02 指数函数拟合
复杂数据
多项式逼近方法比较
多项式逼近
简单易懂 计算速度快 适用范围广泛 效果依赖于阶数
误差分析
评估逼近准确性 控制误差范围 提高逼近稳定性 确定逼近条件
01 04
插值方法
实现数据点完全一致
容易出现过拟合
适用于离散数据
02
插值误差较小
最佳逼近
误差最小化
03
适用于实际应用
更高的逼近效果
需要确定逼近范围
总结
多项式逼近与插值在数学中起着 重要作用，通过多项式逼近方法， 可以用简单的多项式函数近似表 示复杂的非线性函数，插值方法 可以通过已知数据点实现精确逼 近。在实际应用中，选择合适的 逼近方法和误差分析是十分重要 的。
03
曲线拟合的评价指标
均方误差
衡量模型与真实数据的拟合程度
01
决定系数
反映模型对数据变异的解释能力
02
04 03
总结
曲线拟合是数学中重要的理论之 一，通过逼近与插值方法，能够 更好地理解数据背后的规律，为 预测与决策提供依据。线性回归 和非线性拟合方法各有优势，评 价指标能够帮助我们选择合适的 拟合模型。
常见
通过数值积分逼近函数积分 数值积分、概率统计
评估逼近的精度和稳定性 梯形法则、辛普森法则
计算物理学：第三章 函数逼近(插值和拟合)
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
y(x)
=
(x− (x0 −
x1)(x− x2) x1)(x0 −x2)
y0
+
(x− (x1 −
x0)(x− x2) x0)(x1 −x2)
y1
+
(x− (x2 −
x0)(x− x1) x0)(x2 −x1)
y2
y(7) = (7− 4)(7− 9) ×1+ (7 −1)(7 − 9) ×2+ (7−1)(7 − 4) ×3 (1− 4)(1− 9) (4−1)(4− 9) (9−1)(9− 4)
xn ) − xn
)
Language 插值程序
1. function f = Language(x, y, x0) ：x0 待求点的坐标
2.
3. f = 0.0;
4. for(i = 1:n)
5. l = y(i);
6. for(j = 1:i-1)
7.
l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
0858724127582961113拟合曲线与实验点的关系321可化为线性拟合的情形一些非线性关系可以通过变换变为线性关系我们更关心的是关于系数ab是否线性关系lnlnlnlnlnlnln在某化学反应里测得生成物浓度y与时间t的数据如下试建立y关于t的经验公式t12345678910111213141516y40064080088092295097098610001020103210421050105510581060画出时间与浓度
反插值方法
+ ( y + 2.0)( y + 0.8)( y − 0.4) × 2.0 (1.2 + 2.0)(1.2 + 0.8)(1.2 − 0.4)
多项式插值与逼近
3.1.2 数据点的参数化 欲唯一的确定一条插值于n+1个点Pi(i=0,1,…,n)的参 数插值曲线或逼近曲线，必须先给数据点Pi赋予相 应的参数值Ui，使其形成一个严格递增的序列，称 为关于参数u的一个分割(partition),其中，每个参数 值称为节点（knot）或断点（breakpoint）
通常，用逼近曲线上参数值为Uk的点P(Uk)与数据点Pk间距离 的平方和
J = P(u k )-Pk =J x +J y +J z
2 k=0
m
达到最小来刻划逼近的程度。下面就是根据求偏导来计算。
由于输入比较麻烦，就不详细了
3.4 弗格森参数三次曲线
由于高次参数多项式曲线存在缺点，不适合用来插值，而低 次多项式曲线又难以用来描述形状复杂的曲线。唯一的选择 就是：将一段段低次曲线在满足一定的连接条件下逐段拼接 起来。这样以分段(piecewise)方式定义的曲线称为组合 (composite)曲线。
=
p(1)
= p (0) = p 1
可以写成矩阵的形式，可以求解出系数矢量。
0 1 -2 1
将上式代入（3.1）得
p(t)= 1 t t 2
p(0) 1 0 0 0 0 0 1 0 p(1) t3 -3 3 -2 -1 p (0) 2 -2 1 1 p (1)
3.4.1 参数三次曲线方程
参数三次（parametric cubic）曲线，简称PC曲线，若采用 幂基表示
p(t)=a0 +a1 t +a2 t +a3 t t [0,1]
第三章 多项式插值(11)
2011-11-6
b
J. G. Liu
记
A = (aij ), aij = (ϕi ,ϕ j ) = a ji = ∫ ρ ( x)ϕi ( x)ϕ j ( x)dx,
a
b j = ( f ,ϕ j ) =
可得
ρ ( x ) f ( x )ϕ j ( x ) dx , c = (c1 , c2 ,L, cn )T , ∫a
5 North China Elec. P.U.
School of Math. & Phys.
Numerical Analysis
2011-11-6
J. G. Liu
对于一般的基函数ϕi ( x)(i = 1, L, n), 当n比较大时, 计算和求解 法方程的计算量是比较大的, 虽然取H n = Span 1, x， , x n , L
4、埃尔密特(Hermite)多项式 、埃尔密特 多项式
区间（ − ∞, ∞）上带权ρ ( x) ≡ e 的正交多项式 :
− x2
d n − x2 (e ), n = 0,1, 2, L H n ( x) = (−1) n e x n dx 称为埃尔密特（Hermite)正交多项式。
2
5、三角函数系 、 返回
n
2
多元函数取 得极小值的 必要条件
i.e.
∑ c (∫ ρ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)dx) = ∫ ρ ( x) f ( x)ϕ ( x)dx
b b i =1 i a i j a j
n
School of Math. & Phys.
3
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
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Li (u ) = Õ
u - u j u - u j
i = 0,1,L , n
i , j = 0 i i ¹ j
可以证明：
n
å L (u ) º 1
i i = 0
2012年9月11日9时27分 25
二、Lagrange插值曲线
优点： 1）规范性，保证Lagrange插值曲线具 有仿射不变性。 2）无需解方程组。 缺点： 1）不便于修改，每当改动、增加、减少 一个数据点，基函数必须重新计算。 2）随着数据点的增加，曲线次数升高， 可能产生龙格现象，曲线形状难以控 制。 2012年9月11日9时27分
二、数据点的参数化
1、主要的参数化方法： （1）均匀（Uniform）参数化： 即：
△i＝ui＋1－ ui＝正常数， i ＝0，1，…n－1。
这样的参数化使参数节点在参数轴上等距 分布，但由于数据点之间的距离并不一定相 等，所以导致弦长短的一段膨胀的很严重，甚 至出现尖点或自交点；而弦长长的一段曲线角 扁平。
k
å （2）部分规范基表示：即满足 ji º 1, 0 £ k < n
r r r 如： p(u ) = a0 + a1 u 其中 j0 = 1
2012年9月11日9时27分
i = 0
4
一、几何不变性：
（3）非规范基表示：除规范基表示和部 分规范基表示以外的其它基表示。 4、基表示与几何不变性的关系： 曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。 5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐 标与整体坐标之间的转换；（2）便于平 移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2012年9月11日9时27分 6
u = u (t )
二、参数变换（重新参数化）
2、曲线的参数变换：设给定的一个正 则曲线 r r p = p(u ), u Î [u0 , u1 ] 若令 u = u (t ) 且满足
du ¹ 0 [t0 , t1 ] Þ [u0 , u1 ] dt r r
n 0 n 1
UA = P
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一、幂基插值曲线
特点： 1）矩阵U为Vandermond矩阵，因为参 数分割是严格单调增加的，所以，矩阵U 非奇异，矢量系数向量A存在唯一解。 2）矢量系数的几何意义不明显。 3）随着数据点的增加，矩阵U会很大， 实际求解时，计算量较大。
n
å
i = 0
r r p i Li ( u j ) = p j
j = 0,1, L , n
2012年9月11日9时27分
24
二、Lagrange插值曲线
要求： (u ) = d = ì1 i = j Li j í ij
0 î i ¹ j
拉格朗日基函数Li (u ) 为：
上述方法常用于样条曲线在进行局部修改是涉及
2012年9月11日9时27分
到的整体参数和局部参数的变换
8
r r k d k p d k p æ du ö = ×ç ÷ dt k du k è dt ø
二、参数变换（重新参数化）
域变换不仅使曲线上的点和参数域内点的 对应关系不变，而且若保持曲线的方向 不变，即 du > 0 就可以保证高阶导矢的 dt 方向不变，仅模长发生变化。即：
r r du 因为原曲线是正则的，所以 dp ¹ 0 又 du r r dt r dp dp du 所以 = × ¹ 0 dt du dt
则曲线方程变为： p = p[u (t )]
¹ 0
若重新参数化不合适，则可能导致新旧 参数不是一一对应，曲线出现奇点。
2012年9月11日9时27分 7
所以参数变换后的曲面仍是正则的
10
第二节 参数多项式插值与逼近的基本概念
一、基本概念 1、插值（Interpolation）：给定一组有 序的数据点，构造一条曲线顺序通过这 些数据点，称为曲线插值。同理，若构 造一张曲面通过这些数据点，就称作曲 面插值。 2、逼近（Approximation）：构造一条曲 线（或一张曲面）使之在某种范数意义 下最接近给定的数据点，称作曲线（曲 面）逼近。 3、拟合：逼近和插值统称拟合。
2012年9月11日9时27分
23
二、Lagrange插值曲线
n r r 形式： p (u ) = p L (u ) å i i
r 其中：p 为待插值的数据点； i
i = 0
Li (u 为拉格朗日基函数 )
在对数据点进行参数化，确定参数分割后，代入 插值条件：
r p (u j ) =
26
二、Lagrange插值曲线
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象
10个插值点构成的Lagrange插值曲线
2012年9月11日9时27分 9
二、参数变换（重新参数化）
3、曲面的参数变换：设给定的一个正则曲面：
r r P = P (u , v ), (u , v) Î D 令
ìu = u (u , v ) , (u , v ) Î D 且Jacobi行列 í î v = v(u , v )
r 其中： a i
å
为矢量系数，修改它可以改 变曲线曲面的形状
i = 0
ji 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时）
的基函数，决定曲线曲面的几何性质
2012年9月11日9时27分 3
一、几何不变性：
3、基表示的分类： （1）规范基表示：即满足Cauchy条件 n å ji º 1 也称权性。这种表示下，曲线 i = 0 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
第三章 参数多项式的 插值与逼近
2012年9月11日9时27分
1
本章内容
• • • • • 几何不变性与参数变换 参数多项式插值与逼近的基本概念 参数多项式插值曲线与逼近曲线 张量积曲面 参数双三次曲面片
2012年9月11日9时27分
2
第一节 几何不变性和参数变换
• 一、几何不变性： 1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。 r n r aiji 2、曲线曲面的基表示： P =
2012年9月11日9时27分 15 二、数据点 Nhomakorabea参数化
不同的参数化方法得到的多项式参 数曲线也不相同。
Chord length [0,8] [0,1] [0,1] [0,1]
2012年9月11日9时27分
[0,1] Uniform [0,3] [0,1] [0,4]
16
二、参数变换（重新参数化）
特别的，如果u是t的线性函数，则将这种参数 变换称为域变换。
r p (u ) u Î [u1 , u2 ] 要进行域变换，成为： 例如：曲线
r r u - u t = 2 中解出u = u1 + t (u2 - u ) p = p[u (t )] t Î [0,1] 只需从 1
r 代入 p (u ) 即得
r r p = p[u (t )] t Î [0,1]
u - u1
r 反之，若要将曲线 p (t ), t Î [0,1] 进行域变换，成为：
r u - u 1 p[t (u )], u Î [u1 , u2 ] 只需从 u = u1 + t (u2 - u1 ) 中解出t = u2 - u1 r r p (t ) 即得 p[t (u )], u Î [u1 , u2 ] 代入
2012年9月11日9时27分
5
u = u (t )
二、参数变换（重新参数化）
• 1、概述 • 曲线的参数域总是有界的。 • 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没 有。 • 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中 的参数值之间的一种对应关系。 • 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是 一一对应的，后者称为奇点（Singular point），如曲线的自交点。 • 同一条曲线的参数化方法并不唯一。
n r r j r p (ui ) = å a j ui = pi j = 0
2012年9月11日9时27分
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一、幂基插值曲线
即：
é1 ê ê1 êM ê ê1 ë
记作：
u0 L u1 L M L un L
r r u ù é a0 ù é p ù 0 úêr ú ê r ú u ú ê a1 ú ê p ú = 1 M úê M ú ê M ú êr ú n ú ê r ú un ú ë an û ë p û n û
18
二、数据点的参数化
• （3）向心参数化
ì u = 0 ï 0 í r 1 2 ïui = ui -1 + Dpi -1 î i = 1, 2, n L
（4）福利参数化（修正弦长参数化方法）
2012年9月11日9时27分
19
二、数据点的参数化
2012年9月11日9时27分
2012年9月11日9时27分 11
一、基本概念
Interpolating Curve
P 1 P 0 P 2 P 3 P 4
P 1 P 0 P 2
P 3
Approximating Curve
2012年9月11日9时27分
P 4
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一、基本概念
20
第三节 参数多项式插值曲线与逼近曲线
一、幂基插值曲线 形式：
n r r j p (u ) = å a j u j = 0
r 其中：aj j=0,1, ,n为待定的矢量系数 L