高等数学课件--D10_1二重积分概念

3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法
2012-10-12
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
1 1

xy d x d y
x y 1
I3

1 1
xy d x d y
y
1 1
O
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负,
D
f ( x, y ) d
2 ( y) 1 ( y )
[
记 作
d
f ( x, y ) d x ] d y
y c O
x
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例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x y R , x z R
记 作 b
2 ( x)
1 ( x )
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f ( x, y ) d y
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同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d

则其体积可按如下两次积分计算
V
c
y
d
x 1 ( y) x 2 ( y)
解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
1
O
D 1 2
3 x x y 1
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y) ( x y)

2 3
D
( x y ) d ( x y ) d
2 3 D
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
O
a
x0 b x
y 1 ( x)
故曲顶柱体体积为
V

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D
f ( x, y ) d A( x)d x
a
b
a [ ( x )
1
b
2 ( x)
f ( x, y ) d y ] d x d x
a
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D
D1
f ( x, y ) d
D2
f ( x, y ) d
为D 的面积, 则
1 d d
D D
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5. 若在D上 f ( x, y ) ( x, y ) , 则
D f ( x, y ) d
D
由连续函数介值定理, 至少有一点
f ( , )
使
D f ( x, y ) d
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因此
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例1. 比较下列积分的大小:
D ( x y )
2
d ,
D ( x y )
3
d
y
其中 D : ( x 2) 2 ( y 1) 2 2
3. 计算
解:

0 cos( x y) 0 d y 0 [sin y cos y ] d y
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个
f ( k , k )
D
( k , k )
k
中任取一点
则
(k 1, 2 ,, n)
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
f ( k , k ) k
k 1
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2 2 2 2 2 2
z
R
O
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
y
2 2
2
则所求体积为
0 y R x ( x, y ) D : 0 xR
2
2
xx z R
2
2
8 8 ( R x ) d x
2 2 0
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由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
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x
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1
y x
D
3
d ,
I3
y
D
1
2 x3
d
的大小顺序为 ( D
)
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
k 1
n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
O ( k ,k )
k
x
M lim
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( k , k ) k 0
k 1
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n
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
V lim
f ( k , k ) k 0
k 1
n
n
平面薄片的质量:
M lim
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( k , k ) k 0
k 1
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
1
D
f ( x, y ) d 2
D1
f ( x, y ) d 0
O
D
x
(2) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
D f ( x, y ) d
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果. 在第一象限部分, 则有
4 (x y ) d x d y
相应把薄片也分为小块 .
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O
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n ,
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2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 ( k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”

y
( k , k ) k
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例2. 估计下列积分之值
I
100 cos 2 x cos 2 y
D
d xd y
D : x y 10
y
10
解: D 的面积为 (10 2) 2 200 由于
1 102
1 100 cos x cos y
k
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M
y
若
非常数 , 仍可用
D
“大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.
1)“大化小”
R
0
R x d x
2 2
R x
dy
0
R
16 3
R
3
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f ( x, y ) d lim f ( i ,i ) i (d dxd y )
0
i 1
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3
2
2
O 1
32
x
1

D2
x y 1d x d y
2
2
D1
舍去此项 猜想结果为负

D1
d xd y
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
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在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 8. 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y ) f ( x, y ), 则 D


D ( x, y ) d

特别, 由于 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
D f ( x, y ) d
D
f ( x, y ) d
6. 设 则有
m
D
D 的面积为 ,
f ( x, y ) d M
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n
4)“取极限”
( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1
令 max ( k )
1 k n
V lim
f ( k , k ) k 0
k 1
n
f ( k , k )
( k , k )
第十章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质