例谈高考数学常考、易错、失分点--函数篇

例谈高考数学常考、易错、失分点--函数篇

【易错点5】映射与函数

例5、已知函数()y f x =()x F ∈，若集合{(,)|(),}A x y y f x x F ==∈，

{(,)|1}B x y x ==，则A B 中所含元素的个数有 个

【易错点诊断】：此题误认为由于集合A 、B 均表示点集，故直线与一函数图像的交点个数有无穷多个，而忽略了函数的定义。

解析：由于集合A 表示函数()y f x =()x F ∈图像上的点构成的点集，集合B 表示垂直于x 轴的直线1x =，由于函数是一个特殊的映射，其自变量与函数的对应可以是一对一、多对一，但一对多不构成映射，故其元素个数只能是0个或1个。

【迷津指点】函数f : A →B 是特殊的映射，特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！因此理解函数的概念更多的可从映射的角度去理解和把握，据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

例6、若()(),f x g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x -=⎡⎤⎣⎦有实数解，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是（） A 、2

15

x -

B 、2

15

x +

C 、2

15

x x +-

D 、2

15

x x ++

【易错点诊断】本题主要考查函数的概念，由于给定的条件较为抽象，学生易思维受阻，找不到解题思路，对抽象函数的解答应回归到函数的基本概念及性质上来，此题应从映射的角度来理解“对应法测”寻求解题思路。

解析：由题意可知，存在0x ，使()000x f g x -=⎡⎤⎣⎦，即()00x f g x =⎡⎤⎣⎦，从函数定义出发，画出映射帮助思考，如图从A 到B 再到C 是由题意可得，如果继续对C 集合中的0x ，应用法则g ，则会得到()0g x ，从B 到C 再到D 的映射为()()000f

g

g x x g x →→，即存在

()0u g x =，使()g f u u =⎡⎤⎣⎦，即函数()g f

x ⎡⎤⎣⎦过点(),u u ，即方程()g f x x =⎡⎤⎣⎦

有解，

易知2

15

x x x ++

=在实数集R 上无解故选D 。

【适用性练习】

（1）函数{}{}:1,2,31,2,3f →满足()()f f x f x =⎡⎤⎣⎦，则这样的函数个数共有 (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个

解析：答案：D ；从映射角度明确两集合中元素的对应情况，若象有且只有一个，则这样的

映射对应函数均符合，这样的函数有3个，若象有且仅有2个，则必需相应的原象对应相同的数值,剩下一个可以任意对应，这样的映射即函数共有2

326C ⨯=个，若象有三个,满足条件的函数只有1个即只能1,2,3分别对应于1,2,3.综上满足条件的函数共有10个. （2）若函数 y= f （x-1）的反函数是 y= f -1

（x-1），则下列等式成立的是（ ） A 、f （x ）= f （x-1） B 、f （x ）= -f （x-1） C 、f （x ）- f （x-1）=1 D 、f （x ）- f （x-1）= -1

解析：由反函数的知识（或映射知识）易知y= f -1

（x-1）可等价推出x-1=f(y),故其原函数为y-1=f(x)也就是y=1+f(x)而由题意知原函数为y= f （x-1）故y= f （x-1）=1+f(x)从而f （x-1）-f(x)=1，答案：D

【易错点6】已知()y f x =的定义域，确定()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦定义域类问题,求解函数一类问题要树立定义域优先的意识.

例7、已知函数3()log 2,[1,9]f x x x =+∈，试求函数()22

[()]()g x f x f x =+的最大值。 【易错点诊断】此题极易忽略函数()g x 中()2f x 对定义域的限制，而错误的将函数()

g x 的定义域认为仍是[1,9]而导致错解。

解析：由于()y f x =的定义域为[1,9]，故对于()22

[()]()g x f x f x =+自变量需满足

2

19

1319

x x x ≤≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩，故函数()g x 的定义域为{}|13x x ≤≤，从而()()2

2

33log 2log 2x

x g x =+++()

()2

2

3

33log 6log 6log 33x

x

x

=++=+-，由于[]1,3x ∈，

故[]3log 0,1x

∈，故当3log 1x

=时函数取得最大值13。

【迷津指点】复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。在解答函数如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等等一定要养成定义域优先的意识。 【适用性练习】 （1）已知函数()[],9,1,2log 3

∈+=x x x f 求函数()[]()2

2

x

f x f y +=的单调递增区间.

答案: {}|13x x ≤≤ （2）设2()lg

2x f x x

+=-，则2

()()2

x f f x

+的定义域为

A ．(4,0)(0,4)-

B ．(4,1)(1,4)--

C ．(2,1)(1,2)--

D ．(4,2)(2,4)--