数学学业水平测试复习提纲(三角专题)2010.06.01

第一节三角函数中的有关概念0.角概念的推广：⑴与α终边相同的角，象限界角，象限角，区域角．⑵弧长公式，扇形面积公式1.定义推论一:圆222x y r+=上任意一点(cos,sin)P r rαα(圆的参数方程)例:1、已知向量()()cos,sin,3,1,a bαα==-则2a b-的最大值是___________．提示：平方化归为关于α的函数求最值；几何意义：向量2,a b所对应的点A，B都在以原点为圆心，以2为半径的圆上，从而2a b-的几何意义即弦长，所以最大值是4方法2：先求平方方法3：先求坐标，再代入公式，不如方法2好．联系：求值域：sin4cos3xyx-=+2、（2009安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OC xOA yOB=+其中,x y R∈,则x y+的最大值是________.[解法1]设AOCα∠=1cos21cos(120)2x yx yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩,,OC OA xOA OA yOB OAOC OB xOA OB yOB OB⎧∙=∙+∙⎪⎨∙=∙+∙⎪⎩，即∴02[cos cos(120)]cos2sin()26x yπααααα+=+-==+≤[解法2]以O为原点建立直角坐标系，则12(1,0),(,(cos,sin),0,223A B Cπθθθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则c o s2s i n2yxθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cosxyθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos2sin()6x yπθθθ+=+=+[解法3],OC xOA yOB=+两边平方得：2222()1()3()3()24x y x yx y xy x y xy x y22++=+-=+-≥+-=方法4：（定义法）过点C 作OA 的平行线交OB 于1B ，记1C O B θ∠=，则1sin sin(120)sin 60x y θθ==︒-︒3．O 的直径是1，点C 在直径AB 的延长线上，1BC =，点Ｐ是O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧． 求四边形OPDC 面积的最大值．4．必修四P141例4扇形内接矩形面积的最大值． 推论二:当1r =时即为三角函数线.应用:⑴解三角不等式（线性规划的角度理解） 例：1sin 2x >；sin cos x x > ；sin cos x x >． ⑵理解图象与性质：单调区间，最值．推论三：特殊角的三角函数值，符号规律，同角关系，诱导公式2,,3,22k πααπαππαα±-±⎧⎪⎨±±⎪⎩第二节 化简求值证明１． 化简：⑴方向：差异分析法⎧⎪⎨⎪⎩角：用已知角表示未知角名：切化弦形：通分,消元等，消除差异！例：求值：4sin 40tan 40︒-︒ 提示：2sin80sin 402cos10sin 402cos(4030)sin 404sin 40tan 40cos 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒︒-︒-︒︒-︒===︒︒︒⑵工具：降幂公式：222244sin cos ?,cos sin ?,sin cos ?x x x x x x =-=-=＝？，升幂公式：1cos ?,1cos ?,1sin ?,1sin ?x x x x +=-=+=-=辅助角公式（特殊：sin cos ?,cos ,s ,tan ,1x x x x x inx x x ±=±±±）如67版例1，2２．求值：⑴同角间相互确定：Rt ∆法（如：已知1tan ,sin 3ααα=-在第四象限，求）． ⑵齐次式（如：已知1tan 3α=-，求2sin cos 3sin x αα+） 推论：万能公式？⑶2(sin cos )12sin cos αααα±=±，知二求一．⑷给值求值：用已知角表示未知角（P147（cos()sin 0,352ππααα++=--<<求cos α）变式：cos()sin 0?32ππααα+⋅=-<< ⑸给值求角：先求某种三角函数（有切求切，皆弦求弦），确定角的范围，定角（一般唯一）⑹会缩小角的范围（隐含条件）： ①由符号（如已知1sin cos ,05ααθπ+=<<，求tan θ） ②与特殊值比较并由单调性判断例：已知1n ,0,tan tan 0566ta ππαθπαα=<<<=∴<< （教材Ｐ137）53sin ,cos ,cos 135ABC A B C ∆==中，求．（1665-）变式：求角C （求哪种三角函数？）③由函数的有界性知等式中隐含不等关系．（如67版例3）例：⑴若,αβ均为锐角，且2sin sin()ααβ=+，则,αβ的大小关系为________．（αβ<） 提示：右边展开，2sin sin()sin cos cos sin sin sin ααβαβαβαβ=+=+<+ 故sin sin αβ<⑵已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，求角C ．提示：平方相加得1sin 2C =，由于213sin 64cos 2,sin sin 32A B A C =->∴>>=，故 例：已知在ABC ∆中，35sin ,cos 513A B ==，求cos C （1665）④由定义隐含条件例：一个锐角三角形的三边长分别为3，４，a ,则实数a 的取值范围是____________．提示：能构成三角形则17a <<，讨论４，a 分别为最大角．最后是：)⑤⑥；3．证明同化简．第三节 三角函数的图象与性质1、熟记sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象与性质（准确） 对称中心：与平衡位置的交点；思路3：()08f π'-=例：对于函数sin (sin cos )()cos (sin cos )x x x y f x x x x ≥⎧==⎨<⎩，下列例题中正确的是：Ａ．该函数的值域为[]1,1- Ｂ．当且仅当()22x k k Z ππ=+∈时，函数取得最大值１Ｃ．该函数是以π为最小正周期函数 Ｄ．当且仅当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x > 提示：Ｄ 2、函数()sin y A x ωφ=+ 的性质：代公式（整体换元），化归为1（注：求单调区间时先化正）⑴()sin y A x ωφ=+为奇函数，则φ＝？；为偶函数，则φ＝？⑵()cos y A x ωφ=+为奇函数，则φ＝？；为偶函数，则φ＝？ 3、求最值：换元→画图→截取→观察例、求值域：①11sin 2,,42424y x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦②2sin 2cos 5y x x =+- 4．五点法与由图象写解析式：⑴会用五点法画图；会用第一个点及＂基本形状＂画示意图．（如64版8） ⑵写解析式时φ的确定：五点对应 5．图象变换：A 、ω、φ对图象的独立影响．第四节 解三角形一、角的关系：A B C π++=cos()?cos()?2sin 2sin 2?cos 2cos 2?sin cos 2A B A B A B A B A B A Bπ+=+==⇒=⇒+>⇒>锐角三角形中：二、边角关系 １．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== ⑴能解决？解的个数？⑵变形：边的齐次式↔内角正弦的齐次式例：在ABC ∆中，已知22,sin sin sin ,a b c A B C =+=⋅试判断ABC ∆的形状．提示：22,a b c a bc =+⎧⎨=⎩解得a b c ==，故为等边三角形．２．余弦定理：2?a = ⑴能解决？⑵变形：cos ?A A =⇒⇔为钝角？⑶射影定理：cos cos a b C c B =+，如何证明？3．面积公式111sin ()2224ABCabc Sah ab C a b c r R===++= 推论：内角平分线定理：CD DFCE FE =DEF4．直角三角形的射影定理：22,CD DF DE CF DF FE =⋅=⋅（2007广东，理2０文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．D EF。