高中数学必修四北师大版从力做的功到向量的数量积2 课时作业含答案

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2020-2021学年北师大版高中数学必修4《从力做的功到向量的数量积》课时练习及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修四§5 从力做的功到向量的数量积课时目标1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．1．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b________． ③当θ＝180°时，a 与b________． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________． 2．射影的概念____________叫作向量b 在a 方向上的射影．____________叫作向量a 在b 方向上的射影．3．向量的数量积的定义已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a与b的__________(或________)，记作________，即____________________________________．4．数量积的基本性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔__________；(2)当a与b同向时，a·b＝__________，当a与b反向时，a·b＝____________；(3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2；(4)cos θ＝__________________(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立)．5．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32D ．13．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a －b|等于( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于( ) A ．－32 B ．0 C ．32D ．35．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b)·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12二、填空题7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b ·(2a ＋b)的值为________． 8．给出下列结论：①若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；②若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c ；③(a ·b)c ＝a(b ·c)；④a ·[b(a ·c)－c(a ·b)]＝0．其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________． 10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b|，|a －b|．能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．§5 从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1．(1)非零向量∠AOB ①[0，π] ②同向③反向(2)90°a⊥b2．|b|cos θ|a|cos θ3．|a||b|cos θ数量积内积a·ba ·b ＝|a||b|·cos θ4．(1)a ·b ＝0 (2)|a||b| －|a||b| (3)|a|2(4)a ·b|a||b|(5)|a||b|作业设计1．D [a 在b 方向上的射影是 |a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．] 2．A [∵(3a ＋2b)·(λa －b) ＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0． ∴λ＝32．]3．B [|2a －b|2＝(2a －b)2＝4|a|2－4a ·b ＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b|＝22．] 4．A [a ·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12．同理b ·c ＝－12，c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32．]5．C [由(2a ＋b)·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ， ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，∴θ＝120°．]6．C [∵a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|， ∴(a ＋2b)·(a －3b)＝|a|2－6|b|2－a ·b ＝|a|2－2|a|－96＝－72． ∴|a|＝6．] 7．0解析 b ·(2a ＋b)＝2a ·b ＋|b|2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0． 8．④解析因为两个非零向量a 、b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a ·b ＝b ·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a ·b)c 与c 共线，a(b ·c)与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b(a ·c)－c(a ·b)] ＝(a ·b)(a ·c)－(a ·c)(a ·b)＝0． 9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．又|a|＝|b|＝|c|，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－|b|2． ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°． 10．[0,1]解析 b ·(a －b)＝a ·b －|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b|≤1．11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12．若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a ·b ＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12． (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0． (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a ·b ＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6．12．解 a ·b ＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252．|a ＋b|＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a ·b ＋|b|2＝25＋2×252＋25＝53．|a －b|＝(a －b )2＝|a|2－2a ·b ＋|b|2＝25－2×252＋25＝5．13．解 (2a －b)·(a ＋b)＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12．|a ＋b|＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1． ∴|2a －b|cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b|·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b|·|a ＋b|＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b|＝12．∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12．14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m ·n ＝|m||n|cos 60°＝1×1×12＝12．|a|＝|2m ＋n|＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b|＝|2n －3m|＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m ·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n)·(2n －3m) ＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－727×7＝－12．又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3．。

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数

2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。

2019-2020年高中数学第2章 5从力做的功到向量的数量积课时作业北师大版必修4

2019-2020年高中数学第2章 5从力做的功到向量的数量积课时作业北师大版必修4一、选择题1．下列命题不正确的是( )A ．若a ·b ＝|a ||b |，则向量a 与向量b 同向B ．若a ·b ＝－|a ||b |，则向量a 与向量b 反向C ．若a ·b ＝0，则向量a 与向量b 垂直D ．若a ·b >a ·c ，则b >c [答案] D[解析] 由向量数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ易知，选项A ，B ，C 正确． 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A ．[0，π2]B ．[π2，π)C ．[π2，π]D ．(π2，π][答案] D[解析] 由ab ＝|a ||b |cos θ知，若a ·b <0，则cos θ<0. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(π2，π]．3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a －b |的值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 3 D ．32[答案] C[解析] |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12. ∴|a －b |＝12＝2 3.4．(xx·重庆理，6)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题知(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2－a·b －2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，再由|a|＝223|b|得83|b|2－223|b|2cos θ－2|b|2＝0，cos θ＝22，即θ＝π4. 5．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D ．72[答案] C[解析] a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3＋2|e 2|2＝－6×12＋1×1×12＋2×12＝－72.6．若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ⊥a B ．c ⊥b C ．c ∥b D ．c ∥a [答案] A[解析] ∵c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝12＋1×2×cos120°＝0，∴c ⊥A ．二、填空题7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝______.[答案] 1[解析] 考查了向量的数量积，垂直等问题．由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2－a ·b ＋k a ·b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾， ∴k －1＝0，k ＝1.8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b方向上的射影为________．[答案] 52[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算．由已知|a |＝13，|b |＝2，a ·b ＝5.∴|a |cos<a ，b >＝|a |×a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝52.三、解答题9．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． [解析] (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22， ∴θ＝45°.∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a ＋b a －b |a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.10．已知|a |＝2，|b |＝4. (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |； (2)当a ∥b 时，求a ·b ；(3)若(a ＋2b )与(3a －b )垂直，求向量a 与b 的夹角． [解析] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋16＝20， ∴|a ＋b |＝2 5.(2)∵a ∥b ，当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |＝8；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |＝－8.(3)由(a ＋2b )与(3a －b )垂直，得(a ＋2b )·(3a －b )＝0，即3a 2＋5a ·b －2b 2＝0，∴5a ·b ＝2b 2－3a 2，∴a ·b ＝4. 设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝42×4＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 一、选择题1．已知a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B ．2－2 C ．－1 D ．1－2[答案] D[解析] 本题考查数量积的运算．设a ＋b 与c 的夹角为θ，则 (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2 ＝0－(a ＋b )·c ＋1＝1－(a ＋b )·c ＝1－|a ＋b |·|c |cos θ ＝1－2·1·cos θ∴最小值为1－2，即a ＋b 与c 同向共线时取得最小值． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 [答案] B[解析] 解法一：要求AB →·BC →的值，需知|AB →|，|BC →|及AB →与BC →夹角θ的余弦值，由图不难发现θ＝π－B ，∴cos θ＝cos(π－B )＝－cos B ＝－|AB →||BC →|.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝|AB →||BC →|(－|AB →||BC →|)＝－|AB →|2＝－12＝－1.解法二：从射影的角度，|BA →|＝1即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，∴AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1.二、填空题3．(xx·湖北理，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝_______. [答案] 9[解析] 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA|2＝32＝9.故本题正确答案为9.4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． [答案]10[解析] 本题考查了向量的运算．∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， ∴2α·β＝α2＝|α|2，∴|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝6α2＋β2＝6|α|2＋|β|2＝6＋4＝10.三、解答题5．若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，判断△ABC 的形状．[解析] OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →. ∵|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，故△ABC 为直角三角形．6．已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3B ． (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？[解析] (1)假设向量c 与向量d 垂直，得c·d ＝0，而c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a·b －15b 2 ＝27m ＋3(5m －9)－60， ∴42m －87＝0，∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．(2)假设c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ， ∴3a ＋5b ＝λ(m a －3b )，即3a ＋5b ＝λm a －3λB ．又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝3，－3λ＝5，解得⎩⎨⎧λ＝－53，m ＝－95，即当m ＝－95时，c 与d 共线．7．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围． [解析] (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |·cos120°＝0，∴(a －b )⊥C ． (2)解：∵|k a ＋b ＋c |>1， ∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1. ∵a·b ＝a·c ＝b·c ＝cos120°＝－12，∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2，即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}．.。

高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课时训练北师

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课时训练北师大版必修4一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b【解析】因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a·b ＝0，故a ⊥b .【答案】 B2．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 c ⊥a ，设a 与b 的夹角为θ，则(a ＋b )·a ＝0，所以a 2＋a ·b ＝0，所以a 2＋|a ||b |cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.故选C. 【答案】 C3．|a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的射影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定【解析】 |a |co s 120°＝2×(－12)＝－1. 【答案】 C4．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 0＝AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.【答案】 A5．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．【答案】 C二、填空题6．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】设AB 的长为a (a >0)，因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0， ∴a ＝12，即AB 的长为12. 【答案】 127．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a ，b＝60°，则实数m＝________.【解析】 ∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49.又∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12， ∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.【答案】 5或－88．(2012·课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10， ∴|b |＝3 2.【答案】 3 2三、解答题9．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |.【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又∵|a |＝1，∴|b |2＝1－12＝12，即|b |＝22， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. (2)|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×12＋12＝102. 10．已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |的值为多少？【解】由c ⊥a 可得c ·a ＝0，则c ＝a ＋b 两边同时与a 求数量积可得a 2＋a ·b ＝0，所以|a |2＋|a ||b |cos 120°＝0，所以|a ||b |＝12. 11．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．【解】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916(t ≠0)．故当t ＝32时，k 取最小值－916.。

2021年高中数学北师大版必修4学案： 2.5 从力做的功到向量的数量积(含解析)

§5 从力做的功到向量的数量积Q 情景引入ing jing yin ru水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的__夹角__，并规定夹角的范围是__0°≤θ≤180°__.当__θ＝0°__时，a 与b 同向；当__θ＝180°__时，a 与b 反向；当__θ＝90°__时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量__垂直__ . 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：__|a ||b |cos θ__叫作向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即__a ·b __＝__|a ||b |cos θ__.(2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影__|b |cos θ__的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影__|a |cos θ__的乘积．3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质： (1)若e 是单位向量，则e ·a ＝__a ·e __＝__|a |cos θ__.(2)若a ⊥b ，则__a ·b ＝0__；反之，若__a ·b ＝0__，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__. (3)|a |＝__a ·a __. (4)cos θ＝__a ·b|a |·|b |__(|a |·|b |≠0)． (5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a |·|b |. 当且仅当__a ∥b __时等号成立． 4．向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有以下结果： a ·b ＝__b ·a __；(λa )·b ＝__λ(a ·b )__＝__a ·(λb )__； a ·(b ＋c )＝__a ·b ＋a ·c __. Y 预习自测u xi zi ce1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( B ) A ．－32 B ．－62 C ．62D ．12 [解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 2．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( B ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12，∴θ＝120°.3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( D ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2[解析] BD →·CD →＝BD →·BA →＝(BA →＋BC →)·BA →＝(BA →)2＋BC →·BA →＝|BA →|2＋|BC →|·|BA →|cos ∠ABC ＝a 2＋a 2×cos 60°＝32a 2.故选D ．4．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝12，则a 在b 方向上的射影为__125__.[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45，而a 在b 方向上的射影为|a |cos θ＝3×45＝125.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量数量积的定义及几何意义典例1 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的射影．[思路分析] 已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.『规律总结』 (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a ·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a ·b <0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影； (2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . [解析] (1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝ |a ||b |cos 0°＝20.当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20. 命题方向2 ⇨平面向量的数量积的运算律典例2 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． [解析] (1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34. 『规律总结』求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a |＝3，|b |＝4，θ＝120°(θ为a 与b 的夹角)，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b ＝|a |·|b |cos θ求． [解析] (1)原式＝|a |·|b |·cos θ＝12×cos 120°＝－6； (2)原式＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝9－16＝－7；(3)原式＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13. (4)原式＝3a 2－5a ·b －2b 2＝3|a |2－2|b |2－5·|a |·|b |·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 命题方向3 ⇨向量的夹角典例3 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a 与a ＋b 的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．[解析] ∵|a |＝|a －b |， ∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝12|a |2，又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.『规律总结』向量夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．〔跟踪练习3〕若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( C ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.又∵|a |＝|b |，∴cos θ＝－12，即θ＝120°，选C 项．命题方向4 ⇨求向量的模典例4 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |、|a －b |.[解析] 解法一：由数量积公式|a |＝a 2求解．因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝25＋25＋25＝5 3.同样可求|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋25－25＝5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使AB ＝AD ＝5， ∠DAB ＝π3，设AB →＝a ，AD →＝b ，如图所示，则|a －b |＝|BD →|＝|AB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →|＝2×32×5＝5 3.『规律总结』 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ， ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )，将此式展开．(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了．〔跟踪练习4〕已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －b |的值为( B ) A ．4 B ．27 C ．23D ．6[解析] ∵a ·(b －a )＝2， ∴a ·b －a 2＝2.∴a ·b ＝2＋a 2＝2＋|a |2＝2＋22＝6. ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝22－2×6＋62＝28， ∴|a －b |＝27. X 学科核心素养ue ke he xin su yang用向量数量积解决垂直问题典例5 已知a ，b 是非零向量，θ为a ，b 的夹角，当|a ＋t b |(t ∈R )取最小值时，(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线且同向，求证：b ⊥(a ＋t b )．[思路分析] (1)将a ＋t b 的模表示为t 的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b ⊥(a ＋t b )，只需证b ·(a ＋t b )＝0.[解析] (1)令m ＝|a ＋t b |，则m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a ||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ，所以当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ.(2)证明：因为a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1，所以t ＝－|a ||b |.故b ·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a ||b |－|a ||b |＝0，所以b ⊥(a ＋t b )．『规律总结』本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a ＋t b 的模的平方表示为t 的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t 的值；(2)中只需证出b ·(a ＋t b )＝0，求解时利用a 与b 共线且同向的条件，确定t 的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为120°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[分析] 利用c ⊥d ⇔c ·d ＝0，构造关于k 的方程组求解． [解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.∴k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 120°－2×42＝0， ∴k ＝225.即k 为225时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi未认清向量的夹角典例6 △ABC 的三边长均为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a·b ＋b·c ＋c·a 的值．[错解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a·b ＝|a ||b |cos C ＝cos 60°＝12.同理b·c ＝c·a ＝12，∴原式＝32.[辨析] 错误的原因在于认为a 与b 的夹角为∠C .其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[正解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠C ＝60°，∴a 与b 的夹角为180°－∠C ＝120°，∴a·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.同理b·c ＝c·a ＝－12，∴原式＝－32.『规律总结』在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值． [思路分析] 先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．[解析] 方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13. 方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等 [解析] 设a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2， ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a ||c |cos θ1＝|b |·c |cos θ2，即|a |cos θ1＝|b |cos θ2，故选D ． 2．下列命题正确的是( D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0 C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c[解析] 选项D 是分配律，正确，A 、B 、C 不正确．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( B ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2. ∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B ．。

【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：2.5从力做的功到向量的数量积(含答案解析)

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课时提高作业 (二十 )从力做的功到向量的数目积(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 25 分 )1.设向量 a,b,知足 |a|=|b|=1,a·b=- ,则 |a+2b|= ()A. B.C. D.【分析】选 B. 因为 |a+2b|2=|a|2+4a· b+4|b|2=1-2+4=3, 因此 |a+2b|=.2.(2015 ·陕西高考 )对随意愿量 a,b,以下关系式中不恒建立的是()A.|a · b|≤ |a||b|B.|a-b|≤ ||a|-|b||C.(a+b) 2=|a+b|2D.(a+b) · (a-b)=a2 -b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【分析】选 B. 由=,因为 -1≤ cosθ ≤1,因此 |a· b|≤ |a||b|恒建立 ;由向量减法的几何意义联合三角形的三边关系可得,故B 选项不建立 ;依据向量数目积的运算律C,D 选项恒建立 .【赔偿训练】 (2015·宿州高一检测 )已知两个非零向量a,b 知足 |a+b|=|a-b|,则下边结论正确的是 ()A.a ∥ bB.a⊥ bC.|a|=|b|D.a+b=a-b【分析】选 B. 因为 |a+b|=|a-b|,因此 (a+b)2=(a-b) 2,即 a· b=0,故 a⊥ b.3.(2015 ·汉中高一检测 )|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则 a 与 b 的夹角为()A.30 °B.60°C.120°D.150 °【分析】选 C.c⊥a,设 a 与 b 的夹角为θ ,2因此 a2+|a||b|cosθ =0, 则 1+2cosθ =0,因此 cosθ =- ,因为 0°≤ θ ≤ 180° ,因此θ =120° .4.(2015 ·榆林高一检测)已知 |b|=3,a 在 b 方向上的射影是,则 a· b 的值为() A.3 B.C.2D.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,由题意知 |a|cosθ= .因此 a·b=|a||b|cosθ = × 3= .【赔偿训练】 (2015 ·西安高一检测)已知 |a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在 b 方向上的射影为()A. B.3 C.4D.5【分析】选 A. 设向量 a 与 b 的夹角为θ ,则向量 a 在 b 方向上的射影为5.(2015 ·亳州高一检测)若 a,b,c 均为单位向量 ,且 a·b=0,(a-c) ·(b-c) ≤ 0,则 |a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C. D.2【分析】选 B. 由已知条件向量a,b,c 均为单位向量可知,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a·b=0 及 (a-c)·(b-c)≤ 0可知,(a+b)· c≥ 1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有2|a+b-c| =3-2(a· c+b·c)=3-2c · (a+b)≤ 1,故 |a+b-c|≤ 1.二、填空题 (每题 5 分 ,共 15 分 )6.(2015 ·湖北高考 )已知向量⊥,||=3,则·=__________.【分析】因为向量⊥,因此·=0,即·(-)=0,因此·-=0,即·==9.答案 :9【赔偿训练】 1.(2015·南昌高一检测)已知 a,b,c 是单位向量 ,且 a·b=0, 则 (a-c)· (b-c) 的最小值为 ________.【分析】设a+b 与 c 的夹角为θ ,则2(a-c)· (b-c)=a· b-a· c-c· b+c=0-(a+b) · c+1=1-(a+b) · c=1-|a+b|· |c|cosθ=1-cosθ因为θ ∈ [0,π ], 因此 cosθ ∈[-1,1],因此 1-cosθ ∈ [1-,1+].因此 (a-c)·(b-c) 最小值为1-,即 a+b 与 c 同向共线时获得最小值.答案 :1-2.(2015 ·赣州高一检测 )已知 |a|=2|b|≠ 0,且对于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,则向量 a 与 b 夹角的取值范围是 ____________.【分析】因为对于x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,因此 |a|2-4a· b≥ 0,因此设 a 与 b 的夹角为θ ,因为 |a|=2|b|≠ 0,因此 |b|= |a|,又θ ∈ [0,π ], 因此θ ∈ [,π ].答案 :[,π ]7.已知 a⊥ b,(3a+2b)⊥ (ka-b), 若 |a|=2,|b|=3,则实数 k 的值为 ________.【分析】由已知a· b=0,a2=4,b2=9,(3a+2b) · (ka-b)=0 ? 3ka2+(2k-3)a · b-2b2 =0.因此12k-18=0, 因此 k= .答案 :【赔偿训练】已知 e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke 1+e2 .若a·b=0,则实数k 的值为 ________.【解析】由题意知 :a · b=(e 1-2e2) · (ke1 +e2)=0, 即k+e1· e2-2ke1· e2-2=0, 即k+cos-2kcos-2=0, 化简可求得k= .答案 :8.(2015 ·宝鸡高一检测 )已知非零向量 a 与 b 的夹角为 120° ,若向量 c=a+b,且 c⊥ a,则的值为 ________.【分析】因为c=a+b,又 c⊥ a,因此 c· a=0,即 (a+b) · a=0,因此 a2+a·b=0,|a|2 +|a||b|cos120° =0,因此 |a|- |b|=0,因此= .答案 :三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )9.已知非零向量a,b 知足 |a|=1,且 (a-b)· (a+b)=.(1) 求 |b|.(2)当 a·b=- 时 ,求向量 a 与 a+2b 的夹角θ的值 .【分析】 (1)因为 (a-b) · (a+b)=,即 a2-b2= .因此 |b|2=|a|2- = ,因此 |b|= .(2) 因为 |a+2b|2=(a+2b) 222=|a| +4a· b+|2b|=1-1+1=1.因此 |a+2b|=1.又因为 a· (a+2b)=|a|2 +2a· b=1- = ,又 0°≤ θ≤ 180°,因此θ =60° .10.(2015 ·赣州高一检测)已知 a⊥b,且 |a|=2,|b|=1,若对两个不一样时为零的实数k,t,使得 a+(t-3)b 与 -ka+tb 垂直 ,试求 k 的最小值 .【分析】因为a⊥ b,因此 a· b=0,又由已知得 [a+(t-3)b] · (-ka+tb)=0,因此 -ka2+t(t-3)b 2=0,因为 |a|=2,|b|=1,因此 -4k+t(t-3)=0,因此 k= (t2-3t)=- (t ≠ 0).故当 t= 时 ,k 取最小值 - .【赔偿训练】对于两个非零向量a,b,求使 |a+tb|最小时的 t 的值 ,并求此时 b 与 a+tb 的夹角 .【分析】 |a+tb|2=a2+2(a· b)t+t 2b2=|a|2+2(a· b)t+t 2|b|2又因为 b≠0,(a+tb) ≠ 0,因此 b⊥(a+tb).因此 b 与 a+tb 的夹角为 90° .(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 10 分 )1.(2015 ·四川高考) 设四边形ABCD为平行四边形 ,||=6,||=4. 若点M,N 知足=3,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6【解题指南】联合平面几何知识,利用向量加法法例,用,把,表示出来,再求其数目积 .【分析】选 C.在平行四边形ABCD 内 ,易得 ,=+,=-因此·== ()2- ()2= × 36-× 16=12-3=9.【赔偿训练】如下图,在 Rt △ ABC 中 ,A=90 ° ,AB=1, 则·的值是()A.1B. 1 或-1C.-1D. 不确立 ,与 B 的大小 ,BC 的长度相关【分析】选 C.依据数目积的定义 ,得·=-·=-||| |cosB.又 cosB=,故·=-|2| =-1.【一题多解】选 C.从投影的角度来考虑,事实上 ,因为 A=90 °,·=-·=-||||cosB,而 ||cosB=||,因此·=-||2=-1.2.(2014 ·安徽高考 )设 a,b 为非零向量 ,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和2 个 b 摆列而成 ,若 x1·y1+x 2·y2+x 3·y3+x 4·y4全部可能取值中的最小值为4|a|2,则 a 与 b 的夹角为 ()A. πB.C. D.0【解题指南】对x1· y1+x 2·y2+x 3· y3+x 4· y4的可能结果进行议论,依据各选项分别判断.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,x1· y1+x 2· y2+x 3· y3+x 4· y4有以下 3 种可能(1)2a2+2b 2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4a2·b=4|a|· 2|a|cosθ =8|a| cosθ .(3)2a·b+a2+b2=5|a|2+4|a|2· cosθ .易知(2)最小 ,则22 8|a|·cosθ=4|a| ,解得 cosθ = ?θ = .二、填空题 (每题 5 分,共 10 分)3.设 e1 ,e2为单位向量 ,且 e1,e2的夹角为,若:a=e1+3e2,b=2e1 ,则向量a 在 b 方向上的射影为________.【分析】设a,b 夹角为θ ,由已知 |a|=,|b|=2,a· b=5.答案 :【赔偿训练】(2014 ·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 知足 |a+b|=10,|a-b|=6,则 a· b=() A.1 B.2 C.3D.5【分析】选 A. 因为 |a+b|=,|a-b|=,因此 a2+b2+2a· b=10,a2+b2-2a· b=6.联立方程解得a· b=1.4.在直角△ ABC中 ,CD 是斜边 AB 上的高 ,则以下等式建立的是________(填序号 ).① |2·2·; | =;②||=③ ||2=·;④||2=【分析】①正确.因为 AC ⊥ BC,因此 ||cosA=||,因此·=||·||cosA=||2;②正确 .因为 AC ⊥ BC, 因此 ||cosB= ||,因此·= ||||cosB= ||2;③错误 .·=||||cos(π -∠ ACD)=-||||cos∠ ACD=-||2;④正确 .因为 AC ⊥ BC,CD ⊥AB,因此 ||||=||||,又因为·=||2,·=||2,因此=2==||.答案 :①②④与的夹角错以为是∠ACD, 致使判断③建立.【误区警告】解答此题简单将向量三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )5.(2015 ·临沂高一检测)已知 |a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b, d=ma-3b.(1)当 m 为什么值时 ,c 与 d 垂直 ?(2)当 m 为什么值时 ,c 与 d 共线 ?【分析】 (1)假定向量 c 与向量 d 垂直 ,得 c· d=0,而 c· d=(3a+5b) ·(ma-3b)22=3ma +(5m-9)a · b-15b=27m+3(5m-9)-60,因此42m-87=0, 即m=,即当 m=时,c与d垂直.(2)假定 c 与 d 共线 ,则存在实数λ ,使得 c=λ d,因此 3a+5b=λ (ma-3b),即 3a+5b=λ ma-3λ b.又 a 与 b 不共线 ,因此解得即当 m=- 时 ,c 与 d 共线 .6.(2015 ·吉安高一检测)已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为1,它们互相之间的夹角为120°.(1)求证 :(a-b)⊥ c.(2)若 |ka+b+c|>1(k ∈ R),求 k 的取值范围 .【分析】 (1)因为 |a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间夹角均为 120° ,因此 (a-b)· c=a· c-b· c=|a||c|cos120° -|b||c|· cos120°=0,因此 (a-b)⊥ c.(2) 因为 |ka+b+c|>1,因此 (ka+b+c) · (ka+b+c)>1,即 k2a2 +b2+c 2+2ka· b+2ka ·c+2b· c>1.因为 a· b=a· c=b· c=cos120° =- ,因此 k2-2k>0, 解得 k<0 或 k>2,即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}.封闭 Word 文档返回原板块。

数学北师大版必修4课后导练：2.5从力做的功到向量的数

课后导练基础达标1.若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A.（a +b ）+c =a +（b +c ）B.（a +b ）·c =a ·c +b ·cC.m （a +b ）=m a +m bD.（a·b ）c =a （b ·c ）解析:由向量的运算律知选项D 不一定成立.答案：D2.设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c -（c ·a ）b=0；②a 2=|a |2；③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直；④（3a +2b ）·（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2中，正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解析：①中，a ·b 的运算结果为数，故（a ·b ）c 为一向量，同理（a ·c ）b 也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.又［（b ·c ）a -（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）（a ·c ）-（c ·a ）（b · ）=0，而（a ·c ）b 与（b·c ）a 不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.答案：D3.在边长为1的正三角形ABC 中，设AB =c ，BC =a ,AC =b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（）A.1.5B.-1.5C.0.5D.-0.5解析：在正三角形ABC 中，a ·b =|a |·|b |cos60°=0.5,b ·c =|b |·|c |cos60°=0.5,a ·c =|a|·|c |cos120°=-0.5,答案：C4.(2004重庆高考，6) 若向量a 与b 的夹角为60°，|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模是( )A.2B.4C.6D.12解析：（a +2b ）·(a -3b )=|a |2-a ·b -6|b |2=-72∴|a |2-|a |·|b |·cos60°-6|b |2=-72∴|b |=4代入上式，解得：|a |=6(∵|a |＞0).答案：C5.△ABC 中，=a ,=b ,若a ·b ＜0,则△ABC 形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能判断解析：由a ·b ＜0,知cos 〈a ,b 〉＜0,所以〈a ,b 〉＞2π,所以∠ABC 为锐角.三角形中，∠ABC 为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.答案：D6.比较大小|a ·b |___________|a|·|b |.解析：a ·b =|a ||b |cosθ,∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a |·|b |.答案：≤7.已知e 为单位向量，|a |=4，a 与e 的夹角为32π，则a 在e 方向上的投影为________. 解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为||e e a ∙=|a |·cos 32π=-2. 答案：-28.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.证明:设AD =a ,DC =b ,则|a |=|b |. ∵=a +b ,=a -b , ∴·=(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a|2-|b |2=0. ∴⊥.∴AC ⊥BD .9.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为6π,求（1）a ·b ;(2)a 2;(3)|a +b |. 解析：(1)a ·b =|a ||b |cos6π=6×4×23=312. (2)a 2=a ·a =|a |2=62=36.(3)|a +b |=3613232416362)(222+=++=+∙+=+b b a a b a .10.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a -b ）⊥c ；（2）若|k a +b +c |=1（k ∈R ），求k 的值.（1）证明：∵（a -b ）·c =a ·c -b ·c=|a||c |·cos120°-|b ||c |cos120°，又|a |=|b |=|c |，∴（a-b ）·c =0，即（a -b ）⊥c .（2）解析：由|k a +b +c |=1，得|k a +b +c |2=12，即（k a +b +c ）2=1，∴k 2a 2+b 2+c 2+2b ·c +2k a ·b +2k a ·c =1.又a ·b =a ·c =b·c =-21， ∴k 2-2k=0.解得k=2或0.综合运用11.已知△ABC 满足AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CB CA ∙，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：∵·+·=·（-）=2， ∴∙=0. ∴CA ⊥CB ,即AC ⊥BC .∴△ABC 为直角三角形.答案：C12.若a 、b 是不共线的两向量，且AB =λ1a +b ，AC =a +λ2b （λ1、λ2∈R ），已知A 、B 、C 三点共线，则( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=0解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数k,使得=k ，即λ1a +b =k a +λ2k b .又a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧∙==.1,11k k λλ.消去k 得λ1λ2-1=0. 答案：D13.若|a |=m(m ＞0),b =λa (λ＞0),则a ·b =_______;若|a |=m(m ＞0),b =λa (λ＜0),则a ·b =________. 解析：∵b =λa (λ＞0),∴〈a ·b 〉=0,∴a·b=λm 2.当b =λa (λ＜0)时，〈a ·b 〉=π,∴a ·b =-λm 2.答案：λm 2 -λm 214.已知|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 与a 垂直，则λ=________. 解析：若λb -a 与a 垂直，则(λb -a )·a =0,即λb ·a -a 2=0,∴λ|b |·|a |·cos45°-|a |2=0,∴λ×2×2×22-22=0, ∴λ=2.答案：215.求证：直径上的圆周角为直角.证明：如右图，设AO =a ,OB =b ,有OC =a . ∵=a +b ,=a -b 且|a |=|b |, ∴·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0. ∴⊥.∴∠ABC=90°.拓展探究16.设a 与b 是两个互相垂直的单位向量，问当k 为整数时，向量m=k a +b 与向量n=a+k b 的夹角能否等于60°，证明你的结论.解析：假设夹角等于60°，∵|m|2=|k a +b |2=(k a +b )2=k 2+1,|n|2=|a +k b |2=(a +k b )2=k 2+1.m·n=(k a +b )·(a +k b )=2k,∴2k=1122+⨯+k k ×cos60°,即4k=k 2+1,解得k=2±3这与k 为整数矛盾.∴m 与n 的夹角不能等于60°.。

高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课时作业北师

从力做的功到向量的数量积一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·黄山高一检测)已知|b |=3,a 在b 方向上的投影是,则a ·b 为 ( ) A. B. C.3 D.2【解析】选D.设a 与b 的夹角为θ,则a 在b 方向上的射影|a |cos θ=,所以a ·b =|a ||b |cos θ=×3=2.2.(2014·西安高一检测)已知|a |=3,|b |=5,且a ·b =12,则向量a 在向量b 上的投影为 ( ) A. B.3 C.4 D.5【解析】选A.设向量a 与b 的夹角为θ,则向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ=|a |||||g a b a b =||g a b b =.【举一反三】在本题的条件下,试求向量b 在向量a 方向上的投影.【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ,则cos θ=||||g a b a b ==,向量b 在向量a 方向上的投影为|b |cos θ=5×=4.3.(2014·郑州高一检测)下列命题中,正确的是 ( )A.若a ·b =0,则a =0或b =0B.若a ·b =0,则a ∥bC.若a ⊥b ,则a ·b =(a ·b )2D.若|a |>|b |,则a >b【解析】选C.对A,a ·b =0,a 与b 有可能为非零的垂直向量,故A 错误.对B,a ·b =0,则a ⊥b ,故B 错误.对C,若a ⊥b ,则a ·b =0,所以a ·b =(a ·b )2,故C 正确.对D,|a |>|b |,由于a 与b 为向量,不是数量,不能比较大小,故D 错误.4.设e 1和e 2是夹角为60°的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则a ·b 等于( )A.-2B.-1C.1D.2【解题指南】先求e1·e2,再计算a·b.【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos60°=1×1×=,所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×=2.5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|等于( )A.23B.35C.D.【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=22+52+2×(-3)=23.所以|a+b|=,应选C.【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=(a+b)2,再开方.求解时,易忘记开方,而误选A.6.(2013·宜春高一检测)关于菱形ABCD的下列说法中,不正确的是( )A.∥B.(+)⊥(+)C.(-)·(-)=0D.·=·【解析】选D.如图所示,对于选项A,∥正确,对于选项B,+=,+=,由菱形对角线互相垂直知(+)⊥(+).对于选项C,因为-=,-=,又因为⊥,所以(-)·(-)=0,所以C正确.显然D不正确,因此选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·平顶山高一检测)已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,那么|a -3b |等于 . 【解析】|a -3b |=222(3)69-=-+g a b a a b b ==4.答案:4 8.向量a ,b 满足(a -b )·(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 的夹角等于 .【解析】设a 与b 的夹角为θ,因为|a |=2,|b |=4,(a -b )·(2a +b )=-4,所以2|a |2-|a ||b |cos θ-|b |2=-4,即8-8cos θ-16=-4,所以cos θ=-.又θ∈[0,π],所以θ=π.答案:π 9.(2014·宝鸡高一检测)已知非零向量a 与b 的夹角为120°,若向量c =a +b ,且c ⊥a ,则||||a b 的值为 .【解析】因为c =a +b ,又c ⊥a ,所以c ·a =0,即(a +b )·a =0,所以a 2+a ·b =0,|a |2+|a ||b |cos120°=0,所以|a |-|b |=0,所以||||a b =. 答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·合肥高一检测)已知a ,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,求a 与b 的夹角.【解析】设a 与b 的夹角为θ,由(a -2b )⊥a ,得(a -2b )·a =0,即a 2-2a ·b =0,由(b -2a )⊥b ,得(b -2a )·b =0,即b 2-2a ·b =0,所以a 2=b 2,即|a |=|b |,a ·b =a 2, c os θ=||||g a b a b =21||2||||a ab =, 又因为θ∈[0,π],则得θ=.【变式训练】已知a ⊥b ,且|a |=2,|b |=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a +(t-3)b 与-k a +t b 垂直,试求k 的最小值.【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b =0,又由已知得[a +(t-3)b ]·(-k a +t b )=0, 所以-k a 2+t(t-3)b 2=0,因为|a |=2,|b |=1,所以-4k+t(t-3)=0, 所以k=(t 2-3t)=-(t ≠0).故当t=时,k 取最小值-. 11.(2013·南昌高一检测)已知非零向量a ,b 满足|a |=1,且(a -b )·(a +b )=.(1)求|b |.(2)当a ·b =-时,求向量a 与a +2b 的夹角θ的值.【解析】(1)因为(a -b )·(a +b )=,即a 2-b 2=.所以|b |2=|a |2-=,所以|b |=.(2)因为|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+4a ·b +|2b |2=1-1+1=1.所以|a +2b |=1.又因为a ·(a +2b )=|a |2+2a ·b =1-=, 所以c os θ=(2)|||2|++g a a b a a b =, 又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·咸阳高一检测)若a 为非零向量,a ·b =0,则满足此条件的向量b 有( )A.1个B.2个C.有限个D.无限个【解析】选D.由已知a ·b =0,又a ≠0,则满足条件的向量b 除0外,还有无限个,与a 垂直均符合要求,故选D.【误区警示】本题易忽视a ·b =0⇒a ⊥b ,而误认为只有b =0,而误选A.2.(2014·榆林高一检测)已知|a |=3,|b |=4,(a +b )·(a +3b )=33,则a 与b 的夹角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150° 【解析】选C.因为(a +b )·(a +3b )=a 2+4a ·b +3b 2=57+4a ·b =33,所以a ·b =-6.设a 与b 的夹角为α,则cos α=||||g a b a b ==-,又0°≤α≤180°,所以α=120°.【变式训练】若向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且(a +3b )·(a +5b )=20,则向量a ,b 的夹角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.因为(a+3b)·(a+5b)=a2+15b2+8a·b=16+8a·b=20.所以a·b=.设向量a,b的夹角为α,则a·b=|a||b|cosα=,所以cosα=,所以α=60°.3.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=μ+.因为·=1,所以·=1,即2λ+2μ-λμ=①同理可得λμ-λ-μ=-②,①+②得λ+μ=.4.(2014·阜阳高一检测)在△ABC中,若=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上都不对【解析】选C.由a+b+c=++=0,得a+b=-c,(a+b)2=c2,即a2+b2+2a·b=c2…①,同理可得b2+c2+2b·c=a2…②①-②得a2=c2,所以|a|=|c|,同理可得|a|=|b|,故△ABC为等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·江西高考)设e 1,e 2为单位向量,且e 1,e 2的夹角为.若a =e 1+3e 2,b =2e 1,则向量a 在b 方向上的投影为 .【解题指南】向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ=||g a b b ,进而问题转化为求向量a ,b 的数量积与向量b 的模.【解析】设a ,b 的夹角为θ,则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ=|a |||||g a b a b =||g a b b ,而a ·b =(e 1+3e 2)·2e 1=2+6cos=5,|b |=2,所以所求为.答案: 6.(2014·汉中高一检测)如图,A,B 是函数y=3sin(2x+θ)的图象与x 轴两相邻交点,C 是图象上A,B 间的最低点,则·= .【解析】设,的夹角为α,由已知可得||=,·=||·||cos α=||·||=||·=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·安庆高一检测)已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,(1)求a ·b 的值.(2)求|a +b |的值.【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得4a2-4a·b-3b2=61.又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,代入上式得64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-6)+9=13,故|a+b|=.【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.(1)求a·b的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由|a-b|=2,得a2-2a·b+b2=4,因为|a|=2,|b|=1,所以a·b=.(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=6,所以|a+b|=.8.(2014·西安高一检测)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2t a+7b与a+t b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】因为(2t a+7b)·(a+t b)=2t a2+(2t2+7)a·b+7t b2=2t|a|2+(2t2+7)|a||b|cos60°+7t|b|2=8t+(2t2+7)+7t=2t2+15t+7.由2t2+15t+7<0⇒(2t+1)(t+7)<0,所以-7<t<-.考虑到此时二者夹角可能为π,而π不是钝角,应把这种情况排除,当夹角为π时,即共线反向时,2t a+7b=λ(a+t b)(λ<0),所以⇒2t2=7.因为λ<0,所以t=-.所以当t=-时,2t a+7b与a+t b的夹角为π.故t的取值范围是∪.【误区警示】解答本题时,易忽视2t a+7b与a+t b的夹角为π的情况,而得到t的范围是的错误.。

高中数学必修四北师大版 2.2.5 从力做的功到向量的数量积作业3 含答案

双基达标 (限时20分钟)1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )．A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0.C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b .D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .答案 B2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝( )． A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2解析 a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos 60°＝1＋1×1×12＝32.答案 B3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( )．A ．e 1·e 2＝1B ．e 1·e 2＝－1C ．|e 1·e 2|＝1D ．|e 1·e 2|<1解析 ∵e 1，e 2平行，∴e 1与e 2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 0°＝1；若θ＝180°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 180°＝－1；综上得|e 1·e 2|＝1.答案 C4．已知|a |＝5，|b |＝6，若a ∥b ，则a ·b ＝________.解析由a ∥b ，可知a 与b 的夹角为0或π，故a ·b ＝±30.答案 ±305．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．解析由已知a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0.∴12k －18＝0，∴k ＝32.答案 326．已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解 ∵a ＋3b 与7a －5b 垂直，∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a －4b )·(7a －2b )＝0.于是有⎩⎨⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0. ② ①－②得2a ·b ＝b 2. ③将③代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|b |22|b |2＝12.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.综合提高 (限时25分钟)7．如图所示，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是( )．A ．1B ．－1C ．1或－1D ．不确定，与B 的大小，BC 的长度有关解析法一根据数量积的定义，得AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos B ．又cosB ＝|BA →||BC →|，故AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1，故选B. 法二从投影的角度来考虑，事实上，由于A ＝90°，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC→|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1.故选B.答案 B8．已知|a |＝3，|b |＝2， a ，b ＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为( )．A.3223B.2343C.2942D.2116解析由已知可得(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0⇒3m ·32＋(5m －3)·3×2·cos 60°－5×22＝0，解之得m ＝2942.答案 C9．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析由已知条件向量a ，b ，c 均为单位向量可知，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0可知，(a ＋b )·c ≥1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B10．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案 54答案－211．对于两个非零向量a ，b ，求使|a ＋t b |最小时的t 的值，并求此时b 与a ＋t b 的夹角．解 |a ＋t b |2＝a 2＋2(a·b )t ＋t 2b 2＝|a |2＋2(a·b )t ＋t 2|b |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a·b |b |22＋|a |2－(a·b )2|b |2. 当t ＝－a·b |b |2时，|a ＋t b |2取得最小值，即|a ＋t b |取得最小值．。

高中数学北师大版必修4学案2.5 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析

§从力做的功到向量的数量积．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的)几何问题．(难点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材～内容，完成下列问题．．向量的夹角()射影θ叫作向量在方向上的投影数量(也叫投影)．()数量积已知两个非零向量与，我们把θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ，其中θ是与的夹角．()规定零向量与任一向量的数量积为.()几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影θ的乘积，或的长度与在方向上射影θ的乘积．()性质①若是单位向量，则·＝·＝θ.②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.③＝＝.④θ＝(≠)．⑤对任意两个向量，，有·≤，当且仅当∥时等号成立．()运算律已知向量，，与实数λ，则：①交换律：·＝·；②结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；③分配律：·(＋)＝·＋·.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两向量的数量积仍是一个向量．( )()若·＝，则＝或＝.( )()设与的夹角为θ，则θ>⇔·>.( )()对于任意向量，，总有(·)＝·.( )()＝.( )【解析】()×.两向量的数量积是一个数量．()×.∵·＝θ＝，∴＝或＝或θ＝.()√.()×.由数量积定义知，错；()×＝θ)＝θ).【答案】()×()×()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。

数学北师大版必修4练习16 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析

从力做的功到向量的数量积时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题：(每小题分，共×＝分)．已知向量，满足＝，＝，且·＝，则与的夹角θ为( )答案：解析：由题意，知·＝θ＝θ＝，又≤θ≤π，所以θ＝.．下列命题正确的是( )．若·＝，则＝或＝．若·＝，则∥．若⊥，则·＝(·)．＞答案：解析：·＝时，可能为⊥的情况；＝，故选.．设向量，均为单位向量，且＋＝，则与的夹角为( )答案：解析：∵＋＝，∴＋·＋＝，∴〈，〉＝－.又〈，〉∈[，π]，∴〈，〉＝.．若＝＝，⊥，且(＋)⊥(－)，则＝( )．－．．．－答案：解析：由题意，得(＋)·(－)＝，由于⊥，故·＝，又＝＝，于是－＝，解得＝.．在△中，若＝，＝，＝，且·＝·＝·，则△的形状是( )．等腰三角形．直角三角形．等边三角形．以上都不对答案：解析：∵＋＋＝＋＋＝，∴＋＝－.又∵·＝·，即(－)·＝，∴－(－)·(＋)＝，即＝.同理，＝，＝，故＝＝.．在边长为的正三角形中，设＝，＝，＝，则·＋·＋·等于( )．－．．．答案：解析：·＋·＋·＝·(＋)＋·＝·(－)＋·＝－＋·＝－＋··＝－.二、填空题：(每小题分，共×＝分)．已知＝，与的夹角θ为°，则在方向上的投影为．答案：解析：在方向上的投影为·θ＝×°＝.．向量与满足＝，＋＝，－＝，则＝.答案：解析：＋＝＋·＋＝，∴·＝－－＝－.①－＝－·＋＝.∴·＝＋－＝－.②∴＝.．如图，在平行四边形中，已知＝，＝，＝，·＝，则·的值是．答案：解析：由＝，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝，所以·＝，即－·－＝.又因为＝，＝，所以·＝.三、解答题：(共分，＋＋)．已知与是两个夹角为°的单位向量，＝＋，＝－，求与的夹角．解析：因为＝＝，所以·＝××°＝，＝(＋)＝＋＋·＝，故＝，＝(－)＝＋＋××(－)·＝，故＝，且·＝－＋＋·＝－＋＋＝－，所以〈，〉＝＝＝－，所以与的夹角为°.．已知＝＝，·＝－，(＋)⊥(＋)，求实数的值．解析：由题意，得(＋)·(＋)＝，∴＋(＋)·＋＝，即＋(＋)×(－)＋＝，得＝－.．已知向量，满足＝，＝，且，的夹角为°.()求(－)·(＋)；()若(＋)⊥(λ－)，求实数λ的值．解析：()由题意，得·＝·°＝××＝.∴(－)·(＋)＝＋·－＝＋－＝－.()∵(＋)⊥(λ－)，∴(＋)·(λ－)＝，∴λ＋(λ－)·－＝，∴λ＋(λ－)－＝，∴λ＝.。

【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练2.5从力做的功到向量的数量积 Word版含答案

课后训练1．已知a ，b ，c 是非零向量，下列说法正确的是( )．A ．若|a·b|＝|a||b|，则a ∥bB ．若a·c ＝b·c ，则a ＝bC ．若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|D ．(a·b )|c|＝|a|(b·c )2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b 的值为( )． A ．3 B ． 92 C ．2 D ．12 3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝1，则AB BC ⋅ 的值为( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－24．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b ||b |等于( )．A BC D ．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若AB ＝a ，AD ＝b ，则A C B D ⋅ ＝( )．A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．ab6．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，设点P ，Q 满足AP AB λ= ，(1)AQ AC λ=- ，λ∈R ．若BQ CP ⋅ ＝－2，则λ＝( )．A ．13B ．23C ．43D ．2 7．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )．A ．－2B 2C ．－1D ．18．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为__________．9．已知|a |＝1，|b |＝，设a 与b 的夹角为θ．(1)若θ＝3π，求|a ＋b |； (2)若a 与a －b 垂直，求θ．10．已知|a ||b |＝3，a ，b 的夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时λ的取值范围．参考答案1答案：A2答案：B3答案：B4答案：D5答案：B6答案：B7答案：D8答案：5 49答案：(1)(2)4π10答案：λλλ≠1。

数学北师大版必修4课前导引：2.5从力做的功到向量的数

§5 从力做的功到向量的数量积课前导引问题导入【问题】向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别?思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积，其结果仍然是向量，这个区别应引起重视.知识预览一、两平面向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.1.如右图，已知两个向量a、b，作,OA=a,OB=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向；当θ=π时，a、b反向；当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b.二、平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ.其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.三、平面向量数量积的运算律1.已知向量a、b、c和实数λ，则有：(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c+b·c.2.运算律的证明：(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a.(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|b||a|cosθ)=λa·b，又λ|a||b|cosθ=aλb cosθ=a·(λb)，∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)如右图所示，任取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b.∴(a+b)·c=a·c+b·c.说明：①两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.②两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.。

北师版高中数学高一必修4课件从力做的功到向量的数量积(二)

明目标、知重点
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a),
a＋b＋c2－a2＋b2＋c2
∴a·b＋b·c＋c·a＝
2
0－32＋12＋42
＝
2
＝－13.
答案－13
明目标、知重点
例2 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)· (a－3b)．解 (a＋2b)·(a－3b) ＝a·a－a·b－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a|·|b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42 ＝－72.
明目标、知重点
探要点·究所然情境导学
引进向量的数量积以后,考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积 ab形式相似,实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.
明目标、知重点
探究点一向量数量积运算律的提出
思考1 类比实数的运算律,向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论,再判断正误(完成下表)：
明目标、知重点
探究点二向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律： ①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 思考1 如何证明a·b＝b·a(a和b夹角为θ)? 答 a·b＝|a||b|cos θ,b·a＝|b||a|cos θ, ∴a·b＝b·a.
3
解析由3a＋λb＋7c＝0,可得7c＝－(3a＋λb),即49c2＝9a2
＋λ2b2＋6λa·b,而a,b,c为单位向量,则a2＝b2＝c2＝1,则49＝9

北师大版数学必修4课时作业17从力做的功到向量的数量积 Word版含解析

课时作业从力做的功到向量的数量积基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．已知·＝－，＝，和的夹角为°，则＝( )．．．．解析：·＝°＝－，又＝，解得＝.答案：．已知向量，满足＝，＝，·(－)＝－，则与的夹角为( )解析：因为＝，·(－)＝－，所以·(－)＝·－＝·－＝－，所以·＝.又因为＝，设与的夹角为θ，则θ＝＝＝.又θ∈[，π]，所以θ＝.答案：．若向量与的夹角为°，＝，(＋)·(－)＝－，则向量的模是( ) ．．．．解析：(＋)·(－)＝－·－＝－·°－＝－－＝－.∴－－＝.解得＝或＝－(舍去)．答案：．在△中，∠＝°，＝，则·＝( )．－．－．．解析：设∠＝θ，∴＝，·＝··θ＝·θ＝.答案：．如图，在△中，⊥，＝，＝，则·＝( )．解析：设＝，则＝，·＝(＋)·＝·＝·∠＝··＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．若向量的方向是正南方向，向量的方向是北偏东°方向，且＝＝，则(－)·(＋)＝.解析：设与的夹角为θ，则θ＝°，∴(－)·(＋)＝－－·＝－－×××°＝－＋×＝－.答案：－．已知＝，＝，与的夹角为°，则在方向上的射影的数量等于．解析：〈，〉＝°＝，所以在方向上的射影的数量等于.答案：．若四边形是边长为的菱形，∠＝°，则＋＝.解析：∵四边形是边长为的菱形，∠＝°，∴∠＝°，∴＋＝＋＋·＝＋＋××∠＝，∴＋＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知＝，＝，与的夹角是°，计算：()(＋)·(－)；()－.解析：()(＋)·(－)＝()－＝－＝×－＝.()∵－＝(－)＝－·＋＝×－×××°＋×＝.∴－＝.．已知＝＝，且向量在向量方向上的投影为－.()求与的夹角θ；()求(－)·；()当λ为何值时，向量λ＋与向量－互相垂直？解析：()由题意知＝，＝.又在方向上的投影为θ＝－，∴θ＝－，∴θ＝.()易知·＝－，则(－)·＝·－＝－－＝－.()∵λ＋与－互相垂直，∴(λ＋)·(－)＝λ－λ·＋·－＝λ＋λ－－＝λ－＝，∴λ＝.能力提升(分钟，分)．(·高考四川卷)设四边形为平行四边形，＝，＝.若点，满足＝，＝，则·＝( ) ．．．．。

2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：2-5 从力做的功到向量的数量积

课时作业19 从力做的功到向量的数量积时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．下面给出的关系式中正确的个数是( C )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②③正确，④⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2.2.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值为( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1. 3．向量a 的模为10，它与x 轴正方向的夹角为150°，则它在x 轴正方向上的射影为( A )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3解析：a 在x 轴正方向上的射影为|a |·cos150°＝－5 3.4．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则a 与b 的夹角为( A )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析：∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.5．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( C )A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝(AC →·AB →)×(BA →·BC →)|AB →|2解析：∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →)＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC →|2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立；而AC →·AB →|AB →|×BA →·BC →|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.6．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( D )A ．2 3 B.32 C.33D. 3解析：本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋3BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.7．在同一平面内，线段AB 为圆C 的直径，动点P 满足AP →·BP →>0，则点P 与圆C 的位置关系是( A )A ．点P 在圆外部B ．点P 在圆上C ．点P 在圆内部D ．不确定解析：在同一平面内，线段AB 为圆C 的直径，动点P 满足AP →·BP →>0，所以∠APB 为锐角，所以点P 在圆外部．8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( B )A ．[0，π6] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]解析：方程有实根，则Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，即a ·b ≤14|a |2.又因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≤14|a |2|a |·12|a |＝12，所以〈a ，b 〉∈[π3，π]．二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －2b )，则|2a ＋b |的值是10.解析：本题考查了向量的运算．∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，∴2a ·b ＝a 2＝|a |2， ∴|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝6a 2＋b 2＝6|a |2＋|b |2＝6＋4＝10.10．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝2.解析：∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2.11．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状为等边三角形．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝4×4×cos 〈AB →，AC →〉＝8，∴cos 〈AB →，AC →〉＝12，∴∠BAC ＝60°.又∵|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等边三角形．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知|a |＝4，|b |＝5，|a ＋b |＝21，求： (1)a ·b ；(2)(2a ＋b )·(a －2b )；(3)|2a －3b |.解：(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12×(|a ＋b |2－|a |2－|b |2)＝12×(21－42－52)＝－10.(2)(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2|a |2－3a ·b －2|b |2＝2×42－3×(－10)－2×52＝12.(3)|2a－3b |＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×42－12×(－10)＋9×52＝409.13．(13分)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围．解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝120°， ∴a ·c ＝|a |·|c |·cos120°＝－12， b ·c ＝|b |·|c |·cos120°＝－12.∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝(－12)－(－12)＝0， ∴(a －b )⊥c .(2)由|k a ＋b ＋c |>1，得|k a ＋b ＋c |2>1，即(k a ＋b ＋c )2>1.∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2b ·c ＋2k c ·a >1，即k 2－2k >0，∴k <0或k >2.——能力提升类——14．(5分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，则a ＋λb 与λa＋b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13－1336∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133－136，1∪(1，＋∞)．解析：由题意可得a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×3×12＝3.又∵(a ＋λb )·(λa ＋b )＝λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2，a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为锐角，∴λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0.∵a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0. 解得λ>133－136或λ<－13－1336. 当λ＝1时，a ＋λb 与λa ＋b 共线，其夹角不为锐角．故λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13－1336∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－136，1∪(1，＋∞)． 15．(15分)已知O 为定点，A ，B 为动点，开始时满足∠AOB ＝60°，OA ＝3，OB ＝1，后来，A 沿AO →方向，B 沿OB →方向，都以每秒4个单位长度的速度同时运动．(1)用含有t 的式子表示t 秒后两动点的距离f (t )； (2)几秒后两动点距离最小．解：(1)取a ＝13OA →，b ＝OB →，则|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，a ·b ＝12，设t 秒后A 运动到A ′，B 运动到B ′，由题意OA ′→＝OA →＋AA ′→＝3a －4t a ＝(3－4t )a ，OB ′→＝OB →＋BB ′→＝b ＋4t b ＝(1＋4t )b ，A ′B ′→＝OB ′→－OA ′→＝(1＋4t )b －(3－4t )a ，∴|A ′B ′→|2＝(1＋4t )2＋(3－4t )2－2(1＋4t )(3－4t )×12，|A ′B ′|2＝48t 2－24t ＋7.∴f (t )＝48t 2－24t ＋7.(2)f (t )＝48(t －14)2＋4(t ≥0)，当t ＝14时，f (t )最小，即在14秒末，两动点距离最小．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

北师大版高一数学必修4同步单元卷-从力做的功到向量的量积

同步单元卷（14）从力做的功到向量的数量积1、下列四个命题: ①若0a b -=,则a b =; ②若0a b ⋅=,则0a =或0b =; ③若R λ∈且0a λ=,则0λ=或0a =; ④对任意两个单位向量12,e e ,都有121e e ⋅≤. 其中正确的命题是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2、已知非零向量a 、b ,若2a b +与2a b -互相垂直,则ab等于( ) A.14 B. 4 C.12D. 23、如图,非零向量OA a =,OB b =,且BC OA ⊥,点C 为垂足,设向量OC a λ=,则λ= ( )A.2a b a⋅B.a b a b ⋅⋅C. 2a b b⋅D.a b a b⋅⋅4、已知四边形ABCD 中, 0AB CD +=且()()0AB AD AB AD +⋅-=,则这个四边形是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5、在ABC ∆中, AB a =,BC b =,CA c =,则a b b c ⋅+⋅的值一定为( ) A.负数 B.正数 C.0 D.符号不确定6、已知6a =,4b =,a 与b 的夹角为60,则()()23a b a b +⋅-= ( )A.-72B.72C.-36D.367、已知2a =,3b =,a ,b 的夹角为60,则()2a a b ⋅-等于( ) A.-2 B.2 C.-10 D.108、在矩形中ABCD ,AB =4BC =,点E 为BC 的中点,点F 在CD 上,若3AB AF ⋅=,则AE BF ⋅的值是( )A. 5-B. 5+C. 4+D. 59、在△ABC 中,已知90BAC ∠=°, 6AB =,,若D 点在斜边BC 上,且2CD DB =,则AB AD ⋅uu u r uuu r的值为( )A.48B.24C.12D.610、在△ABC 中, 6AB =,O 为△ABC 的外心,则AO AB ⋅等于( )A.B.6C.12D.1811、如图,在边长为1的正三角形ABC 中, BD xBA =,CE yCA =,0x >,0y >,且1x y +=,则CD BE ⋅的最大值为( )A. 58-B. 34-C. 32-D. 38-12、已知向量,a b 满足1,2,2a b a b ==-=,则a b +=__________. 13、已知2==a b ,2a b ⋅=-,且()()a b a tb +⊥+,则实数t 的值为__________. 15、在Rt ABC ∆中, 90?C ∠=,3AC =,4CB =,设AC b =,CB a =,BA c =,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值为__________.16、i ,j 为互相垂直的单位向量,若2a b i j +=+,23a b i j -=-+,则a b ⋅=__________. 17、向量a ,b 满足a b a b +=-,则a b ⋅=__________.18、若向量a 与b 的夹角为60,4b =,(2)(3)72a b a b +⋅-=-,则a =__________. 19、平面上三个向量OA ,OB ,OC ,满足1OA =,3OB =,1OC =,0OA OB ⋅=,则CA CB ⋅的最大值是__________.20、如图,在△ABC 中, 2AB =,ABC θ∠=,AD 是边BC 上的高,当,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, AD AC ⋅的最大值与最小值之和为__________.14在中,为中线上的一个动点,若,则的最小值是 .答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：①是正确的;因为cos 0a b a b θ⋅=⋅=0a ⇒=或0b =或cos 00a θ=⇒=或0b =或90θ=︒,故②是错误的;③是正确的;④中, 1212cos cos 1e e e e θθ⋅=⋅=≤,故④是正确的.2答案及解析：答案：D解析：由2a b +与2a b -互相垂直, 得(2)(2)0a b a b +⋅-=, 所以2240a b -=, 即224a b =, 所以2a b =,所以2ab=.3答案及解析：答案：A解析：BC OC OB a b λ=-=-. 由2()0a b BC OA a b a aλλ⋅⊥⇒-⋅=⇒=.4答案及解析：答案：C解析：由0AB CD +=,可得AB CD =-.故四边形ABCD 为平行四边形,由()()0AB AD AB AD +⋅-=, 可知其对角线互相垂直,故为菱形,选C.5答案及解析：答案：A解析：AB a =,BC b =,CA c =,则a b b c ⋅+⋅()20b a c BC CB b =⋅+=⋅=-<.6答案及解析：答案：A解析：()()23a b a b +⋅-=226a a b b -⋅-236cos 6472a b θ=--⨯=-.7答案及解析：答案：A解析：∵()222a a b a a b ⋅-=-⋅22cos602a a b =-⋅⋅︒=-,∴选A.8答案及解析：答案：B解析：如图所示,过点F 作//FG AD 交AB 于点G , 易知所以cos ,AB AF AB AF AB AF ⋅=⋅⋅〈〉3AB AG =⋅=故31AG AB==,所以()()AE BF AB BE BC CF ⋅=+⋅+AB BC AB CF BE BC BE CF =⋅+⋅+⋅+⋅01)2405=-+⨯+=+故选B.9答案及解析：答案：B解析：由题意知23AD AC CD AC CB =+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu r221()333AC AB AC AB AC =+-=+uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,∴21()33AB AD AB AB AC ⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ,∵90BAC ∠=o ,∴0AB AC ⋅=uu u r uuu r,因此222362433AB AD AB ⋅==⨯=uu u r uuu r uu u r ,故选B.10答案及解析：答案：D解析：如图,过点O 作OD AB ⊥于D , 易知132AD AB ==, 则()AO AB AD DO AB ⋅=+⋅AD AB DO AB =⋅+⋅36018⨯+=故选D.11答案及解析：答案：D解析：由题设得1cos32AB AC AB AC π⋅=⋅=, CD CB BD AB AC xBA =+=-+(1)x AB AC =--,BE BC CE AC AB yCA =+=-+(1)y AC AB =--xAC AB =-,所以(1)()CD BE x AB AC xAC AB ⎡⎤⋅=--⋅-⎣⎦22(1)(1)x x AB AC AB AC x AB x AC =-⋅+⋅---2111222x x =-+-2113()228x =---,因为0x >,0y >,且1x y +=, 所以01x <<, 所以当12x =时, CD BE ⋅取最大值38-.12答案及解析：解析：∵22224a b a a b b -=-⋅+=,∴12a b ⋅=,∴22226a b a a b b +=+⋅+=,∴a b +=.13答案及解析：答案：-1解析：∵()()a b a tb +⊥+, ∴()()0a b a tb +⋅+=,∴220a ta b a b tb +⋅+⋅+=,∴42240t t --+=,∴1t =-.14答案及解析：答案： -2解析：由向量加法的平行四边形法则,,所以.当时,取最大值.15答案及解析：答案：-25解析：由勾股定理得5BA =,4cos 5B =,3cos 5A =, 故a b b c c a ⋅+⋅+⋅34035542555⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16答案及解析：答案：-2解析： 2a b i j +=+,23a b i j -=-+,可得25a i j =-+,23b i j =-,所以()()4538a b i j i j ⋅=-+-=-,所以2a b ⋅=-.17答案及解析：答案：0解析：220a b a b a b +=-⇒⋅=.18答案及解析：答案：6解析：由22(2)(3)6a b a b a a b b +⋅-=-⋅-24cos6061672a a =-⋅⋅︒-⋅=-,得6a = (4a =-舍去).19答案及解析：答案：3解析：()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-()2OC OA OB OC =-+⋅1cos OA OB OC θ=-+⋅12cos θ=-,其中θ为向量OA OB +与OC 的夹角,当θπ=时,CA CB ⋅取得最大值3.20答案及解析：答案：4解析：由题意得sin AD AB θ=⋅, 则()AD AC AD AB BC ⋅=⋅+cos()2AD AB AD AB πθ=⋅=⋅⋅-222sin 4sin AB θθ=⋅=因为,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以AD AC ⋅的最大值为3,最小值为1, 故最大值与最小值的和为4.。

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