九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时锐角的余弦和正切知能演练提升新版新人教版
人教版九年级下册第28章课时2 余弦与正切(16页)
4
OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.
3
α
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
2 13
3 13
3
sinA =_______，cosA
=_______，tanA
=_____，
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均
为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0<
cos A <1，tan A >0.
针对训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则 tan A = 12 ，tan B = 5 ；
.
∟
则 sin A =
A
C
发现
从上述探究和证明过程中还可以得出什么结论？
B
∠A = 90°-∠B
c
a
∟
A
b
C
sin A =
，cos
B=
，
则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A )
两角互余，余弦值=正弦值
如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F =
邻边 b
C
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则sinA = 13 ，cosA = 13 ；
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)
sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
B
10m
②sinB=
（ ×）
6m
③sinA=0.6m （ × ）
A
C
④SinB=0.8 （ √ ）
sinA是一个比值，无单位.
2)如图，sinA=
（×）
九年级数学第28章锐角三角函数
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA
的值（ C ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
BC=5，则sinA的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
AB 5
BC 3
九年级数学第28章锐角三角函数
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100
倍,tanA的值（ C ）
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数281锐角三角函数第2课时余弦与正切课时训练(新.docx
第2课时余弦与正切葛础自我诊断关键问答① 在直角三角形屮，一个锐角的余弦是哪两条边的比？ ② 在直角三角形中，一个锐角的正切是哪两条边的比？1.①如图 28-1-14,在△力应'中，Z 〃=90° , AB=i f BC=2,则 cos/l 的值为（ ）考向提升训练命题点1求余弦函数值[热度：97%]3 .如图28-1-16,在平面直角坐标系屮，点力的坐标为（4,3）,那么cos a 的值是（）yk1 r 厂 r1 l I ____ r :1i i i I i i / :1 1 ■ ■ ■1 1 — 1 1 JTi y i 1 1i ------ i iX!a ::! 0i i i i i i :;i ii i i iii::r图 28-1-163 4 3A — B. — C~ 4o □4. ③如图28-1-17,已知△力饥'的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos 力的值为 ）知识复习习题化A /52 A /51A-T B - 3 C 5 °-2 2. ②如图28-1-15,在腮中,43 3 A.§ B.- C.- °-5能力备考课时化°-5图 28-1-14朮=3,则tern 〃的值为（图 28-1-15图28-1-17A¥氏塚c.呼o o o o方法点拨③在网格图中求锐角的余弦值，类似于在网格图中求锐角的正弦值.5.④如图28-1-18，点、E, B, Q在0/1 ±,己知的直径为1,庞是的一条弦, 则cosZ宓的值为（）O XB图28-1-18A.防的长B.滋的长C.处的长D. 0C的长方法点拨④在圆中求某个圆周角的三角函数值时，可利用同弧所对的圆周角相等，把所求角转化到以直径为斜边的直角三角形中.36.⑤如图28-1-19,直线y=^+3分别与x轴，y轴交于力，〃两点，贝cosZ场0的值是（）图28-1-19B.?C.#D.|方法点拨⑤在平面直角坐标系屮，求直线与坐标轴的夹角的余眩值，一般需要先求出直线与两坐标轴围成的直角三角形的三边长.7._______________________ ⑥如图28-1-20,圆锥的母线长为11cm,侧面积为55 n cm2，设圆锥的母线与高的夹角为Q ,则cos a的值为 .图28-1-20解题突破⑥在圆锥屮求角的余弦值时，通常关注由母线、圆锥的高、底面圆的半径所组成的直角三角形.命题点2余弦函数的简单应用[热度：95%]8.如图28-1-21,在ZC=90° , AC=8 cm,肋的垂直平分线妣V交M于点2连接血若cosZ磁4则兀的长是（）A- 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 39.在 Rt/XABC 中，Zr=90° , ,4〃=15, cosB=~9 则仇= o命题点3求正切函数值[热度：98%]10. 2017 •兰州如图28-1-22, 一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m, 那么这个斜坡与水平地面的夹角的正切值等于（）11. 如图28-1-23,已知00的半径为5 cm,弦肋的长为8 cm, P 是初延长线上一A. 7B.7 C ・ 2 D.|12f 如图28-1-24,直角三角形纸片的两直角边川7与恭之比为3 : 4.⑴将'ABC 按图①所示的方式折叠，使点C 落在肋边上的点肘处，折痕为血 ⑵再将△/!肋按图②所示的方式折叠，使点〃与点〃重合，折痕为肪 则tanZ 妬的值为（）图 28-1-243 419 4A-4 B *3 C —25解题突破⑦ 折柱可以在保持角的度数不变的条件下，将角的位置进行转移.ZDEA 的正切值与Z 為的正切值相等吗？13.如图28-1-25，点7（12,刃在反比例函数卩=一的图象上，P 吐x 轴于点//,则X12 5 F c.巨13 点，BP=2 cm,则 t anZOPA 的值为（图 28-1-22图 28-1-23CtanZ/W 的值为是 _________ •易错警示⑧ 不要把点戶在直线〃上理解为点尸在线段〃上，否则会导致漏解.15. _________________ ⑨如图28-1-26是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”, 图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形肋Q 的血积是小正方形EFGH 血积的13倍, 那么tanZJZ?^的值为 .解题突破⑨ 若设小正方形刃乞〃的边长是日，则大正方形弭饥刀的面积如何表示？图中直角三角形 的边长也能用臼表示吗？16. ®阅读理解题：利用45°角的正切，求tan22. 5°的值，方法如下：解：构造R 仏ABC,其中ZC=90° , ZABC=45° ,如图28-1-27.延长G?到点〃， 使 BD=AB,连接 A9,则 ZD=^ZABC=2fL 5° .设 AC=a,则 BC=a, AB=BD=^2a.丈：CD模型建立⑩ 若已知一个锐角的正切值，利用阅读理解的方法，可以求这个角的一半的正切值.= BC+BD=(\+y[i)/ Atan22. 5°请你仿照此法求tan!5°的值.AC a 厂二 t an D —尸 =7 2 — 1.CD (1+^2) a 714.若 DP=\,贝lj tanZBPC 的值 AC图 28-1-26图 28-1-27命题点4正切函数的简单应用[热度：95%]17. 如图28-1-28,在边长为12的正方形中，〃是边牝、上一点，若tanZZ?ZM则肋的长为（）图 28-1-28A. 4B. 2 羽C. 2 花D. 21&⑪如图28-1-29,在Rt △丽〃中，延长斜边 弘到点C ；便CD=^BD,连接若 5tan^=~,则 tan ZCAD 的值为（）解题突破⑪思维一：构造以么以〃为一锐角的直角三角形求解；思维二：将ZG 〃转移到某个直角三角形屮，通过求与其相等的角的正切值得解.19. 如图28-1-30,在RtA/l^r 中，ZC=90° ,边仍的垂直平分线分别交边况；AB 4 于点〃，E 如果 BC=8, tan/=§,那么/9= ______________ .命题点5锐角三角函数的综合应用[热度：95%]20. 在 Rt △力加屮，Zr=90° , sin/1 ： sin 〃=3 ： 4,则 Zrvl 的值是（ ）21.吸口图 28-1-31,在 RtA^'p,斜边 AB=\.若 OC 〃BA, ZAOC=36° ,贝9 ()图 28-1-29图 28-1-30图 28-1-31点〃到力0的距离为sin54° 点g 到肋的距离为tan36° 点彳到OC 的距离为sin36° 点彳到OC 的距离为cos36° A . B. C. D• sin54° • sin54°解题突破⑫点〃到力0的距离是线段加的过点A 作ADA. 0C 于点D,则初的长就是点A 到0C 的距离.522. 在况?中，ZC=90° , sin 〃=启，贝ij cos 〃= _____________ .23. 如图28-1-32,在△肋C 屮，初是％边上的高，血是％边上的屮线，Zf=45° , 1 sin B=q, AD= 1.⑴求力的长；(2)求tanZDAE 的值.思维拓展培优24. ⑬已知：如图28-1-33,以丄创，E,尸是/Q 上的两点，ZAOF> ZAOE. (1) 求证：tanZAOF>tanZAOE ；(2) 锐角的正切函数值随角度的增大而 _______ .模型建立 ⑬说角的止切函数值随角度的增人而增人.a b25.⑭在如图28—1一34所示的直角三角形中，我们知道sin a =-, cos a =~, tan a c c=7, /.sin 2^ 4-cos 2 a =冷+2=刀t 力=1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.b c c c(1) 请你根据上面的探索过程，探究sin 。
人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例
四、教学评价
1.评价学生的知识掌握程度：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对锐角三角函数知识的掌握情况；
2.评价学生的实践操作能力：通过实际问题解决，评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；
3.评价学生的合作交流能力：通过小组讨论、互动交流等方式，评价学生在团队合作中的表现；
3.讲练结合：在课堂中及时进行练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力；
4.反馈调整：根据学生的学习情况，及时调整教学方法，以提高教学效果。
五、教学过程
1.创设情境，引入新课：通过生活实例，引导学生思考并引入锐角三角函数的概念；
2.自主探究，小组合作：让学生在小组内讨论交流，共同探究锐角三角函数的定义及应用；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力；
2.培养学生合作交流的意识，提高学生团队协作的能力；
3.让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识；
4.通过对本节课的学习，使学生树立正确的数学学习观念，相信自己通过努力可以掌握并运用好数学知识。
三、教学重难点
4.评价学生的情感态度与价值观：通过观察学生的学习态度、课堂表现等，评价学生对数学学科的兴趣和热爱。
五、教学拓展
1.利用多媒体技术，展示锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
2.推荐相关的数学读物和网站，让学生课后进行拓展学习，提高学生的数学素养；
3.结合学校或社区的活动，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
六、教学反思
在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法、教学内容等方面，以确保教学的质量和效果。同时，关注学生的学习反馈，根据学生的需求调整教学策略，以提高教学效果。通过不断的反思和调整，使教学更加符合学生的实际情况，提高学生的数学素养。
福建省2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数2余弦正切课件新版新人教版
∴cos α＝AABC，∴AC＝coxs α米．故选 B.
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
解：∵MN⊥AB，∴∠ANM＝90°＝∠C.
又∵∠A＝∠A，∴∠B＝∠AMN.
在Rt△AMN中，AN＝3，MN＝4，
3
4
3
4
A.5 B.5 C.4 D.3
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7．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴正半轴所夹的角 为α，tan α＝ 3 ，则t的值是( C ) 2 A．1 B．1.5 C．2 D．3
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8．【2023·深圳福田区期末】如图，某地修建高速公路，要
从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了
解：如图，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F.∵∠CBF＝∠DBP＝45°，
∴∠PBF＝∠DBC.∴tan∠PBF＝tan ∠DBC＝35.在 Rt△PBF 中，
tan ∠PBF＝BPFF.设点 P(x，－x2＋3x＋4)，则－x24＋－3xx＋4＝35，
解得 x1＝－25，x2＝4(舍去)．当 x＝－25时，y＝－－252＋3×－25＋4＝6265，
由勾股定理得AM＝5， ∴cos B＝cos ∠AMN＝ MAMN＝45 .
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5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对 边与_邻__边_____的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝___ab_____．
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6．【2023·佛山】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5， BC＝4，则tan A的值为( D )
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(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值． 解：设⊙O的半径为r.∵OC＝3，
人教版数学九年级下册第28章(教案)：28.1锐角三角函数-余弦、正切
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数余弦与正切(共22张PPT)
∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮 助小张求出小桥PD的长并确定小桥
解：设PD=x米，∵PD⊥AB， ∴∠ADP=∠BDP=90° x 在Rt△PADx中，tan∠PAD= AD x 5 ∴AD= tan38.5 ≈ 0.8 = x 4 x 在Rt△PBD中，tan∠PBD= DB x x ∴DB= tan 26.5 ≈0.5 = 2x 又∵AB=80.0米 5 ∴ x+2x=80.0
一个角的正切表 示定值、比值、 正值。 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的 确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐 角三角函数。
A的对边 a tan A A的邻边 b
的比叫做∠A的 正切，记作 tanA。
新人教九年级数学下
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5， BC=3，则tanA的值是（ A ） A. B. C. D.
5
．
1题
4题
新人教九年级数学下
BC 解：∵ sin A AB
例1: 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、 tanA的值． B
10
6 A
BC 6 3 sin A AB 10 5
C
又
AC AB2 BC2 102 62 8
么cosA的值等于(
D ) 4 3 3 4 A. B. C. D. 3 4 5 5 3、正方形网格中，∠AOB按如图放置，则cos∠AOB的 ) A.
问：
BC AC
＝
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小 如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
新人教九年级数学下
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数课件新版新人教版
3
解：∵tanA= = ,AC=15
5
∴BC=9
1
Δ = × 15 × 9=67.5
2
AB= 2 + 2 = 152 + 92 =3 34
课堂小结
(1)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，
b
即cos A＝ ;
c
(2)∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，
的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( D
A.
3
4
4
3
B.
3
5
C.
4
5
D.
)
课堂探究
知识点二：正切函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作
B
tanA，即
∠的对边
tan =
=
.
∠的邻边
斜边
∠A的对边
A
┌
∠A的邻边 C
例题解析
例2
4
3
归纳总结
特别提醒求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一
定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆．
试一试
1.【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( A
A.
3
5
4
5
B.
3
4
C.
)
4
3
D.
2.【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A
AC=2，则tanA的值为(
A.2
B
)
1
5
2 5
九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数(第2课时)锐角的余弦和正切
12/11/2021
第四页，共十一页。
互动课堂理解
解:构造 Rt△ABC,∠C=90°,如图所示.
令 α=∠A.∵cos α=cos
4
A=5,
∴设 AC=4k(k>0),
则 AB=5k,BC= 2 - 2 =3k.
3
3
∴sin A= = 5 = 5,tan
3
3
即 sin α=5,tan α=4.
内容(nèiróng)总结
第2课时 锐角的余弦和正切。3.如上图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们(wǒ men)把∠A的对边与邻边的
比。5.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的
.。6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=9,AC=12,则。
tan B=
.。【例】已知α是锐角,且cos α= ,求tan α及sin α的值.。关闭。4.已知直角三角形中较
1
A.sin
1
B.cos
C.sin α
)
D.1
关闭
A
答案(dá
答案
àn)
12/11/2021
第七页，共十一页。
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
3.如图,在 Rt△ABC
2
中,∠ACB=90°,CD⊥AB,cos∠BCD= ,BD=1,则
3
边 AB 的长是(
)
9
10
A.
10
9
B.
C.2
9
5
D.
关闭
长的直角边长为30,这边所对角的余弦值为
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2021年最新人教版九年级数学下册第二十八章28.1 锐角三角函数第2课时 余弦和正切
第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时余弦和正切【知识与技能】1.理解余弦、正切的概念，理解锐角三角函数的定义；2.能运用余弦、正切的定义解决问题.【过程与方法】逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维才能.【情感态度】在探究结论的过程中，体验探究的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快乐.【教学重点】掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决详细问题.【教学难点】灵敏运用三角函数的有关定义进展计算.一、情境导入，初步认识问题我们知道，在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回忆，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可互相交流，老师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取正确认知.二、考虑探究，获取新知问题如图，在Rt △ABC和Rt △A B C''',中，∠C=∠C'=90°∠A =∠A'.求证：〔1〕ACAB=A CA B''''；〔2〕BCAC=B CA C''''【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.老师在学生讨论过程中，提出问题∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进展总结归纳.余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA =A bc ∠的对边＝斜边正切：在RtAABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA =A aA b∠的对边＝∠的邻边.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.三、典例精析，掌握新知例1 在Rt△ABC中，∠C = 900，BC= 6，sinA= 35，求 cosA，tanB的值.分析与解由正弦函数定义及sinA =35知，sinA =BCAB=35，又BC = 6，故AB = 10，所以22AB BC- = 8，从而 cosA = ACAB=810=4 5，tanB =8463ACBC＝＝.【教学说明】此题可先让学生独立完成，老师巡视指导，时时关注学生解题时是否能紧扣定义，即sinA = BCAB，cosA =ACAB，tanB =ACBC的运用是否得当，有没有出现混淆情形.例2在△ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.【分析】由于∠B和∠C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求出tanB，sinC的值，这样迫使我们要将∠B，∠C放到直角三角形中去，这时，过A作AD丄BC于D可到达这一目的，问题可逐步解决.解过A作AD丄BC于D. AB = AC，∴BD = CD = 12BC=12⨯30 = 15.又 AB = AC = 20，∴AD = 57，因此tanB = BCAC= 577＝，sinC =AD577AC＝＝.四、运用新知，深化理解1.分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求cosB,sinA,tanB的值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=〔1〕求cosA和tanA的值;〔2〕假设AB=5，求BC和AC的长.4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.〔1〕sinA与cosB的关系如何？为什么？〔2〕sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由〔sin2A=(sinA)2).〔3〕找出tanA与tanB的关系；〔4〕由〔1〕，〔2〕，〔3〕，你能发现什么有趣的结论？【教学说明】 让学生通过对上述问题的考虑，稳固所学知识，增强运用解决问题的才能.其中第2题在学生探究交流后，老师应予以评讲，让学生的分析才能和解决问题才能得到进一步开展.在完成上述题目后，老师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.〔1〕sinA =513，sinB = 1213,cosA = 1213,cosB = 513,tanA = 512tanB =125. 31313＝21313＝21313＝, cosB = 31313＝tanA = 32,tanB = 23. 2.解： tanA = BC AC = 34，AC = 8. ∴BC = 6，在△ABC 中，AB = 22AC BC += 10. ∴ cosB = 63105＝，tanB = 8463＝. 3.解：〔1〕由于cosB =BC 1AB 3＝，设BC = x,那么AB = 3x. ∴22AB BC -22(3x)2x x -＝2.∴cosA = AC AB 22,tanA = BC AC 2. (2) 假设AB = 5，即3x = 5, ∴x = 53,∴BC = 53,AC = 23.4.解：〔1〕sinA = cosB (2)sin2A + cos2A = 1 (3)tanA·tanB = 1 (4)略五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流.【教学说明】老师应与学生一起进展交流，共同回忆本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同讨论解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.习题28.1中选取.1.布置作业：从教材P68～702.完成创优作业中本课时的“课时作业〞局部.本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联络生活实际的问题，让学生对三角函数有关定义可以灵敏运用.最后，应注重让学生用自己的语言归纳和表达经由探究得出的结论，引导学生对知识与方法进展回忆总结，形成良好的反思习惯，掌握高效的学习方法.。
九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 28.1.2 余弦和正切
∴KO∶KF＝1∶2，∴KO＝OF＝12CF＝12BF.
BF 在 Rt△OBF 中，tan∠BOF＝OF＝2.
202∵1/12∠/11 AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2.故答案为：2.
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第2课时 余弦(yúxián)和正切
2．阅读理解如图 K－17－14，定义：在 Rt△ABC 中，锐角 α 的 邻边与对边的比叫做角 α 的余切，记作 cotα， 即 cotα＝ 角 角α α的 的邻 对边 边＝ABCC.根据上述角的余切定义，解答下列问题： (1)cot30°＝________；
11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论： ①sinA＝ 23；②cosB＝12；③tanA＝ 33；④tanB＝ 3.其中正确 的结论有__②_③__④___(只需填上正确结论的序号)．
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第 课时 2
(kèshí)
余弦和正切
12．如图K－17－7所示，在平面直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系中，已知点A的 坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝
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2 第 课时(kèshí) 余弦和正切
三、解答题
2 14．如图 K－17－9，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝3，求 sinA 和 cosA 的值． 链接听课例1归纳总结
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图K－17－9
第2课时 余弦(yúxián)和正切
内容(nèiróng)总结
28.1 锐角三角函数。一、 选择题。第2课时(kèshí) 余弦和正切。图K－17－1。图K－17－2。8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 tanA·tanB的值一定( )。A．小于1 B．不小于1。C．大于1 D．等于1。2。16．如图K－17－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数2教学课件新版新人教版
新课讲解
（2）∠B≈38°12′或38.20°； （3）∠B≈36°20′或36.33°． 注意：1．按“度分秒”键就可以转换成用度分秒表示 的角； 2．已知三角函数值求角的度数需要用第二功能键．
新课讲解
例1 求下列各式的值：
（1）cos2 60 sin2 60 ； （2）cos 45 tan 45 ．
巩固练习
3．已知下列锐角三角函数值，求出其对应锐角的度数． （1）sin A=0.2046；（2）cos A=0.7958； （3）tan A=3.280． 解：（1）∠A≈11.81°或11°48′22″； （2）∠A≈37.27°或37°16′9″； （3）∠A≈73.04°或73°2′41″．
新课讲解
分析：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以
先求该锐角的某一个三角函数值，如果这个值是一个
特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数．
解：（1）在图（1）中，
∵
sin
A
BC AB
3 （2）中， ∵ tan AO 3OB 3 ，
OB OB
∴ 60 ．
新课讲解
问题1 分别画出含有30°，45°，60°角的直角三角 形，并求出sin 30°，sin 45°，sin 60°的值，以此 类推求出30°，45°，60°角的所有三角函数值． 解：
新课讲解
问题2 求出下列各角的三角函数值： （1）sin 37°24′；（2）cos 21°28′30″； （3）tan 52°45′． 解：（1）求sin 37°24′的值，利用计算器的 再输入角度值37°24′，得到结果： sin 37°24′≈0.6074．注意：输入度数时，用 键或用小数度数．
sin 45
解：（1）cos2 60 sin2 60 （2）cos 45 tan 45
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第2课时锐角的余弦和正切
知能演练提升
能力提升
1.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,下列结论:(1)sin α=;(2)cos α=;(3)tan α=;(4)cos α=,其中正确的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1
2.如图,CD是一个平面镜,光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为()
A. B. C. D.
(第1题图)
(第2题图)
3.如图,某游乐场一滑梯的高为h,滑梯面与铅垂面的夹角为α,则滑梯长l为()
A. B. C. D.h·sin α
4.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tan B=,则tan∠CAD的值为
()
A. B. C. D.
(第3题图)
(第4题图)
5.如图,正方形ABCD的边长为1,将线段BD绕着点B旋转,使点D落在CB的延长线上的点D'处,则tan∠BAD'=.
6.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是.
(第5题图)
(第6题图)
7.如图,矩形ABCD的周长为30 cm,两条邻边AB与BC的比为2∶3.
求:(1)AC的长;
(2)锐角α的三个三角函数值.
创新应用
★8.通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正
.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.对记作sad A,这时sad A=底边
腰
根据上述角的正对定义,解下列问题:
( ) d 60°=;
(2)对于0°<∠A< 80°,∠A的正对值sad A的取值范围是;
(3)如图②,已知sin A=,其中∠A为锐角,试求sad A的值.
参考答案
能力提升
1.B
2.A∵∠AEC=∠BED,∠C=∠D,
∴△AEC∽△BED.
∴,即
,
6-
解得CE=4.
∴tan α=tan A=.
3.C
4.D解法1:由tan B=,设AD=5k,AB=3k,如图,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠ADE=90°,.∵DC=BD,∴,
∴DE=AB,
∴tan∠CAD=.
解法2:如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E.
∵tan B=,即,
∴设AD=5x,则AB=3x.
∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,∴△CDE∽△BDA,
∴,
∴CE=x,DE=x,
∴AE=x,
∴tan∠CAD=.
5.BD=,旋转使BD'=BD=,故tan∠BAD'=.
6.2解法1:如图,连接BE.
∵四边形BCED是正方形,
∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,
∴BF=CF.
根据题意得AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,
∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3.
∴DP=PF=CF=BF.在Rt△PBF中,tan∠BPF==2.
∵∠APD=∠BPF,
∴tan∠APD=2.
解法2:如图,连接AH,BH,易知AH⊥BH,且CD∥BH,于是tan∠APD=tan∠ABH==2.
7.解 (1)∵AB+BC=15 cm,AB∶BC=2∶3,∴AB=6 cm,BC=9 cm,
∴AC==3(cm).
(2)在Rt△ABC中,sin α=,cos α=,tan α=.
创新应用
8.解 (1)1;(2)0<sad A<2;
(3)延长AC至点D,使AD=AB.
由sin A=,可设BC=3a,AB=5a,
则AC=4a,AD=5a,CD=a.
所以BD= 0a.于是sad A= 0 0.。