矩形菱形习题
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
平行四边形、 菱形、矩形、正方形专项练习(含部分答案)
ＡＦＣＤＢ Ｅ第9题图 平行四边形、 菱形、矩形、正方形专项练习（一）班级 姓名 一、判断：（正确的打√，错误的打×）⑴一组邻边相等的四边形是菱形。
（ ） ⑵对角线互相垂直的四边形是菱形。
（ ） ⑶对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形。
（ ） ⑷对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形。
（ ） ⑸对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
（ ） ⑹一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
（ ） 二、选择1. 在ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O 如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m 的范围为（ ） A .1≤m ≤11 B. 111m << C. 210m ≤≤ D. 111m <≤2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等3.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角4.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 2 5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）A.43B.83C.103D.1236.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）A.16B.22C.26D.22或267.在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+628.如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是… （ ）A. 2B. 3C. 4D. 59．（2011年浙江仙居）如图在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形； ②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） 10.菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16 cm ，BD =12 cm ，则它的高为 。
初三矩形菱形正方形练习题
初三矩形菱形正方形练习题题一：给定一个矩形的长和宽，求其面积。
解答：设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S = L × W。
题二：已知一个矩形的周长为40cm，且长大于宽，求矩形的长和宽。
解答：设矩形的长为L，宽为W。
根据矩形的周长公式，2L + 2W = 40。
由于长大于宽，则L > W。
可以推导出L = 20 - W。
代入矩形面积公式S = L × W中，得到(20 - W) × W = S。
求解这个二次方程，可以得到矩形的长和宽。
题三：一个矩形的长比宽多3cm，且矩形的面积为60平方厘米，求矩形的长和宽。
解答：设矩形的宽为W，则矩形的长为W + 3。
根据矩形的面积公式，(W + 3) × W = 60。
将方程化简为二次方程，然后求解得到矩形的长和宽。
题四：给定一个菱形的边长，求其周长。
解答：设菱形的边长为L，则菱形的周长P = 4L。
题五：已知一个菱形的周长为32cm，求菱形的面积。
解答：设菱形的边长为L。
根据菱形的周长公式，4L = 32，可以求得L。
然后利用菱形面积公式S = L²sin(45°)求得菱形的面积。
题六：给定一个正方形的边长，求其周长。
解答：设正方形的边长为L，则正方形的周长P = 4L。
题七：已知一个正方形的周长为60cm，求正方形的面积。
解答：设正方形的边长为L。
根据正方形的周长公式，4L = 60，可以求得L。
然后利用正方形面积公式S = L²求得正方形的面积。
题八：在一块正方形纸上，用两个顶点分别连接两个相对边的中点，得到一个菱形，如图所示。
解答：首先利用刻度尺等工具在纸上量好正方形的边长，然后找到两个相对边的中点，并用铅笔将它们连接起来，注意连接线要经过两个顶点。
这样就得到了一个菱形。
题九：如何判断一个四边形是矩形？解答：一个四边形是矩形的条件是它的四个内角均为直角，即每个内角为90°。
菱形矩形正方形练习题
菱形矩形正方形练习题菱形矩形正方形练习题矩形、菱形与正方形练习题1. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm ，四边形ABCD 面积是11cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（） F （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）2n +1 （D ）2n +23. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为A.17B.17C.18D.19 4. 如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 B.3 C. 3 D.6 25. （2021浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F 、A G 分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B =A C , 侧面四边形B D E C 为矩形，若测得∠F A G =100︒，则∠FBD =( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条7. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．18.. 如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，21则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定‧是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形9.. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面AA ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 10. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611 如图, 四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD, 顺次连接四边形ABCD 各边中点, 得到四边形A 1B 1C 1D 1, 再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点, 得到四边形A 2B 2C 2D 2……, 如此进行下去, 得到四边形A n B n C n D n . 下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C5D 5的周长; ④四边形A n B n C n D n 的面积是A. ①②B.②③C.②③④D.①②③④ 12. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm 13. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF, 则四边形BCDE 的面积是（）A ．23B ．33C ．4D ．43 14. 下列关于矩形的说法中正确的是A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 15．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补二、填空题1. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（39题）一 、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12 B ．1 C 3D 35．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴 D ．直线AC 为线段BD 的对称轴8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．410．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF ==．CE DF(1)求证：AE BF∥=时求证：四边形DECF是菱形．(2)若DF FC23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）(2)若直线MN分别交AD BC于E F两点求证：四边形AFCE是菱形AC BD交于点O分别以点,B C为圆心24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的对角线,11,22AC BD 长为半径画弧 两弧交于点P 连接,BP CP ．(1)试判断四边形BPCO 的形状 并说明理由(2)请说明当ABCD 的对角线满足什么条件时 四边形BPCO 是正方形？25．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中 D 是BC 的中点 E 是AD 的中点 过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：AF BD =(2)连接BF 若AB AC = 求证：四边形ADBF 是矩形．26．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M 在ABCD 的边AD 上 BM CM = 请从以下三个选项中①12∠=∠ ①AM DM = ①34∠∠= 选择一个合适的选项作为已知条件 使ABCD 为矩形．(1)你添加的条件是_________（填序号）(2)添加条件后 请证明ABCD 为矩形．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 为AB 边上任意一点（不与点A B 重合） 过点D 作DE BC ∥ DF AC ∥ 分别交AC BC 于点E F 连接EF ．(1)求证：四边形ECFD 是矩形(2)若24CF CE ==， 求点C 到EF 的距离．28．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ A C ∠=∠ BD 为对角线．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形．(2)已知AD AB > 请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF 顶点E F 分别在边BC AD 上（保留作图痕迹 不要求写作法）．三 填空题29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AD BC = AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______ 使四边形ABCD 成为菱形．30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AC BD 、为菱形的对角线60,10DBC BD ︒∠== 点F 为BC 中点，则EF 的长为_______________．31．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 40DAB ∠=︒ 连接AC 以点A 为圆心 AC 长为半径作弧 交直线AD 于点E 连接CE ，则AEC ∠的度数是________．33．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 60DAB ∠=︒ BE AB ⊥ DF CD ⊥ 垂足分别为B D 若6cm AB =，则EF =________cm ．34．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E 交BC 于点O 连接BE CE 过点C 作CF BE ∥ 交EO 的延长线于点F 连接BF ．若8AD = 5CE =，则四边形BFCE 的面积为______．.35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 点E F G H 分别是AB BC CD AD 上的点 且BE BF CG AH === 若菱形的面积等于24 8BD =，则EF GH +=___________________．36．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一 最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 任意切成多块小图形 几何图形的总面积保持不变 等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一 如图，在矩形ABCD 中 5AB = 12AD = 对角线AC 与BD 交于点O 点E 为BC 边上的一个动点 EF AC ⊥ EG BD ⊥ 垂足分别为点F G ，则EF EG +=___________．37．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为___________．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O E 为BC 上一点 7CE = F 为DE 的中点 若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．39．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 4AB = 6AD =．在边AD 上取一点E 使BE BC = 过点C 作CF BE ⊥ 垂足为点F ，则BF 的长为________．参考答案一 单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒ 进而即可求解．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形①,BD AC AB CD ⊥∥①1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒①120∠=︒①2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质 熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒【答案】C 【分析】首先根据正方形的性质得到45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO = 然后结合EF AD ∥得到OE OF = 然后证明出()SAS AOF DOE △≌△ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】①四边形ABCD 是正方形①45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO =①EF AD ∥①45OEF OAD ∠=∠=︒ 45OFE ODA ∠=∠=︒①OEF OFE ∠=∠①OE OF =又①90AOF DOE ∠=∠=︒ AO DO =①()SAS AOF DOE △≌△①15ODE FAC ∠=∠=︒①30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒①180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质 全等三角形的性质和判定 等腰直角三角形三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形 平行四边形 矩形 菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 正方形的对角线相等且互相垂直平分 描述正确B 对角互补的四边形不一定是平行四边形 只是内接于圆 描述错误C 矩形的对角线不一定垂直 但相等 描述错误D 一组邻边相等的平行四边形才构成菱形 描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质和判定 解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12B ．1C 3D 3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明ABD △是等边三角形 由AC BD ⊥ 得到1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ 即可得到1122OB AB == 利用勾股定理求出AO 的长度 即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥ AB AD = AC BD ⊥ 12AO OC AC ==①60DAB ∠=︒ 且AB AD =①ABD △是等边三角形①AC BD ⊥ ①1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ ①1122OB AB == ①2222111322AO AB OB ⎛⎫-= ⎪⎭=-⎝ ①23AC AO ==故选：D ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质 勾股定理 等边三角形的判定和性质 30︒角所对直角边等于斜边的一半 关键是熟练掌握菱形的性质．5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ：AB CD ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ：AD BC = ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A B ∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD =∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质 平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识 熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G 易得：,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥ 利用矩形的性质和三角形的面积公式 可得1212BCDES S S +=矩形 再根据1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形 得到12ABC S S S S -=- 即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G①矩形BCDE①,,BC BE BC CD BE CD ⊥⊥=①,FG BE FG CD ⊥⊥①四边形BFGC 为矩形①,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥①1211,22S BE AF S CD AG =⋅=⋅①()12111222BCDE BE AF AG BE B S C S S =+=⋅=+矩形又1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形①121122ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S =+---=矩形矩形 ①只需要知道ABC 的面积即可求出12S S S --的值故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质 求三角形的面积．解题的关键是得到1212BCDES S S +=矩形 7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D ．直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线 从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 故A 符合题意线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 故B 不符合题意矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线故C D 不符合题意故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义 矩形的性质 熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 【答案】C【分析】先根据正方形的性质 三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ 根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠ 再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠ 从而可得30DAM ∠=︒ 然后利用勾股定理 含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是边长为6的正方形6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒在ADM △和CDM 中 45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS ADM CDM ∴≅DAM DCM ∴∠=∠PM PC =CMP DCM ∴∠=∠22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒30DAM ∴∠=︒设PD x =，则22AP PD x == 6PM PC CD PD x ==-=-2236AD AP PD x ∴=-= 解得3x =663PM x ∴=-=- 243AP x ==(()43623631AM AP PM ∴=-=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 等腰三角形的性质等知识点 熟练掌握正方形的性质是解题关键．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B 【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD ==⨯= 再由勾股定理求出5BC = 然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：①菱形ABCD①AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD === ①由勾股定理 得225BC OB OC =+=①E 为边BC 的中点 ①1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质 勾股定理 直角三角形的性质 熟练掌握菱形的性质 直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形 2FH AB == 4GE BC == 由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：①将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH①EF GH ⊥ EF 与GH 互相平分①四边形EFGH 是菱形①2FH AB == 4GE BC ==①菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=． 故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠 菱形的判定和性质等知识 熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意 分别证明四边形1212E E F F 是菱形 平行四边形 矩形 即可求解．【详解】①四边形ABCD 是矩形①AB CD ∥ 90BAD ABC ∠=∠=︒①60BDC ABD ∠=∠=︒ 906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒①OE OF = OB OD =①DF EB =①对称①21DF DF BF BF ==， 21,BE BE DE DE ==①1221E F E F =①对称①260F DC CDF ∠=∠=︒ 130EDA E DA ∠=∠=︒①160E DB ∠=︒同理160F BD ∠=︒①11DE BF ∥①1221E F E F ∥①四边形1212E E F F 是平行四边形如图所示当,,E F O 三点重合时 DO BO =①1212DE DF AE AE ===即1212E E E F =①四边形1212E E F F 是菱形如图所示 当,E F 分别为,OD OB 的中点时设4DB =，则21DF DF == 13DE DE ==在Rt △ABD 中 2,23AB AD ==连接AE AO①602ABO BO AB ∠=︒==，①ABO 是等边三角形①E 为OB 中点①AE OB ⊥ 1BE = ①22213AE - 根据对称性可得13AE AE =①2221112,9,3AD DE AE ===①22211AD AE DE =+①1DE A 是直角三角形 且190E ∠=︒①四边形1212E E F F 是矩形当,F E 分别与,D B 重合时 11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形①在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 矩形的性质与判定 勾股定理与勾股定理的逆定理 轴对称的性质 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2【答案】D 【分析】连接AF 根据正方形ABCD 得到AB BC BE == 90ABC ∠=︒ 根据角平分线的性质和等腰三角形的性质 求得45BFE ∠=︒ 再证明ABF EBF ≌ 求得90AFC ∠=︒ 最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半 即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF四边形ABCD 是正方形AB BE BC ∴== 90ABC ∠=︒ 222AC ==BEC BCE ∴∠=∠1802EBC BEC ∴∠=︒-∠290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒ BF 平分ABE ∠1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAF BEF ∴△≌△45BFE BFA ∴∠=∠=︒90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒O 为对角线AC 的中点122OF AC ∴= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质 三角形内角和定理 正方形的性质 直角三角形特征 作出正确的辅助线 求得45BFE ∠=︒是解题的关键．二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF 分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠ 根据O 是BD 的中点 可得BO DO = 即可证明()AAS BOF DOE ≌△△（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF = 进而可得四边形EBFD 是平行四边形 根据对角线互相垂直的四边形是菱形 即可得证．【详解】（1）证明：如图所示①四边形ABCD 是矩形①AD BC ∥①12,34∠=∠∠=∠①O 是BD 的中点①BO DO =在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BOF DOE ≌△△（2）①BOF DOE ≌△△①ED BF =又①ED BF ∥①四边形EBFD 是平行四边形①EF BD ⊥①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质 全等三角形的性质与判定 菱形的判定 熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD = 然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理 （2）根据矩形的性质求得OCD 的面积 然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：①DE AC CE BD ∥,∥ ①四边形OCED 是平行四边形又①矩形ABCD 中 OC OD =①平行四边形OCED 是菱形（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=①OCD 的面积为13642⨯= ①菱形OCED 的面积为3232⨯=． 【点睛】本题考查矩形的性质 菱形的判定 属于中考基础题 掌握矩形的性质和菱形的判定方法 正确推理论证是解题关键．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形 其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)AOB 是直角三角形 理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD == 再根据勾股定理的逆定理 即可得出结论（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形 即可求证．【详解】（1）解：AOB 是直角三角形 理由如下：①四边形ABCD 是平行四边形 ①142BO BD ==①222222345OA OB AB +=+==①AOB 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：AOB 是直角三角形①90AOB ∠=︒即AC BD ⊥①四边形ABCD 是平行四边形①四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 勾股定理的逆定理 菱形的判定 解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接证明()ASA AOB DOC ≌△△ 得出OA OD = 根据E F 分别是AO DO 的中点 即可得证（2）证明四边形BECF 是平行四边形 进而根据30A ∠=︒ 推导出BOE △是等边三角形 进而可得BC EF = 即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】（1）证明：在AOB 与DOC △中90ABO DCO OB OCAOB DOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA AOB DOC ≌△△①OA OD =又①E F 分别是AO DO 的中点①OE OF =（2）①OB OC OF OE ==，①四边形BECF 是平行四边形 22BC OB EF OE ==，①E 为AO 的中点 90∠=︒ABO①EB EO EA ==①30A ∠=︒①60BOE ∠=︒①BOE △是等边三角形①OB OE =①BC EF =①四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线 且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）先证AD BC ∥ 再证AE FC 从而四边形AECF 是平行四边形 又AE AF = 于是四边形AECF 是菱形（2）连接AC 先求得60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒ 再证AC AB ⊥9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒= 3AB AC= 得3AB AC = 再证AE BE CE == 从而根据面积公式即可求得AC =43 【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ BAD BCD ∠∠=①BEA DAE ∠∠=①AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线①BAE DAE ∠∠==12BAD ∠ BCF ∠=12BCD ∠①DAE BCF BEA ∠∠∠==①AE FC①四边形AECF 是平行四边形①AE AF =①四边形AECF 是菱形（2）解：连接AC①AD BC ∥ 60ABC ∠=︒①180120BAD ABC ∠∠=︒-=︒①60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒①四边形AECF 是菱形①EAC ∠=1230DAE ∠=︒①90BAC BAE EAC ∠∠∠=+=︒①AC AB ⊥ 9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒=①AE CE = tan 30tan AB ACB AC ︒=∠=3AB AC= ①3AB AC = ①BAE ABC ∠∠=①AE BE CE ==①ABE 的面积等于43 ①211338322ABC S AC AB AC AC AC =⋅=== ①平行线AB 与DC 间的距离AC =43【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离 熟练掌握平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形EBFD 为菱形 理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌即可（2）连接EB FD 根据DOE BOF ≌ 得出ED BF = 根据ED BF ∥ 证明四边形EBFD 为平行四边形 根据EF BD ⊥ 证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：①点O 为对角线BD 的中点①BO DO =①AD BC ∥①ODE OBF ∠=∠ OED OFB ∠=∠在DOE 和BOF 中ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS DOE BOF ≌（2）解：四边形EBFD 为菱形 理由如下：连接EB FD 如图所示：根据解析（1）可知 DOE BOF ≌①ED BF =①ED BF ∥①四边形EBFD 为平行四边形①l BD ⊥ 即EF BD ⊥①四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质 菱形的判定 平行线的性质 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F 连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析 (2)60︒【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE AF =．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出BAD ∠度数 再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出BAE ∠和DAF ∠度数 从而求出EAF ∠度数 证明了等边三角形AEF 即可求出AEF ∠的度数．【详解】（1）证明：菱形ABCD,AB AD B D ∴=∠=∠又,AE BC AF CD ⊥⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒．在AEB △和AFD △中AEB AFD B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≌．AE AF ∴=．（2）解：菱形ABCD180B BAD ∴∠+∠=︒=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒．又90,60AEB B ∠=︒∠=︒30BAE =∴∠︒．由（1）知ABE ADF ≌30BAE DAF ∴∠=∠=︒．120303060EAF ∴∠=︒-︒-︒=︒． =AE AFAEF ∴等边三角形．60AEF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等 菱形的性质 等边三角形的性质 解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形AEFD 是菱形 理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAF AFE ∠=∠ 结合角平分线的定义可得EFA EAF ∠=∠，则AE EF = 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD 是菱形理由：①矩形ABCD 中 AD BC ∥①DAF AFE ∠=∠①AF 平分DAE ∠①DAF EAF ∠=∠①EFA EAF ∠=∠①AE EF =①AE AD =①AD EF =①AD EF ∥①四边形AEFD 是平行四边形又①AE AD =①平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线 矩形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定 平行四边形的判定以及菱形的判定等知识 熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析 (2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF = 30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥ 依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明（2）如图，在Rt ACB △中 由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC == 60ABC ∠=︒ 由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒ 再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD 最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△AC DF =∴ 30CAB FDE ∠=∠=︒AC DF ∥∴四边形AFDC 地平行四边形（2）如图，在Rt ACB △中 90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6cm BC212cm AB BC ∴== 60ABC ∠=︒四边形AFDC 是菱形AD ∴平分CDF ∠30CDA FDA ∴∠=∠=︒ABC CDA BCD ∠=∠+∠603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BCD CDA ∴∠=∠6cm BC BD ∴==18cm AD AB BD ∴=+=故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质 平行四边形的判定 菱形的性质 30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余 三角形外角及等角对等边 解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF = CE DF =．。
矩形、菱形、正方形例题
矩形：1．在矩形中，对角线具有的性质是（ ） A ．相等且互相垂直B ．相等且互相平分C ．互相垂直且互相平分D ．互相垂直且平分内角2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。
A ．4B ．3C ．2D ．13.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2B ．4C．D．4.（2008山西太原）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。
5．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ） A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．1∶16．已知矩形的周长是40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm ，则较大的边长为 cm ．7．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为BC 中点，F 在AB 上，且BF ＝2AF ，则四边形AFEC 的面积为 ．8．如图10，在矩形ABCD 中，AD ＝30，AB ＝20，E 、F 三等分对角线AC ，则△ABE 的面积等于（ ） A ．60B ．100C ．150D ．2009．如图7，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于点E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ ） A ．15B ．14C ．13D ．31010.如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2B ．3C．D．ABCDO DCA B第14题11.(2008黑龙江黑河)如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2E F B E=，则AFC S =△ 2cm ． 12.（2008桂林市）如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 。
矩形菱形练习题及答案
矩形 【2 】.菱形常识考点：懂得并控制矩形的剖断与性质,并能应用所学常识解决有关问题. 精典例题：【例1】如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,AE ⊥BD,垂足为E,∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1,求∠EAC 的度数.剖析：本题充分应用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的根本图形进行求解. 解略,答案450.例1图E ODC BA例2图FE DCB A例3图【例2】如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延伸AB 到点E,使BE ＝2AB,贯穿连接EC 并延伸交AD 的延伸线于点F,求AF 的长.剖析：本题应用菱形的性质,联合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解. 解略,答案AF ＝4.5.【例3】如图,在矩形ABCD 中,M 是BC 上的一动点,DE ⊥AM,垂足为E,3AB ＝2BC,并且AB.BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根.（1）求k 的值;（2）当点M 分开点B 若干时,△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请解释来由. 剖析：用韦达定理树立线段AB.AC 与一元二次方程系数的关系,求出k . 略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ,AB ·BC ＝k 2,又由BC ＝23AB 可消去AB,得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ,解得1k ＝12,2k ＝31,因AB ＋BC ＝2-k ＞0,∴k ＞2,故2k ＝31应舍去. （2）当k ＝12时,AB ＋BC ＝10,AB ·BC ＝k 2＝24,因为AB ＜BC,所以AB ＝4,BC ＝6,由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM.易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ,设AE ＝a 3,AM ＝a 4,则MB ＝22a ,而AB 2＋BM 2＝AM 2,故2421644a a =+,解得2a ＝2,MB ＝22a ＝4.即当MB ＝4时,DEM AED S S ∆∆=3.评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类分解题既有几何证实中的剖析和推理,又有代数式的灵巧变换.盘算,其解题进程层次较多,步骤较庞杂,书写进程也要增强练习.摸索与创新：【问题一】如图,四边形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝35-,CD ＝6,且∠ABC ＝1350,∠BCD ＝1200,你知道AD 的长吗？剖析：这个四边形是一个不规矩四边形,应将它补割为规矩四边形才便于求解. 略解：作AE ⊥CB 的延伸线于E,DF ⊥BC 的延伸线于F,再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350,∴∠ABE ＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形又∵AB ＝6,∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200,∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6,CF ＝3,DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8,FG ＝AE ＝3从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中,∠AGD ＝900∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情况,请你猜想四边形ABDE 是什问题一图GD问题二图么图形,并证实你的猜想.剖析与结论：本题依据题设并联合图形猜想该四边形是等腰梯形,应用对称及全等三角形的有关常识易证.跟踪练习：一.填空题：1.若矩形的对称中间到双方的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为.2.已知菱形的锐角是600,边长是20cm,则较短的对角线长是cm.3.如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E,且OE ∶OD ＝1∶2,AE ＝3cm,则DE ＝cm.4.如图,P 是矩形ABCD 内一点,PA ＝3,PD ＝4,PC ＝5,则PB ＝.5.如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝∠EAF ＝600,∠BAE ＝200,则∠CEF ＝.第3题图E O DC BA第4题图543P D CBA 第5题图FEBA二.选择题：6.在矩形ABCD 的各边AB.BC.CD.DA 上分离取点E.F.G.H,使EFGH 为矩形,则如许的矩形（ ）A.仅能作一个B.可以作四个C.一般情况下不可作D.可以作无限多个7.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝4cm,AD ＝12cm,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 活动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点动身,在CB 间往返活动,二点同时动身,待P 点到达D 点为止,在这段时光内,线段PQ 有（ ）次平行于AB. A.1 B.2 C.3 D.4••第7题图QPDCB第8题图GFE DCBA8.如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD ＝9cm,AB ＝3cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分离是（ ） A.4cm.10cm B.5cm.10cmC.4cm.32cmD.5cm.32cm9.给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相等分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.个中准确的命题有（ ） A.①②B.③④C.③D.①②③④10.平行四边形四个内角的等分线,假如能围成一个四边形,那么这个四边形必定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 三.解答题：11.如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延伸线交DC 的延伸线于点G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,依据上述前提,请在图中找出一对全等三角形,并证实你的结论.第11题图GFEDCBA第12题图 EBA第13题图C12.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的等分线AE 交CD 于F,EG ⊥AB 于G,求证：四边形GECF 是菱形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的统一侧分离作三个等边三角形,即△ABD.△BCE.△ACF.请答复下列问题（不请求证实）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC知足什么前提时,四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC知足什么前提时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失？跟踪练习参考答案一.填空题：3;5.2001.180;2.20cm;3.3;4.2提醒：4题过点P作矩形任一边的垂线,应用勾股定理求解;5题贯穿连接AC,证△ABE≌△ACF得AE＝AF,从而△AEF是等边三角形.二.DDBBA三.解答题：11.可证△DEA≌△ABF12.略证：AE等分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG＝EC,易得∠AEC＝∠CEF,∵CF ＝EC,EG＝CF,又因EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形,又因EG＝FG,故GECF是菱形.13.（1）平行四边形;（2）∠BAC＝1500;（3）当∠BAC＝600时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失.。
九年级中考临考专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。
矩形_菱形的性质及判定专项练习
1. 已知菱形的两条对角线长为10cm 和24cm, 那么这个菱形的面积为_______________.2. 将两张长10cm 宽3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成30度角, 那么重叠部分的面积为________________.3. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ：BE=1：3， OF=4，求∠ADB 的度数和BD 的长。
4. 如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。
5. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，(1)求矩形ABCD 的面积．(2)若连结BE ，求证：BE 平分∠ABC ．6. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°， ∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。
7. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。
过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。
OFEDCBAHGF EDC B A8.如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？9.已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形。
10.如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2) 判断△BEF的形状，并说明理由；11.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝2．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．。
矩形、菱形、正方形习题
如图所示， 如图所示，在Rt∆ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B 中 ＝ ° 、 的平分线交于点D， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， 的平分线交于点 ，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试 说明四边形CEDF为正方形。 为正方形。 说明四边形 为正方形
A
F C
D E B
如图， 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， △ 中 ° 垂直平分BC，垂足为D， ∠BAC=60°，DE垂直平分 ，垂足为 ，交AB ° 垂直平分 于点E，又点F在 的延长线上 的延长线上， 于点 ，又点 在DE的延长线上，且AF=CE．求证： ．求证： 四边形ACEF为菱形． 为菱形． 四边形 为菱形
(1) (2) (3) 3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③ ．用两个全等的直角三角形拼下列图形： 平行四边形； 矩形； 菱形； 正方形； 等腰三角形； 等边三角形； 菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是 ________（只填序号）． （只填序号）． 4．如图 ，点E、F是菱形 是菱形ABCD的边 、CD上的点，请你添加一个条 的边BC、 上的点 上的点， ．如图3， 、 是菱形 的边 不得另外添加辅助线和字母）， ），使 件（不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是 ， ________． ．
矩形、菱形、正方形习题
2011年5月
一、基础训练
1．如图1，在菱形 ．如图 ，在菱形ABCD中，已知 中 已知AB=10，AC=16，那么菱形 ， ，那么菱形ABCD的 的 面积为________． 面积为 ． 2．（ ．（2006年黄冈市）如图 将边长为 年黄冈市） 将边长为8cm的正方形 的正方形ABCD的四边沿直 ．（ 年黄冈市 如图2,将边长为 的正方形 的四边沿直 向右滚动（ ），当正方形滚动两周时 线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点 所经过 向右滚动 不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过 的路线的长是________cm． 的路线的长是 ．
菱形、矩形判定性质练习题
菱形性质与判定练习题1. 已知菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, ∠BAD=120°, AC=4, 则该菱形的面积是（）A.16B.16C.8D.82．菱形的周长为4, 一个内角为60°, 则较短的对角线长为（）A. 2B.C. 1D.3．菱形的周长为8cm, 高为1cm, 则该菱形两邻角度数比为（）A. 3: 1B. 4: 1C. 5: 1D. 6: 14．如图, 菱形ABCD中, AB=15, ∠ADC=120°, 则B.D两点之间的距离为（）A. 15B.C. 7.5D.5.如图, 菱形ABCD的周长是16, ∠A=60°, 则对角线BD的长度为（）A. 2B.C. 4D.6. 已知菱形的两条对角线长分别为2cm, 3cm, 则它的面积是_________cm2.7. 如图, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 且AC=8, BD=6, 过点O作OH丄AB, 垂足为H, 则点0到边AB的距离OH=_________.8．如图, 菱形ABCD的边长是2cm, E是AB的中点, 且DE丄AB, 则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图9. 如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O, AB=13, AC=10, 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E, 则△BDE的周长为_________.10. 如图, 已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°, 对角线AC.BD相交于点O, 点E在AB上且BE=BO, 则∠BEO= _________度.11．如图, 活动菱形衣架的边长均为16cm, 若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm, 则∠1=度．10题图13题14题图15题图12. 已知菱形的一个内角为60°, 一条对角线的长为, 则另一条对角线的长为_________.13. 如图, 两个全等菱形的边长为1米, 一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动, 行走2009米停下, 则这个微型机器人停在_____点.14. 如图, P为菱形ABCD的对角线上一点, PE⊥AB于点E, PF⊥AD于点F, PF=3cm, 则P点到AB的距离是____ cm.15. 已知: 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______.16. 已知菱形的周长为40cm, 两条对角线之比为3: 4, 则菱形的面积为_________cm2.17. 已知菱形的周长是52cm, 一条对角线长是24cm, 则它的面积是_________cm2.18．如图, 菱形ABCD的对角线的长分别为2和5, P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）, 且PE∥BC交AB 于E, PF∥CD交AD于F, 则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图19. 如图: 菱形ABCD中, AB=2, ∠B=120°, E是AB的中点, P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值是_________.20. 如图: 点E、F分别是菱形ABCD的边BC.CD上的点, 且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°, 则∠CFE=度. 21．如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE= BE．22. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.23. 如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD.BF⊥CD, 垂足分别为E、F.（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．24. 如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A.B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE.（1）证明: ∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？25. 如图所示, 在矩形ABCD中, AB=4cm, BC=8cm、点P从点D出发向点A运动, 同时点Q从点B出发向点C运动, 点P、Q的速度都是1cm/s.（1）在运动过程中, 四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能, 那么经过多少秒后, 四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积.矩形的性质与判定【知识要点:】1. 矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°， 又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下： 如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。
矩形与菱形练习题
A BCD E1、已知：矩形ABCD 中，BC =2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．2、如图，矩形ABCD 中，AB =2BC ，且AB =AE ，求∠CBE 的度数．3、已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD =120°， 求∠AEO 的度数．4、已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE＝CD ．连结AE ，BE ，求证：四边形ACBE 为矩形．5、已知：如图，在ABCD 中，E 为CD 中点，AM =BM ，求证：ABCD 是矩形。
AC D M 6、如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm ，求此矩形的面积。
7、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD AE ⊥，垂足为E ，已知AB=3，AD=4，求AEO ∆ 的面积。
8、矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥ 于G ，求证：AD FG FH =+9、在△ABC 中，∠C=90O ，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ， PF ⊥BC 于点F 。
求证：DE=DF10、如图，△ABC 中，点O 是AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ， (1)求证：OE=OF ；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论。
11、如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．21M FE DCBA12、如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=12∠EAD ， AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．13、如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．3421ME DB A14、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
初三菱形矩形练习题
初三菱形矩形练习题矩形和菱形是初中数学中最基础的几何形状之一，对于初三学生来说，掌握这两个形状的性质和应用十分重要。
下面是一些菱形和矩形的练习题，帮助学生巩固对这两个几何形状的认识和运用能力。
题目一：判断下列四边形是否为菱形，如果不是，请说明理由。
1. ABED2. WXYZ3. PQRS4. MNTQ题目二：已知AD＝3cm, AB＝4cm, ∠BAD＝60°，求菱形ABCD的周长和面积。
题目三：已知矩形的周长为24cm，长比宽为3:2，求矩形的长和宽。
题目四：矩形EFGH中，E(-3,1), F(1,1), G(1,-3)，求矩形的面积。
题目五：矩形WXYZ中，对角线WX的长度为10cm，对角线WY与XY的夹角为45°，求矩形的周长和面积。
解答一：1. ABED不是菱形，因为AB≠AD；2. WXYZ不是菱形，因为WX≠WY；3. PQRS是菱形，因为PQ＝QR＝RS；4. MNTQ是菱形，因为MQ＝MT。
解答二：根据题意，可以利用三角形的正弦定理来求解菱形ABCD的周长和面积。
首先，根据正弦定理，可以得到∠ABD的度数为180° - 60° - 90° = 30°。
由于菱形的对角线相等，所以用三角形ABD进行计算：根据正弦定理：AD/sin60° = BD/sin30°代入已知值：3cm/sin60° = BD/sin30°解方程得：BD ≈ 5.20cm因此，菱形ABCD的周长为4cm + 5.20cm + 4cm + 5.20cm =18.40cm菱形的面积可以通过对角线乘积的一半得到：面积 = (AD × BD) / 2 = (3cm × 5.20cm) / 2 = 7.80cm²解答三：设矩形的长为3x，宽为2x，根据题意，可设矩形的长为3a，宽为2a。
矩形、菱形、正方形辅导练习题
1矩形、菱形、正方形测试题 姓名： 成绩：一选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.A 、 对角线相等B 、 对边相等C 、 对角相等D 、 对角线互相平分2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ） A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A 对边平行且相等B 对角线互相平分C 内角和等于外角和D 每一条对角线所在直线都是对称轴4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A 、对角线互相平分的四边形B 、对角线互相垂直且平分的四边形C 、对角线相等的四边形D 、对角线相等且互相垂直的四边形5、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( )A 、AB=CDB 、AC=BDC 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 D 、当∠ABC=90°时，它是矩形6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。
A ．四个角都是直角B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。
A 、对角线相等B 、对角线互相垂直平分C 、四条边相等D 、一条对角线平分一组对角8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A 、对角线互相垂直且相等的四边形B 、一条对角线平分一组对角的矩形C 、对角线相等的棱形D 、对角线互相垂直的矩形9、下列命题中，假命题是（ ）。
A 、四个内角都相等的四边形是矩形B 、四条边都相等的平行四边形是正方形C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形10、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
中考数学专项训练 矩形、菱形与正方形(含解析)
矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。
矩形与菱形同步练习
6.1-6.2 矩形与菱形一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是…………（ ） A ．24cm 2B ．32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 22．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是…………………………………（ ） A ．对角线相等B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是……………………………………（ ） A ．矩形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．平行四边形4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是………………………………………（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD5．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（ ） A ．13B ．6C ．6.5D ．6.5或66．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（ ） A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于…………（ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为………………………（ ）A ．23cmB ．24cmC2D ．29．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为…………………………（ ） A ．1:2:3 B ．1:2:1C ．1:3:2D ．1:3:110．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．32CB AD二、专心填一填（每小题3分，共30分）11．若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 ． 12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是 ． 13．若矩形短边长4cm ，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm ．14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数为 ．（第12题图） （第14题图） （第16题图） （第17题图）15．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ． 16．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长 ． 17．如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ．18．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，B 的坐标为 ．19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==， 则1=∠ 度．（第18题图） （第19题图） （第20题图）20．如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm 2． 三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）21．（本题6分）已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ．1A B CA D CB22．（本题8分）如图 ，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．（1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．23．（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分∠BAD,若∠EAO=15°,求∠BOE 的度数．O DCBA。
菱形矩形的练习题
菱形矩形的练习题菱形和矩形是我们初中数学学习中经常遇到的几何形状。
它们具有特殊的性质和特点，在几何图形的分类和性质研究中起到重要的作用。
本篇文章将围绕菱形和矩形展开论述，介绍一些与它们相关的练习题供大家练习。
1. 菱形练习题题目：已知菱形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为12cm和16cm，求菱形的周长和面积。
解答：首先，菱形的对角线相等且互相垂直，所以菱形的四条边长相等。
设菱形的边长为a，则有4a = 12，解得a = 3 cm。
因此，菱形的周长为4a = 12 cm，面积为(AC × BD) / 2 = (12 cm × 16 cm) / 2 = 96 cm²。
2. 矩形练习题题目：已知矩形ABCDE的长为10 cm，宽为6 cm，求矩形的周长和面积。
解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以矩形的周长为2× (10 cm + 6 cm) = 32 cm。
面积等于长乘以宽，所以矩形的面积为10cm × 6 cm = 60 cm²。
3. 组合练习题题目：在菱形和矩形的组合图形ABCDE中，已知菱形ABCD的周长为24 cm，矩形AEFG的面积为30 cm²，求矩形的长和宽。
解答：设菱形的边长为a，则矩形的长为2a，宽为4a。
根据菱形的周长为24 cm，有4a = 24，解得a = 6 cm。
因此，矩形的长为2 × 6 cm = 12 cm，宽为4 × 6 cm = 24 cm。
通过以上练习题的解答，我们可以进一步巩固菱形和矩形的性质和计算方法。
在实际应用中，我们还可以利用菱形和矩形的特点来解决一些几何问题，例如计算建筑物、绘图等。
总结：菱形和矩形是初中数学中常见的几何形状，具有独特的性质和特点。
对于菱形，其对角线相等且互相垂直，四条边长相等；对于矩形，其对角线相等，两对边平行且相等。
通过练习题的解答，我们可以进一步加深对菱形和矩形的理解，并且巩固周长和面积的计算方法。
菱形、矩形习题
菱形、矩形习题菱形1.如图1，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC 的周长等于（）A.20B.15C.10D.52.如图2，在菱形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂⾜为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的⼤⼩为（）A.75°B.65°C.55°D.50°3.如图3,在菱形ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P,则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55°4.如图4，在菱形ABCD 中，AB =5，对⾓线AC =6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂⾜为E ，则AE 的长为______.5.如图5，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 为AB 的中点，P 为对⾓线BD 上任意⼀点，AB=4，PA+PE 的最⼩值为（）A.4B.2C.32D.336.如图6，在菱形ABCD 的边长是6，∠ABC=60°，点E 、F 、G 是BC 、CD 、BD 上的任意⼀点，则EG+FG 的最⼩值是（）A.33B.2C.23D.67.如图，在平⾏四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线.添加⼀个条件，仍⽆法判断四边形AECF 为菱形的是（）A.AE=AFB.EF ⊥ACC.∠B=60°D.AC 是∠EAF 的平分线8.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，分别于BC 、CD 交于E 、F ，EH ⊥AB 于H ，连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形.9.如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆⼼，⼤于21AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：△AED ≌△CFD ； (2)求证：四边形AECF 是菱形．10.如图，平⾏四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将平⾏四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D'处，折痕交CD 边于点E.(1)求证：四边形BCED ′是菱形；(2)若点P 是直线l 上的⼀个动点，请计算PD '+PB 的最⼩值．11.如图，两张宽度相等的纸条叠放在⼀起，重叠部分构成四边形ABCD.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若纸条宽3cm ，∠ABC=60°，求四边形ABCD 的⾯积.矩形1.若四边形ABCD 的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，点E ，F 分别是边BC ，AD 上⼀点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 、D 分别落在点C '、D '处．若C 'E ⊥AD ，则EF 的长为_____cm ．3.矩形具有⽽⼀般平⾏四边形不具有的性质是( )A.对⾓相等B.对⾓线相等C.对边相等D.对⾓线互相平分4.如图，P 是矩形ABCD 的对⾓线AC 的中点，E 是AD 的中点.若AB=6，AD=8，则四边形ABPE 的周长为（）A.14 B.16C.17D.185.矩形⼀个⾓的平分线分矩形⼀边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的⾯积为_____.6.在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上⼀动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最⼩值为______．7.如图左，在矩形ABCD 中，AD=2AB,点M 、N 分别在AD 、BC 上，连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形，则MDAM 等于（） 8.如右上图，在矩形ABCD 中，AB=10 , BC=5 ．若点M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN 的最⼩值为______.9.下列四边形：①对⾓线互相平分的四边形；②对⾓线相等的四边形；③对⾓线相等的平⾏四边形；④对⾓线互相平分且相等的四边形.其中⼀定是矩形的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是()A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.AB=DC11.如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形.12.如图，将平⾏四边形ABCD 的边AB 延长⾄点E ，使BE=AB ，连接DE ，EC ，DE 交BC 于点O ．(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)连接BD ，若∠BOD=2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．13.已知：点E 是矩形ABCD 的对⾓线BD 上的⼀点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 是EC 上的⼀动点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R.(1)如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ=512. (2)如图2，当点P 为线段EC 上的任意⼀点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则(1)中的结论是否仍然成⽴？若成⽴，请给予证明；若不成⽴，请说明理由.(3)如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意⼀点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间⼜具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【菱形、矩形适应性训练】1.⼩敏不慎将⼀块平⾏四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到⼀块与原来相同的平⾏四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ )A.①，②B.①，④C.③，④D.②，③2.已知菱形的周长为40cm ，⼀条对⾓线长为16cm,则该菱形的⾯积是________.3.下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形；④对⾓线相等的四边形是菱形；⑤⼀条对⾓线平分⼀组对⾓的平⾏四边形是菱形.其中正确的是_____.(填序号)4.如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD ，BC ，BD ，CA 的中点，当四边形ABCD 的边⾄少满⾜条件__________时，四边形EGFH 是菱形.5.如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针⽅向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．6.如图，BD是△ABC的⾓平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；※(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的⼀个动点，求HG+HC的最⼩值．7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对⾓线的所有平⾏四边形ADCE中，DE的最⼩值是_____________．8.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F 处，过点F作FG∥CD，交AE于点G 连接DG．(1)求证：四边形DEFG为菱形； (2)若CD=8，CF=4，求DECE的值．第14题图EBCD9.如图，在△ABC中，点O是边AC上⼀个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外⾓平分线于点F．(1)求证：OE=OF； (2)若CE=12，CF=5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．10.已知点P是矩形ABCD边AB上的任意⼀点（与点A、B不重合）．（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取⼀点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的⼤⼩关系，并说明你的理由；※（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C′，使得∠APF=∠BPC′，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，连接FC′，取FC′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成⽴吗？请说明理由．11.在菱形ABCD和正△BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC.(1)如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明.（提⽰：延长GP交CD于点E）※(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满⾜(1)中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；※(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG⼜有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．正⽅形1.正⽅形具有⽽矩形不⼀定具有的性质是( )A.四个⾓都相等B.四条边相等C.对⾓线相等D.对⾓线互相平分则CF 的长为_____.3.如图，边长为6的⼤正⽅形中有两个⼩正⽅形.若两个⼩正⽅形的⾯积分别为21S S ，,则1S +2S 的值为（） A.16 B.17 C.18 D.194.如图，将正⽅形纸⽚ABCD 折叠，使边AB ，CB 均落在对⾓线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的⼤⼩为______．5.如图，点E 在正⽅形ABCD 的对⾓线AC 上，且EC=2AE ，直⾓△FEG 的两直⾓边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正⽅形ABCD 的变长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的⾯积为______.6.如图，E ，F 是正⽅形ABCD 的边AD 上两个动点，满⾜AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正⽅形的边长为2，则线段DH 长度的最⼩值是_____．7.如图，正⽅形ABCD 中，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，A.2B.4C.6D.88.如图，在正⽅形ABCD 中，对⾓线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD ，OC 上，且DE=CF ，连接DF 与AE 的延长线交DF 于点M ．求证：AM ⊥DF ．9.如图①，已知在正⽅形ABCD中，点P是对⾓线BD上⼀点，点E在AD的延长线上，且且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正⽅形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．10.如图，已知平⾏四边形ABCD中，对⾓线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三⾓形.(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正⽅形.11.在正⽅形地块内修两条笔直的道路，把正⽅形分成形状相同且⾯积相等的四部分，道路宽度忽略不计.请设计三种不同的⽅案，在给出的三张正⽅形图纸上分别画出来，并简述绘图步骤.12.正⽅形ABCD和正⽅形CEFG，连接BF，DF，点P为线段DF的中点，连接GP.(1)如图1，若点E、G分别在边BC、CD上，猜想BF与GP的关系，并证明.(2)如图2，在图1的基础上将正⽅形CEFG绕点C旋转，(1)中的结论是否仍成⽴？若成⽴，请给出证明；若不成⽴，说明理由.【正⽅形习题训练】1.在□ABCD中，AB=10，BC=14，E、F分别为边BC、AD上的点，若四边形AECF为正⽅形，则AE的长为（）A.7 B.4或10C.5或9D.6或82.如图，边长分别为4和8的两个正⽅形ABCD和CEFG并排放在⼀起，连结BD并延长交EG2 C.2 D.1于点T，交FG于点P，则GT=（） A.2 B.23.如图，正⽅形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正⽅形，则△DBF 的⾯积为_______.4.如图，E是边长为1的正⽅形ABCD的对⾓线BD上⼀点，且BE=BC，P为CE上任意⼀点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A.B．C．D．5.如图，在正⽅形ABCD中，E、F分别是AD，DC上的点，且AF⊥BE.（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正⽅形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP 与NQ是否相等？并说明理由．6.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的⼀个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的⾓平分线于点E，交∠BCA的外⾓∠ACD平分线于点F．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O运动到何处，且△ABC满⾜什么条件时，四边形AECF是正⽅形？并说明理由．。
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矩形菱形习题1．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB, CD 的中点，连接DE, BF, BD ．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）当 时，（添加一个条件），四边形BFDE 是菱形？请证明你的结论．2．如图所示，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。
AB CD E F3．如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C 与点A重合．（1）求证：AE=AF；（2）若AB=3，BC=9，试求CF的长；（3）在（2）的条件下，试求EF的长．4．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，且CE与AD相交于点F．（1）求证：AF=CF；（2）若AB=4，BC=6，求△AFC的面积．5．如图所示，已知点D在△ABC的边BC上，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．（1）求证：AE=DF（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的中点，AE=CE，BF∥AC.（1）求证：△AOE≌△BOF；（2）求证：四边形BCEF是矩形.7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，连接OE,过点C 作CF ∥BD ，交线段DE 的延长线于点F ，连接DF 。
求证：oF E D C B A（1）ΔODE ≌ΔFCE（2）四边形ODFC 是菱形8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE ．30B F E DC A 用关系式D C B A（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．9．如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，M、N、E、F 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点，求证：四边形 MENF为菱形。
10．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积；11．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，使EH=FH，连接BE，CF．（1）求证：△BEH≌△CFH．（2）当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．12．如图，菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF.（1）求证:AE=AF.（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD求证: △AEF 为等边三角形.13．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD 的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF、FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．14．如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE ∥AC，CE∥BD.（1）求证：四边形OCED为菱形；（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由.16．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S△BFG=5，CD=4，求CG．参考答案1．（1）证明见解析；（2）添加AD ⊥BD ．证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC ，AB=CD ，又点E 、F 是AB 、CD 中点，所以AE=CF ，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）连接EF ，可以证明四边形AEFD 是平行四边形，所以AD ∥EF ，又AD ⊥BD ，所以BD ⊥EF ，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．试题解析：（1）在▱ABCD 中，AD=BC ，AB=CD ，∠A=∠C ，∵E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴AE=CF ，在△ADE 和△CBF 中，AD BC A C AE CF ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）添加AD ⊥BD ．理由如下：连接EF ，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF 平行且等于AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴EF ∥AD ，∵AD ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，又∵四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形．考点：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质．2．5cm.【解析】试题分析：首先设EC=xcm ，由在正方形ABCD 中，∠B=∠C=90°，BC=AD=10cm ，AB=CD=8cm ，又由折叠性质知：AD=AF=10cm ，DE=EF=（8-x ）cm ，然后由勾股定理即可求得BF 的长，可求得CF 的长，然后由勾股定理得方程：42+x 2=（8-x ）2；继而求得答案．试题解析：（1）设EC=xcm ，在正方形ABCD 中，∠B=∠C=90°，BC=AD=10cm ，AB=CD=8cm ，由折叠性质知：AD=AF=10cm ，DE=EF=（8-x ）cm ，在Rt △ABF 中，6=（cm ）； 则CF=BC-BF=4cm ，在Rt △FCE 中，由勾股定理得：42+x2=（8-x ）2；∵x ＞0，∴x=3，即CE=3cm，∴EF=8-3=5（cm）．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质．3．见解析【解析】试题分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE ∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形试题解析：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AE=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．考点：1.全等三角形的判定与性质2.菱形的判定4．（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行线性质得出∠A=∠OBF，根据ASA推出两三角形全等即可．（2）根据全等得出AE=BF=CE，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定推出即可．试题解析：证明：（1）∵BF∥AC∴∠A＝∠OBF∵AO＝BO，∠AOE＝∠BOF∴△AOE≌△BOF（2）∵△AOE≌△BOF∴AE＝BF∵AE＝CE∴CE＝BF又∵CE∥BF∴四边形BCEF是平行四边形又∵∠C＝90°∴四边形BCEF是矩形考点：平行线性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定5．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．试题解析：证明：（1）∵CF ∥BD ，∴∠ODE=∠FCE ，∵E 是CD 中点，∴CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ODE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵△ODE ≌△FCE ，∴OD=FC ，∵CF ∥BD ，∴四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，∴四边形ODFC 是菱形．考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定．6．（1）证明见解析；（2）5=CF ；（3）EF=10【解析】试题分析：（1）∵折叠∴∠AFE=∠CFE∵AD//BC∴∠AEF=∠CFE∴∠AEF=∠AFE∴AE=AF ；（2）设x CF =，则x BF -=9，x AF =根据勾股定理得：222)9(3x x =-+ 解得：5=x 即5=CF ；（3）过E 作EG//DC ，交BC 于点G ，由（2）知：AB=3,FG=1, 根据勾股定理得：EF=10 考点：翻折变换（折叠问题）7．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）求出∠BAE=90°，根据矩形的判定推出即可；（2）求出△BGE 面积，根据三角形面积公式求出BG ，得出EG 长度，根据勾股定理求出GH ，求出BE ，得出BC 长度，即可求出答案．试题解析：（1）证明：∵F为BE中点，AF=BF，∴AF=BF=EF，∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，∴∠BAF+∠FAE=90°，又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵F为BE的中点，FG⊥BE，∴BG=GE，∵S△BFG=5，CD=4，∴S△BGE=10=12 BG•EH，∴BG=GE=5，在Rt△EGH中，3=在Rt△BEH中，=，∴CG=BC-BG=．考点：1.矩形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．8．（1）证明见试题解析；（2）∠B=30°，证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）易证∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根据CE=AF可得四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=12AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值．试题解析：（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∴∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=12AB，∴AC=12AB即可，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC ，故∠B=30°时，四边形ACEF 为菱形．考点：1．菱形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．平行四边形的判定．9．见解析【解析】试题分析：因为 M 、N 、E 、F 分别为 AD 、BC 、BD 、AC 的中点，可得 ME 、FN 和△ABC 的中位线，根据中位线的性质可得ME = FN = 以可证得 ME = FN= MF= EN ，所以四边形ABCD 是菱形试题解析：证明：∵M 、N 、E 、F 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，∴ME 、FN 分别是△DAB 和△ABC 的中位线，∴∵MF 、EN 分别是△ACD 和△BCD 的中位线，∴ME=FN=MF=EN∴四边形ABCD 是菱形考点：1．三角形的中位线；2．菱形的判定10．（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC ，∠A=∠C ，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证明△AED ≌△CFB ；（2）作FM ⊥AB 于M ，可以得到△BFC 是等边三角形，得到∠FBM=60°，再求出菱形的高FM ，从而得到菱形的面积．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，∵AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）；（2）作FM ⊥AB 于M ，在菱形DEBF 中，BE=BF=12AB=1422⨯=，∵CF= 12CD=1422⨯=，BC=AD=12AB=2，∴CF=BC=BF ，∴△BFC 是等边三角形，∴∠BFC=60°，∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBF=∠BFC=60°，∴∠FBM=30°，∴MB=12BF=1，∴∴菱形DEBF 的面积=BE•FM=2=考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．11．（1）详见解析；（2）当BH=EH 时，平行四边形BFCE 为矩形【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH ，BE ∥CF ，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH ≌△CFH ，（2）由（1）可得出四边形BFCE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH 时，四边形BFCE 是矩形．试题解析：∵点H 是BC 的中点，∴BH=CH ，在△BEH 和△CFH 中，BH CH BHE CHF EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEH ≌△CFH （SAS ）；（2）解：∵BH=CH ，EH=FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH 时，则BC=EF ，∴平行四边形BFCE 为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定12．（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D又∵BE=DF ，∴ABE ∆≌ADF ∆ ∴AE=AF.（2）连接AC, ∵AE 垂直平分BC ，AF 垂直平分CD ，∴AB=AC=AD∵AB=BC=CD=DA , ∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形.∴ 30=∠=∠BAE CAE , 30=∠=∠DAF CAF .∴06CAF CAE EAF =∠+∠=∠又∵AE=AF∴AEF ∆是等边三角形.13．(1)证明见解析；（2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形.【解析】试题分析：（1）由AF 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E 为AD 的中点，得到AE=DE ，利用AAS 得到三角形AFE 与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形，理由为：由AF 与BD 平行且相等，得到四边形AFBD 为平行四边形，再由AB=AC ，BD=CD ，利用三线合一得到AD 垂直于BC ，即∠ADB 为直角，即可得证．试题解析：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DCE ，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DCE 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DCE （AAS ），∴AF=CD ，∵AF=BD ，∴CD=BD ；（2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形，理由如下：∵AF ∥BD ，AF=BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠ADB=90°，∴四边形AFBD 是矩形．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定．14．（1）证明见解析（2）四边形ABCD 是矩形；理由见解析【解析】试题分析：（1）根据DE ∥BF 可得∠E=∠F ，再由“角角边”证明△AED 和△CFB 全等即可；（2）由（1）可得AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，再求出∠DAC=∠BCA ，然后可得AD ∥BC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得．试题解析：（1）∵DE ∥BF ，∴∠E=∠F ，又∵AE=CF ，∠1=∠2∴△AED ≌△CFB （AAS ）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△AED ≌△CFB ，∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，∴∠DAC=∠BCA ，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AD⊥CD，∴四边形ABCD是矩形．考点：1、全等三角形的判定与性质；2、矩形的判定15．（1）证明见解析；（2）AE=BE，理由见解析．【解析】试题分析：（1）先判断四边形OCDE是平行四边形，又因为四边形ABCD是矩形，两个结论联合起来，可知四边形OCDE是菱形；（2）先证出∠ADE=∠BCE，再证明△ADE≌△BCE，从而得出AE=BE．试题解析：（1）四边形OCDE是菱形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCDE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OC=12AC=12BD=OD，∴四边形OCDE是菱形；（2）AE=BE，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，∵四边形OCDE是菱形，∴ED=EC，∠EDC=∠ECD，∴∠EDC+∠ADC =∠ECD+∠BCD，即：∠ADE =∠BCE在△ADE和△BCE中，∵AD BCADE BCEDE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCE，∴AE=BE．考点：1.矩形的性质2.全等三角形的判定与性质3.菱形的判定．16．（1）证明见解析；（2）26 3.【解析】试题分析：（1）由折叠的性质可知∠ECA=∠BCA，由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，则∠ECA=∠DAC，可证AF=CF；（2）根据（1）FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x 的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x，然后根据三角形的面积公式计算即可．试题解析：（1）证明：由折叠的性质可知∠ECA=∠BCA，由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，∴∠ECA=∠DAC，∴AF=CF；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，由（1）知：FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6-x）2，解得x=133，∴折叠后的重叠部分的面积=12•AF•CD=12×4×133=263．考点：翻折变换（折叠问题）．。