初中数学《直角三角形》培优、拔高(奥数)专题讲义
著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版
内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。
解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
知识点睛中考要求解直角三角形CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb aCBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、 解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例3】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．例题精讲QPMCBA【例4】 如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= .板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（ ）【例7】连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生【例8】 如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点，若QAP α∠=，地球半径为R ，则航天飞机距地球表面的最近距离AP ，以及P Q 、两点间的地面距离【例9】 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（ ）【例10】 如图，从热气球C 上测定建筑物A B 、底部的俯角分别为30︒和60︒，如果这时气球的高度CD 为【例11】 周末，身高都为1．6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．011.414 1.732≈）（ ）m板块三、锐角三角函数【例13】 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D．4【例14】 如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【例15】 如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【例16】 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【例17】如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C在Ae上，BE是Ae上的一条弦，则tan OBE∠= ．【例18】（1）计算：11()12sin60tan602--︒⋅︒（24sin45(3)4π︒+-+-【例19】计算：2011315(1)()(cos68)8sin602π---+︒+︒+︒【例20】已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos( 3.14)tan()3απα---++的值．板块四、三角函数与几何综合【例21】 如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12B ．34C ．3D ．45y xOCBA【例22】 如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C B C △交AC 于点D ，如果22AD =，则ABC △的周长等于（ ）．21DC1B1C BA【例23】 如图，ABC △中，23cos ,sin 5B C ==，5AC =，则ABC △的面积是（ ） AB CA ．212B ．12C ．14D .21【例24】 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．（1）求证：∠BAE =∠DAF ；（2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．【例25】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为（ ）A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α⋅αhl课后作业【习题4】如图，ABC △的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =______．C【习题5】如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）．A .34B .43C .35D . 45 FEDCBA【习题6】如图，在等边ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且60ADE ∠=︒，44,3BD CE ==，则ABC △的面积为 （ ）．A ．B ．15C ．D ．ABCDE【习题7】如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE △沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上. （1）求证：ABE DFE △∽△（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值.F D AEC B。
直角三角形的性质培优提高讲解与练习
直角三角形的性质【知识点1】 直角三角形的性质(1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC •=2(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即222c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB •CD=AC •BC 【知识点2】直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……）例1．（2010•黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。
求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GFG E F DCBA例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。
求证：EF ⊥BD例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则DM+CN 的值为( ) A. 1 B.C.D.【练一练】 一、填空题1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。
八年级数学直角三角形教师讲义带答案资料
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵是∠的平分线，F是上一点，且⊥于点C，⊥于点D，∴＝.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.图42.关于三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果、、分别是△的内角∠、∠、∠的平分线，那么：①、、相交于一点I；②若、、分别垂直于、、于点D、E、F，则＝＝.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明与应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
专题：直角三角形培优
专题：直角三角形知识要点:1、 宜角三角形的性质：（1） ______________________________ 直角三角形的两个锐角（2） ___________________________________________ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ;（3） ______________________________________ 直角三角形30°角所对的直角边是 的一半；（4） 直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30° . 2、 直角三角形的判定方法：（1） 有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2） _____________ 有两个角 的三角形是直角三角形；（3） 如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、 等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是 _______ ，且两条直角边相等。
等腰宜角三角形具有等 腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典型例题1. 如图.已知ZXABC 为直角三角形，ZC 二90° ,若沿图中虚线剪去ZC.则则Z1 + Z2等于 ___________ ・2. 设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形.P 表示等边三角形.Q 表示等腰直角三角形•则下列四个图中，能表示5、如图，在RtAABC 中.ZACBPO 。
・AB 的垂直平分线DE 交干BC 的延长线于F •若ZF=30° ,DE=1> 则 EF 的长是（ ） A. 3 B. 2 C ・ D ・ 1它们之间关系的是（ AB±AC, AD 丄BC, BE 平分 ZABC. )3、如图,RtAABC 中， 结论一定成立的是（ =BF B. AE=ED C. AD=DC D.4、如图, 能的是（ 在Z\ABC 中.ZC=90° ,) AC=3, ZB 二30° , A. B. C. D. 76、 已知等腰AABC 中，AD 丄BC 于点D.且AD 二丄BC ・则ZiABC 底角的度数为 ______________ 27、 如图所示，四边形ABCD 由一个ZACB=30°的RtAABC 与等RtAACD 拼成，E边AC 的中点，则ZBDE= _____________________ ・8x 已知：在厶ABC 中.ZBAC=90° , AD 丄BC 于点D. ZABC 的平分线BE 交AD 干点F ・试说明AE=AF.9、如图，在ZkABC 中，ZA=90° , AB 二AC, ZABC 的平分线BD 交AC 于D, CE 丄BD 的延长线于点E ・求证：CE= -BD 210、如图，一根长2a 的木棍（AB ）,斜釜在与地啲（0M ）垂直的墙（0N ）上，设木棍的中点为P ・若木棍A 端沿塢下滑，且B 端沿地面向右滑行.木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化.在木棍滑动的过程中，AAOB 的而积最大为 __________________________ ・12、如图在RtAABC 中,ZACB=90° , CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线.CF 是ZACB 的 平分线，则Z1与Z2的大小关系是（） A ・ Z1>Z2 B ・ Z1=Z2 C. Z1<Z2 D •不能确定13、如图.在 RtAABC 中，ZACB=90° , AB=2BC,在直线BC 或AC 上取一点巴 使得APAB 为等腰三角形，则符合条件 的点P 共有（）11、如图.只剪两刀把一 （剪法二） （剪法三）个直角三角形分割成三个直角三角形 铅笔作出分割线，只要有一条分割线不DA. 4个B. 5个C. 6个D. 7个1K如图. 交干N, 在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN丄AB, ZACB 求证：CM=MN.15.如图，在等腰直角三角形OAR中作内接正方形A：B：D：C：；在等腰直角三角形OA：B：中作内接正方形A…；依次做下去，则第n个正方形氛的边长是_________________ ・在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中.作内接正方形A I BDC L：16.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点•图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个.图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 ____________ 个.图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________________ 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 _____________ 个.17、如图，在AABC中.ZB=90° , ZBAC=78°,过C作CF〃AB，连接AF于BC相交于G.若GF=2AC・则ZBAG= ___________18s如图.在等腰RtAABC中.ZC=90fl , AC=8, F是AB边上的中点•点D.别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①ZkDFE是等腰直角三角形：②DE长度的最小值为4：③四边形CDFE的而积保持不变：④ACDE面积的最大值为8・其中正确的结论是（〉A.①（§＞③B.①（§）C.①＜§＞④D・②③©19.电子跳承游戏盘是如图所示的AABC, AB=AC=BC=6.如果跳禾开始时在BC边的P°处，BPo=2.跳虽第一步从P。
初三特殊的三角形培优同步讲义
初三特殊的三角形培优同步讲义1. 等腰三角形1.1 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边对应的两个角也是相等的。
1.2 性质- 等腰三角形的底角（即两个底边夹角）相等。
- 等腰三角形的顶角（即顶边夹角）也是相等的。
2. 直角三角形2.1 定义直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的斜边是其他两边之间最长的一边。
2.2 特殊三角形- 30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。
这种三角形的边长比例为1:√3:2。
30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。
这种三角形的边长比例为1:√3:2。
- 45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。
这种三角形的两条直角边的边长相等。
45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。
这种三角形的两条直角边的边长相等。
3. 等边三角形3.1 定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的度数都是60度。
3.2 性质- 等边三角形的三个内角都是60度。
- 等边三角形的高、中线、角平分线三者重合，且均通过三角形的重心点。
4. 总结初三特殊的三角形主要包括等腰三角形、直角三角形和等边三角形。
通过对这些三角形的认识和特点的理解，能够更好地解决与三角形相关的问题和题目。
---_注意：以上内容仅供参考，具体知识点和定义请以教材为准。
_。
初二-第02讲-直角三角形(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形拔高性讲义
龙文教育学科教师辅导讲义 龙文教育学科教师辅导讲义 教育学科教师
课 题
直角三角形拔高性讲义
1． 理解直角三角形的概念。 2． 学会运用勾股定理解题 3． 理解勾股定理的逆定理，并且会使用勾股定理的逆定理解题 等腰直角三角形的运用，直角三角形当中的中线定理
教学目标
重点、 重点、难点
考点及考试要求 考点及考试要求
直角三角形当中的勾股定理的应用比较广泛
教学内容 要点一： 要点一：勾股定理及其逆定理 一、选择题 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A、B、C、 D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ A．13 B．26 C．47 ）
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二、填空题 4、某楼梯的侧面视图如图所示，其中 AB = 4 米， ∠BAC = 30° ∠C = 90° ， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则 在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ． B
A
30°
C
5．已知 Rt△ABC 的周长是 4 + 4 3 ，斜边上的中线长是 2，则 S△ABC＝____________. 6、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到 达点 B，那么所用细线最短需要 短需要 cm． cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最
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龙文教育·教务管理部
7、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树干底部 4 米处，那么这棵树折断之 前的高度是 米.
8、 （2007·扬州中考） 如图， 学校有一块长方形花圃， 有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花圃内走出了一条“路”． 他 们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米） ，却踩伤了花草．
浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题4 直角三角形》
浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题4直角三角形【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个______互余．(2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______．(3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________.4．直角三角形的判定(1)__________________是直角三角形．(2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)________________________的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝12AB，EF＝12BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【思路点拨】首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE ⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE.(1)求证：FE＝FC.(2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明．【思路点拨】(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为F为BD的中点，所以FE＝12BD，FC＝12BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【思路点拨】连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝1AC.2(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【思路点拨】(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC.【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【思路点拨】(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB ＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．【思路点拨】直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【思路点拨】(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解．【答案解析】【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.4．直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【解题过程】∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝12 AB.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3.∵BE⊥AC，∴EF＝12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7，∴AB＝4，∴AF＝AB2－BF2＝7.故选B.【方法归纳】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【解题过程】解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下：已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD ＝ME.求证：AB＝AC.证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°.又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.【方法归纳】本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上(不与点A ，C 重合)，DE ⊥AB 于点E ，连结BD ，F 为BD 的中点，连结EF ，CF ，CE .(1)求证：FE ＝FC .(2)试猜想∠A 与∠CEF 的关系，并证明．【解题过程】(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，F 为BD 的中点，∴FE ＝12BD ，FC ＝12BD ，∴FE ＝FC .(2)解：∠A ＝∠CEF ．证明如下：∵FE ＝12BD ＝FB ，FC ＝12BD ＝FB ，∴∠FEB ＝∠FBE ，∠FCB ＝∠FBC ，∴∠EFD ＝2∠EBF ，∠CFD ＝2∠FBC .∵FE ＝FC ，∴∠CEF ＝∠ECF ，∴∠CEF ＝12×(180°－2∠EBF －2∠FBC )＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )，∴∠A ＝∠CEF .【方法归纳】本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【解题过程】解：如图，连结CE，BE.∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN，∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN．【方法归纳】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝12AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【解题过程】(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12 AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD.又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC.【方法归纳】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【解题过程】(1)证明：如图，连结CE.根据题意，得△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，BC ＝CE .∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.∴四边形ABCD 是勾股四边形．(2)解：由(1)，得DC 2＋BC 2＝AC 2，∴AC ＝82＋62＝10.∵DE ＝AC ，∴DE ＝10.【方法归纳】本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC ，BC ，AC 集中到一个直角三角形中是解决问题的关键．【例7】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2，求∠BPC 的度数．【解题过程】解：如图，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°到△AP ′C ，连结PP ′，则△AP ′C ≌△BPC .∴AP ′＝BP ＝1，P ′C ＝PC ＝2，∠AP ′C ＝∠BPC ，∠ACP ′＝∠BCP .∵∠BCP ＋∠ACP ＝∠ACB ＝90°，∴∠PCP ′＝∠ACP ＋∠ACP ′＝∠ACP ＋∠BCP ＝∠ACB ＝90°，∴△PCP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝22，∠PP ′C ＝45°.在△APP ′中，AP ′2＋PP ′2＝12＋(22)2＝9＝32＝PA 2，∴△APP ′是直角三角形，且∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝90°＋45°＝135°.【方法归纳】当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2＝c 2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ，H ，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH ，且CH ⊥AB .测得CH ＝1.2千米，HB ＝0.9千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB ≠AC 时，CH ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，设AH ＝x ，求x 的值．【解题过程】解：(1)梯形ABCD 的面积为12(a ＋b )(a ＋b )＝12a 2＋ab ＋12b 2，也可以表示为12ab ＋12ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.(2)设CA ＝m .∵AB ＝AC ，∴AH ＝m －0.9.∵CH ⊥AB ，CH ＝1.2千米，∴CA 2＝CH 2＋AH 2，即m 2＝1.22＋(m －0.9)2，解得m ＝1.25，即CA ＝1.25，∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)．答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3)设AH＝x，则BH＝6－x.在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2.在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2.∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2，解得x＝9 4 .【方法归纳】几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解．。
初中数学解直角三角形综合讲义
1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。
解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。
初中数学培训讲义-直角三角形
2 11231初中数学培训讲义第六讲直角三角形一知识简介1、直角三角形的基本性质（1）直角三角形的两锐角互余；斜边长大于两直角边；面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半.（2）直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半.(3) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2、判定直角的一些方法（1）三角形中有两个角互为余角；（2）勾股定理逆定理：三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，则该三角形是以第三边为斜边的直角三角形;（3）若三角形一条边上的直线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形.3、勾股定理的推广.4、两类特殊的直角三角形的三边关系（1）45,45,90鞍的直角三角形（2）30,60,90鞍的直角三角形NMCBACBAF EDCBADCBAD二 讲解例1 如图，ABC D 中，,90AB AC BAC =? ,,M N 在BC 上，45MAN?求证：222BMCN MN +=拓展练习1、如图，在ABC D 中，90A ? ,D 是斜边BC 的中点，DE DF ^，求证：222EF BE CF =+2、在四边形ABCD 中，30,60,ABC ADC AD CD ?靶=?.求证：222BD AB BC =+例2 如图，四边形ABCD 中，2222AB CD AD BC +=+,求证：AC BD ^PCBADDCBADCBA拓展练习1、如图，P 是矩形ABCD 内一点，若4,5,6PB PC PD ===,求PA 的长.2、ABC D 中，13,14,15AB BC CA ===,求ABC D 的面积.3、ABC D 中，边,,BC CA AB 分别为,,a b c ，求BC 边上的中线a m .例3 在四边形ABCD 中，60,90,8,7A B D AD AB ?靶=??=,求BC CD +.拓展练习1、 在四边形ABCD中，90,6,3BAD AB BC AC AD ??===,求CD 的长.DCBAHGFEP DCBAFEDCBAHNMP BA2、如图，在ABC D 中，45BAC ? ,AD BC ^与点D ,4,3BD CD ==，求ABC D 的面积. 3、P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作,,,AB BC CDDA 的垂线，垂足分别为,,,E F G H ，已知3,4,1,5,6,4,AH HD DG GC CF FB ======且1BE AE -=.求四边形ABCD 的周长.例3分别以锐角ABC D 的边,,AB BC CA 为斜边向外作等腰直角三角形,,DAB EBC FAC D D D ，求证：（1）AE DF =；（2）AE DF ^拓展练习 如图，P 是正方形内一点，过点P 作边,,,AB BCCD DA 的垂线，垂足分别为,,,M N G H 若四边形PNCG 的面积是四边形PMAH 面积的二倍，求GAN Ð的度数.。
(完整版)初二第一章直角三角形讲义
直角三角形一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是30°，那么它所对 _ 边是_ 边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足________________________________逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足_________________ 则这个三角形是直角三角形1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,3、勾股数，列举常见的勾股数三组________________ 、______________ 、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形1掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质2掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；C1、如图，已知△ ABC为直角三角形，/ C=90°若沿图中虚线剪去/ C,则/ 1 + / 2等于（）A. 90 °B. 135 °C. 270 °D. 315 °12、已知：如图，△ ABC中,AB=AC,BD丄AC于D点,BD= —AC.则/A= ___ .23、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半，则其顶角为—.4、将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 3迈 cmD. 6 V2 cm变式：、如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , / A=15° ,AB=8cm, CD为AB的中线，求△ ABC的面积。
《直角三角形》 讲义
《直角三角形》讲义一、直角三角形的定义在平面几何中，如果一个三角形中有一个角是直角（90 度），那么这个三角形就被称为直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余的两条边称为直角边。
直角三角形是一种非常特殊且重要的三角形类型，在数学和实际生活中都有广泛的应用。
二、直角三角形的性质1、角的性质直角三角形的两个锐角之和为 90 度。
这是因为三角形的内角和为180 度，减去直角的 90 度，剩下的两个角之和必然是 90 度。
2、边的性质（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。
这是直角三角形最著名的性质之一，也是解决许多与直角三角形相关问题的关键。
（2）斜边最长：在直角三角形中，斜边总是比任意一条直角边长。
3、特殊的直角三角形（1）等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形称为等腰直角三角形。
其两个锐角都是 45 度，斜边长度是直角边长度的√2 倍。
（2）30°－60°－90°直角三角形：如果一个直角三角形的一个锐角是 30 度，另一个锐角是 60 度，那么其边长关系为：短直角边是斜边的一半，长直角边是短直角边的√3 倍。
三、直角三角形的判定1、一个角为 90 度的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
四、直角三角形中的三角函数在直角三角形中，我们引入了三角函数来描述边与角之间的关系。
1、正弦（sin）正弦函数定义为对边与斜边的比值。
对于角 A ，sin A ＝对边／斜边。
2、余弦（cos）余弦函数定义为邻边与斜边的比值。
对于角 A ，cos A ＝邻边／斜边。
3、正切（tan）正切函数定义为对边与邻边的比值。
对于角 A ，tan A ＝对边／邻边。
通过这些三角函数，我们可以在已知直角三角形的某些边和角的情况下，求出其他的边和角。
著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.教师版
内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。
解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
知识点睛中考要求解直角三角形CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb aCBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、 解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【解析】由勾股定理可知：大于【答案】大于【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【解析】由题意得，10cm AF AD ==. 在ABF ∆中，应用勾股定理得， 6cm BF =.所以1064FC BC BF =-=-=.在CEF ∆中，应用勾股定理，设cm EC x =，得 ()22284x x -=+. 解得3x = 即3cm EC =.【答案】3cm【例3】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．例题精讲QPMCBA【解析】222PQ AP BQ =+．延长QM 到N ，使MN QM =，连结AN 、PN ． 显然PMQ PMN ∆∆≌，AMN BMQ ∆∆≌ ∴PN PQ =，AN BQ =，MBQ MAN ∠=∠ ∵90CAB ABC ∠+∠=︒∴90PAN PAM MAN ∠=∠+∠=︒ ∴APN ∆为直角三角形． ∴222PQ AP BQ =+．NABCMPQ【答案】见解析【例4】 如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【解析】因为EC DC =，AC BC ACE BCD =∠=∠，，所以可知ACE BCD ∆∆≌,所以90EAD ∠=︒，得证 【答案】见解析【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= . 【解析】 在Rt ABC ∆中,由勾股定理得，222a b c +=. 又有()2222a b a b ab +=++, 所以 ()222a b c ab +-=所以1924ABC S ab ∆==.【答案】94ABC S ∆=板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（ ）连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生【例】如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点，若、两点间的地面距离QAPα∠=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P Q【例9】 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（ ）【例11】 周末，身高都为1．6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．01 1.414 1.732≈）（ ）【答案】A板块三、锐角三角函数【例13】 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ,由题意得：'B B ∠=∠ 在Rt CDB △中，1tan 3CD B BD == 即1tan '3B =【答案】B【例14】如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【解析】由特殊三角函数值易知：45A B ∠=∠=︒ 【答案】C【例15】 如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法 【答案】B【例16】 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形 ，即60OAB ∠=o ，所以1cos 2AOB ∠=． 【答案】12【例17】 如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C 在A e 上，BE 是A e 上的一条弦，则tan OBE ∠= ．【解析】根据圆的性质OBE ECB ∠=∠，所以tan tan OEOBE ECB OC∠=∠=又已知4,5OE OC ==，即tan tan OE OBE ECB OC∠=∠=又4,5OE OC ==，所以4tan 5OBE ∠=x【答案】 45【例18】（1）计算：11()12sin 60tan 602--︒⋅︒（204sin 45(3)4π︒+-+-【解析】（1）原式212=+-=（2）原式414=++ 5= 【答案】见解析【例19】计算： 2011315(1)()(cos68)8sin 602π---+︒+︒+︒【解析】原式=181--++8-【答案】8-【例20】已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos ( 3.14)tan ()3απα---++的值． 【解析】由sin(15)α+︒45α=︒，原式411332=⨯-++=【答案】3板块四、三角函数与几何综合【例21】 如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12 B ．34 CD ．45x【解析】由题意很容易推断出：AC =OC =OA =5，所以60CAO ∠=︒．由圆的性质可知：2OBC CAO ∠=∠，即30OBC ∠=︒【答案】C【例22】 如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C BC △交AC 于点D ，如果AD =ABC △的周长等于（ ）．21DC1B1C BA【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠=o o 所以60BAC ∠=o 因为115∠=o ，所以2145BAC ∠=∠-∠=o又在1Rt AB D △中，AD =所以12AB AB ==，所以4BC AC ==即ABC △的周长：6AB BC AC++=+【答案】6+【例23】 如图，ABC △中，3cos 5B C =，5AC =，则ABC△的面积是（ ） AB CA．21 2B．12C．14D.21【解析】过点A作AD BC⊥于D.由题意得：45B∠=o，所以AD BD=又在ADC△中，3sin5ADCAC==，5AC=，所以4,3CD AD BD===所以ABC△的面积：11121()732222BC AD BD CD AD⋅=+⋅=⨯⨯=CBAD【答案】A【例24】如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D.又Q AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.（2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=53，AE=4,可求AB=5又∵∠BAE=∠DAF，∴sin∠DAF=sin∠BAE=53.在Rt△ADF中，AF=524, sin∠DAF =53,可求DF=518∵CD=AB=5.∴CF=5-518=57．【例25】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【解析】（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =，∴ MN=CD= 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB=∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =，∴ AM=BN=()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB=BN+MN=7．∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD=90︒，AD=5，AM=3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==（2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F=90︒．∵∠DMN=90︒， ∴ ∠F=∠DMN.∴ DM ∥EF ． ∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF=2BM=14．∴ AF=BF -AB=14-10=4．NM FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA课后作业【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为（）【习题4】如图，ABC△的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=______．C 【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点C作CD AD⊥交AB的延长线于D。
初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 6讲直角三角形
第6讲直角三角形知识方法有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.它的两个锐角互为余角，两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论).关于直角三角形有如下两个重要的定理：(1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.上述两个命题的逆命题也是成立的：(1) 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(2) 在直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30°.判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法.经典例题解析【例6-1】如图6-1所示,已知Rt△ABC 中,∠C=90°,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C落在AB 边上的点D 处，要使点D 恰为AB 的中点，问：在图中还需添加什么条件?(1) 写出两个满足边的条件.(2) 写出两个满足角的条件.(3) 写出一个满足除边、角以外的其他条件.解要使D 为AB 的中点，可添加下列条件之一.角的关系：①∠A=∠DBE; ②∠A=∠CBE;③∠DEA=∠DEB; ④∠DEA=∠BEC;⑤∠A=30°; ⑥∠CBD=60°;⑦∠CED=120°; ⑧∠AED=60°.边的关系：①AB=2BC; ②AC=√3BC;③2AC=√3AB;④BE=AE.三角形的关系:△BEC≌△AED.【例6-2】如图6-2所示,D、E 是等边△ABC 两边上的两个点,且AE=CD,连接BE、AD 交于点P,过B 点作BQ⊥AD 于Q,求证:BP : PQ=2.证明在△CAD 与△ABE 中,CA=AB,∠C=∠EAB,CD=AE,故△CAD≌△ABE,于是∠CAD=∠ABE.所以∠QPB=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAE=60°.又BQ⊥AD,所以∠QBP=30°,于是PQ=1BP,即BP : PQ=2.2【例6-3】如图6-3 所示,已知△ABC 中,AB =AC,∠A=120°,D 是BC 的中点,DE⊥AB于E,求证:BE=3AE.证明因为AB=AC,∠A=120°,故∠B=∠C=30°.又D 是BC的中点,故AD⊥BD.在Rt△ADB 中, AD=1AB.2因为DE⊥AB,∠ADE=90°−∠BAD=∠B=30°，所以AE=1AD.于是BE= AB-AE =2AD-AE2=4AE-AE=3AE.【例6-4】如图6-4 所示,已知△ABC中, ∠B=30°,∠C=15°,,D 是BC 上一点,∠CAD=90°,求证:CD=2AB.证明如图6-5所示,取DC中点M,连接AM,则AM=NC=MD,于是∠CAM=∠C,所以∠AMD=∠CAM+∠C=2∠C=30°=∠B,即AM=AB.故CD=2AM=2AB.【例6-5】如图6-6 所示,在△ABC 中,BD、CE 是两条高,F、G 分别是BC、DE 的中点,求证:FG⊥DE.证明如图6-7 所示,连接FD、FE.因为BD⊥AC,F 为BC 的中点,所以DF=1BC.2同理，EF=1BC,所以DF=EF.2而G 为DE 的中点,所以FG⊥DE.【例6-6】在△ABC 中,∠B=90°,M 为AB 上一点,使AM=BC,N 为BC 上一点,使得CN=BM,连接AN、CM 交于P 点,试求∠APM的度数,并写出推理证明的过程.解如图6-8所示,过C作CD∥AB,且CD=AM,连接AD、DN,DN 交CM 于Q,则四边形AMCD为平行四边形, 有AD∥CM,AD=CM.因AM=BC,故DC=BC.又∠DCN=∠B=90°,CN=BM,故Rt△DCN≌Rt△CBM.所以DN=CM,从而有DN=AD.而且∠ADN=∠MQN=∠MCB+∠QNC=∠MCB+∠CMB=90°,故△AND 是等腰直角三角形,∠DAN=45°,于是∠APM=∠DAN=45°.【例6-7】如图6-9所示,∠BAC=90°,AB=AC,M 是AC 边的中点,AD⊥BM 交BC 于D,交BM 于E.求证:∠AMB=∠DMC.分析从图形观察∠AME 与∠DMC 所在的两个三角形△AME 与△DMC 显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC.若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事.由于∠C=45°,∠BAC=90°,若作∠BAC 的平分线AG,则在△AGM 中, ∠GAM=45°=∠C..结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM 全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可.图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA.证明如图6-10所示,作∠BAC 的平分线AG,交BM 于G.在△AGB 与△CDA 中,因为AB=CA,∠BAG=∠ACD=45°,∠ABG=90°−∠AMB,①∠MAD=90°−∠EAB.②由于在Rt△MAB 中,AE⊥BM,所以∠AMB=∠EAB.由式①、式②得, ∠ABG=∠MAD,所以△AGB≌△ADC,于是AG=CD.在△AMG 与△CMD 中,还有AM = MC,∠GAM =∠DCM = 45°,所以. △AMG≅△CMD,从而∠AMB=∠DMC.【例6-8】如图6-11 所示,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,O、O₁、O₂分别是△ABC、△ACD、△BCD 的角平分线的交点,求证:(1) O₁O⊥CO₂.(2)OC=O₁O₂.证明(1) 由题设O、O₁都在∠A 的平分线上，设该平分线交( CO₂于E.因∠A=∠DCB,故∠EAC=∠O₂CB.于是. ∠EAC+∠ACE=∠O₂CB+∠ACE=90°,故∠AEC=90°,O₁O⊥CO₂.(2) 由于点O₁、O₂分别在∠ACD 和∠DCB 的平分线上,故∠O₁CO₂=45°,由(1)∠O₁EC=90°,有CE=EO₁.同理设O₂O交CO₁于F,则O₂F⊥CF,∠OO₂E=45°,有O₂E=EO.又∠CEO=∠O₂EO₁,故△CEO≌△O₂EO₁,于是OC=O₁O₂.强化训练一、选择题1.如图6-12所示,在△ABC中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,且BD: DC=2: 1,则∠B 的大小满足( ).(A)0°<∠B<15° (B)∠B=15°(C)15°<∠B<30°(D)∠B=30°2.如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( ).(A) 锐角三角形(B) 钝角三角形(C) 直角三角形(D) 等腰直角三角形3.如图6-13所示,在锐角△ABC中,BC<AB,AH 是BC 边上的高,BM 是AC 边上的中线,AH=BM,那么( ).(A)∠MBC=30° (B)∠MBC=45°(C) ∠MBC>30° (D)∠MBC<30°4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=67°,那么△ABC斜边上的中线和高所夹的角等于( ).(A) 43° (B) 44° (C) 45° (D) 46°5.已知等腰三角形一边上的高等于这边的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是( ).(A) 30° (B) 30°或150°(C) 120°或150° (D) 30°或90°或150°二、填空题6.如图6-14所示,AD 是Rt△ABC(∠ACB=90°)的角平分线,EF⊥AD 于D,与AB 及AC 的延长线分别交于E、F,图中的一对全等三角形是.7.已知△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,CE 为AB 边上的中线，且DE=DC，则△ABC 中较小部分的那个锐角的度数是.8.如图6-15所示,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D 是BC边上的一点,BD=1,DC=2,则AD= .9.已知△ABC 中，高AD 所在的直线与高BE 所在的直线相交于H,且BH=AC,则∠ABC= .10.△ABC 中,∠C<∠B,∠A 的三等分线恰为BC 边上的中线和高,则∠B= .三、解答题11. 如图6-16所示,以△ABC 的顶点A 为直角顶点,AC 和AB 为直角边向. △ABC外作等腰直角三角ABD 和ACE,连接DE,自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA 交DE 于M.求证:M 是DE 的中点.12.如图6-17 所示,CD 是Rt△ABC 斜边上的高,∠A 的平分线AE 交CD 于H,交∠BCD的平分线CF于G,求证:HF∥BC.13.如图6-18所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠C=90°,点M、N 分别是边AC 和BC的中点,点D 在射线BM 上,且BD =2BM,点E 在射线NA 上,且NE = 2NA,求证:BD⊥DE.,DE+14. 如图6-19 所示,在△ABC 中,∠C=90°,D 为AB 上一点,作DE⊥BC 于E,若B E=AC,BD=12BC=1求证:∠ABC=30°.15.如图6-20 所示,已知△ABC 中,∠ACB=90°,AD⊥AB,AD=AB,BE⊥DC,AF⊥AC,求证:CF平分∠ACB.一、选择题1.【答案】D.【解析】过点D 作DE⊥AB 于E,则△AED≌△ACD,所以DE=DC=1BD,所以∠B=30°.22.【答案】C.【解析】如答图6-1 所示,在△ABC 中,AC、BC的垂直平分线的交点M 在AB 上,则AM=CM=BM,于是∠A =∠ACM,∠B =∠BCM,而∠A+∠ACM+∠B+∠BCM=180°,故∠A+∠B=90°，这个三角形是直角三角形.3.【答案】A.【解析】如答图6-2所示,作MD⊥BC,D 为垂足,则AH ∥MD.又M 是AC 的中点,所以MD = 12AH=12BM,在Rt△MBD 中, MD=12BM,所以∠MBC=30°.4.【答案】B.【解析】如答图6-3 所示,CH是高,CM 是中线.因CM=BM,故∠MCB=∠B=67°,又∠BCH=90°-∠B = 23°, 所以∠MCH =∠MCB -∠BCH=44°.5.【答案】D.【解析】有三种情况:如答图6-4(a)所示,AB=AC,高AD=12BC;如答图6-4(b)所示,AB =AC,高BD=12AC;如答图6-4(c)所示,AB=AC,高BD=12AC.不难算出顶角分别是90°、150°和30°.二、填空题6.【答案】△AED≌△AFD.7.【答案】22.5°.8.【答案】1.9.【答案】45°或135°.【解析】有两种情况：(1)若∠B 是锐角,如答图6-5(a)所示,可先证明Rt△ADC≌Rt△BDH,从而AD=BD,△ADB是等腰直角三角形,∠ABC=45°.(2) 若∠B 是钝角,如答图6-5(b)所示,可先证明Rt△ADC≌Rt△BDH,从而AD=BD,△ADB 是等腰直角三角形,∠ABD=45°,∠ABC=135°.10.【答案】60°.【解析】如答图6-6所示,∠1=∠2=∠3,AH⊥BC,BM=CM.故BH=MH=1MC.2作MD⊥AC 于D,易证△AHM≌△ADM, MD=MH=1MC,于是∠C = 30°.故∠2+∠3=60°.于是∠1=∠2=∠23=30°,∠B=60°.三、解答题11.【答案】证明:自 E 与 D 作 EE ₁⊥AM,DD ₁⊥AM,E ₁、D ₁为垂足,先证明 Rt △AHC ≌Rt △EE ₁A,Rt △AHB ≌Rt △DD ₁A,从而得到. AH =EE₁=DD ₁,再证明 Rt △EE ₁M ≌Rt △DD ₁M,就可得到 EM=DM.12.【答案】证明:易证∠BCD=∠CAD,于是∠ECG=∠HCG=∠CAH =∠DAH.∠ACG +∠CAG =∠ACH + ∠HCG + ∠CAG = ∠ACH +∠HAD+∠CAG=90°,于是 CG ⊥AG.又易证CE=CH,故 HG =GE.又可证CG=GF,而∠CGE = ∠FGH, 故 △CGE ≌ △FGH,∠ECG=∠HFG,于是 HF ∥BC.13.【答案】证明:如答图 6-7 所示,作 EF ⊥AD 于F,可证△ACN ≌△EFA ≌BCM ≌△EFD ≌△DAM,可得∠EDF+∠ADM=90°.14.【答案】证明:如答图6-8所示,延长 BC 到 F,使CF=DE,连接 AF,因为 BC+DE=1,所以BF=1.易证△ACF ≌△BED,故 AF =BD =12,∠FAC=∠B,∠FAB=∠FAC+∠BAC=∠B+∠BAC=90°,又 AF =12=12BF,所以∠B=30°.15.【答案】证明:由 BE ⊥CD,AD ⊥AB 及∠BPE=∠DPA, 可 得 ∠ABF=∠D;由 AD ⊥ AB,AC ⊥AF 可得∠BAF=90°-∠CAB=∠DAC;又AB=AD,故有△ADC ≌△ABF,从而AC=AF.△CAF 是等腰直角三角形,故有∠ACF=45°,于是 ∠BCF =90°−45°=45°,,所以 CF 是∠ACB 的平分线..。
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初中数学《直角三角形》培优、拔高（奥数）专题讲义
阅读与思考
直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余；
边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；
边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.
这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.
在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.
熟悉以下基本图形基本结论：
例题与求解
【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.
（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.
D
C
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.
【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°
（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.
【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB的度数.
B C
（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.
B
A C
（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.
【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222
+=
BD AB BC
B
C
（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.
【例6】斯特瓦尔特定理：
如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则
222
b BD
c DC AD BD DC a
+=-⋅.请证明结论成立.
B
解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.
能力训练
A 级
1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.
第1题
2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.
第2题
3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.
第3
题
A
B
C
（上海市竞赛试题）
4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为
_____________.
第4题
D B
（湖北省预赛试题）
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D.不能确定
（山东省竞赛试题）
6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）
B.
C.
D. 第6题
C
B
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）
A. 15分米
B. 9分米
C. 8分米
D. 5分米
第7
题
8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么
BC
CD
等于（ ） A.1 B. 2
C.
D.
5
4
第8题
A
9. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.
D
C
（北京市竞赛试题）
10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.
（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-
（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.
B
P
11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.
12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.
D
（山西省中考试题）
B 级
1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.
2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB
＝3，PC ，则∠CPA ＝_____________.
第2题
A
3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.
4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ）
A. CF ＞GB
B. CF ＝GB
C. CF ＜GB
D. 无法确定
第4题
A
B
5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14
（江苏省竞赛试题）
6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D.4个
（浙江省竞赛试题）
7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是
AB ，AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.
D
B
C
（四川省联赛试题）
8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+
B
（江苏省竞赛试题）
9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.
（全国联赛试题）
10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积
.
B
C
（天津市竞赛试题）
11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF
＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.
A C
12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+
（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
图1
N
A
B M
图2
N B
M
（天津市中考试题）。