最优化练习题

最优化练习题
1．设A 为m n ⨯阶矩阵，n
b R ∈，试证集合{|,,0}n
S x x R Ax b x =∈=≥为凸集。

2．试证平面上椭圆22
221x y a b
+=所包围的区域为凸集。

3．判断下列函数为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数：
（1）2
2
1212(,)23f x x x x =+；（2）2
2
2
1231231231(,,)22712f x x x x x x x x x x =+++--+ 4．设()f x 为定义在凸集D 上的凸函数，试证()f x 的任何局部极小点同时也必为全局极小点。

5．设n 阶矩阵0T Q Q =>，非零向量12,,,()n
n p p p R m n ∈≤ 为Q 共轭的，证明： （1）12,,,n p p p 线性无关；（2）若n 维向量x 和12,,,n p p p 为Q 共轭的，则x=0。

6．设()T T
f x x Ax b x =-，2112A ⎡⎤=⎢
⎥
⎣⎦
，(3,3)T
b =，取1(0,0)T x =，1(1,0)T p =，2(1,2)T p =-，试证由共轭方向法产生的3x 为()f x 的最优解。

7．设1()2
T
T f x x Qx b x c =
++，0T Q Q =>，试证由精确线搜索的共轭梯度法中，有 T k k k T k k
g d
d Qd λ=-
8．取初始点0(0,0)T
x =，并且设定净度误差0.01ε=，试利用最速下降法求解下面的优化
问题：2
22
112212min 243x R
x x x x x x ∈-++- 9．考虑极小化问题1min ()2
n
T
T x R
f x x Ax b x ∈=+，其中0T A A =>，n b R ∈。

记函数()()
g x f x Ax b =∇=+。

设从k x 点出发，利用精确搜索的最速下降法求出改进点1k x +，
证明：
（1）最速下降法的迭代公式形如1T k k k k k T k k g g
x x g g Ag +=-，其中()k k g g x =；
（2）一步迭代中引起目标函数的下降量为2
1()()()2T k k k k T
k k
g g f x f x g Ag +-=。

10．研究形如1T
k k k k k H H Z Z α+=+的迭代校正公式，使之满足拟牛顿方程，
（1）试确定,k k Z α，从而证明1()()()
T
k k k k k k k k T
k k k k s H y s H y H H y s H y +--=+-； （2）试证对于二次函数有1k k k H y s +=。

11．利用DFP 方法求解下列问题：22121min 242x x x +-+，其中初始点0(2,1)T
x =，0H I =。

12．利用外点罚函数法或内点罚函数法求解下列问题： （1）
22
12
2min ()(1)..()10
f x x x s t
g x x =-+=-≥
（2）312121
min ()(1)12..
100
f x x x s t x x =++-≥≥。