线性差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
第七章线性差分方程模型的辨识
第七章线性差分方程模型的辨识根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。
线性差分方程模型的最小二乘估计首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。
辨识问题的提法设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：y(k) + a^y(Jc—1) + •• - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式：A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k),其中，= 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1)= 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n,辨识问题的提法，已知：(1)由方程描述的系统都是稳定的。
(2)系统的阶是n阶。
(3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数：a】, b](i = 1,2, ・・・N + n),参数最小二乘估计的慕本思根是，选择b x(i = 1,2, ...N + n),使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为：A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。
现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小最小二乘估计将下式A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\改成以下形式广义最小二乘估计-般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLSGLS的基本思想是，将相关残差啲用白噪声屮)，经过传递函数右的滤波器的滤波输出來表示，即e(k)=€伙)其中,C((7_1)= 1 + Cig" + c2q~2 + …+ c p q~p cg・..p)为常数,p表示残差模型的阶,c,和p事先是未知的: {G (k)}为白噪声序列根据方程的误差定义A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),可得：A(q_1)y(k) 一B(q_1)u(k) =C(q 丄)进而，AS")C(qT)y(k) 一B(qT)C(qT)u(k) =G (k)由丁花(幻为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估计，为此定义谋差函数：丿=》2⑹刁[A(qT)C(q7)y(k) - B(q")C(qT)u(k)]2现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。
高等数学 第十二章 差分方程
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
差分方程特解公式总结
差分方程特解公式总结差分方程是一种离散的数学模型，可以用于描述离散时间下的动态系统。
在求解差分方程的过程中，特解是其中一种重要的解法。
本文将总结差分方程特解的公式，并对其应用进行讨论。
一、一阶线性差分方程特解公式一阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+1} = ay_n + b$，其中$a$和$b$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{b}{1-a}$，其中$n$为自变量的取值。
这个公式的推导思路是将差分方程中的$y_{n+1}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
二、二阶线性差分方程特解公式二阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n + c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{c}{1-a-b}$，其中$n$为自变量的取值。
特解公式的推导过程类似于一阶线性差分方程的推导过程。
我们将差分方程中的$y_{n+2}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
三、一般线性差分方程特解公式对于一般的线性差分方程，特解公式的形式会更加复杂。
我们可以通过猜测特解的形式，并将其代入差分方程中，然后求解出特解。
常见的特解形式包括常数特解、多项式特解、指数特解、三角函数特解等。
选择特解的形式时需要根据差分方程的具体形式和边界条件进行判断。
四、差分方程特解的应用差分方程特解的求解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，差分方程可以用于描述经济系统的动态变化过程。
通过求解差分方程的特解，可以预测未来的经济发展趋势。
差分方程特解还可以用于模拟物理系统的运动过程、优化控制问题的求解等。
通过建立差分方程模型并求解特解，可以得到系统的稳定性分析和优化策略。
总结：差分方程特解公式是求解差分方程的一种重要方法。
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
信号与系统§7.4 常系数线性差分方程的求解
解法
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法反变换y(n)
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，
但 得 不 到 输 出 序 列yn的 解 析 式
二．时域经典法
特征根是单实根r 齐次解cr n 特征根是复根r r e jr 齐次解c r e n jnr 特征根是m重根r 齐次解
cm1nm1r n cm2nm2r n L c1nr n c0r n (cm1nm1 cm2nm2 L c1n c0 )r n 当 r 1,则响应是衰减变化，系统稳定。 r 1,则响应是增长变化，系统不稳定。 故系统是否稳定，就是看r值确定的点是否在单位圆内。
xn: 激励, hn:冲激响应 yzsn xn hn 需要先求hn, 即单位样值响应（或通称冲激响应）
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
经典法：齐次解+特解
求解方法
详细
卷积法
零状态响应的求解方法
1.齐次解+特解
由y 1 0, y 2 0 迭代出y0, y1
由初始条件定全解的中的待定系数。 2.卷积法
差分方程 特征方程 特征根 y(n)的解析式 由初始状态定常数
根据特征根，解的三种情况
1.无 重 根 r1 r2 rn n阶 方 程
yn C1r1 n C2r2 n Cn rn n
2.有重根
3.有共轭复数根
从以上求解零输入响应可知，特征根r在复平面的分布 决定了系统的时域特性，从而可判断系统是否稳定。
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
(整理)差分方程
第三章 差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
数学建模差分方程问题
数学建模差分方程问题数学建模是运用数学方法解决现实问题的一种方法。
而差分方程是数学建模中常用的一种数学工具，用于描述离散时间的动态系统。
本文将介绍差分方程的基本概念和应用，并以一个实际问题为例进行论述。
一、差分方程概述差分方程是一种用差分代替导数的方程，适用于离散时间的动态系统建模。
差分方程常用于描述离散时间下的变量变化规律，包括时序数据和动态优化等问题。
差分方程可以通过迭代求解来获得系统的演化过程。
二、差分方程的类型差分方程可分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程的形式为：y(n+1) = a*y(n) + b*y(n-1)其中，y(n)表示第n个时间点的变量值，a和b为常数。
非线性差分方程的形式更加复杂，可以包含更多的项和参数，例如：y(n+1) = a*y(n)^2 + b*y(n-1) + c*n其中，y(n)^2表示y(n)的平方，c*n表示变量与时间的乘积。
三、差分方程的应用差分方程广泛应用于各个领域的实际问题，在科学研究、工程设计和金融市场等方面都有重要的应用价值。
下面以生态系统模型为例，来介绍差分方程的具体应用。
生态系统模型是生态学领域中的重要问题之一。
考虑一个简化的生态系统，由捕食者和被捕食者两个物种组成。
假设捕食者的数量为x，被捕食者的数量为y。
捕食者的增长速率与被捕食者的数量成正比，而被捕食者的减少速率与捕食者的数量成正比。
则可以建立如下差分方程模型：x(n+1) = x(n) + a*x(n)*y(n)y(n+1) = y(n) - b*x(n)*y(n)其中，a和b为模型的参数，表示捕食者与被捕食者之间的相互作用强度。
通过迭代求解这个差分方程模型，可以得到生态系统中捕食者和被捕食者数量的变化趋势。
四、差分方程的求解方法差分方程的求解可以通过数值方法进行。
常见的有欧拉法和龙格-库塔法等。
这些方法可以将差分方程转化为计算机程序进行求解，得到系统的近似解。
五、差分方程与其他数学工具的关系差分方程与微分方程是数学建模中常用的两种数学工具。
14线性差分方程
1910
1920 1930 1940 1950 1960 1970
92228496
106000000 123000000 132000000 151000000 179000000 203000000
1880
50189209
1980
227000000
2.5E+08
2.0E+08 1.5E+08
1.0E+08 5.0E+07
9827 9110 9070
11
12
9161
8927
8710
8680
8160
8034
7874
8647
8265
8796
8633
9240
12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 1973
1974
1975
1976 X
1977
1978
d步延迟,消除季节项，这里d=12
1000
(2)
（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且
an(t)、f(t)不同时为零，若 ai(t)为常数，则上述两式 即为常系数差分方程。
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二、关于线性差分方程基本定理
• 定理1. 若y1(t)，y2(t)， … ym(t)是n阶 齐次线性差分方程（2）的m个特解，则 如下的线性组合也是该差分方程的的特 解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+ …+cmym(t) 式中c1、c2…cm为任意常数。
k 0 k 0 j 0 p p q
c k d j X t k j A( B ) X t
差分方程齐次解的一般形式
差分方程齐次解的一般形式
摘要：
一、差分方程齐次解的定义
二、差分方程齐次解的一般形式
1.线性差分方程
2.常系数差分方程
三、求解差分方程齐次解的方法
1.替换法
2.累积法
四、齐次解在差分方程中的应用
正文：
差分方程是数学中的一种重要方程，齐次解是差分方程解的一个重要概念。
本文将介绍差分方程齐次解的一般形式以及求解方法。
首先，我们需要了解差分方程齐次解的定义。
齐次解是指满足差分方程的解，即对于任意x，都满足该差分方程。
其次，我们来探讨差分方程齐次解的一般形式。
对于线性差分方程，其齐次解的一般形式为：
y_n = a * y_{n-1} + b * y_{n-2} + ...+ g * y_{n-k}
其中，a、b、...、g是待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
对于常系数差分方程，其齐次解的一般形式为：
y_n = c * (2 * y_{n-1} - y_{n-2})
其中，c是待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
接下来，我们介绍求解差分方程齐次解的方法。
首先是替换法，其基本思想是将差分方程的未知数替换为已知的函数，从而简化方程的求解。
其次是累积法，其基本思想是将差分方程的未知数累积起来，从而得到齐次解。
最后，我们来看齐次解在差分方程中的应用。
齐次解是解决差分方程问题的关键，通过求解齐次解，我们可以得到差分方程的通解，从而进一步求解特解。
此外，齐次解还可以帮助我们分析差分方程的稳定性、收敛性等性质。
总之，差分方程齐次解的一般形式及其求解方法在解决差分方程问题中具有重要意义。
差分方程中yt和yt+1的关系
差分方程是描述离散时间系统动态演化的数学工具，对于许多领域如经济学、物理学、生物学和工程学都有着重要的应用。
在差分方程中，yt和yt+1的关系是其中一个基本问题，本文将从多个角度深入探讨yt和yt+1之间的关系。
一、差分方程的基本概念差分方程是描述离散时间系统动态演化的数学工具，其一般形式可以表示为：yt+1 = f(yt, yt-1, ..., y0, t)其中yt表示系统在时刻t的状态，f为系统的演化规律。
在许多情况下，我们希望能够通过已知的yt求解yt+1，这就需要深入研究yt和yt+1之间的关系。
二、线性差分方程中的yt和yt+1关系在很多情况下，系统的动态演化规律可以通过线性方程来描述。
线性差分方程的一般形式为：yt+1 = Ayt + But其中A和B为常数矩阵，ut为外部输入。
根据上式可以得到yt和yt+1之间的关系：yt+1 = Ayt + But= A(Ayt-1 + But-1) + But= A^2yt-1 + ABut-1 + But= A^3yt-2 + A^2But-2 + ABut-1 + But= ...根据上述推导，我们可以得到yt和yt+1之间的关系满足：yt+1 = Ayt + ABut + A^2But-1 + ...这一关系可以帮助我们预测系统在未来时刻的状态，对于许多实际问题具有重要意义。
三、非线性差分方程中的yt和yt+1关系除了线性差分方程外，许多系统的动态演化规律是非线性的。
对于非线性差分方程，yt和yt+1之间的关系可能更加复杂。
考虑一个简单的非线性差分方程形式：yt+1 = yt^2根据上式可以得到yt和yt+1之间的关系：yt+1 = (yt)^2这一关系表明yt和yt+1之间的关系并不是简单的线性关系，而是通过平方运算建立起来的。
对于非线性差分方程，其yt和yt+1之间的关系需要通过数值方法或者近似方法进行求解，这对于实际问题的建模具有挑战性。
线性差分方程
线性差分⽅程是连续的，即变量t是连续的，需要求的是未知函数y(t)；线性差分⽅程是离散的，变量t的取值只能为整数，需要求的是未知序列y t。
差分（difference），即相邻两个数据之间的差，也就是变化量，⽤Δ来表⽰\Delta y_t = y_{t+1} – y_t\Delta y_t被定义为⼀阶差分，⼆阶差分定义如下\Delta^2 y_t = \Delta(\Delta y_t) = \Delta y_{t+1} – \Delta y_t = (y_{t+2} – y_{t+1}) – (y_{t+1} – y_t) = y_{t+2}-2y_{t+1} + y_t 如此类推，n阶差分中包含的项为y_t,y_{t+1},…,y_{t+n}，最⾼与最低项的下标相差n。
线性差分⽅程类⽐到的式⼦，L[y_t] = \Delta^n y_t + A_1\Delta^{n-1}y_t +\cdot \cdot \cdot+ A_{n-1}\Delta y_t + A_ny_t 式⼦当中的\Delta t = 1，因此省略了。
把差分拆开后组合，得到L[y_t] = y_{t+n} + B_1y_{t+n-1}+ \cdot \cdot \cdot + B_{n-1} y_{t+1} + B_n y_t 同样的，最⾼与最低项下标相差n。
下⾯的例⼦可以当作⼆阶线性差分⽅程求解的范例，从这些例⼦可以⼀步步深⼊了解线性差分⽅程。
⼆阶齐次线性差分⽅程（2nd-order Homogeneous Linear Difference Equation）设有线性⽅程如下u_n = u_{n-1}+u_{n-2}其中u_0 = 1,u_1 = 1，求u_n。
解：把u_n相关项移到等号左边：u_n – u_{n-1} –u_{n-2} = 0此时，等式右边为0，表明该⽅程为齐次（Homogeneous）。
假设：u_n = A\omega ^n那么：A\omega ^n – A\omega ^{n-1} – A\omega^{n-2} = 0等式两边同时除去A\omega^{n-2}：\omega^2 - \omega - 1 = 0上⾯是⼀个⼀元⼆次⽅程，其两个根分别为：\omega_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ ,\ \omega_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}任意A_1代⼊u_n = A_1\omega_1^n，都满⾜u_n-u_{n-1}-u_{n-2} = 0。
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（3）
vm = c1um(1) + c2um(2) + L + ckum(k)
也是（2）的解，其中 cj ( j = 1, 2,L, k ) 为常数。
命题 2 设 um(1) , um(2) ,L, um(k) 是 k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式
命题 4 如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 为齐次方程（2）的线性无关解，则（1）的通解可以表为
（9）
k
m−k
∑ ∑ um = c jum( j) + g b m,n n
j =1
n=0
其中 gm,n 为（5）的解。
命题 4 把求非齐次方程解的问题化成求齐次方程的解。
当差分方程的初始值 u0 , u1,L, uk−1 已经给定，则利用通解表达式（9）我们有
（7）
∑ ⎧
⎪ ⎨
( ) a j m gm+ j,n = δm,n , m = 0,1, 2,L
⎪⎩ gl,n = 0, 当l < n + k时, n = 0,1, 2,L
容易证明，
（8）
m−k
∑ um = gm,nbn n=0
是非齐次方程（1）的解。事实上，利用（8）和（7）式，有
k
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n+ j−k
（5）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
其初始条件为
当m > n ，
（6）
( ) ak n un+k = 1 ， un+k−1 = un+k−2 = L = un+1 = 0
这 个 问 题 的 解 显 然 与 n 有 关 ， 记 为 gm,n ， m = n +1, n + 2,L ， 为 了 形 式 统 一 ， 对
为
ξ1 ξ2 L ξk
∏ ∏( ) ξ12
L
ξ22 L
L L
ξ
2 k
L
=
k
ξj
j =1
j>l
ξ j −ξl
≠0
ξ1k
ξ
k 2
L ξkk
在这种情形下，（2）的通解可以表为
（12）
k
∑ um =
c
jξ
m j
j =1
如果有某一ξ j 为（11）的 rj 重根，容易验证，
（13）
ξ
m j
,
mξ
m j
,
L
,
m = 0,1,L, n ，我们补充定义 gm,n = 0 ，从而有
gm,n = 0 ，当 m < n + k
由此，特别得到
( ) ( ) ( ) ak n gn+k,n + ak−1 n −1 gn+k−1,n + L+ a0 0 gn,n = 1
综合上述讨论得出，对 n = 0,1, 2,L ， gm,n 为下列差分方程的解：
m
rj
−1ξ
m j
为（2）的 rj 个线性无关解。这样一来，在特征多项式（11）有重根的情形，（2）的通解可
表为
（14）
k0 rj
∑ ∑ um =
c
jl
ml
−1ξ
m j
j=1 l =1
k0 为（11）互异根的个数。
若（11）有复根ξ j ，因为他的系数是实数，故 ξ j 也是它的根。令
ξ j = ρeiθ = ρ (cosθ + i sinθ )
解：将上式改写成为
( ) um+1 − 2 1+ h2q um + um−1 = 0
它的特征方程为
( ) λ 2 − 2 1+ h2q λ +1 = 0
它的根为
( ) λ = 1+ h2q ± h q 2 + h2q
1） 当 q = 0 时，特征方程二根相等： ξ1 = ξ2 = 1，
此时通解为
um = c1 + c2m
成下列形式： k 阶齐次线性差分方程的通解可以表为它的任意 k 个线性无关解的线性组合。 k 阶齐次线性差分方程线性无关解的个数不超过 k ，而且必存在 k 个线性无关解。
命题 3 非齐此方程（1）的通解可以表成为它的任一解与齐次方程（2）的通解之和。
证明：对 n = 0,1, 2,L ，考虑下列齐次差分方程
∑ ∑ ∑ aj (m)um+ j = aj (m)
gm+ j,nbn
j=0
j=0
n=0
k
m
∑ ∑ ( ) = aj m
gm+ b j,n n
j=0
n=0
∑ ∑ ( ) m ⎛ k
⎞
= ⎜ a j m gm+ j,n ⎟ bn
⎝ n=0 j=0
⎠
m
∑ = δ b m,n n n=0
= bm
即（8）满足方程（1）。 这样一来，利用命题 3 得到
m = 0,1, 2,L
称为 k 阶线性差分方程，其中 a j (m) ,bm 为给定的关于 m 的函数，并且 ak (m) a0 (m) ≠ 0 。
当 bm = 0 时方程
（2）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
m = 0,1, 2,L
cosθ = 1+ h2q , 0 ≤ θ < 2π
确定，通解为
um = c1 cos mθ + c2 sin mθ
（11）
ak λ k
+
λ a k −1 k −1
+L+
a1λ
+ a0 = 0
的根。反之，容易验证，如果 ξ 为（11）的根，则 um = ξ m 必为（2）的解。方程式（11）
叫做（1）或（2）的特征方程。
设
ξ1
,
ξ2
,L,
ξk
为（11）的
k
个互异的根，则
ξ1m
,
ξ
m 2
,L,
ξ
m k
为（2）的线性无关解，因
得满足给定初始条件的解。
对常系数线性差分方程，即当 a j (m) = a j 与 m 无关时，其次方程的通解可以利用特征
方程的根求得。
设（2）的系数与 m 无关。考虑形如
（10）
um = ξ m
的解。将其代入（2）得到
akξ k + ak−1ξ k−1 + L + a1ξ + a0 = 0
即ξ 为代数方程
2） 当 q > 0 时，特征方程有相异二实根：
( ) ξ1 = 1+ h2q + h q 2 + h2q ( ) ξ2 = 1+ h2q − h q 2 + h2q
并且当 h 充分小时 ξ1 > 1,ξ2 < 1，此时通解为
um
=
c1ξ1m
+
c2ξ
m 2
3） 当 q < 0 时，有二共轭复根，其模为 1，幅角θ 由关系式
k
∑ cjum( j) = um , m = 0,1, 2,L, k −1
j =1
因为当 m < k 时（9）式中第二个和为零。由于 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，从上式可以唯一
地解出 c1, c2 ,Lck ，它们是 u0 , u1,L, uk−1 的线性组合。将求得的 c1, c2 ,Lck 代入（9）即求
ξ j = ρe−iθ = ρ (cosθ − i sinθ )
此时可取
ρ cos mθ , ρ sin mθ
为相应二线性无关解。
例 求下列二阶常系数差分方程的通解：
um+1
− 2um h2
+ um−1
− 2qum
=
0
其中 h, q 均为常数，且 h > 0 。上述方程是微分方程 u'' − 2qu = 0 的差分近似。
称为齐次差分方程。如果整变量 j 的函数 u j 使（1）和（2）成为等式，则称 u j 为相应方程
的解。容易看出，如果 u0 , u2 ,Luk−1（称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地
定出 u j ( j = k, k +1,L) 。
与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有
（4）
u1(1) u1(2) L u1(k ) u2(1) u2(2) L u2(k ) ≠ 0 L LLL uk(1) uk(2) L uk(k )
则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。
如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 满足条件（4），则称 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，故命题 2 可叙述
线性差分方程
在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差 分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分 方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。
考虑如下一般的线性差分方程
（1）
ak (m) um+k + ( ) ak−1 m um+k−1 +L+ a0 (m) um = bm