03_置信区间

和
Sx
n 1
t 0.05 / 2,
对于一份样本，我们宣布 就在这个区间内，95%的 场合是对的，但5%的场合不对。
X t 0.05 / 2, Sx
X t 0.05 / 2 S x X t 0.05 / 2 S x
样本 编号 1 2 3 4 … 49* 50 … 75* 76 77 78*
N (4.6602,0.57462 )
抽取100份样本, 每份样本所含个体数为
n5
样本 编号 1 2 3 4 … 49* 50 … 75* 76 77 78*
均数 5.00 4.72 4.24 4.64 … 4.04 4.52 … 4.16 4.52 4.36 5.04
标准差 .5688 .3470 .5763 .5949 … .3595 .6094 … .3927 .5487 .3930 .2052
x
在样本中，

n
S Sx n
3.1.2 从非正态总体抽取样本，均数的分布
例3.2 从正偏峰总体中抽样
(1) 样本量较大时，样本均数的分布接近对称 当 n=30, 样本均数的分布接近正态分布； (2) 样本量较大时，样本均数变异范围也较窄。
x

n
S Sx n
例 3.3 从对称的钩型总体抽取样本，均数的分布
对于非正态总体，虽然样本均数的分布并不是 n 正态分布，但是，当样本量较大时, (如， 30) 样本均数近似地服从正态分布
X ~ N ( ,
2
n
)
3.2 t 分布
3.2.1 标准 t 离差 (standard t deviate) 2 当 X ~ N ( , )
X ~ N ( ,

P1 ~ N ( 1 ,
1 (1 1 )
)
P2 ~ N ( 2 ,
2 (1 2 )
)
1 2 :
( p1 p2 ) Z / 2
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
与 1 2 的置信区间比较
2 :
1
( x1 x2 ) Z / 2
0.48 2.034(0.1577) 0.80 and 0.16
3.5 概率和两概率之差的置信区间
3.5.1 总体概率 的置信区间
X ~ B ( , n)
X P n
查表法： 样本量较小时, 给定 X 和 n， 的 95% 和 99% 置信区间可以由附录2的表3查出； 计算法：样本量较大时，可以利用正态近似计 算： (1 ) P ~ N ( , ) n
:
( p Z / 2 p(1 p) p(1 p) , p Z / 2 ) n n
与
:
:
的置信区间比较
( x Z / 2 s x , x Z / 2 s x )
( p Z / 2 p(1 p) p(1 p) , p Z / 2 ) n n
95%置信区间 3.3231, 5.7969 4.0249, 5.5751 3.7405, 4.2595 4.2162, 5.0638 … 4.8256, 5.8144 4.4888, 5.3512 4.3548, 5.0852 … 3.9419, 4.7781 3.7907, 5.3293 4.0331, 5.1669
医学统计学
方积乾 中山大学公共卫生学院
第3章 抽样误差与置信区间
从同一总体抽取若干样本
通常 样本均数不等于总体均数 一个样本的均数不等于另一个样本的均数 这个现象称为抽样误差
N (4.66020.57462 ) ,
3.1 样本均数的分布
3.1.1 从正态总体抽取样本，均数的分布
例 3.1 从正态总体抽样 假定健康男子红细胞计数服从正态分布
2
n
)
X
x
?
~ N (0,1)
X ~ N (0,1) Sx
X ~ t 分布 Sx
W.S. Gosett (1908) 研究了这个分布
n 1
3.2.2 t 分布的概率密度曲线图和临界值
附录2的Table 5 给出了t 分布双侧概率和对应 的临界值。 例如, 当自由度为 20 时, 对应于双侧概率0.05, t 分 布的临界值为 t 0.05 / 2, 20 2.086 1.96
95%置信区间 4.2939, 5.7062 4.2891, 5.1509 3.5246, 4.9554 3.9014, 5.3786 … 3.5937, 4.4863 3.7634, 5.2766 … 3.6724, 4.6476 3.8388, 5.2012 3.8721, 4.8479 4.7853, 5.2947
样本 编号 79 80 81* 82 … 89* 90 91 … 98 99 100
均数 4.56 4.80 4.00 4.64 … 5.32 4.92 4.72 .. 4.36 4.56 4.60
标准差 .9963 .6243 .2090 .3414 … .3982 .3473 .2941 … .3368 .6197 .4566
(( p1 p2 ) Z / 2
1 1 s ( ) n1 n2
2 c
1 2 :
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
:
( x Z / 2 s x , x Z / 2 s x )
例 3.1 从某种疾病的患者中随机选取20 名，血沉 的均值为 9.15 mm/h, 标准差为 2.13 mm/h. 请估 计总体均数的 95% 置信区间和 99%置信区间(假 定这种疾病患者血沉值服从正态分布）
x 9.15, s 2.13, n 20
1 2 的 (1 ) 置信区间为
[( x1 x 2 ) t / 2, 1 1 1 2 1 s ( ) , ( x1 x 2 ) t / 2, s c ( ) ] n1 n2 n1 n2
2 c
例 3.2 假定某城市健康男子和健康女子的红细胞计数分 别服从正态分布，现有两样本
样本 编号 79 80 81* 82 … 89* 90 91 … 98 99 100
均数 4.56 4.80 4.00 4.64 … 5.32 4.92 4.72 .. 4.36 4.56 4.60
标准差 .9963 .6243 .2090 .3414 … .3982 .3473 .2941 … .3368 .6197 .4566
10.51 and 7.78
问: 如果既要高置信水平，又要高精度，怎么办?
3.4 两总体均数之差的置信区间
X 1 ~ N ( 1 , )
2
X 2 ~ N ( 2 , 2 )
1, 2 和 未知. 两样本 n1 , x1 , s1 n2 , x2 , s2
均数之差 1 2 的置信区间?
* 该样本的置信区间并没有覆盖总体均数4.6602
一般地, 给定总体的一份样本, 若样本量、样本均 数和标准差记为 n, x and s ， 则标准误为 s x s / n
:
( x t / 2, s x , x t / 2, s x )
称为总体均数 的 (1 ) 置信区间 (1 ) : 置信水平 t sx : 置信区间的精度 样本量足够大时,
2 c
20 15 2 33
t 0.05 / 2,30 2.042 t 0.05 / 2, 40 2.021
( x1 x 2 ) t 0.05 / 2,33
2 c
t 0.05 / 2,33
2.042 2.021 2.041 3 2.034 10
1 1 1 1 s ( ) (4.66 4.18) 2.034 0.2131( ) n1 n2 20 15

px
p(1 p) sx n
3.5.2 两总体概率之差
X 1 ~ B( 1 , n1 )
X1 P1 n1
1 2 的置信区间
X2 P2 n2
X 2 ~ B( 2 , n2 )
n2 n1 设 p1 和 p2 为样本观察值，用 p1 和 p2 近似地代替1 和 2
x t 0.05 / 2,19 s x x t 0.05 / 2,19 s n 9.15 2.093 2.13 20 10.15 and 8.15
x t 0.01 / 2,19 s x x t 0.01 / 2,19
s n
9.15 2.861
2.13 20
X ~ N ( , x )
, then the sample mean follows a normal distribution
2 X ~ N ( , x )
(3.1)
(5) 样本量较大时，样本均数变异范围较窄 : 原变量的总体标准差 x : 样本均数的总体标准差 ---- 又称标准误（standard error）.
n1 20, n2 15
,x1 4.66, x2 4.18 ,s1 0.47, s2 0.45
试估计健康男子和健康女子的红细胞计数平均值之差的 95%置信区间。 2 2 2 s2 0.452 0.2025 s1 0.47 0.2209
(20 1)(0.47) 2 (15 1)(0.45) 2 s 0.2131 20 15 2
95%置信区间 3.3231, 5.7969 4.0249, 5.5751 3.7405, 4.2595 4.2162, 5.0638 … 4.8256, 5.8144 4.4888, 5.3512 4.3548, 5.0852 … 3.9419, 4.7781 3.7907, 5.3293 4.0331, 5.1669