数列综合题

(1 P)Tn = p + p + p ++ p + p np
2 3 n
n1
n+1
n+1 n+2 p(1 pn ) npn+1 p ( n +1) p + np Tn = = 2 2 1 p (1 p) (1 p)
p(1 p ) = npn+1 1 p
n
天津卷21) 【例 2】(2004 年天津卷 】 天津卷 满足下列条件: 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {a n } 满足下列条件: a1 = a , a n = f ( a n 1 )( n = 2, 3, 4, ...), a 2 ≠ a1 , f ( a ) f ( a ) = k ( a a )( n = 2, 3, 4, ...) ,
① ② ③ ④
②-①,得 2(bn+1 1) = (n + 1)bn +1 nbn , 即 (n 1)bn+1 nbn + 2 = 0,
nbn+2 (n + 1)bn+1 + 2 = 0.
③-④,得 即
nbn + 2 2nbn +1 + nbn = 0,
bn+ 2 2bn+1 + bn = 0, ∴ bn + 2 bn +1 = bn +1 bn ( n ∈ N* ),
1 ∵ akk = a1k q k 1 = k , (Ⅲ) Ⅲ 2 1 1 1 1 1 ∴ S n = 1× + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4 + + n × n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + + ( n 1) × n + n × n +1 2 2 2 2 2 2 两式相减得 1 1 1 1 1 1 1 S n = + 2 + 3 + 4 + + n n × n +1 , 2 2 2 2 2 2 2 n +1 Sn = 1 n . 2
x (Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)中, k = 1, bn = n + 1 , n = ∑ aibi 求证: n < 3. Ⅲ在Ⅰ Ⅱ中 设 x 求证:
i =1 n
分析及解】 【分析及解】
1 , (a 1 = Ⅰ k +1 an k = 又 a n = S n S n 1 = ka n 1 ka n, ∴ ( n ≥2) ) , a n 1 k + 1
bn 2 4 n 1
∴ Tn = c1 + c2 + + cn = 1 + 3 × 41 + 5 × 4 2 + + (2 n 1)4 n 1 , 4Tn = 1 × 4 + 3 × 4 2 + 5 × 4 3 + + (2 n 3)4 n 1 + (2 n 1)4 n 两式相减得
3T n = 1 2 ( 4 1 + 4 2 + 4 3 + + 4 n 1 ) + ( 2 n 1) 4 n 1 = [( 6 n 5) 4 n + 5] 3 1 ∴ T n = [( 6 n 5) 4 n + 5]. 9
【分析及解】(Ⅰ) ∵ a 44 a 43 = a 43 a 42 , 分析及解】 Ⅰ 1 ∴ a 44 = 2 a 43 a 42 = . 4 a 44 1 1 2 = , q= . 则q = a 24 4 2 (Ⅱ) ∵ a 24 = a14 q , ∴ a14 = 2 . Ⅱ 3 3 ∵ a 43 = a13 q , ∴ a13 = . 2 1 1 d 1 = a14 a13 = . a11 = a13 2 d 1 = . 则 2 2 1 1 1 ∴ a1k = + ( k 1) × = k . 2 2 2
1 n +1 n+3 ) n = 3 n <3. 2 n-1 2 2
二.数列与函数的综合 (2006 年安徽卷)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 年安徽卷) 【例 1】 】 ( (Ⅰ)写出 Sn 与 Sn 1 的递推关系式 ( n ≥ 2 ) ,并求 Sn 关于 n 的 表达式; 表达式;
n 1 1 n 1 1 n > , 2 3 2 2 3 an n 1 a1 a2 n ∴ < + + + < (n ∈ N* ). 2 3 a2 a3 an +1 2 =
湖北卷文 【例 2】(2005 年湖北卷 文 19) 】 湖北卷 为等比数列, 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2 , {bn } 为等比数列 , 且 a1 = b1, b2 (a2 a1 ) = b1. (Ⅰ)求数列 {an }和 {bn }的通项公式; 的通项公式;
数列综合题 数列综合题 综合
的通项公式; (I)求数列 {an } 的通项公式;
一.等差数列与等比数列的综合 年福建卷) 【例 1】 2006 年福建卷) ( 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1(n ∈ N* ).
b 1 b b 1 b 1 * (II) II)若数列{bn}满足 4 1 4 2 4 n = ( an + 1) n ( n ∈ N ), 证 若数列{ 数列{ 是等差数列; 明:数列{bn}是等差数列; a n 1 a1 a2 n < + + ... + n < (n ∈ N* ). 证明: (Ⅲ)证明: 2 3 a2 a3 an +1 2
∴{bn } 是等差数列. 是等差数列.
ak 2k 1 2k 1 1 (III)∵ ) = k +1 = < , k = 1, 2,..., n, 1 ak +1 2 1 2(2k ) 2 2
an a1 a2 n ∴ + + ... + < . a2 a3 an +1 2
ak 2k 1 1 1 ∵ = k +1 = ak +1 2 1 2 2(2k +1 1) 1 1 1 1 1 k ≥ . k , k = 1, 2,..., n, 2 3.2 + 2k 2 2 3 2 a a a n 11 1 1 ∴ 1 + 2 + + n ≥ + 2 + + n a2 a3 an +1 2 3 2 2 2 =
如图, 【例 3】 】 如图 n2 个( n ≥ 4) 正数排成 n 行 n 列方阵 其中每一行的数成等差数列 每 列方阵,其中每一行的数成等差数列 其中每一行的数成等差数列, 一列的数成等比数列,并且所有公比 一列的数成等比数列 并且所有公比 都相 等, 1 3 . 设 a24 = 1, a42 = , a43 = . 8 16 (Ⅰ) 求公比 q 的值 的值; Ⅰ (Ⅱ) 求 a1k ( 1 ≤ k ≤ n) 的值 的值; Ⅱ (Ⅲ)求 Sn = a11 + a22 + a33 + + ann 的值 Ⅲ求 的值.
n n 1 n n 1
为常数, 为非零常数. 其中 a 为常数,k 为非零常数 是等比数列; (Ⅰ)令 bn = a n +1 a n ( n ∈ N*) ,证明数列 {bn } 是等比数列; 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)当 | k |< 1 时,求 lim a n .
Sn = n2 (Sn Sn1 ) n ( n 1) ,即 (n2 1)Sn n2 Sn1 = n ( n 1) ,
n +1 n 成立. Sn Sn1 = 1 ,对 n ≥ 2 成立.由 n n 1 3 2 n +1 n n n 1 Sn Sn1 = 1 , Sn1 Sn2 = 1 , , S2 S1 = 1 . 2 1 n n 1 n 1 n2 n +1 相加得: 相加得: Sn 2S1 = n 1, n n2 1 也成立. 又 S1 = a1 = ,所以 Sn = ,当 n = 1 时,也成立. n +1 2
(Ⅲ)由题意知 a n b n = Ⅲ 由题意知
① ②
1 1 1 n +1 1 ①-②得, x n = 1 + 2 + 3 + + n n +1 . 2 2 2 2 2
∴ x n= 2 +
1 1 n +1 1 + 2 + + n 1 n . 2 2 21 2
= 2 + 1 (
Sn n+1 n n+1 (Ⅱ)由 fn ( x) = x = x ,得 bn = fn/ ( p) = npn . n n +1 而 Tn = p + 2 p2 + 3 p3 ++ (n 1) pn1 + npn ,
pTn = p2 + 2 p3 + 3 p4 ++ (n 1) pn + npn+1 ,
1 公比为 设 {bn } 的公比为 q, 则 b2 ( a2 a1 ) = b1qd = b1 , d = 4,∴ q = . 4 1 2 故 bn = b1qn1 = 2 × n1 ,即 {bn } 的通项公式为 bn = n1 . 4 4
(Ⅱ)∵ c n = a n = 4 n 2 = ( 2 n 1) 4 n 1 ,
an (Ⅱ)设 cn = ,求数列 {cn }的前 n 项和 Tn. bn
( 【分析及解】 Ⅰ)当 n = 1时, a1 = S1 = 2; 分析及解】 当n ≥ 2时, an = S n S n1 = 2n 2 2(n 1) 2 = 4n 2, 故 {an}的 通 项公式为 an = 4n 2,即{an }是a1 = 2, 公差d = 4 的 的 等差数列. 等差数列