直线方程与圆的方程

一、直线的方程： 概念：倾斜角 （１）倾斜角的范围：001800<≤α，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾

斜角．

（２）特殊位置：当︒=0α时，直线l 与x 轴平行；当︒=90α时，直线l 与x 轴垂直．

２．直线的斜率．

（１）斜率的概念

当倾斜角不是︒90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：αtan =k ．

说明：当︒=90α时，直线l 没有斜率（但是有倾斜角）；当︒≠90α时，直线l 有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于︒90的直线对于x 轴的

倾斜程度的量．

（２）斜率公式：1

212x x y y k --=，其中 ),(,),(2211y x y x 是直线l 上两点的坐标．

例1：已知两点(1,5),

(3,2)A B ---，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率．

３．直线方程的五种形式：

（１）点斜式：()11x x k y y -=-；

（２）斜截式：b kx y +=； （３）两点式：1

21121x x x x y y y y --=--； （４）截距式：1=+b

y a x ； （５）一般式：0(,Ax By C A B ++=不同时为0)．

例２．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程． 练习：

例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和在x 轴与y 轴上的截距，

并画图．

４．两条直线的位置关系：

（１）平行（不重合）的条件：

212121,//b b k k l l ≠=⇔且；

21//l l ⇔2

12121C C B B A A ≠=． （２）两条直线垂直的条件：

12121-=⋅⇔⊥k k l l ；21l l ⊥02121=+⇔B B A A ．

（３）直线1l 到直线2l 的角公式为：2

1121k k k k tg +-=θ． （４）直线1l 与直线2l 夹角的公式：2

11

21tan k k k k +-=θ．)900(︒≤<︒θ （5）点到直线的距离公式：2

200B A C

By Ax d +++=． （7）过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:222

21111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）

注：

1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)

()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O

的距离：||OP 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212

PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λ

λλλ++=++=

1,121

21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k

4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=

的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 当2121,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝︒90，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有222

1B A C C d +-=.

注；直线系方程

1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).

2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)

3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)

4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.

②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (2a – x , 2b – y )=0.

例1：直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线

(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，求a 的值。

例2：两条直线2-2y-2=0与x+y-4=0夹角的正弦值为

例3.点（0，5）到直线y =2x 的距离为

例4已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；

（3）重合?

例5过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为

例6.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是

二、简单的线性规划：

１．二元一次不等式表示平面区域：

２．线性规划的有关概念：①线性约束条件；②线性目标函数；③线性规划问题；④可行解、可行域和最优解； 例1：已知目标函数z=x+2y ，在可行域

⎪⎩

⎪⎨⎧≤+-+≤≤+0625022y x x y y x ＋内，求z 的最小值，并求出此时的x,y 的值。

1、若直线1=x 的倾斜角为α，则=α （ ）

A ． 0 B. 45 C. 90 D.不存在

2、经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为

135，则y 的值等于（ ）

A 1-

B 3-

C 0

D 2

3、过点（1-，4）作直线l 使点M （1，2）到直线l 距离最大，则直线l 的方程为（ ）

A 03=-+y x

B 05=++y x

C 01=+-y x

D 05=+-y x

4、如果0

A 第一象限

B 第二象限

C 第三象限

D 第四象限

5、经过点A （1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）

A 1条

B 2条

C 3条

D 4条

6、已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为 135，则m 的值是（ ） A 2-或4 B 4-或2 C 4或0 D 0或2-