2013-2014年浙江省杭州二中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=04．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．157．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．14．（4分）函数的定义域是．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：化直线2x+3y+1=0的方程为斜截式可得：y=x﹣，由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：故选：A．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0化成标准方程，得（x+1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为C（﹣1，1），半径r=1．点C到直线kx+y﹣2=0的距离d===，∴当k＜0时，点C到直线的距离d＜1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相交；当k=0时，点C到直线的距离d=1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相切；当k＞0时，点C到直线的距离d＞1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相离．综上所述，直线kx+y﹣2=0与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系与k的取值有关．故选：D．3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=0【解答】解：①当B1•B2≠0时，直线l1：A1x+B1y+C1=0化为：，直线l2：A2x+B2y+C2=0化为，∵l1∥l2，∴=﹣，，∴．化为A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1．（*）②当B1B2=0时，∵l1∥l2，∴B1=B2=0，．∴（*）也成立．综上可得：B成立．故选：B．4．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为圆柱．则四棱锥的高VO=，∴四棱锥的体积为．圆柱的高为2，底面半径为1，∴圆柱的体积为π×12×2=2π．故该几何体的体积为．故选：C．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④【解答】解：①若α⊥β，m⊂α，则m与β不一定垂直，因此不正确；②若m⊂α，α∥β，利用面面平行的性质定理可得m∥β，因此正确；③若m∥α，m∥β，则α∥β或相交，因此不正确；④若m⊂α，m⊥β，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：D．6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．15【解答】解：圆x2+y2=100的圆心为O（0，0），半径r=10．连结OA、OB、OC，可得|OC|==20，∵AC切圆O与点A，∴OA⊥AC，|AC|==10，因此，以C为圆心、CA半径的圆方程为（x﹣12）2+（y﹣16）2=300，∵CA、CB为经过点C的圆O的两条切线，∴|AC|=|BC|，可得点B也在圆C上，因此AB是圆O与圆C的公共弦，将圆O与圆C的方程相减，得3x+4y﹣25=0，可得点C到直线AB的距离d==15．故选：D．7．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．【解答】解：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．在Rt△AOB中OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中点，则E（，0，）于是=（，0，），=（0，，）．设与的夹角为θ，有cosθ==，θ=arccos，∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解【解答】解：圆x2+y2=a2的圆心为原点O，半径r=|a|．将圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0相减，可得ay+a2﹣6=0，即得两圆的公共弦所在直线方程为ay+a2﹣6=0．原点O到ay+a2﹣6=0的距离d=|﹣a|，设两圆交于点A、B，根据垂径定理可得∴a2=4，∴a=±2．故选：A．9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π【解答】解：∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，几何体的正四面体，如图：球的球心O在底面ABC的中心E与S的连线上，并且AO=OS，∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，∴D为BC的中点，AD=，AE=，SE===；球的半径为r，OA=，OE=SE﹣OS=SE﹣OA=，AO2=OE2+AE2，∴，解得r=∴所求球的表面积S=4πr2==2π．故选：B．10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．【解答】解：取BC的中点D，连结OD，AD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，∴OD∥AA1，AD=，OD=1，由cos∠A1AB=cos∠A1AD•cos∠BAD，可得==．在△AOD中，AO2=AD2+OD2﹣2AD•ODcos∠ADO=12+（）2﹣2×=．∴AO=．故选：C．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．【解答】解：根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，∵m，n所成的角为60°，∴二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．故答案为：60°或120°．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．14．（4分）函数的定义域是[﹣1，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得﹣1≤x≤1，∴函数的定义域为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB|=|PQ|，得，整理得：=（x﹣1）2+（y﹣1）2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为8．【解答】解：∵在三棱锥S﹣ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8，=SA•SB•sin∠SAB，又cos∠SAB=≤﹣，∴sin∠SAB≤∴S△SAB，=×4×5×sin∠SAB≤4．∴S△SAB设点C到面SAB的距离为h，则h≤CB≤6，根据三棱锥S﹣ABC体积V=•S•h≤×4×6=8，△SAB故答案为：8．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．【解答】解：（I）设点A（﹣1，﹣4）关于直线y+1=0的对称点为A'（x1，y1），可得x1=﹣1，（﹣4+y1）=﹣1，解得y1=2×（﹣1）﹣（﹣4）=2，∴A'坐标为（﹣1，2），再设点A（﹣1，﹣4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），可得，解之得x2=3，y2=0，∴A″坐标（3，0），∵∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，∴点A'与点A″都在直线BC上，根据直线方程的两点式，得直线A'A″的方程为=，化简得x+2y﹣3=0，即为边BC所在直线的方程，∵直线BC的斜率k=﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为k'==2，∵A点坐标为（﹣1，﹣4），∴BC边上的高所在的直线的方程为y+4=2（x+1），化简得2x﹣y﹣2=0；（II）根据题意，可得△ABC的内角平分线l1与l2的交点即为△ABC的内切圆的圆心，联解，得，可得内切圆的圆心为（0，﹣1），又∵圆心到直线BC的距离为半径，∴内切圆的半径，因此，△ABC的内切圆方程为x2+（y+1）2=5．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．【解答】解：（1）连结PG，则PG是PE在面ACP的射影，即∠EPG是PB与平面ACP所成的角．设F为PA中点，连结EF、FD，∵E，F分别是PA，PB的中点，底面ABCD是直角梯形，∴EF∥CD，EF=CD，∵CD⊥平面PAD，∴，∴∵EF=1，∴∴EC=，EG==，∵PE=，∴sin∠EPG==；（2）过点E作底面ABCD的垂线，垂足为H，则EH∥PD，且EH=1．过点E作AC的垂线，垂足为I，连接HI，则∠HIE即为二面角B﹣AC﹣E的平面角．由于CE∥DF，而DF⊥面PAB，∴CE⊥AE，CE⊥PB，则CE=，AE=，∴EI=，∴∴二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值是．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．【解答】解：（1）圆心O（0，0）到直线l：y=x+b的距离为d=，则当d=＞4，即|b|＞4时，个数为0；当d==4，即|b|=4时，个数为1；当d=＜4，即|b|＜4时，个数为2；（2）由S=tan ∠APB=PA•PB•sin ∠APB ，得到PA•PB•cos ∠APB=9，即•=9，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），得到=（x 1﹣3，y 1），=（x 2﹣3，y 2），则（x 1﹣3）（x 2﹣3）+y 1y 2=9， 即x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+y 1y 2=0（i ）， 联立直线与圆方程得：，消去y 得2x 2+2bx +b 2﹣4=0，则，即，将y 1y 2=（x 1+b ）（x 2+b ）=﹣2，代入（i ）得b 2+3b ﹣4=0，变形得：（b +4）（b ﹣1）=0， 解得：b=﹣4或b=1， 由于b 2＜8，得到b=1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。