放缩法证明答案

合集下载

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。

利用放缩法证明数列型不等式

1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时，S1
1
3 2
当n
2时，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩

放缩法技巧全总结

放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ，即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。

专题10 放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)

放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n 项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型. 放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小. 放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解). 放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M A <时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M 放大为1N ,当我们能够证明1N A <,也间接证明了M A <.切不可将M 缩小为2N ,即使能够证明2N A <,M 与A 的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M A >时,这时我们可以将多项式M 缩小为1N ,当我们能够证明1N A >,也间接证明了M A >.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1. 常见的放缩形式:（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--；（2）()2111111n n n n n >=-++；（3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭；（5(()2121n n n n n n n n==--≥+-+；（6(211n n n n n n n =>=++++；（7222212111212122n n n n nn n n n ==--++-++-++；（8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n n n n n n n n n ---=<==----------()2n ≥；（12）()()()111121122121212121n nn n n n n ---<=-≥-----.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证22221111.....2123n ++++< 【解析】因为()()2211111211n n n n n n n n <==-≥---,所以2222222211111111111111..........11.....=22123122332231n n n n n n ++++<++++=+-+-++--<----,所以原式得证. 为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证222211117 (1234)n ++++< 【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以222222221111111111111111........11....1231213112324351n n n n ⎛⎫++++<++++=+-+-+-+- ⎪----⎝⎭11117=112214n n ⎛⎫++--< ⎪+⎝⎭,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证222211115 (1233)n ++++<【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以 222222222111111111111111111........1....12312311222435461n n n n ⎛⎫++++<++++=++-+-+-++- ⎪---⎝⎭11111151115=1=422313213n n n n ⎛⎫⎛⎫+++---+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知2,2n n n a b n ==,设1n n nc a b =+,求证:1243n c c c +++<.【解析】已知2,2n n na b n ==,因为 222441122(21)2(21)(21)(21)2121n c n n n n n n n n n n ⎛⎫===<=- ⎪+++-+-+⎝⎭所以1221111112224233557212133132n c c c n n n ⎛⎫+++<+-+-++-=+-< ⎪-++⎝⎭,故不等式得证.【经典例题3】已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ，（1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <．【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析．【详解】（1）由题意11n n a na n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合．所以n a n =（*n N ∈）；（2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<，当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---，因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-，则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解. 【经典例题4】证明:12311115 (212121213)n ++++<----【解析】令121n na =-,则1111212111212222n n n n n n n n a a a a ++++--=<=⇒<-- 又因为1211,3a a ==,由于不等式右边分母为3 ,因此从第三项开始放缩,得21121222111115321122312n n n a a a a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++<++++=+<⎪⎝⎭-故不等式得证.【经典例题5】已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 【答案】（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.【详解】（1）证明：1111122211222222n n n n n n nn n n n n na a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为1的等差数列， ∴1(1)12nn a n n =+-=，∴2n n a n =⋅. （2）∵1231222322n nS n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，两式相减得：123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，()1212212n n n n S +-=-⋅--，∴1(1)22n n S n +=-+.（3）证明：∵2n n a n =⋅，∴11(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n n n a a n +-=+⋅，当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>， ∴111(2)22n n n +<+⋅，∴21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----234111112222n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅< 111421111122212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【练习1】已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=．则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<．法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =<=---，那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意.【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．【答案】（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =，当2n ≥时，112n n n S na a =+-①，()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+， 11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++.【练习3】已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由函数()32x f x x=-，在数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，得：132n n n a a a +=-，上式两边都倒过来，可得：11n a +＝32n na a -＝3n a ﹣2，∴11n a +﹣1＝3n a ﹣2﹣1＝3n a ﹣3＝3（1n a ﹣1）．∵11a ﹣1＝3．∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1），可知：11n a -＝3n ，∴a n ＝131n +，n ∈N*．∵当n ∈N*时，不等式131n +＜13n成立． ∴S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝2121111111 (313131333)nn +++<++++++＝11133113n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭-＝12﹣12•13n＜12．∴1S 2n <．【练习4】已知函数2()2f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2nb 的大小；（2）记)*1n nc n N b =∈试证1240039c c c ++⋯+<. 【答案】（1）12bnn b +<；（2）证明见解析. 【详解】（1）2()2f x x x ∴=-，故22n S n n =-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==-适合上式，因此()*23n a n n N =-∈.从而1,1,22nb nn n b n b n +==+=，当2n ≥时，()01211 1nn n n C C n =+=++⋯>+故122nb nn b +<=（2）1n n c b n=11c =，()*2(1),21n n n N n n n n n n =<=-∈≥++- )12400 (12212)32 (2)400399c c c +++<++++400139==.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数()f n 的不等关系,即12()n a a a f n +++<或者数列前n 项积与函数()f n 的不等关系,即12n a a a ⋅⋅⋅<()f n 的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将()f n 看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对n a 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列*113,31,2n n a a a n N +==-∈ (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-,求证:数列{}n b 是等比数列。

专题20 放缩法证明数列不等式(练习及答案)-高考数学二轮专题必考点专练

专题20：放缩法证明数列不等式题型一：先求和再证明不等式典型例题例1(2021·全国乙)设{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<S n2．变式训练练1已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，b2=a1+a2，a3=2b3−6．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=1b n b n+2，数列{c n}的前n项和为T n，证明：15≤T n<13．练2已知数列{a n }的首项a 1=3，前n 项和为S n ，a n+1=2S n +3，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 3a n ，求数列{b n a n}的前n 项和T n ，并证明：13≤T n <34．题型二：先放缩再求和证明不等式典型例题例2(2014·全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1． (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32．变式训练练3已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *．(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1．练4已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n<710(n ∈N *)．专题训练1.数列{a n}中，a1＝12，a n+1=a n2a n2−a n+1(n∈N∗)．(1)求证：a n＋1<a n；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n<1．2.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1a n=2S n,n∈N∗（1）求证：数列{S n2}是等差数列（2）记数列b n=2S n3,T n=1b1+1b2+⋯+1b n，证明：1√n+1<T n≤32−√n.3.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2(1+1n )2a n,n∈N+（1）求证：数列{a nn2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n ，求证：c1+c2+⋯+c n<1724.4.已知数列{a n}的前n项和S n=na n−3n(n−1),n∈N∗，且a3=17.（1）求a1；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}的前n项和T n，且满足b n=√nS n ，求证：T n<23√3n+2.5.已知数列{a n}满足a1=14,a n=a n−1(−1)n a n−1−2(n≥2,n∈N).（1）试判断数列{1a n+(−1)n}是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=a n sin(2n−1)π2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：对任意的n∈N∗,T n<47.。

放缩法妙解不等式问题(学生版)

放缩法妙解不等式问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=1ae x-1+x，其中a∈R且a≠0．(1)设a>0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或0<a≤2e时，f(x)≥12ax(x≥-1)．例2.已知函数f(x)=(x2-2x+2)e x-12ax2(a∈R)．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a≤-2时，f(x)≥2．例3.已知函数f(x)=2ln x+sin x+1，函数g(x)=ax-1-b ln x(a，b∈R，ab≠0)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)≥0．(3)证明：f(x)<(x2+1)e sin x．例4.已知函数f(x)=ae x(a∈R)，g(x)=ln xx+1．(1)当a=1e时，求函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1e时，证明：f(x)-g(x)≥0．例5.已知函数f(x)=e x-ax3．(1)若x∈(0,+∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)证明：当a=23时，f(x)>0；(3)证明：当n∈N*时，1e +2e2+3e3+⋯+ne n<3．例6.已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(x-1)+1．(1)设G(x)=f(x)-g(x)，x=3是G(x)的极值点，求函数G(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e2时，f(x)≥g(x)．例7.已知函数f(x)=e x-1-x-ax2，其中e为自然对数的底数．(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x>0，证明：(e x-1)ln(x+1)>x2．【同步练习】1.已知函数f(x)=ln(x-a)x．(1)若a≤-1．证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；(2)若x>0，证明：e x ln(x+1)>x2+ln(x+1)(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)2.已知函数f(x)=x2+x+e2x ln x，x∈(e,+∞)．(1)证明：当x∈(e,+∞)时，ln x>3x-ex+e；(2)若存在x0∈[n，n+1)(n∈N*)使得对任意的x∈(e,+∞)都有f(x)≥f(x0)成立．求n的值．(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)．3.已知函数f(x)=x ln x-ae x+a，其中a∈R．(1)若f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)<cos x成立．4.已知函数f(x)=e-x13x3-2x+2sin x+1，g(x)=sin x+cos x+x2-2x．(1)求g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；(2)证明：对任意的实数a≤1，g(x)≥af(x)在[0，+∞)上恒成立．5.已知函数f(x)=e x+cos x-2，f′(x)为f(x)的导数．(1)当x≥0时，求f′(x)的最小值；(2)当x>-π2时，xex+x cos x-ax2-2x≥0恒成立，求a的取值范围．6.已知函数f(x)=ae x-b ln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=1e -1x+1．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)证明：f(x)>0．7.已知函数f(x)=ae x-b ln xx，在点(1，f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1．(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1．8.已知函数f(x)=me x-ln x-1．(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当m≥1时，证明：f(x)>1．-1，a∈R．9.已知函数f(x)=ln x+ax(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值．(2)证明：e x+(ln x-1)sin x>0．。

高中数学-放缩法(详解)

放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ；（程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四：【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

用放缩法证明数列中的不等式 (1)

1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式，实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
模型
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型：； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1时，不等式显然也成立.
例3 (2009珠海二模理20第(2)问) 1 1 1 求S 1 的整数部分. 2 3 100 1 分析不能直接求和式 S ，须将通项放缩为裂项相消模型后求和. n

几种常见的放缩法证明不等式的方法

For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1）用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。

放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

放缩法技巧全总结

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(1n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n n n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn n a a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nnααααααα解析:构造函数x x x f ln )(=,得到2ln ln n n n n ≤α,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n n nn n n nn n函数构造形式:x x x x 11ln ,ln -><当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<n i n ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n nin --==<⋅--⎰取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(>+>++⇔>+->+x x x x x x x (加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知11111,(1).2n n a a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)F E D C BAn-inyxO放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21n n n n a 211ln 2+++≤。

放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13)3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n nn111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n n nn n n n n n当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<n in ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

放缩法技巧及经典例题讲解

放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）<>11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-）（7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n nS na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。

2023年高考备考导数与放缩法综合应用(含答案)

高考材料高考材料专题13 导数与放缩法综合应用一、解答题1．〔2023·全国·高三专题练习〕已知函数. ()1ln xf x x x=+〔1〕假设时，，求实数的取值范围； 1≥x ()1mf x x ≥+m 〔2〕求证：.()()2*11ln ln 11nk n n k k n N n =--++>∈⎡⎤⎣⎦+∑（答案）〔1〕；〔2〕证明见解析． 2m ≤（解析）（分析）〔1〕先别离参数转化为求函数的最小值，通过求导函数，进而分析单调性再求得最小值得出结果；〔2〕由〔1〕知：恒成立，即，则累加后结合放缩法即可证明命题． ()21f x x ≥+2ln 1>-x x ()22ln 111+>-+⎡⎤⎣⎦+n n n n （详解）解：〔1〕不等式，即为，()1m f x x ≥+()()11ln x x m x++≤记，()()()11ln x x g x x++=故， ()()()()()'2211ln 11ln ln x x x x x x x g x x x ⎡⎤++-++-='⎣⎦=令，则， ()ln h x x x =-()11h x x'=-∵，∴在单调递增， 1≥x ()()0,h x h x '≥[)1,+∞故，故， ()()min 110h x h ==>()0g x '>故在上单调递增， ()g x [)1,+∞故，故； ()()min 12g x g ==2m ≤〔2〕由〔1〕知：恒成立， ()21f x x ≥+即， 122ln 1112x x x x x-≥=->-++令，则，()1x n n =+()()222ln 11111+>-=-+⎡⎤⎣⎦++n n n n n n 故，()()2222ln 121,ln 2311223⨯>-+⨯>-+， ()()2222ln 341,,ln 11341⨯>-++>-+⎡⎤⎣⎦+ n n n n 累加得：，()21111ln ln 1212111nk n n k k n n n n n =--⎛⎫++>-->-+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭∑故． ()()2*11ln ln 11nk n n k k n N n =--++>∈⎡⎤⎣⎦+∑2．〔2023·上海·闵行中学高三开学考试〕定义在上的函数满足：假设对任意的实数，有R ()f x x y ≠，则称为函数．()()y x x f f y -<-()f x L 〔1〕推断和是否为函数，并说明理由； ()21f x x =+()211g x x =+L 〔2〕当时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程[],x a b ∈L ()f x G [],G a b ⊆x ()f x x =在区间上有且只有一个实数根；[],a b 〔3〕设为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有()f x L ()33f ={}()n a n *∈N 11a =()()112n n n a f a a +=+n *∈N ．13n n a a +<<（答案）〔1〕不是函数，是函数，理由见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析. ()f x L ()g x L （解析）（分析）(1)利用给定定义结合已知函数式直接验证即可得解；(2)构造函数，利用零点存在性定理及反证法即可得解；()(),[,]h x f x x x a b =-∈(3)依据给定条件，先证得，然后利用数学归纳法证明对任意正整数成立. 123a a <<13n n a a +<<（详解）(1)，，12,R x x ∀∈12x x ≠，显然值可以趋近于正无穷大，即不成立，2212121212|()()|||||||f x f x x x x x x x -=-=+⋅-12||x x +1212|()()|||f x f x x x -<-所以函数不是函数；()f x L ， 12121222221212||11|()()|||||11(1)(1)x x g x g x x x x x x x +-=-=⋅-++++而，则恒成立， ()()()()()2222121212122222222212121212111111222111111x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++≤≤=<++++++++1212|()()|||g x g x x x -<-所以函数是函数；()g x L (2)令，显然的图象是上的一条连续曲线，而值域为，且， ()(),[,]h x f x x x a b =-∈()h x [,]a b ()f x G [],G a b ⊆于是得，，由零点存在性定理知，方程在内有实根，()()0h a f a a =-≥()()0h b f b b =-≤()0h x =[,]a b 假设在内有两个不同的实根，则有，即， ()()0h x f x x =-=[,]a b 34,x x 3344(),()f x x f x x ==3434|()()|||f x f x x x -=-而函数是函数，对上述的，必有与矛盾， ()f x L 34,x x 3434|()()|||f x f x x x -<-3434|()()|||f x f x x x -=-所以关于的方程在区间上有且只有一个实数根；x ()f x x =[],a b高考材料高考材料(3)因函数是函数，又，，于是得，即， ()f x L ()33f =11a =11|()(3)||3|2f a f a -<-=11()5f a <<，从而有，2111[()](1,3)2a f a a =+∈123a a <<用数学归纳法证明不等式：，， 13n n a a +<<n *∈N ①当时，不等式显然成立，1n =②假设时，不等式成立，即，,N n k k *=∈13k k a a +<<，即有，则， ()()()()11113333k k k k f a f f a f a a ++++-≤-<-=-()()11336k k f a a f +++<+=()211132k k k a f a a +++⎡⎤=+<⎣⎦又，即， ()()()()1111k k k k k k k k f a f a f a f a a a a a ++++-≤-<-=-()()11k k k k f a a f a a +++<+则，即， ()()111122k k k k f a a f a a ++⎡⎤⎡⎤+<+⎣⎦⎣⎦12k k a a ++<从而得，即时，不等式成立， 123k k a a ++<<1n k =+综合①②得，对任意，有.n *∈N 13n n a a +<<3．〔2023·宁夏·银川一中三模〔理〕〕已知函数，其中 21()e 2xf x k x =-.k ∈R (1)假设有两个极值点，记为 ()f x 1212,(),x x x x <①求的取值范围； k ②求证：； 122x x +>(2)求证：对任意恒有 ,n *∈N 22212112 1.23e (1)e (1)ek n k n k n --+++++<++ （答案）(1)①；② 证明见解析； 10e<<k (2)证明见解析. （解析）（分析）〔1〕① 由题得有两个变号零点，设求出函数的单调性即得解；② 利用极值点偏移的方法证明； e x x k =(),e xxg x =〔2〕证明，再利用裂项相消求和即得证.21e 11(1)1n n n n n -<-++(1)解：〔1〕由题得有两个变号零点， ()e 0x f x k x '=-=所以有两个变号零点， e xxk =设 1(),(),e e x xx xg x g x -'=∴=当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，1x <()g x 1x >()g x当时，，当时，，， 0x <()0g x <0x >()0>g x 1(1)eg =所以. 10e<<k (2)设， ()()(2),(1)h x g x g x x =-->所以， 211()()[(2)]=0,(1)e ex x x xh x g x g x x ---'''=--+>>所以在单调递增，又， ()h x (1,)+∞(1)0h =所以又， ()(2),g x g x >-121x x <<所以22()(2),g x g x >-所以因为，所以. 12()(2),g x g x >-221x -<12122,+2x x x x >-∴>(2)证明：由〔1〕知，所以 1,e e x x ≤11,e x x-≤所以对任意恒有， ,n *∈N 2121111(1)e (1)(1)1n n n n n n n n -≤<=-++++所以 2221211211111(1()()23e (1)e (1)e 2231k n k n k n n n --+++++<-+-++-+++ 所以. 2221211211123e (1)e (1)e 1k n k n k n n --+++++<-<+++ 4．〔2023·全国·高三专题练习〕已知函数. ()2()ln 12xf x x x =+-+〔1〕证明：时，； 0x >()0f x>〔2〕证明：1113521n ++⋅⋅⋅+<+（答案）〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. （解析）〔1〕由，即在定义域内为增函数，即可证明结论. 22()0(1)(2)x f x x x '=>++()f x 〔2〕依据〔1〕结论，令可得，将所得的n 个式子相加，结合对数运算性质、放缩法即可1x n =21ln 21n n n+<+*n N ∈证不等式. （详解）〔1〕时，， 0x >22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=>++++故为增函数，； ()f x ()()00f x f >=〔2〕由〔1〕知：， 2ln(1)2xx x +>+令时，有， 1x n =12121ln 1ln 1212n n n n n n⋅+⎛⎫<+⇒< ⎪+⎝⎭+高考材料高考材料故，，…，， 22ln 31<23ln 52<21ln 21n n n+<+将式相加得：，n 222231ln ln ln 352112n n n ++++<++++ 231ln ln(1)12n n n +⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴. 1111ln(1)35212n n +++<+=+ 5．〔2023·云南师大附中高三阶段练习〔文〕〕已知函数.()ln f x x =〔1〕证明：当时，恒成立；2x >()2532xf x x -+<<〔2〕设数列的通项公式为，记为的前项和，求证：.{}n a 2222n a f n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭n S {}n a n 213364n n S n +<<+〔参考数据：〕 2.71828e = 1.41421= （答案）〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. （解析）（分析）〔1〕构造函数，利用导数得出，可证得成立，构造函数()()253g x f x x =+-()()20g x g >>()253f x x >-+，利用导数得出可证得，综合可证得结论成立； ()()2x h x f x =-()()20h x h <<()2xf x <〔2〕由〔1〕中的结论可得出，利用放缩法得出，22225112132n n n a n n n n +-+<<++++211111131222n a n n n n ⎛⎫+-<<+- ⎪+++⎝⎭结合裂项求和法可证得结论成立. （详解）证明：〔1〕令，可得， ()()2525ln 33g x f x x x x =+-=+-()22122x g x x x x-'=-=当时，，所以，函数在上单调递增．2x >()0g x '>()g x ()2,+∞又，而，，，()22ln 23g =-22ln 2332e e e -=-328=3223e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.83e =≈>，在上恒成立． ()22ln 203g ∴=->()253f x x >-+()2,+∞令，则， ()()ln 22x x h x f x x =-=-()11222xh x x x-'=-=当时，，所以，函数在上单调递减． 2x >()0h x '<()h x ()2,+∞又，在上恒成立． ()2ln 21ln 2ln 0h e =-=-<()2xf x ∴<()2,+∞综上，当时，恒成立；2x >()2532xf x x -+<<〔2〕，而，22222ln 222n a f n n n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 22222n n +>+所以令〔1〕中不等式的， 2222242222n n x n n n n++=+=++由〔1〕可得，22225112132n n n a n n n n+-+<<++++则一方面，， ()()()()()222221125521212133331211n n n n a n n n n n n +-+>-+=-=+>+++++++211312n n =+-++， 211111121121121323341232232336n S n n n n n n n ⎛⎫∴>+-+-++-=+->+-=+ ⎪+++⎝⎭ 另一方面，，()111111222n a n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪++⎝⎭， 111111111111232422212n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴<+-+-++-=++-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭综上，有．213364n n S n +<<+6．〔2023·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习〕已知函数，满足：①对任意，都有(),y f x x N +=∈,a b N +∈；()()()()af a bf b af b bf a +>+②对任意都有． *n N ∈[()]3f f n n =〔1〕试证明：为上的单调增函数； ()f x +N 〔2〕求；(1)(6)(28)f f f ++〔3〕令，试证明：(3),nn a f n N +=∈121111.424n n n a a a <+++<+ （答案）〔1〕证明见解析；〔2〕66；〔3〕证明见解析. （解析）（分析）〔1〕对①中等式变形，利用定义法推断出的单调性；()f x 〔2〕先假设，依据条件确定出的值，即可求解出的值，再结合〔1〕的单调性确定出的()1f a =a ()()1,6f f ()28f 值，由此计算出结果；〔3〕依据条件推断出为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采纳放缩方法证明不等式. {}n a （详解）解：〔1〕由①知，对任意，都有， *,,a b N a b ∈<()(()())0a b f a f b -->由于，从而，所以函数为上的单调增函数；0a b -<()()f a f b <()f x *N 〔2〕令，则，显然，否则，与矛盾. ()1f a =1a …1a ≠()()()111f f f ==()()13f f =从而，而由，即得. 1a >((1))3f f =()3f a =又由〔1〕知，即.()(1)f a f a >=3a <于是得，又，从而，即.13a <<*a N ∈2a =()12f =高考材料高考材料又由知. ()3f a =()23f =于是，(3)((2))326f f f ==⨯=，， (6)((3))339f f f ==⨯=(9)((6))3618f f f ==⨯=，， (18)((9))3927f f f ==⨯=(27)((18))31854f f f ==⨯=，由于，(54)((27))32781f f f ==⨯=5427815427-=-=而且由〔1〕知，函数为单调增函数，因此. ()f x (28)54155f =+=从而.(1)(6)(28)295566f f f ++=++=〔3〕，()()()13333n n n n f a f f +==⨯=，. ()()()()1133n n n n a f f f f a a ++===1(3)6a f ==即数列是以为首项，以为公比的等比数列. {}n a 63∴16323(1,2,3)n n n a n -=⨯=⨯= 于是，显然， 21211(1)111111111133((1)1233324313n n n n a a a -+++=+++=⨯=--1111434n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭另一方面，1223(12)122212n n n nn n n C C C n =+=+⨯+⨯++⨯>+ 从而. 1111114342142nn n n ⎛⎫⎛⎫->-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭综上所述，. 121111424n n n a a a <+++<+ 7．〔2023·安徽省霍邱县第二中学高三开学考试〔理〕〕已知函数． ()ln 3f x a x ax =--(0)a ≠〔1〕商量的单调性；()f x 〔2〕假设对任意恒成立，求实数的取值范围〔为自然常数〕； ()(1)40f x a x e +++-≤2[,]x e e ∈a e 〔3〕求证：． 22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)1234n++++++++<*(2,)n n ≥∈N （答案）〔1〕答案见解析；〔2〕；〔3〕证明见解析.212e e a --≤（解析）〔1〕求导得到，然后分和两种求解商量求解. '(1)()a x f x x-=0a >0a <〔2〕令,求导得到，令，得到()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-'()a x F x x +='()0a x F x x+==x a =-，然后分，和三种情况商量求解.a e -≤2a e -≥2e a e <-<〔3〕令得到，则，由〔1〕知在上单调递增，则有1a =-()ln 3f x x x =-+-(1)2f =-()ln 3f x x x =-+-[1,)+∞即对一切成立，从而，然后利用裂项相消法求解. ()(1)f x f >ln 1x x <-(1,)x ∈+∞2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---（详解）〔1〕函数的定义域为，， ()0+∞，'(1)()a x f x x-=当时，的单调增区间为，单调减区间为； 0a >()f x (0,1][1,)+∞当时，的单调增区间为，单调减区间为； 0a <()f x [1,)+∞(0,1]〔2〕令，()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-则，令，则 '()a x F x x +='()0a x F x x+==x a =- 〔a 〕假设，即则在是增函数， a e -≤a e ≥-()F x 2[,]e e 无解.22max ()()210F x F e a e e ==++-≤〔b 〕假设即，则在是减函数，2a e -≥2a e ≤-()F x 2[,]e e 所以max ()()10F x F e a ==+≤1a ≤-2a e ≤-〔c 〕假设，即，在是减函数，在是增函数，2e a e <-<2e a e -<<-()F x [,]e a -2[,]a e -可得，可得22()210F e a e e =++-≤212e e a --≤()10F e a =+≤1a ≤-所以 2212e e e a ---≤≤综上所述 212e e a --≤〔3〕令〔或〕此时，所以， 1a =-1a =()ln 3f x x x =-+-(1)2f =-由〔1〕知在上单调递增，()ln 3f x x x =-+-[1,)+∞∴当时，即，∴对一切成立， (1,)x ∈+∞()(1)f x f >ln 10x x -+->ln 1x x <-(1,)x ∈+∞∵，则有， *2,n n N ≥∈2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---所以 22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n ++++++++.1111111(1)(()...(223341n n <-+-+-+--111n=-<8．〔2023·四川·石室中学高三期末〕已知函数的图象上有一点列，点在()()()3log 101x f x x x +=>+()(),n n n P x y n N *∈n P x轴上的射影是，且〔且〕，． (),0n n Q x 132n n x x -=+2n ≥n *∈N 12x =〔1〕求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；{}1n x +{}n x 〔2〕对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围； n []1,1m ∈-21363n t mt y -+>t 〔3〕设四边形的面积是，求证：． 11n n n n P Q Q P ++n S 1211132nS S nS +++< （答案）〔1〕证明见解析，；〔2〕；〔3〕证明见解析.31nn x =-()(),22,-∞-+∞ （解析）高考材料高考材料（分析）〔1〕利用等比数列的定义可证得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； {}1n x +{}n x 〔2〕求得，利用数列单调性求得数列的最大项为，由题意可知，]时，不等式3n n n y ={}n y 113y =[]1,1m ∈-恒成立，设，依据题意可知关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；220t mt ->()22g m mt t =-+t t 〔3〕求得，进而可求得，利用放缩法可得，进而可证得所证不等式成立. 3n n n nP Q =413nn S +=11131n nS n n ⎛⎫<- ⎪+⎝⎭（详解）〔1〕当且时，，则，且， 2n ≥n *∈N 132n n x x -=+111133311n n n n x x x x ---++==++113x +=所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，{}1n x +33，则；11333n n n x -∴+=⨯=31n n x =-〔2〕， ()()33log 1log 3133n n n n n n n x ny f x x +====+则，所以，数列单调递减， 1111120333n n n n n n n ny y ++++--=-=<{}n y 所以，数列的最大项为，可知对任意的，， {}n y 113y =n *∈N 21363n t mt y -+>则，化简得， 2113633t mt -+>220t mt ->当]时，不等式恒成立，[]1,1m ∈-220t mt ->设，则，解得或. ()22g m mt t =-+()()22120120g t t g t t ⎧-=+>⎪⎨=->⎪⎩2t <-2t >因此，实数的取值范围是；t ()(),22,-∞-+∞ 〔3〕由〔2〕可得，则， 3n n n nn P Q y ==11113n n n n P Q ++++=所以，，()()()1111111131312233n nn n n n n n n n n n n S x x P Q P Q ++++++⎛⎫=-+=⨯---⋅+ ⎪⎝⎭413n +=， ()()()113121111121241414414414443n n n nS n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫====-<- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1131n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因此，.121111111113133313222311n S S nS n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故所证不等式成立. （点睛）此题考查等比数列定义的证明，同时也考查了数列不等式恒成立以及数列不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．〔2023·山东·模拟预测〕已知函数.()2ln(2)2f x x x =--〔1〕求证：有且仅有2个零点；()f x 〔2〕求证：. ()22*1ln (1)(21)2(2,1)nk k n n N n n n k=-++≥∈∑＜（答案）〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. （解析）（分析）〔1〕先求出函数的单调区间，得到在上存在唯—零点，在上存在唯—的零点，即得有且()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 仅有2个零点；〔2〕设，，证明，令，得，得到，()ln 1g x x x =-+0x >ln 11x x x ≤-()2*x k k N =∈222ln 11k k k≤-222ln11111≤-，，…，，相加化简即得. 222ln 21122≤-222ln 31133≤-222ln 11n n n ≤-()21*2ln (1)(21)22,(1)ni n n N k n n kn =≥+<+∈-∑（详解）解：〔1〕由题意，函数的定义域为. ()f x (0,)+∞则. 121()2x f x x x-'=-=令，得， ()0f x '=12x =当时，，单调递减；10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ()0f x '<() f x 当时，，单调递增，1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x ()0f x '>()f x 所以在处取得极小值，且极小值为， ()f x 12x =112102f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭而，故在上存在唯—零点，22222224202e f e e e ⎛⎫=--=-=-> ⎪⎝⎭()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为，，故在上存在唯—的零点， 2221112202f e ee ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，有且仅有2个零点. ()f x 〔2〕设，， ()ln 1g x x x =-+0x >则，可得当时，单调递增， 11()1xg x x x-'=-=(0,1)x ∈()g x 当时，单调递减，所以，所以. (1,)x ∈+∞()(1)0g x g ≤=ln 1≤-x x 即〔当且仅当时，取等号〕. ln 11x x x≤-1x =令，得〔，当且仅当时，取等号〕 ()2*x k k N =∈222ln 11k k k≤-*N k ∈1k =所以依次令，得到1,2,3,,k n =⋯，，，…， 222ln11111≤-222ln 21122≤-222ln 31133≤-222ln 11n n n ≤-高考材料高考材料所以222222222222ln1ln 2ln3ln 11111111123123n n n++++-+-+-++-……22211111111232334(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫=--+++--+++ ⎪⎢⨯⨯+⎝⎭⎣⎦…＜…111111123341n n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭…11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭(1)(21)2(1)n n n -+=+即 ()21*2ln (1)(21)22,(1)ni n n N k n n kn =≥+<+∈-∑10．〔2023·浙江·效实中学模拟预测〕已知为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1. ()2ax bf x x c+=+R 1x =()f x 〔1〕写出的解析式. ()f x 〔2〕假设，，求证 112x =()1n n x f x +=〔ⅰ〕；1n n x x +>〔ⅱ〕. ()()()2221223112231516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++⋅⋅⋅+<（答案）〔1〕；〔2〕〔ⅰ〕证明见解析；〔ⅱ〕证明见解析. ()221xf x x =+（解析）（分析）〔1〕先利用求出，再依据当时，取最大值为1可求出，从而得到的解析式. ()0f b 1x =()f x ,a c ()f x 〔2〕先利用数学归纳法证明，从而可证.再依据可得，利用根本不等式可证()0,1n x ∀∈1n n x x +>112x =112n x ≤<，再利用裂项相消法可证原不等式成立，也可以利用导数证明，从而得到，利1516n n x x +-<323110n n n x x x -≤+1310n n x x +-≤用裂项相消法可证原不等式成立. （详解）〔1〕因为的定义域为，得，又为奇函数， ()2ax bf x x c +=+R 0c >()f x 所以，得；又，所以. ()00b f c ==0b =()111af c==+10a c =+>当时，.0x ≤()()210c x f x x c+=≤+当时，，当且仅当0x >()()211c x c f x c x cx x++==≤++x =也就是当，x =()max f x =1==所以，，即的解析式为， 1c =2a =()f x ()221xf x x =+此时，为奇函数，故的解析式为. ()()221x f x f x x -=-=-+()f x ()f x ()221xf x x =+〔2〕〔ⅰ〕先证明， ()0,1n x ∀∈当时，，符合； 1n =()110,12x =∈设当时，有， n k =()0,1k x ∈则当时，因为，故. 1n k =+1221kk k x x x +=+10k x +>又，故，故.()2121011k k kx x x +-=-<+-11k x +<()10,1k x +∈ 由数学归纳法可知.()0,1n x ∀∈因为，故. ()231222120111n n n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x +---=-==>+++1n n x x +>〔ⅱ〕法一〔根本不等式+裂项相消〕：因为，所以， 01n x <<()()()3122211111141n n n nn n n n n n n x x xx x x x x x x x +++--==-⋅≤⋅+++又因为， 21121121n n n n x x x x +=+++-+115416n n x x +-≤=<所以，()()211111151116n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎛⎫-=-⋅<- ⎪⎝⎭所以()()()222122311223112231151111115121616nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由〔ⅰ〕可知，，所以，得. 1112n x +≤<151521616n x +⎛⎫-< ⎪⎝⎭()()()2221223112231516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++⋅⋅⋅+<法二〔函数的值域+裂项相消〕：因为，所以，由〔ⅰ〕可知，，设， 01n x <<3121n n n n n x x x x x +--=+1112n x +≤<()321x x g x x -=+112x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以()()()()()2232213121x x x x x g x x -+--'=+，()()()()()()222322222121252011x x x x x x x x -+---+==<++高考材料高考材料得在时单调递减，所以，得；()g x 1112n x +≤<()13210g x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1310n n x x +-≤所以，()()211111131110n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎛⎫-=-⋅≤- ⎪⎝⎭由〔ⅰ〕可知，，()()()222122311223112231131111113121010nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112n x +≤<所以， 1121n x +-<，证毕. ()()()2221223112231131352101016nn n n n x x x x x x x x x x x x x +++---⎛⎫++⋅⋅⋅+≤-<< ⎪⎝⎭11．〔2023·全国·高三课时练习〕已知函数，其中． 2()ln f x a x x =+a R ∈〔1〕商量的单调性；()f x 〔2〕当时，证明：；1a=2()1f x x x ≤+-〔3〕求证：对任意的且，都有：．*n N ∈2n …222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭〔其中为自然对数的底数〕．2.7183e ≈（答案）〔1〕当时，函数在上调递增；当时，函数在上单调递减，在0a ≥()f x (0,)+∞0a <()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析. （解析）（分析）〔1〕求出导函数，按照和商量，确定的正负，得的单调区间；()'f x 0a ≥0a <()'f x ()f x 〔2〕不等式即为，即．引入函数，由导数确定其最大值后可证结论． ln 1≤-x x ln 10x x -+≤()ln 1g x x x =-+〔3〕关键是如何应用刚刚所证得的函数不等式，由〔2〕，令，让，这些不等式相加ln 1x x <-211x k =+2,3,,k n = 后右边利用放缩法证明和式，可得证结论． 1<（详解）解：〔1〕函数的定义域为，，()f x (0,)+∞22()2a a xf x x x x'+=+=①当时，，所以在上单调递增，a ≥()0f x '>()f x (0,)+∞②当时，令，解得0a <()0fx '=x =当，所以，所以在上单调递减； 0x <<220a x +<()0f x '<()f x ⎛ ⎝当，所以，所以在上单调递增． x >220a x +>()0f x '>()f x ⎫+∞⎪⎪⎭综上，当时，函数在上调递增；0a ≥()f x (0,)+∞当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 0a <()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭〔2〕当时，，要证明， 1a =2()ln f x x x =+2()1f x x x ≤+-即证，即． ln 1≤-x x ln 10x x -+≤设，则，令得，． ()ln 1g x x x =-+1()xg x x-'=()0g x '=1x =当时，，当时，． (0,1)x ∈()0g x '>(1,)x ∈+∞()0g x '<所以为极大值点，也为最大值点．1x =所以，即．故． ()(1)0g x g ≤=ln 10x x -+≤2()1f x x x ≤+-〔3〕证：由〔2〕，〔当且仅当时等号成立〕令，则， ln 1≤-x x 1x =211x n =+2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭∴222222*********ln 1ln 1ln 123231223(1)n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ， 111111111ln 12231e n n n =-+-++-=-<=-L 即，22221111ln 1111ln 234e n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以． 222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．〔2023·四川·成都七中高三期中〕已知函数，其中是的导函数. ()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥()'f x ()f x 假设.[]*11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N 〔1〕求的表达式；()n g x 〔2〕求证：，其中n ∈N x .()()()()2222211213111n g g f g n n -+-+-++-<+ （答案）〔1〕；〔2〕证明见解析. ()*N 1n xg x n nx=∈+（解析）（分析）〔1〕依据已知条件猜测，利用数学归纳法证得猜测成立. ()1n xg x nx=+〔2〕利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立. （详解）〔1〕由题意可知，， ()01xg x x x=≥+由已知 ()()()12111x x g x g x g g x g x x ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎣⎦++⎝⎭，高考材料高考材料，， 11211xx x x x x+==+++()313xg x x =+ ，猜测，下面用数学归纳法证明： ()*N 1n xg x n nx=∈+〔i 〕当 n =1 时，，结论成立： ()11xg x x=+假设 n =k 〔k ≥1，k ∈N x 〕时结论成立，即， ()1k xg x kx=+那么，当n =k +1〔k ≥1，k ∈N x 〕时，，即结论成立. ()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++⎡⎤====⎣⎦+++++由〔i 〕〔ii 〕可知，结论对 n ∈N x 成立. 〔2〕∵， ()01xg x x x=≥+，∴， ()()221111111x g x g n x x n==-⇒-=-++∴g 〔12﹣1〕+g 〔22﹣1〕+g 〔32﹣1〕+…+g 〔n 2﹣1〕222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111123n n ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()11111223341n n n ⎡⎤-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎢⎥⎣⎦ ＜11111112231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 21111n n n n ⎛⎫=--=⎪++⎝⎭∴g 〔12﹣1〕+g 〔22﹣1〕+g 〔32﹣1〕+…+g 〔n 2﹣1〕. 21n n <+13．〔2023·全国·高三专题练习〕已知二次函数满足，，，. ()f x (2)()f x f x -=-()11f -=(0)2f =()x g x e =〔1〕求的解析式；()f x 〔2〕求证：时，； 0x ≥2()()g x f x ≥〔3〕求证：.()*11112(1)12(2)22()2n N g g g n n +++<∈+++ （答案）〔1〕〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析； 2()22f x x x =++（解析）（分析）〔1〕由，得的对称轴为，再利用待定系数法可求得结果；()2()f x f x -=-()f x 1x =-〔2〕作差构造函数，求导得，再构造函数，求导可得其最2()2e 22x x x x ϕ=---'()222x x e x ϕ=--()222x h x e x =--小值为0，所以，可知为上的增函数，所以时，，即； ()0x ϕ'≥()ϕx R 0x ≥()0x ϕ≥2()()g x f x ≥〔3〕由〔2〕知，即.易知时，得，2()()g x f x ≥22()32g x x x x +≥++*x ∈N 211112()3212g x x x x x x <=-+++++，再裂项求和后放缩可证不等式.1112()12g n n n n <-+++（详解）〔1〕由，得的对称轴为， ()2()f x f x -=-()f x 1x =-所以可设，()2()1f x a x c =++由 (1)1,1,(0)21,f a f c ⎧-==⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，即. 2()(1)1f x x ∴=++2()22f x x x =++〔2〕设，2()2()()2e 22x x g x f x x x ϕ=-=---，'()222x x e x ϕ=--令，即， ()'()x h x ϕ=()222x h x e x =--则，'()22x h x e =-由，'()00,'()00h x x h x x <⇒<>⇒>在区间上单调递减，在区间上单调递增，.()h x (),0-∞()0,∞+min ()(0)0h x h ==∴，'()0x ϕ≥∴在上单调递增， ()x ϕR ∴时，， 0x ≥()(0)0x ϕϕ≥=∴.2()()g x f x ≥〔3〕由〔2〕知即. 2()()g x f x ≥222()222()32g x x x g x x x x ≥++⇔+≥++易知时，，，*x ∈N 2()0g x x +>2320x x ++>，2111112()32(1)(2)12g x x x x x x x x ∴<==-+++++++所以，1112()12g n n n n <-+++.1111111111112(1)12(2)22()233412222g g g n n n n n ∴+++<-+-++-=-<++++++ 14．〔2023·吉林吉林·高三期末〔理〕〕已知函数.()21ln 2f x x x =+-高考材料高考材料〔1〕求函数在区间上的最值；()f x 1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦〔2〕求证：且.2222*2222ln1ln 2ln 3ln 13(12312n n n N n n +++⋅⋅⋅+<+-∈+2)n ≥（答案）〔1〕，；〔2〕见解析 ()min 2f x =()max 93ln 2f x =-（解析）（分析）(1)对f (x )求导,然后推断f (x )的单调性,再求出f (x )在区间上的最值即可;1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)依据(1)可得,然后令,可得,再利用放缩法证明不等式ln 11x x x ≤-()2*x n n N =∈()2*22ln 11n n N n n≤-∈成马上可. 22222222ln1ln 2ln 3ln 1312312n n n n +++⋅⋅⋅+<+-+（详解）解:(1)∵,∴, ()21ln 2(0)f x x x x =+->()121'2x f x x x-=-=令,得;令,得, ()'0f x >12x >()'0f x <102x <<∴在上单调递减,在上单调递增,()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴在上单调递减,在上单调递增,()f x 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴当时,,1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()min 122f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又,,13ln 242f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()493ln 2f =-∴,()13493ln 2ln 242f f ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭154ln 22=-15412>-⨯0>∴,∴当时,,()144f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 493ln 2f x f ==-∴在区间上的最小值为2,最大值为.()f x 1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦93ln 2-(2)由(1)知,,∴,当且仅当时等号成立,21ln 22x x +-≥ln 221x x ≤-12x =∴,当且仅当时等号成立,即. ln 1≤-x x 1x =ln 11x x x≤-令,得,()2*x n n N =∈()2*22ln 11n n N n n≤-∈∴,,,…,, 222ln11111≤-222ln 21122≤-222ln 31133≤-222ln 11n n n ≤-∴ 222222222222ln1ln 2ln 3ln 11111111123123n n n +++⋅⋅⋅+≤-+-+-+⋅⋅⋅+- 222111123n n ⎛⎫=--++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()111123341n n n ⎡⎤<--++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦111111123341n n n ⎛⎫=---+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭ 1312n n =+-+即且2222*2222ln1ln 2ln 3ln 13(12312n n n N n n +++⋅⋅⋅+<+-∈+2)n ≥15．〔2023·天津市宝坻区第—中学三模〔理〕〕已知函数〔为自然对数的底数〕. ()e 1x f x ax =--e 〔1〕求函数的单调区间；()f x 〔2〕当时，假设对任意的恒成立，求实数的值；0a >()0f x ≥R x ∈a 〔3〕求证：. 22222232323ln 1ln 1...ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦（答案）〔Ⅰ〕答案见解析；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕证明见解析. 1a =（解析）（分析）〔1〕由题设，， ()e '=-x f x a 当时，在上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x R 当时，时，单调递减，0a >(,ln )x a ∈-∞()0f x '<()f x 时，单调递增．(ln ,)x a ∈+∞()0f x '>()f x 〔2〕由〔1〕知：时， 0a >min ()(ln )f x f a =所以，即恒成立，(ln )0f a ≥ln 10--≥a a a 记，则， ()ln 1(0)g a a a a a =-->()1(ln 1)ln g a a a '=-+=-所以在上，在上，(0,1)()0g a '>(1,)+∞()0g a '<所以在上递增，在上递减，则， ()g a (0,1)(1,)+∞()(1)0g a g ≤=所以，即．()0g a =1a =〔3〕时，， 1n =22332(31)2n n⨯=<-时，，2n ≥121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n ---⨯⨯⨯<==--------所以． 2133112(31)2231k nk nk =<+-<--∑2n ≥由〔2〕知：，即，则时，e 1x x ≥+ln(1)(1)x x x +≤>-0x >ln(1)x x +<综上，，即原不等式成立． 22222212323233ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)(31)n knn k k =⨯⨯⨯++++⋅⋅⋅++<<----∑高考材料高考材料。

用放缩法证明不等式时如何放缩

＋—
ｎ＋Ｃ以十Ｄ
又因为２＝（１＋１）ｃｎｏ＋ｃ＋ｃＡ＋ｃ＋ｃ１＋
十八槲１＞２川，所以ｎ）＞者。
３ “ 添舍” 放缩
＜２。
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
的氛围，为开展探究活动做好思想上、心理上的准备。在探究解决了学生的学习态度、学习习惯问题，使教学质量的提高和过程中，教师要通过巡视、观察、参与讨论等方式给学生以积学生学习能力的发展有了可靠保证。同时，也创设了富有生机
１分式放缩
一
证明：由题意知，（，ｚ）一ｎ丁＝
＂十ｌ
， ’ 十
Ｉ
一ｎ丁＝（１一
＂十ｌ
，＿十
ｌ
）一
ｒ一：：二１丝 ± ２
３，所以只须证２一＞２ｎ＋１，
ｎ＋ｌ
ｎ＋ｌ２１（ｎ＋１）（２１）’
个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式
又因为ｎＥＡｒ且
值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例１：已知ａ、ｂ、ｃ为三角形的三边，求证：１＜Ｌ＋
，
—
证明：由题设得ａ２＋ａｂ＋ｂａ＋ｂ，于是（口＋）＞ａ２＋ａｂ＋＋— ＋ — ，又口，ｂ，ｃ为三角形的边，故＋ａ＋ｂ＋ｃ ’ａ＋ｂ＋ｃ。ａ＋ｂ＋ｃ ’ ～ “’ ’ 。 — — ｎ工’ 。ｂ２＝ａ＋ｂ，又ａ＋ｂ＞０，得ｎ＋＞ｌ，又＜１（日＋６）ｉｌｉｉ（日＋６）＝

常用导数放缩法

常用导数放缩法一：消参放缩（适合含参）已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。

1) 设$x_0$是$f(x)$的极值点，求$m$，并讨论$f(x)$的单调性；2) 当$m\leq2$时，证明$f(x)>0$。

解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}$。

由$x_0$是$f(x)$的极值点得$f'(x_0)=0$，所以$m=1$。

于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$。

函数$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$在$(-1,+\infty)$单调递增，且$f'(0)=0$。

因此当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)0$。

所以$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。

2) 当$m\leq2$，$x\in(-m,+\infty)$时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$时，$f(x)>0$。

当$m=2$时，函数$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$。

又$f'(-1)0$，故$f'(x)=0$在$(-2,+\infty)$有唯一实根$x$，且$x\in(-1,0)$。

当$x\in(-2,x)$时，$f'(x)0$，从而当$x=x$时，$f(x)$取得最小值。

由$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$得$e^x/(x+2)$在$(-2,+\infty)$单调递增。

故$f(x)\geq f(x)=(x+1)^2/(x+2)$。

综上，当$m\leq2$时，$f(x)>0$。

2.已知函数$f(x)=me^x-\ln x-1$。

Ⅰ）当$m=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；Ⅱ）当$m\geq1$时，证明：$f(x)>1$。

数列求和中常见放缩方法和技巧含答案

数列求和中常见放缩方法和技巧一、放缩法常见公式：（1)()()111112-<<+n n n n n（2）()12122112--=-+<+=<++n n n n n n n n n （3）()()211++<+<n n n n n （4）122+>n n（二项式定理）（5）1+>x e x，1ln -<x x （常见不等式）常见不等式： 1、均值不等式； 2、三角不等式； 3、糖水不等式； 4、柯西不等式； 5、绝对值不等式；若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。

2==<=，则()()()11122123221n n n++<+-+-++--1<<例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ，又2)1()1(+<+n n n n ，所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。

例6、求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n<=--- 222221111*********1()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。

用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、先放缩再求和
例 1 已知不等式],[log 2
1131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设数列{}n a 的各项为正且满足1
11),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2( =n ，证明：]
[log 222n b b a n +<， 5,4,3=n 分析：由条件1
1--+≤n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n
a a n n 1111≥-∴- )2(≥n
1111
21-≥---n a a n n (2)
11112≥-a a 以上各式两边分别相加得：
2
1111111++-+≥- n n a a n 2
111111++-++≥∴ n n b a n ][log 2112n b +>
)3(≥n =b
n b 2][log 22+ ∴ ]
[log 222n b b a n +< )3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

例2 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n
（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；
⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）
化简得：1122(1)n n n a a --=+-
2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]3
2)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)
1(+-n n a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)
1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3
n n n a -=--. 2、先求和再放缩例3（武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211
证明：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立。

（2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立。

（3）111121
12006
212006<+++<-a a a 。

分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由12
1+-=+n n n a a a 得： )1(11-=-+n n n a a a
)1(111-=-∴--n n n a a a
… …
)1(1112-=-a a a
以上各式两边分别相乘得：
)1(111211-=--+a a a a a a n n n ，又21=a
11211+=∴-+a a a a a n n n
（3）要证不等式111121
12006
212006<+++<-a a a ，可先设法求和：2006
21111a a a +++ ，再进行适当的放缩。

)1(11-=-+n n n a a a
n
n n a a a 11111
1--=-∴+ 1
11111---=∴+n n n a a a 2006
21111a a a +++∴ )1111()1111()1111(
200720063221---++---+---=a a a a a a 1
11120071---=a a 2006
2111a a a -=1< 又2006200612006212=>a a a a
20062006212
1111->-∴a a a ∴原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。