【精准解析】陕西省商洛市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

商洛市2019～2020学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：1. ()sin 510-︒=（ ）A. 12-B.C.12D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出正确选项. 【详解】()()()1sin 510sin 360+150sin 18030sin 302-=-=--=-=-. 故选：A.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2. 若某商场的会员只用现金支付的概率为16，既用现金支付也用非现金支付的概率为12，则不用现金支付的概率为（ ） A.38B.56C. 13D.1112【答案】C 【解析】 【分析】由某商场会员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，其概率和为1，可得选项.【详解】因为某商场的会员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，其概率和为1 ， 所以由题得不用现金支付的概率1111623P =--=. 故选：C.【点睛】本题考查互斥事件的概率，属于基础题.3. 现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收人家庭，270户中等收人家庭，80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）A. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断．【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收人家庭的消费水平差异明显，故采用分层抽样较好.故选：D．【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键．4. 据市场调查的数据可知，某商品受季节影响，各月的价格波动比较大，2019年1月到12月，该商品价格的涨跌幅度的折线图如图所示.根据折线图，下列结论错误的是（）A. 2019年1月该商品价格涨幅最大B. 2019年12月该商品价格跌幅最大C. 2019年该商品2月的价格低于1月的价格D. 2019年从9月开始该商品的价格一直在下跌【答案】C【解析】【分析】根据折线图的变化情况判断涨幅、跌幅、上涨、下降等情况判断各选项．【详解】根据折线图可知1，2019年1月该商品价格涨幅最大，12价格跌幅最大，从9月开始该商品的价格一直在下跌，2月的价格虽然涨幅小于1月的涨幅，但是价格仍在上涨， 故选：C.【点睛】本题考查统计图，正确认识理解折线图是解题基础．5. 已知扇形的圆心角为θ，其周长是其半径的3倍，则下列不正确的是（ ） A. sin 0θ>B. sin20θ>C. cos30θ<D.tan30θ>【答案】D 【解析】 【分析】由周长得到弧长也是半径长，此时圆心角就是1弧度的圆心角，再计算1、2的正弦，3弧度的余弦、正切，分别估算他们的正负可得到答案.【详解】由题可知23l r r +=，则l r =，1θ=，又sin10>，sin20>，cos30<，tan30<，故D 项错误. 故选：D.【点睛】本题主要考查弧度制定义，并估算1、2、3弧度的三角函数值. 6. 执行如图所示的程序框图，若输入的()0,2x ∈，则输出的y ∈（ ）A. （0，6）B. （0，3]C. （3，6）D. （1，7）【答案】A 【解析】 【分析】由程序框图，判断程序功能是求分段函数的值域，分段求解即可得．【详解】由程序框图可知24,01,3,12,x x x y x x ⎧-+<≤=⎨<<⎩，即求分段函数的值域.当01x <≤时，03y <≤；当12x <<时，36y << 综上可知，6()0,y ∈. 故选：A ．【点睛】本题考查程序框图，解题方法是根据程序框图，确定程序功能，根据其所确定的数学函数求解．7. 将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A ：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B ：“乙得到的扑克牌数字为3”是（ ） A. 互斥但不对立事件 B. 对立事件 C. 既不互斥又不对立事件 D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】事件A 与事件不能同时发生，但能同时不发生，由此得到事件A 与事件B 是互斥但不对立事件．【详解】将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张， 事件A ：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”， 事件B ：“乙得到的扑克牌数字为3”， 事件A 为：（3，4），（3，5），（4，5）， 事件B 为：（4，3），（5，3），事件A 与事件不能同时发生，但能同时不发生， ∴事件A 与事件B 是互斥但不对立事件． 故选：A ．【点睛】本题考查两个事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 十进位制的数14转换成三进位制数应为（ ） A. (3)101B. (3)112C. (3)111D. (3)121【答案】B 【解析】 【分析】根据不同进制的转化规则计算可得；【详解】解：∵21014131323=⨯+⨯+⨯，∴(3)14112=. 故选：B【点睛】本题考查进制的转化，属于基础题.9. 已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A. 25-B.25C.35D.35【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果.【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ= 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D.【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题. 10. 计算11111212312310++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，执行如图所示的程序根图，若输入的10N =，则图中①②应分别填入（ ）A. 1T k =，k N > B. 1T k =，k N ≥ C. TT k=，k N >D. TT k=，k N ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算结果直接判断即可解题. 【详解】当①②分别是TT k=，k N >时， 首先初始化数据；10N =，1k =，0S =，1T =．第一次循环，1TT k ==，1S S T =+=，12k k =+=，此时不满足k N >； 第二次循环，112T T k ==⨯，1112S S T =+=+⨯，13k k =+=，此时不满足k N >；第三次循环，1123T T k ==⨯⨯，11112123S S T =+=++⨯⨯⨯，14k k =+=，此时不满足k N >；一直循环下去，第十次循环，112310T T k ==⨯⨯⨯⨯， 11111212312310S S T =+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，111k k =+=，此时满足k N >，跳出循环． 故输出的11111212312310S =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．故选：C .【点睛】本题考查根据计算补全程序框图，是基础题.11. 已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，若函数sin y x =与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，66,()x y ⋅⋅⋅，则126x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. 3πC.32π D. 6π【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 与sin y x =的图象都关于直线2x π=可对称即可以得出结果.【详解】()f x 与sin y x =的图象都关于直线2x π=可对称，所以两图象的交点也必然关于直线2x π=对称，所以126632x x x ππ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.【点睛】本题考查函数的对称性及三角函数的图象与性质，着重考查数形结合的数学思想，属于中档题.12. 已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A.B. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷二、填空题：13. 一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为______.【答案】2 3【解析】【分析】一位男同学编号为A，两位女同学编号为,a b，用列举法写出排列的所有基本事件，并得出所求事件中含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】一位男同学编号为A，两位女同学编号为,a b，则他们排成一列的事件有：,,,,,Aab Aba aAb abA bAa baA共6个，其中男同学不站在中间的有,,,Aab Aba abA baA共4个基本事件，故所求概率为42 63 =.故答案为：23．【点睛】本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的基本方法．14. 如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，2DE EC =，若BE x AB y AC =+，则x y -=______.【答案】32- 【解析】 【分析】先用BD DE 、表示BE ，再用AB AC 、表示BD DE 、，即可得到答案.【详解】()121252232363BE BD DE AB DC AB AC AD AB AC =+=-+=-+-=-+，所以523632x y -=--=-. 故答案为：32-. 【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.15. 222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.【答案】2- 【解析】 【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案.【详解】原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒. ()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-.【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.16. 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图所示的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.设1tan2BEC∠=，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE△中（阴影部分）的概率是______.【答案】59【解析】【分析】在Rt BCE中，根据1tan2BEC∠=，解得sin BEC∠，cos BEC∠，然后用c，分别表示a，b，得到三角形CDE和梯形ABCD的面积，代入几何概型的概率公式求解.【详解】在Rt BCE中，因为1tan2BEC∠=，所以5sin6BEC∠=，25cos5BEC∠=，cosa c BEC=∠，sinb c BEC=∠，所以()()22222152=19cos sin2CDEABCDcS cPS c BEC BECa b===∠+∠+梯形△.故答案为：59【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题.三、解答题：17. 已知点(1,)P m 是角α终边上的一点，且tan 3α=. （1）求m 的值； （2）求sin cos 2sin 3cos m αααα++的值.【答案】（1）3；（2）23. 【解析】 【分析】（1）由正切函数的定义可以得到m 的值；（2）分子分母同时除以cos α，将tan α代入即可得结果. 【详解】（1）根据题意知tan 31mα==，所以3m =. （2）原式sin 3cos tan 322sin 3cos 2tan 33αααααα++===++.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及齐次式值的求法，属于基础题.18. 某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生成绩（满分100分）统计如下：（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数.【答案】（1）直方图见解析；（2）67分，65分. 【解析】 【分析】（1）由统计表算出各频率，作出频率分布直方图；（2）取各组数据中间值乘以频率再相加可得总平均值，求出频率0.5对应的成绩（此成绩在[60，70）之间]．【详解】（1）根据统计表，作出这些数据的频率分布直方图如图：（2）由表中数据可知，这60名参赛学生成绩的平均数550.3650.4750. 15850.1950.0567x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.因为这60名参赛学生成绩在[50，60）的频率为0.30.5<，成绩在[50，70）的频率为0.70.5>，所以这60名.参赛学生成绩的中位数在[60，70）之间.设这60名参赛学生成绩的中位数为x ，则()0.04600.2x ⨯-=，解得65x =， 故这60名参赛学生成绩的中位数为65分．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值和中位数．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．19. 已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .【答案】（1）23-；（2． 【解析】 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-，所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题. 20. 已知向量2cos ,14a x π⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ,04b x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 图象的对称中心；（2）若动直线,42x t t ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭与函数()f x 和函数()1x g x =+的图象分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的取值范围.【答案】（1）(),12k Z k π⎛⎫⎪⎭∈⎝；（2）[]1,2. 【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 21f x x =+，令()2x k k Z π=∈，可求得函数()y f x =的对称中心坐标；（2）由题意可得()()2sin 23MN f t g t t π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得23t π-的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得MN 长度的取值范围. 【详解】（1）()22cos 1cos 2sin 2142f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()2x k k Z π=∈，则()2k x k Z π=∈， 所以，函数()y f x =图象的对称中心为(),12k Z k π⎛⎫⎪⎭∈⎝； （2）()()sin 211sin 2MN f t g t t t t t =-=+--=2sin 23t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363t πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2123t π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 21,23MN t π⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，即线段MN 的长度的取值范围为[]1,2. 【点睛】本题考查正弦型函数对称中心坐标的求解，同时也考查了正弦型函数在区间上值域的求解，考查了三角恒等变换思想以及平面数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 21. “城管喊你摆地摊啦!”为了释放地摊经济活力，为市民提供灵活多样化的便民服务，某地区为市民在城区设置了流动摊贩临时摆放点.小张为参与地摊创业，调查了该地区甲、乙两个行业地摊摊主5年内的年收人，制作了如下统计数据表（1）根据表格，对比甲、乙两个行业摊主这5年的年收入情况（已知甲、乙两个行业的年收入的5个数据的方差分别为2.852，7.232），判断小张在这两个地摊行业中选择哪个创业更合适；（2）根据甲行业摊主这5年年收入的数据，求其年收入y 关于年份x 的线性回归方程，并据此估计甲行业摊主在2020年的年收入.附：回归方程y bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为21122211()()n ni iii i nniii i x y nx y x x b xnxx x ====--==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）甲行业；（2） 1.192390.23y x =-，13.57万元. 【解析】 【分析】（1）求出两个均值，结合方差可得；（2）根据所给公式计算出回归方程的系数得回归方程，令2020x =可得估值． 【详解】（1）根据表格，7.88.61011.112.5105y ++++==，6.210.68.2 6.613.495z ++++==，2 2.852y S =，27.232z S =，因为y z >，22y z S S <，且甲行业摊主这5年的年收入情况一直呈现递增趋势，因此小张选择甲行业创业更合适. （2）2017x =，()()()()()121()2 2.21 1.40 1.12 2.5 1.1910()niii nii x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+++⨯===-∑∑，10 1.1920172390.23a y bx =-=-⨯=-，所以年收入y 关于年份x 的线性回归方程为 1.192390.23y x =-.当2020x =时， 1.1920202390.2313.57y =⨯-=， 故甲行业摊主在2020年的年收入估计值为13.57万元.【点睛】本题考查均值与方差的应用，考查线性回归直线方程及应用．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．22. 将函数()sin y A x ϕ=+图象的横坐标缩短为原来的1ω，得到函数()y f x =（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象，且()y f x =的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()335fθ=-，求7cos 212πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）210-. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()sin f x A x =+ωϕ，由图知A 的值，将函数的零点代入，及ω，ϕ的取值范围可得其值，进而可得函数的解析式； （2）由题意和（1）的结果可得3sin 2035θπ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，再由θ的取值范围可得cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，而7221234πππθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭及两角和的余弦公式可得7212πθ+的余弦值. 【详解】（1）()()sin f x A x =+ωϕ，由图象得3A =设函数()f x 的最小正周期为T ，则374126T ππ=+，解得T π=，∴22Tπω==，得()()2f x x ϕ=+.由77126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴7262k ππϕπ+=-+，解得523k πϕπ=-+，k Z ∈.∵0ϕπ<<，得3πϕ=，∴()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）由()fθ=23θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得3sin 235θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得42,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且3sin 2035θπ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， ∴42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 235πθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭. ∴7cos 2cos 21234πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3434ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了由图象求函数的解析式及通过角的转化进行求值问题，属于中档题.。