第一章现实世界的数学模型

从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。
下表是我国在20世纪中人口发展的状况： 年 人口（亿） 年 人口（亿） 1908 3.0 1982 10.3 1933 4.7 1990 11.3 1953 6.0 2000 12.95 1964 7.2
思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件
下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、 主观性、偶然性等缺点。
四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构 表等。
五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问 题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的 例子。
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某
种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由ຫໍສະໝຸດ Baidu造模型的目的决定的。
一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
水航行时有关系
x y 30 750,
当船只逆水航行时，有
y x 50 750,
即有方程组
x y 30 750, y x 50 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
y 容易求出该问题的解：
20km/h，水速为5km/h。
二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似 特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的 某些规律。
三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直 觉作出相应的决策。
例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且
假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
令
h f g ,
则 h C 0, , 因 2
h f g 0, 2 2 2
h 0 f 0 g 0 0,
由闭区间连续函数的零点定理知，存在 0 0, , 2
建立模型的过程就称为数学建模。
第二节
数学建模的重要意义
一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少
的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓
了许多新的处女地。
四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
f 0 0, g 0 0.
则问题归结为是否存在 0 0, , 使得 2
f 0 g 0 0.
解模
由条件对任意 ，有 f
0, g 0. 且
f 0, g 0. 2 2
形的桌子，则该如何求解？
二、人口增长的预报问题 随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也 得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪 的人口增长情况。 年 人口（亿） 年 人口（亿） 1625 5 1974 40 1830 10 1987 50 1930 20 1999 60 1960 30
使得
h 0 0.
注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落 地，即
f 0 0 g 0 0. h 0 0，即有
所以由
f 0 g 0 0.
此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出 了放稳的具体方法。 注 若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方
第三节 数学模型的例子
一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能
的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一
个四方形的顶点上；
假设2
假设3
地面是一张连续变化的曲面；
在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
A, B, C, D,其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 AC , BD 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
建模 设椅子的四只脚位于点
设f
g 为 B, D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
为 A, C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
B1
B
y
C f g 0 0, . 2
o

A1 A
x
D1
C1
D
注意到： f , g C 0, , f 0, g 0. 并且 2 椅子的四脚落地意味着 f g 0. 故不妨假设
20, x 5。即船速为
在上面的例中我们看到数学模型的一般意义： 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。
注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。
第一章
现实世界中的数学模型
第一节 现实世界的模型
在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词 并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、 “生物
“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 模型”等。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生
产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。