Poisson分布的参数估计

安庆师范学院数学与计算科学学院 2011 届毕业论文
Poisson 分布的参数估计
作者：高晨 指导老师：戴林送
摘要 泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然
估计以及近似的区间估计等，该文中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，研究了泊松 分布的一些性质，参数的估计，以及一些在生活中的简单应用。
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由上知，Poisson 分布的数学期望为参数 ， E[ X 2 ] E[ X ( X 1) X ] = E[ X ( X 1)] E[ X ]
E[X (X 1)] E(X )
k(k 1) ke
k 0
k0 k !
k0 k !

即 P{x k} 满足 Pk 0, k 0,1, 2; Pk 1. k 1
我们知道，无论是离散型或是非离散型的随机变量 都可以借助分布函数 F (x) P{X x}, x 来描述， X 落在任意区间[x1, x2 ] 的概率
P{xn

k}
n(n 1)(n k k!
1) [ ]n[1 ]nk nn
=
n
{1 [1
1 ] [1
2 ] [1 Fra bibliotekk1]} [1

n nk
]n
k!
n
n
n
n
显然当 k=0 时,故 P{xn k} e 。当 k 1 且 k 时，有
证明 有引理 1，
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E ( g1 (
))

E ( g1 (
))

E(e
X
)

E(e
1(n n
X
)
)


X
e n P(n X X )

X
en
(n)e n e .
X 0
X 0
X!
而
E(2Xi )
x0
x)

(2) X X!
e 2,
X X1 X 2 ~ P(2) .
n
n X X i ~ P(n) . i 1
结 论 1 设 函 数 g1( ) g1() e ， 可 以 证 明 g1() 的 无 偏 估 计 为 2Xi ， 而 不 是
g1( ) e X .
k 0
k!

2e
k2
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2) [E(x)]2 .
Poisson 分布 E[x] = D(x) = ，也就是说在 Poisson 分布中只含有一个参数 ，只要知道一
个 Poisson 分布的数学期望或者方差就能够完全确定它的分布。
为估计母体的参数 值的大小，具体抽取样本值 x1, x2 , xn 。再把样本值 x1, x2 , xn 放
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入原来的样本 1,2 ,n 。构造统计量 1,2 ,n 。把 x1, x2 , xn 代入得 的统计 值q(x1 xn ) 用作 的近似值，用来计算参数 的估计值的统计量 1,2 ,n 称为参数
E[x] = k ke e k1 e e .
k0 k !
k1 (k 1)!
2.22 方差
Poisson 分布：
P{x k} ke , k 0,1, 2 ， 0 的方差 D(x) . k!
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2
D(x) = [xk E( X )] pk .
k 1
其中 P{X xk} pk , k 1, 2,3 是 X 的分布律。 D(x) = E(x2 ) [E(x)]2.
2 性质
2.1.Poisson 分布中 P{x k} 0, k 0,1, 2
具有
P{x k} ke e k e e 1

的极大似然估计量
L (1,n )


。
设
的函数 u
u
,



具有单值反函数

u ,u U
，又设
是
X
的概率分布中
参数 的最大似然估计，则 u u 为 u 最大似然估计。
易知，由 e 的单调性，得 e 的一个最大似然估计为 u1 e X
x1 !
xn !

xi
i1 x1 !
x
e !

n
n
n
ln L n xi ln ln xi !
i 1
i 1
L
是

的可导函数，用导数求极值
ln L

n

1
xi 0 得 x
2 ln L 2
x

0
得

使
L
达到极大值，从而得

1. 离散型随机变量 X 的函数分布律 P{X xk} Pk , k 0,1, 2 ，若级数 xk pk 绝 k 1
对收敛，称级数 xk pk 为随机变量 X 的数学期望 E[x] ， k 1 E[x]= xk pk . k 1 2. 定理：Y 是随机变量 X 的函数，Y g (x), (g 是连续函数），X 是离散型随机变量，
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1) .
P{X k} k e, 0, k 0,1, 2 , X ~ P(k; x) . k!
2.2 数字特征 2.21 数学期望
Poisson 分布：
P{x k} ke , k 0,1, 2 k!
若 g(xk )pk 绝对收敛，则 k 1 E[Y ] E[g(x)] = g(xk )pk . k 1 3. 随机变量 X ，若 E{[ X E( X )]2} 存在，则称 E{[ X E( X )]2} 为 X 的方差，记
为 D(x) 或Var(x) ，即
D(x) =Var(x) = E{[ X E( X )]2} .
u1 e X ,u2
1 n
n
1( Xi 0)
i 1
.
由于前者利用了泊松分布的信息，而后者没有利用分布信息，所以称前者为“参数的最大似 然估计”，后者为“非参数的最大似然估计”。
4.3 参数的无偏估计 当总体为泊松分布 P() 时，即
P{X x} x e, x 0,1, 2 , x!
的估计量。
4.2 参数的两个最大似然估计 P{x k} ke , k 0,1, 2 0 为未知参数 k!
设 x1, x2 xn 为子样 1,2 ,n 一组观测值
似然函数
n
L
L ; x1, x2,xn

x1 e xn e
关键词 Poisson 分布 参数估计 性质 简单应用
1 引言 Poisson 分布是离散型随机变量 X 作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的 数学模型，其中 X 可能取值为 0，1，2，……而取各个值的概率为： P{x k} ke , k 0,1, 2 k!
其中 0 是常数，称 X 服从参数为 的泊松 X ~ P(k; x) . 1.1 相关定义
)e e i t
e it 1
对任意的 t,有
it
e
1
it

t2 2!

1




.
于是
it e 1 i

t


t2 2



1



t2 2




从而对任意的点列 ，有
t2
lim


2xP(X i
x0

x)


2x
x0
x e x!
.
e (2)x ee 2 e
x0 x!
结论 2 已知函数 g2 ( ) g2 () e2
可以证明 g2 () 的无偏估计为
t(
X
i
)

1, 1
（
X
i
取偶数值时为
1，
X
i
未知参数



0
，可以证明样本均值
X
和样本方差
S2

1 n 1
n i 1
(X i

X
)
都是总体参
数 的无偏估计。推广到一般情况，对任意的实数 , 0 1, X (1 )S 2 也都是
的无偏估计，即 X 或 S 2 或 X (1 )S 2 。
1 [1
1 ] [1
2 ] [1
k
1] 1
， [1
nnk ]n

e
n
n
n
n
从而
P{xn

k}
k e k!
，
故
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lim
n
P{xn
k}
k e k!
3 相关定理
定理【1】 随机变量 xn (n 1, 2, 3) 服从二项分布，其分布律为 P{xn k} Cnk pnk (1 pn )nk , k 0,1, 2 , n.