5班2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3）异面直线的画法 b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图：
a b
a
(1)
A
a
b
(2)
(3)
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线
证明：连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
A
H
E
D G B F C
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？
1
C1
B1
主要特征：既不平行，也不相交
讲授新课
2.为了表示异面直线 a，b不共面的特点， 作图时，通常用一个或两个平面衬托，如 下图。
b
b
b
a
a
a
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课平行直线：同一平面内，没有公共点；AB 异面的有哪些？3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥b=>a ∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）知识与技能目标掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，并能判断各种位置关系；理解公理4并能应用它证明简单的几何题。
（2）过程与方法目标通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，并指导学生画两异面直线的位置关系；通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律。
（3）情感态度与价值观通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力。
感悟数学的奇异美、和谐美、简洁美，培养学生的美学意识。
让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯。
二、教学重点和难点1.教学重点:（1）异面直线的概念；（2）公理4及其运用。
2.教学难点：异面直线的概念、异面直线的画法，公理4及其运用。
三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2.教学用具：自制教具，教学课件四、教学过程：接下来我们给异面直线下一个定义。
”关系。
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（强调不同在任何平面内）师：“定义跟既不相交也不平行这一说法有什么不一样呢？”判别一：两直线不同在任何一个平面内则叫做异面直线。
判别二：两直线既不相交、又不平行则叫做异面直线。
2.空间中两条直线的位置关系根据是否共面分为：根据是否有交点分为：小练习：下图长方形中（1）说出一下各对线段的位置关系①EC 和BH是相交直线②BD和FH是平行直线③BH和DC是异面直线（2）与棱AB所在直线异面的棱共有条3.异面直线的画法观察：如下图能否说直线l和m是异面直线？（展示图片，让学生自由发言。
）说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托。
展示三种异面直线的画法。
L M 理解异面直线的定义，注意是不同在任何平面内的直线。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
B
G C
D F
填空： 平行 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 相交 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
2、等角定理
定理：不在同一平面内的两个角，如果其中一 个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方 向相同，那么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 任选
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角），
思考题： 1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ D ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ A ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（B ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。
c
a
a
b
c
α
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？ 解： 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1 ∴ ABC1D1为平行四边形 故AD1 ∥ BC1
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
作业: 作业 作业本： 作业本： 1.P51习题 习题2.1 A组第 题 组第6题 习题 组第
2.补充：如图空间四边形ABCD中，P、R分别是 、 补充：如图空间四边形 分别是AB 补充 中 分别是 CD的中点，且PR= 的中点， 的中点 所成的角。 所成的角。
学评： 学评：P24-27
， 与 2 ，AC=BD=2，求AC与BD D R A P B C
公理4的符号表述为： 公理 的符号表述为： 的符号表述为 a//c，b//c ⇒ a//b. ， 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理 反映了两条直线的位置关系 反映了两条直线的位置关系 公理4主要用来证明两条直线平行， 公理 主要用来证明两条直线平行，它是 主要用来证明两条直线平行 证明两直线平行的重要依据. 证明两直线平行的重要依据
A
nαΒιβλιοθήκη b abα
a
α
α
a
归纳: 空间中直线与直线之间的位置关系: 归纳 空间中直线与直线之间的位置关系 1:按公共点的数目分类： 按公共点的数目分类：
①只有一个公共点——相交直线 只有一个公共点——相交直线 —— 没有公共点：平行直线、 ②没有公共点：平行直线、异面直线 按平面的基本性质分类： 2:按平面的基本性质分类： ①在同一平面内：相交直线、平行直线 在同一平面内：相交直线、 不在同一平面内： ②不在同一平面内：异面直线
巩固、提高
例1、在正方体 、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求： 所成的角； （1）A1B与CC1所成的角； ） 与 口答 所成的角； （2） A1B1与C1C所成的角； ） 所成的角 （3）A1C1与BC所成的角； ） 所成的角； 所成的角 所成的角。 （4）A1C1与D1C所成的角。 ） 所成的角 （2）∠A1B1B=90o ） （4）∠BA1C1=600 ）
课件5：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
③异面直线 B’D与 EF所成角的大小. 90
平 AC∥A’C’∥EF, OG∥B’D， 移 B’D 与EF所成的角，即为
法 AC与OG所成的角,
G
即为∠AOG或其补角. O
练习:
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： (1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线.
b
a
2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系
1.空间两条直线的位置关系
①相交直线 ---------有且仅有一个公共点
②平行直线 --------在同一平面内,没有公共点 ③异面直线
-------不同在任何一个平面内,没有公共点
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线
没有公共点--------②从是否共面的角度
同理，FG∥BD且FG =
1 2
BD，
∴EH ∥FG且EH =FG，
∴EFGH是一个平行四边形.
A
H E
DG B FC
例3 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别
是棱A’B’，B’C’的中点，求：
①异面直线 AD与 EF所成角的大小； 45
②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； 60
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1
B
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间
四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中
点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平
行四边形. 证明 连接BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD且EH =
1 2
BD.
D A
高中数学--《2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》--知识点
2020年4月9日 10:47
本节主要知识点： 1. 异面直线与空间两条直线的位置关系
异面直线
1) 定义： 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直 线.
2) 判断异面直线的方法： 连接平面内一点 B 与平面外一点 A 的直线AB，和这 个平面内不经过此点的直线 是异面直线.
空间两条
直线的位 有且只有三种位置关系 置关系
2. 公理4
公理4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行
图形语言
符号语言 直线 ， ， ， // ， //
//
作用 判断空间两条直线平行的依据
说明 公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
图形语言
符号语言 // ， //
或
作用 判定或证明两个角相等或互补
针对图形语言1进行证明：
证明：在
和
// ，
是平行四边形
// ，
的两边上分别截取
分区 19-20寒假-online 的第 1 页
，AE=A'E'.
// ， 同理可证， // ，
// ， 是平行四边形
4. 异面直线所成的角：略
分区 19-20寒假-online 的第 2 页
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
思考： 思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？ 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 异面直线的定义: 的定义 我们把不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（ lines）。 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a 不共面的特点， 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 通常用一个或两个平面衬托。如下图: 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
A B
C
α
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
β
E 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 定理的推论: 交直线分别平行, 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 或直角)相等. 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 作直线a'∥a b'∥b，我们把a' b'所成 a'∥a， a'与 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 或夹角）。 （或夹角）。
m
α
m
l
l
想一想,做一做： 想一想,做一做： 1.已知 已知M 分别是长方体的棱C 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 那么MN AB所在的直线是异面直线吗 MN与 所在的直线是异面直线 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________． (2)直线A1B与直线B1C的位置关系________． (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________． (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． [答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
5．两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任 一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 直角 _____(或______) 叫做异面直线 a与b所成的角(或 锐角 夹角)． [名师点拨] 在定义中，空间一点O是任取的， 根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′， b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无 关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相 对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直 线所成的角来解决的．
(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面 的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，__________一个公共点． 有且只有 公共点． (2)平行直线——同一平面内，__________ (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 没有
4．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对 应平行，α＝60°，则β为( ) A．60° B．120° C．30° D．60°或120° [答案] D [解析] ∵α与β的两边对应平行，∴α与β相 等或互补，故β为60°或120°.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则：
[归纳总结] 等角定理是由平面图形推广到空间 图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当 这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们 相等，否则它们互补． 初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条 平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一 条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论 在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直 线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在 空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个 平面内，在空间中就成立，否则不成立．
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
注2：一般常把点O取在直线a或b上
b
注3：异面直线所成角的取值范围：
0 90
O
a’
a
α
异面直线
5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线
(2)求直线BA1与CC1的夹角 D1 的度数
A1
(3)哪些棱所在的直线与直
线AA1垂直
D
A
C1 B1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 是否共面 公共点情况 记 法
作业：
P56 习题2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2）（3） 5， 6
平行
异面
公共点个数 是否共面
只有一个 共面
没有 没有
共面 不共面
空间线线位置关系
空间两条直线的位置关系：
⑴ 相交直线 —— 有且仅有一个公共点；
⑵ 平行直线 —— 在同一个平面内，没有 公共点；
⑶ 异面直线 —— 不同在任何一个平面内， 没有公共点
异面直线
1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线
(2) 公理法
例1：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
A
变式：如果再加上
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和 另一条的位置关系是( A．平行或异面 C．异面 ) B．相交或异面 D．相交
解析：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC ＝B，DD1 与 BC 是异面直线． 答案：B
2.1.2
空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
D C A B
两条直 线既不 平行也 不相交
一、空间两直线的位置关系
m P l′ l m
m′
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空 间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
1.异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线.
类型 2 平行公理和等角定理的应用(互动探究)
[典例 2]
如图所示，在正方体 ABCDA′B′C′D′中，
E，F，E′，F′分别是 AB，BC，A′B′，B′C′的 中点，求证：EE′∥FF′.
[迁移探究 1]
(变换条件、改变问法)在典例 2 中，
若 M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四边形 ACNM 是梯形． 证明：如图所示，连接 A′C′，
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
相交直线
在同一平面内-------平行直线
2. 空间两平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 a∥b a∥c
（既不相交也不平行的两条直线）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
P482(1) 45O;
(2) ∵BB’ ∥AA’且∠B’BC’ 为锐角， ∴∠B’BC’为异面直线AA’与BC’的夹角. ∵ B’C’=AD,BB’=AA’,且∠BB’C’ ＝90o ∴BC’=4,∠B’BC’＝60o， 所以直线AA’和BC’的夹角是60o。
D' A'
C' B'
D A
C B
P521(1) N
1、异面直线的概念：
我们把不同在任何一个平面内的两条直 线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系就有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点.
异面直线：不同在任何一个平面内.
2、画法：通常为了能直观形象地表 示异面直线，作图时，常用一个或两 个平面来衬托。
B
C
D
G
E
F
∠ABC= ∠DEF, ∠ABC+ ∠DEG=180O
P481;P513,6
（第二课时－异面直线所成角）
温故知新
1、异面直线的概念：
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
空间两条直线的位置关系就有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个 公共点。
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点
是平行的
C' B'
C B
联系其他事实，我们有如下规律：
公理4：平行于同一条直线的两条直 线互相平行。
设a、b、c 是三条直线，
空间四边形：不在同一平面上的四条线段 首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一 条的首端重合，这样的图形叫做空间四边 形。
AC与BD叫做空间四边形的对角线。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
bB
aA
异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交, 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.
练:如图,a,b是异面直线，A, B a, C, D b
E,F分别是线段Ac,BD的中点.判断直线EF
与a的位置关系.
aA
B
E
F
b
C D
四、直线与直线的位置关系
例8.(1)一条直线与两条异面直线中的一条相交,那 么它与另一条之间的位置关系( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 可能平行,可能相交,可能异面
(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？
5.异面直线的距离 思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系:
A1
C1
B1
A
C
B
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
空间两直线的位置关系
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两平行直线
②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
别作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
b
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
说明:①异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
②异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关； ③异面直线a和b所成的角的作法步骤.
例4. 如图，正方体中，求 D1
补充训练
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
β
？
b
a c
2.1.2
空间直线与直线之间的位置关系
？问题：在同一平面内，平行于同一
条直线的两直线平行，在空间中此结 论仍成立吗？
2.1.2
公理4
空间直线与直线之间的位置关系
平行于同一条直线的两直线互相平行
（空间平行线的传递性）
理解：
（1）已知直线a、b、c，且 a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间 里的一个确定的方向
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线， 那么它与另一条的位置关系是（ D ） A．相交 B．异面 C．相交或异面或平行 D．相交或异面
4.在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC,
E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF
与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E
A D
C
F
B
2. 空间四边形 顺次连结不共面的四点A、B、C、D, 所组成的四边形叫做空间四边形， 相对顶点A和C，B和D的连线AC、 BD是这个空间四边形的对角线.
例 1 如图所示， 空间四边形 ABCD 中，E、F、G、 H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.求证：四 边形 EFGH 是平行四边形．
b′
b
O
a
a′
思考：异面直线所成角的范围是 .2
空间直线与直线之间的位置关系 异面直线所成角的范围是 (0, ] 2
若 2 ，则两异面直线 a , b互相垂直。
记为a b
例：A1 A B1C1
例1 在正方体ABCD-A’B’C’D’中 ①哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线？ ②求直线BA’与CC’的夹角的度数； ③哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 基础梳理1．空间两条直线的位置关系．空间两条直线的位置关系有且只有三种．(1)从是否有公共点的角度来分： (2)从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交 ⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？2．异面直线．(1)定义：的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)．文字表述：平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质叫做空间 ．符号表述： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ． 4．等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角 或 ．5．异面直线所成的角．(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围： ．(3)当θ＝ 时，a 与b 互相垂直，记作 ．练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？►思考应用1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的角(或补角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)．典例精析题型一空间直线位置关系的判定例1 已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．►跟踪训练1．下列条件中，一定能推出a与b是异面直线的是( )A．a，c异面且b，c异面B．a∥c，b与c相交C．a，b分别与c相交D．a⊂平面α，b∩α＝A且A∉a题型二证明两条直线的异面直线例2 已知直线AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD是异面直线．►跟踪训练2．如图，已知α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，a∥c，求证：b，c是异面直线．题型三求异面直线所成的角例3 在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝a，求AD，BC所成的角．►跟踪训练3．(多解题)如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．。
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2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b
B
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
a
(1)
A
如图：
b
a
(2)
a
连结平面内一点与平 面外一点的直线，和 这个平面内不经过此 点的直线是异面直线
b
(3)
3.空间中直线和直线间的位置关系
相交直线
同在一个平面内
平行直线
按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线
∠ADC与∠D1A1B1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠D1A1B1=180°
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
例二
如图，正方体ABCD-EFGH中,求直线BE与CG 所成的角
H G F D A B C
E
H E F
D
G
C
A
B
解: (1) 由题知，BF=EF,∠EFB =90°， BF∥CG， ∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与 CG所成的角， 又 BEF中∠EBF =45°， 所以BE与CG所成的角是45°。
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a
b
c
d
e
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
4.平行公理
．
c
a
a α
b
c
推广：
例一 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形 EFGH是平行四边形。 A
求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
课堂小结
异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的 平行直线 位置关系 异面直线
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
6.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点 任选 O， 如图所示，a，b是两条异面直线，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则a′和 b′所成
称为异面直线a，b所成的角. 的锐角（或直角），
平 移 b a′ ？ O P a b′ θ a′
2.1.2 空间中直线与直线之间的位 置关系
在正方体的面ABCD中，AB与AD相交， AB与CD平行.AB和CC'的位置关系是平行还是 相交还是两者都不是？
D
C
B
A
D
C
A
B
两者都不是
既非平行 又非相交
1.定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线（skew lines）
1)异面直线既不平行也不相交 2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备 确定平面的条件,即是不可能找到一个平面同 时包含这两条直线；
有一个公共点: 相交直线
平行直线
无 公 共 点
异面直线
练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
A1
答案： D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
B
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。 异面直线所成的角: 平移，转化为相交直线所成的角。
作业布置
E
H D G
B
F
C
探 究
在例三中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH是什么图形？
A H E D G B F C
四边形EFGH是菱形。
பைடு நூலகம்
5.等角定理
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．
观察 :如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1