一元函数定积分学分割.ppt

则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
f
(r
cos , r sin )r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
)
o
r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
5.2.2 在极坐标下二重积分的计算
y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
k k
k
k (k 1, 2, , n)
k
o
r rk x
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k
1 2
(rk
rk
)2
k
1 2
rk
2
k
rk k
忽略高阶无穷小
1 2
(rk
)2
k
k
rk
rk
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第五章 多元函数 积 分学
一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法)
扩展
多元函数积分学
二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
重点研究:二重积分
第五章 多 元 函 数 积 分 学
5.1二重积分概念和性质 5.2二重积分计算 5.3二重积分简单应用
5.1.1 二重积分的概念
例1 曲顶柱体的体积
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
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另一解法: 先对y 后对 x积分, y
2 y2 x
D1 : 0 x 1, x y
D2 :1 x 4, x 2 y x
x
o 1
D1 D2
4x
y x2
D xyd D1 x y d D2 xyd
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
两种解法相当交换积分顺序,即DX 型与Dy型相互转化
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例5. 计算 ex2 dxd y,其中D 是直线 D
所围成的闭区域.
y yx
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
D x 1
D
b
dx
a
2 (x) f (x, y) dy
1( x)
若D为Y
–型区域D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
c
1(y)
x
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矩形积分区域既是X–型又是Y –型区域 :
f (x, y)dxdy y
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例8 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
解: 利用极坐标
D :
0 r 2sin
0
原式 r rdrd
D
d
0
2sin r 2dr
0
0
[
r3 3
]2sin 0
d
x2 y2 2y
“分割, 近似代替,求和, 求 极限”
解决.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)“近似代替”
在每个 k中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“求和”
y
n
(k ,k ) k k 1
D
d
[
2 ( y) f (x, y) dx ]d y
c 1( y)
d
x 1(y)
y c
o
x 2(y)
x
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总结利用直角坐标下二重积分计算
若D为 X – 型区域
y y 2 (x)
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
D x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx dy
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
d
D
(1) y r ( )
(2) y r ( )
0
0
百度文库
1
0
I的x型区域D1 : 0 x 1,0 y x2
1
D2 :1 x 3,0 y 2 (3 x)
y x2
转化成y型区域
D : y x 3 2y,0 y 1 1
y 1 (3 x) 2
012 3
1
32 y
I f (x, y)dxdy dy f (x, y)dx
D
0
y
(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体
体积的代数和.
(4) 用二重积分的方法可扩展三重积分,即:
n
f (x, y, z)dxdydz lim f (ii i )ui
0 i1
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5.1.2 二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解法: 用定积分思想解决此问题:
“分割;近似代替; 求和, 取极限”
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1)“分割”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
1
2
[(1
2
x)y 4
y2 6
]11 dx
-2 -1
2x
2
2(1
2
x )dx 4
[2x
x2 4
]22
8
例4 计算D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x y
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
o
1x
0 y x
D
:
0
x
1
ex2 d xd y e1 x2 dx
x
dy
D
0
0
1 xex2 d x 0
1 (1 1) 2e
说明: 由被积函数考虑交换积分顺序.
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例6 更换下列积分 I 的次序
1
x2
3
1 (3 x)
I dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
一. 平面薄板的质量 二、平面薄板的重心 * 三、物体的转动惯量*
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一.平面图形的面积
若 f ≡1 则可求得D 的面积 dxdx
D
例10 求抛物线
y x2, y 4 x2所围成的平面图形的面积
解 D-X 型区蜮
2
4x2
dxdy 20
dx x2
dy
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
和式极限
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f (x, y) dxdy.
曲顶柱体体积可写成:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
D f (x, y)d f (, )
在闭区域D上
使
5.2 二重积分的计算
二重积分的计算的思想: 把二重积分计算 转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就 解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的 二重积分的计算.
D
y x2
( 2, 2)
y 4 x2
( 2,2)
2 2 (4 2x2 )dx 16 2
0
3
二、空间立体的体积
例11. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D
0
A(xi )xi
A(x)d x
a
i 1
b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
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同样, 曲顶柱体积分区域D为Y型区域
D (x, y) 1( y) x 2 ( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f (x, y) d
平面薄板的质量可写成:
M D (x, y)d
(x, y)d x d y
D
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二重积分注意的问题:
(1)
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上总是可积.
(2) 二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关,
f (x, y)dxdy f (u.v)dudv
D
D
小曲顶柱体
D
2)“近似代替”
(k ,k ) k
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2, , n)
3)“求和”
n
f (k , k ) k
k 1
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4)“取极限”
d ( k ) 是指一个闭区域上任
意两点间距离的最大者.
令
max 1k n
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5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算
z 设曲顶柱体积分区域D为X型区域 y 2 (x)
D
(
x,
y)
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a xi b x y 1(x)
故曲顶柱体体积为
lim n
b
V
f (x, y) d
4)“取极限”
令
max d (
1k n
k
)
(k ,k )
n
M
lim 0
k 1
(k , k ) k
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割,近似代替, 求和,取极限”
(2) 所求两个问题结构形式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
D
bd
d
a [c f (x, y)dy]dx c
db
c [a f (x, y)dx]dy
0a
bx
例3 计算
D
(1
x 4
y 3
)dxdy,
D
:
2
x
2,1
y
1
解: 矩形区域既是X–型区域又是Y –型区域,先对哪个
变量积分都可以.
y
D
(1
x 4
y 3
)dxdy
2
dx
2
1 (1 x y )dy 1 4 3
d ( k )
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
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例2 非均匀平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M C
若
非均匀 , 仍可用
y D
又因为
x r cos, y r sin (0 r ,0 2 )
f (x, y) f (r cos,r sin )
所以D f (x, y)d
D f (r cos , r sin ) r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
oR
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
平面薄片的质量:
n
M
lim 0
k 1
(k ,k ) k
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定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上连续函数 ,
将 D 任意分成 n 个小区域 作乘积
任取一点 并作和
n个小闭域最大直径,
和式极限存在
记作
则称 f (x, y) 可积 ,上式记为f (x, y)在D上的二重积分.
r 2sin
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例9.计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的广义积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 中, a 时D为xoy面
利用例9的结果, 得 故①式成立 .
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5.3二重积分的简单应用
5.3.1 几何上的应用
一.平面图形的面积 二、空间立体的体积
5.3.2 物理及力学上的应用