线性规划的对偶原理
线性规划的对偶理论(第一部分
对偶问题的约束条件 对应于原问题的目标 函数和约束条件的系 数。
对偶问题的可行解集 是原问题可行解集的 凸包。
原问题与对偶问题关系
弱对偶性
对于任意一对原问题和对偶问题 的可行解，原问题的目标函数值 总是大于或等于对偶问题的目标
函数值。
强对偶性
当原问题和对偶问题都存在可行 解时，它们的最优解对应的目标
强对偶性定理
若原问题和对偶问题都有可行解，则 它们分别存在最优解，且这两个最优 解的目标函数值相等。
在满足某些约束规格（如Slater条件） 的情况下，强对偶性成立。
互补松弛条件
在原问题和对偶问题的最优解中，如果某个约束条件的对偶变量值为正，则该约束 条件必须是紧的（即取等号）。
如果原问题（对偶问题）的某个变量在最优解中取正值，则其对应的对偶问题（原 问题）的约束条件必须是紧的。
标准形式
通常将线性规划问题转化为标准 形式，即求解目标函数的最小值 ，约束条件为一系列线性不等式 。
对偶问题定义与性质
对偶问题定义：对于 给定的线性规划问题， 可以构造一个与之对 应的对偶问题，该问 题的目标函数和约束 条件与原问题密切相 关。
对偶问题性质
对偶问题的目标函数 是原问题约束条件的 线性组合。
解决对偶间隙等关键问题
在实际应用中，由于原问题和对偶问题之间可能存在对偶间隙，导致对偶理论的实用性受到一定的限制。 未来可以研究如何缩小或消除对偶间隙，提高对偶理论的实用性和应用范围。
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简化了复杂问题的求解过程
对偶理论能够将一些复杂的线性规划问题转化为相对简单的对偶问题进行求解，从而降低了问题 的求解难度和计算量。
揭示了原问题和对偶问题之间的内在联系
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
线性规划对偶理论
线性规划对偶理论前言线性规划（linear programming, LP）是一种求解线性模型的算法，该算法可以在目标函数下寻找最佳的解决方案。
通常情况下，线性规划可以被看作是一种最优化问题，其目的是在满足一组约束条件的前提下，找到可以最大化或最小化目标函数的变量值。
而对偶理论是线性规划问题中的重要概念之一，在很多情况下，使用对偶理论能够有效地求解出更优的解答。
线性规划与对偶理论在介绍线性规划对偶理论之前，我们先来简单了解一下线性规划的概念。
线性规划可以被定义为一组决策变量的线性函数，该函数的取值范围应在满足一组线性方程（或不等式）约束条件的前提下，使得目标函数达到最小（或最大）值。
换句话说，线性规划要求我们在可接受的条件下，寻找到最优的决策变量值。
围绕这种思想，我们可以进一步探讨线性规划的对偶问题。
在实践中，我们常常会面对一些较复杂的线性规划问题，此时我们可以使用对偶理论对其进行简化处理。
形式化地说，对于一个线性规划问题，我们可以构建一个对应的对偶问题，二者之间的关系可以被描述为一种对称的互补关系。
具体而言，在每个线性规划问题中，我们可以根据不同的约束条件求出一个对应的乘法因子，这个乘法因子可以在构建对偶问题时被使用。
通过这种方式，我们总是可以在对偶问题中找到一组最优解，而这组最优解实际上是原始问题的一个下界。
同时，我们可以利用对偶问题的最优解来求解原始问题的最优解，这种方法被称为对偶算法。
相比于原始的线性规划问题，对偶问题有着更为简洁的约束条件和更为易于求解的优化问题，因此其求解效率较高。
对偶问题的分析与求解在实际求解中，我们通常需要对给定的线性规划问题进行对偶化处理，并使用一系列的对偶算法来求解对偶问题。
下面，我们将会举两个例子来说明对偶问题的分析与求解。
例1：最小费用最大流问题最小费用最大流问题是一种最优化问题，其目的是在给定图中求出最大流量下的最小费用。
在具体求解中，我们可以通过建立一个对应的线性规划问题，并将其对偶化得到一个更加简洁的对偶问题。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
(完整版)线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理3。
1 线性规划的对偶问题一、 对偶问题的提出换位思考家具厂的线性规划问题,该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。
他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。
如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图,肯把资源出租给他, 又使自己付的租金最少.目标：租金最少；1y —付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金2150120m in y y w +=所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收入 502421≥+y y2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收入 30321≥+y y3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y二、 原问题与对偶问题的数学模型1. 对称形式的对偶原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。
原问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=0min X b AX CX z对偶问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=0max Y C YA Yb w2. 非对称形式的对偶若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型）,即⎪⎩⎪⎨⎧≥==0min X b AX CX z则其对偶问题的数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≤=是自由变量Y C YA Yb w max可把原问题写成其等价的对称形式:min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0即 min z =CX⎥⎦⎤⎢⎣⎡-A A X ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b bX ≥0设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ）， Y 2=（y m+1，y m+2，…,y 2m ）。
第三章 对偶原理
第一节 线性规划的对偶关系
一,对偶问题的提出 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 桌子售价50 50元 椅子售价30 30元 桌子售价50元/个,椅子售价30元/个,生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种. 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种.现已 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 该厂每个月可用木工工时为120小时, 120小时 该厂每个月可用木工工时为120小时,油漆工工 时为50小时. 50小时 时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大? 的销售收入最大?
原 问 题
有最优解 无界解 无可行解
max z = 3x1 + 5 x2 + x3 =8 x1 2 x2 + x4 = 12 s.t. 3x1 + 4 x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
cj→
CB 2 5 3
3 b 4 6 4 x1 0 0 1 0
另一方面该企业家付出的租金也不能太低,否则 胜利家具厂的决策者觉得无利可图而不会将资源租给 他,还不如自己进行生产.因此该企业家付出的租金 应不低于利用两种资源进行生产得到的利润,也即:
4 y 1 + 2 y 2 ≥ 50 3 y 1 + y 2 ≥ 30 y ,y ≥ 0 1 2
这样就得到了另外一个LP模型(2)
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此
Z* = C B-1= Y* B b ) Z* ( Y*b) = yi* 或 b = bi i
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规
划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问
题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。
线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条
件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。
线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
线性规划的对偶原理
max w=bTY s.t. ATY≤C Y ≥0
max w=bTY s.t. ATY≤C Y ：无约束
s.t.
AX≤b X ≥0
max w=bTY s.t. ATY≤C Y ≤0
例2 写出下列线性规划的对偶问题
max z x1 2 x 2 x3 x1 x 2 x3 2 x x x 1 2 3 s.t. 1 2 x1 x 2 x3 2 x1 0; x 2 , x3 无约束
*
*
*
*
4、无界性：若线性规划问题（4.2.1）的目标函数无上界， 则问题（4.2.2）无可行解；若问题（4.2.2）的目标函数 无下界，则问题（4.2.1）无可行解． 5、对偶定理：若问题（4.2.1）和（4.2.2）之一有最优解， 则另一个也有最优解，并且目标函数值相等．
1、对称性：对偶问题的对偶是原始问题．
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
对偶的定义
max w=bTY s.t. ATY≤C Y ≥0
max z’=-CTX
s.t. -AX≤-b X ≥0
对偶的定义
min w=-bTY s.t. -ATY≥-C Y ≥0
2、弱对偶性：若 X 为问题
max z C T X AX b s.t. X 0
第四章 线性规划的对偶原理
线性规划的对偶性
对于线性规划的最大值问题，都相应存在着一个特 定的包含同样数据的最小值问题．也就是说，一个问题 可以从两个不同的方面提出：一个方面是在一定的资源 条件下，如何最合理地规划使用这种资源，使得完成的 任务量最大；另一个方面是根据已确定的任务如何规划 使用资源，使得消耗的资源为最少．这样的问题可以看 作是从两个不同的角度对同一个问题所进行的分析与研 究，是根据同样的条件与数据所构成的两个问题．它们 之间的关系是相对的，通常称一个问题是另一个问题的 对偶问题．如果把前者称为原始问题，后者就叫做对偶 问题．反之，如果把后者称为原始问题，前者就叫做对 偶问题，两者互为对偶．这便是线性规划的对偶性．
线性规划问题的对偶性
线性规划问题的对偶性线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要分支，用于解决一类特定的优化问题。
在线性规划问题中，我们需要在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
对于一般的线性规划问题，我们往往可以通过对偶性理论来找到一个等价的对偶问题，从而更好地求解原始问题。
1. 对偶问题的引入在线性规划问题中，我们通常会面临一个最大化或最小化一个线性目标函数的任务，同时需要满足一系列线性约束条件。
假设我们的线性规划问题为：最大化（或最小化）：cx约束条件：Ax ≤ b其中，c是一个长度为n的向量，x是变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个长度为m的向量。
对于这个线性规划问题，我们可以引入一个新的向量y作为拉格朗日乘子，引入一个新的变量w作为对偶变量。
这样，我们可以构建原始问题的拉格朗日函数：L(x, y, w) = cx + yT(Ax - b) - wT(Ax - b)其中，y和w分别是拉格朗日乘子和对偶变量。
2. 对偶问题的建立在引入拉格朗日函数之后，我们可以分别对拉格朗日乘子y和对偶变量w进行极小化和极大化，建立相应的对偶问题。
对于拉格朗日乘子y，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, y) = (c + ATy)x - yTb注意到，c + ATy为常数向量，可以表示为q。
因此，我们可以得到对偶问题：最小化：qTx约束条件：ATy ≥ 0同样地，对于对偶变量w，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, w) = (c - ATw)x + wTb同样，我们可以得到对偶问题：最大化：wTb约束条件：ATw ≤ c3. 对偶问题的性质通过对拉格朗日函数的极小化和极大化，我们建立了与原始问题等价的对偶问题。
对偶问题不仅仅是一个等价的数学表达形式，而且具有许多重要的性质。
首先，根据对偶问题的建立，我们可以得知对偶问题的目标函数是原始问题的一个下界。
也就是说，对于任意可行解x和对偶变量w和y，有如下不等式成立：cx ≥ qTx ≥ wTb其次，若原始问题的最优解存在且有限，那么对偶问题的最优解也存在且有限，并且两者的目标函数值相等。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
线性规划的对偶理论(第2部分)
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
线性规划的对偶理论(NO8)
AX b
(P)
s.t
X
0
minW Yb YA C
(D) s.t Y 0
从上述性质中，可看到原问题与对偶问题的解必然是下列三种情况之一： ①原问题与对偶问题都有最优解，且CX=Yb； ②一个问题具有无界解，则它的对偶问题无可行解； ③两个问题均无可行解。
7
（5）（互补松驰性定理），若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行
max Z 2x1 x2 x3
2x1 x2 2
s.t.3x1 x2 x3 4
x1
,
x2 ,
x3
0
目标函数 无界
其对偶问题为：
min W 2 y1 4 y2
2 y1 3 y2 2
s.t
.
y1
y2 1 y2 1
y1 , y2 , y3 0
无可行解
6
max Z CX
3
一、对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理
MaxZ=CX
MinW=Yb
AX b
X
0
YA C Y 0
（1）（弱对偶定理）若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶
问题的可行解, 则有 证明：
C X(()) Y(0) b
CX (0) YAX(0) Y ( AX (0) ) Yb
（2）（最优性定理），若X(0) 、 Y(0)分别是互为对偶问题 LP和DP的可行解，且C X(0) = Y(0) b，则X(0) 、 Y(0)分别是 它们的最优解
4
（3）（强对偶定理）若互为对偶问题之一有最优解，则另一 问题必有最优解，且它们的目标函数值相等。
证明：设X*是原问题的最优解，对应的最优基是B，引入松弛
变量Xs后化为标准形式
运筹学基础-对偶线性规划(2)
[解] 该问题存在可行解，如X=(0，0，0)； 其对偶问题为：
Min w = 2y1 +y2
S.t. – y1 – 2y2 ≥ 1 ①
y1 + y2 ≥ 1
②
对偶问题无可行解
y1 –y2 ≥ 0
③
y1,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，则原问题的解无
界或无可行解， 由于原问题存在可行解，所以解无界。
§2.2 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶理论包括以下几个基本定理。 定理1 （对称性定理）
即对偶问题的对偶是原问题。
定理2 （弱对偶定理） 设x和y分别是原问题和对偶问题的可行解，则必有cx≤yb，
即原问题的目标值小于对偶问题的目标值
定理3 （无界性） 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无
x
1
x2 x3 2x4 3 x2 3x3 x4 6
x
1
x2
2
x1 , x 2 , x 3 , x 4
（1）写出对偶问题； （2）已知原问题的最优解为X*=（2，0，1，1）T，求对 偶问题的最优解。
解：写出对偶问题为：
Max Z = 4y1 + 3y S.t. y1 + 2y2 ≤2 ①
y1 – y2 ≤3 ② 2y1 +3y2 ≤5 ③
2＝2 1/5 ＜ 3
17/5＜5
x2 = 0 x3 = 0
x1+3 x5= 4
2x1+ x5 = 3 解得：x1 = x5 = 1。
y1 + y2 ≤2 3y1 +y2 ≤3
函数值相等
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
第四章线性规划对偶
n
m
CXYb,即cjxj yibi
j1
i1
__ __
推论__ ⑴.若 X 和Y 分别是问题（P）和（D）的可__ 行解，
则C X 是（D）的目标函数最小值的一个下界； Y b 是
（P）的目标函数最大值的一个上界。
第四章线性规划对偶
11
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
矩 阵 形 式 ：P max Z CX
AX b
(2)
X
0
D minW Yb YA C Y 无符号限制（无约束）
第四章线性规划对偶
10
（二）、对偶问题的性质
1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
__ __
2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 X和Y 分别是问题
（P）和（D）的可行解，则必有
__ __
相当于：在换基迭代过程中逐渐使得对应的对 偶消问 失题 ，（ 直D到）中yT，CyBTTB1CBT是B对1 偶的问不题可的行可性行逐解渐 时，就是原问题的最优解。
第四章线性规划对偶
17
回顾（单纯形法）：
m ax zcx (1)
(LP)
Ax b
(2)
s.t.
x
0
(3)
(b0)
r(Amn)m，A P 1 P m P m 1 P n B N
对偶问题（D Dual Problem）
m in 100y1 150y2
2 y1 y2 4
s .t .
1.5 y1 3 y1
2
2 y2 y2
7
5
y 1 , y 2 0
线性规划问题的对偶理论及应用
线性规划问题的对偶理论及应用线性规划问题的对偶理论及其应用线性规划是一种优化问题，它要求我们在给定的限制条件下，最大化或最小化目标函数。
这个问题在数学、经济学和管理学中有重要的应用。
线性规划问题的对偶理论是一种有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的问题。
一、线性规划问题线性规划问题的一般形式为：\begin{aligned} \max_{\boldsymbol{x}} \ & \boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{c}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是一个$m \times n$ 的矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是一个 $m$ 维列向量。
我们要求出一个满足所有限制条件的 $\boldsymbol{x}$，使得目标函数 $\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ 最大（或最小）。
二、线性规划问题的对偶理论线性规划问题的对偶理论是一个重要的工具，它可以将原问题转化为一个对偶问题，从而得到一些有用的信息。
对于一个线性规划问题，我们可以构造它的对偶问题如下：\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{y}} \ & \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{y} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{c} \\ & \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{y}$ 是一个 $m$ 维列向量。
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线性规划的对偶原理
3.1 线性规划的对偶问题
一、 对偶问题的提出
换位思考
家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大
213050m ax x x z += ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤+0
,50212034212121x x x x x x
某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。
他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。
如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。
目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金
2150120m in y y w +=
所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益
1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收
入
502421≥+y y
2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收
入
30321≥+y y
3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y
二、 原问题与对偶问题的数学模型
1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。
原问题：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥=0min X b AX CX z
对偶问题：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤=0max Y C YA Yb w
2. 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥==0min X b AX CX z
则其对偶问题的数学模型为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤=是自由变量Y C YA Yb w max
可把原问题写成其等价的对称形式：
min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0
即 min z =CX
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-A A X ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b
X ≥0
设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。
根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
max w =(Y 1,Y 2)·⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-b b (Y 1,Y 2)·⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-A A ≤C Y 1≥0 Y 2≥0
即 max w =( Y 1-Y 2)·b
( Y 1-Y 2)A ≤C Y 1≥0 Y 2≥0
令Y= Y 1-Y 2, 得对偶问题为： max w = Yb
YA ≤C Y 是自由变量
3. 原问题与对偶问题的对应关系
原问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥+--=+-≤+++无约束
423143132143214
321,,0,14325x x x x x x x x x x x x x x
对偶问题： ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤≥=+≥-+=-≥+++-=0
,,01331
2245min 321313
21213213
21y y y y y y y y y y y y y y y y w 无约束
原问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≥=----≥++≤++-+--=无约束
3241432143243214
321,,0,02473254334324323min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z
对偶问题： ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
≥≤≥-+-=-+=-+-≤++-=无约束
3213
213
213
21313
21,0,04
44437332
3232253max y y y y y y y y y y y y y y y y y w
3.2 对偶问题的基本性质和基本定理
一、 对称性定理
对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
二、 弱对偶性定理
弱对偶性定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则有C X
)
0(≥Y )0(b 。
三、 最优性定理
最优性定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，且有C X
)
0(=Y
)
0(b ，则X
)
0(
和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的最优解。
四、 对偶定理
对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解， 且相应的目标函数值相等。
若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。
五、 单纯型乘子Y 的定理 单纯型乘子Y 的定理：若线性规划原问题有一个对应于基B 的最优基本可行解，则此时的单 纯型乘子Y= C B B 1-是相应于对偶问题的一个最优解。
六、 对称形式对偶的互补松弛定理
对称形式对偶的互补松弛定理：若X )0(和Y )0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则X )0(和 Y )0(都是最优解的充要条件是，对所有i 和j ，下列关系式成立：
1. 如果x )
0(j >0，必有Y )0(P j =c j 2. 如果Y )0( P j < c j ，必有x )
0(j =0 3. 如果y )
0(i >0，必有A i X )
0(=b i
4. 如果A i X
)0(>b i ，必有y )
0(i =0
其中P j 是A 的第j 列，A i 是A 的第i 行。
互补松弛定理意味着：如果原问题最优解X )0(中第j 个变量x )
0(j 为正，则其对偶问题中与之 对应的第j 个约束式在最优情况下必呈严格等式（即其松弛变量为0）；而如果对偶问题中 第j 个约束式在最优情况下呈严格不等式，则原问题最优解X )
0(中第j 个变量x )
0(j 必为0。
类似地，如果对偶问题最优解Y
)
0(中第i 个对偶变量y )
0(i 为正，则其原问题中与之对应的第
i 个约束在最优情况下必呈严格等式（即其剩余变量为0）；而如果原问题中第i 个约束在 最优情况下呈严格不等式，则对偶问题最优解Y
)
0(中第i 个对偶变量y )
0(i 必为0。
互补松弛性：0=S YX 0=X Y S Y X ,为最优解
对一对对偶规划的最优解而言，如果对应某一约束条件的对偶变量的值为非零，则该约 束条件取严格等式；反之，如果某个约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
七、 非对称形式对偶的互补松弛定理 非对称形式对偶的互补松弛定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则X
)
0(
和Y
)
0(都是最优解的充要条件是，对所有j ，下列关系式成立：
1. 如果x )
0(j >0，必有Y )
0(P j =c j
2. 如果Y
)
0( P j < c j ，必有x )
0(j =0
例：已知线性规划问题⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0
,,122
max 3213213212
1x x x x x x x x x x x z
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解
该问题存在可行解，如)0,0,0(=X 又对偶问题为
,01122min 2121222121≥≥-≥+≥--+=y y y y y y y y y y w
由第一个约束条件知对偶问题无可行解，由此可知其原问题无最优解 八、 最优对偶变量（影子价格）的经济解释
由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。
如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那 么该约束相对应的影子价格一定为零。
因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再 增加这种资源不会带来任何效益。
反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这 种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全 部利用，相应的约束条件必然保持等式。