34.矩形、菱形、正方形2

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备战中考数学分点透练真题矩形、菱形、正方形(解析版)

第十九讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．【答案】6【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm，∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD•cos30°＝8×＝4cm，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6（cm），故答案为：6．7．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．【答案】【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝cm，故答案为．8．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD 于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．9．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．10．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．11．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4 （2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．命题点2 菱形的相关证明与计算12．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．13．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故选：D．14．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．15．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．16．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+B．2+2C．2+D．1+2【答案】A【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．17．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．18．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝，设AH＝x，则HE＝2﹣x，∵AD＝BD，DH⊥AB，∴∠ADH＝∠ADB＝30°，∴AD＝2x，DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．19．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．20．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝21．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）略（2）②【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．22．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．（2）如图，∵AB•AD＝3，∴S△ABD＝AB•AD＝，∵ED＝2AE，∴ED＝AD，∴S△BDE：S△ABD＝2：3，∴S△BDE＝，∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，∴EF•BD＝4．命题点3 正方形的相关证明与计算23．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．24．（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．25．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．26．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．27．（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF ＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF•cos∠F＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．28．（2021•常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF 交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PDC．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案】C【解答】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．29．（2021春•新吴区月考）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，5）C．（5，﹣2）D．（﹣1，5）【答案】D【解答】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，得矩形ACBO，∴AC＝OB，AO＝CB，∵点E的坐标为（2，3），∴ED＝3，OD＝2，∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG＝∠FGO＝90°，∴∠EOD+∠GOB＝90°，∵∠GOB+∠OGB＝90°，∴∠EOD＝∠OGB，在△EOD和△OGB中，，∴△EOD≌△OGB（AAS），∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，同理可证：△EOD≌△FGC（AAS），∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1，∴F（﹣1，5）．故选：D．30．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH 于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．31．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．【答案】﹣1【解答】解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．32．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【答案】【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．33．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．【答案】【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．34．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四边形BEDF的周长为8．。

2024中考数学全国真题分类卷第十八讲矩形、菱形、正方形 (含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第十八讲矩形、菱形、正方形命题点1矩形的相关证明与计算1.(2023陕西)在下列条件中，能够判定▱ABCD 为矩形的是()A.AB ＝AC B.AC ⊥BD C.AB ＝AD D.AC ＝BD2.(2023邵阳)已知矩形的一边长为6cm ，一条对角线的长为10cm ，则矩形的面积为________cm 2.3.(2023十堰)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB ＝AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FBD ＝55°，则∠A ＝________°.第3题图4.(2023吉林省卷)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF ＝14AC ，连接EF .若AC ＝10，则EF ＝________．第4题图5.(2022绍兴)图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上，若AB ＝30cm ，则BC 长为________cm(结果保留根号).第5题图6.(2023黔东南州)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥B D.若AC ＝10，则四边形OCED 的周长是________．第6题图7.(2023青海省卷)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，若AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为________．第7题图8.(2023甘肃省卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝9cm ，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝2cm ，BD ，EF 交于点G ，若G 是EF 的中点，则BG 的长为________cm.第8题图9.(2023宜昌)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，F ，G 分别是BE ，CE 的中点，连接AF ，DG ，FG ，若AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5，矩形ABCD 的面积为________．第9题图10.(2022贵港)如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD ，垂足为E .连接CE ，若tan ∠ADB ＝12，则tan ∠DEC 的值是________．第10题图11.(2023苏州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点E ，AE 与CD 交于点F.(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．第11题图12.(2022金华)已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB ＝2.(1)求矩形对角线的长；(2)过O作OE⊥AD于点E，连接BE.记∠ABE＝α，求tanα的值．第12题图13.(2023云南)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.第13题图源自北师九上P19第3题14.(挑战题)(2023自贡)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB ＝A B.我们还可以得到FC＝________，EF＝________；(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；(3)已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．第14题图命题点2菱形的相关证明与计算15.(2023河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误．．的是()第15题图A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠DAC＝∠BAC16.(2023河南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为()第16题图A.6B.12C.24D.4817.(2023自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()第17题图A.(5，－2)B.(2，－5)C.(2，5)D.(－2，－5)18.(2022绍兴)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC→CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是()第18题图A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形19.(2023仙桃)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O ＝60°，则tan ∠ABC ＝()第19题图A.13 B.12 C.33 D.3220.(2023株洲)如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定．．．正确的是()第20题图A.OB ＝12CEB.△ACE 是直角三角形C.BC ＝12AE D.BE ＝CE 21.(2023海南)如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ∶CE ＝1∶2，EF ＝7，则菱形ABCD 的边长是()第21题图A.3B.4C.5D.47522.(新趋势)·条件开放性问题(2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是________________．(只需写出一个条件即可)第22题图23.(2023乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8cm和6cm，则菱形的面积为________cm2.24.(2023温州)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N 在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为________．第24题图25.(2023陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E，F，则ME＋NF的值为________．第25题图26.(2023天津)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于________．第26题图27.(新趋势)·注重学习过程(2023嘉兴)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝O D.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分B D.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个．．条件，并证明．第27题图28.(2023北京)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．第28题图29.(2023连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥D C.(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值．第29题图30.(2023娄底)如图①，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C，D，F共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G＝θ.(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值；(2)如图②，当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．第30题图31.(2023宜昌)已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．(1)如图①，连接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥A D.①求证：CE＝CF；②若AE＝2，求CE的长；(2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．第31题图命题点3正方形的相关证明与计算32.(2023玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等33.(2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB 上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为()A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°第33题图34.(2023滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O(如图①)，如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图②)，连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是()第34题图A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线35.(2022仙桃)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个第35题图36.(2023绍兴)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()第36题图A.1B.2C.3D.437.(新趋势)·数学文化(2023江西)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为________．第37题图38.(2020天水)如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为________．第38题图39.(2023无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝________．第39题图40.(2023海南)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝________°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是________．第40题图41.(2023泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为________．第41题图42.(2023山西)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N.若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为________．第42题图43.(2023安徽)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：(1)∠FDG＝________°；(2)若DE＝1，DF＝22，则MN＝________．第43题图44.(2023邵阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD 上，且BE＝DF，OE＝O A.求证：四边形AECF是正方形．第44题图45.(2023遵义)将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．(1)求证：△ADE ≌△CDG ；(2)若AE ＝BE ＝2，求BF 的长．第45题图46.(挑战题)(2023台州)图①中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图②，在正方形ABCD 各边上分别取点B 1，C 1，D 1，A 1，使AB 1＝BC 1＝CD 1＝DA 1＝45AB ，依次连接它们，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再在四边形A 1B 1C 1D 1各边上分别取点B 2，C 2，D 2，A 2，使A 1B 2＝B 1C 2＝C 1D 2＝D 1A 2＝45A 1B 1，依次连接它们，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．第46题图(1)求证：四边形A 1B 1C 1D 1是正方形；(2)求A 1B 1AB的值；(3)请研究螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．参考答案与解析1.D2.48【解析】∵矩形的一边长为6cm ，一条对角线的长为10cm ，由勾股定理可得矩形的另一边长为8cm ，∴矩形的面积为6×8＝48(cm 2).3.1104.52【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2AO ＝2OD ＝10，∴OD ＝12AC ＝5，∵AF ＝14AC ，∴AF ＝12OA ，∵E 是AD 的中点，∴EF 是△AOD 的中位线，∴EF ＝12OD ＝52.5.303【解析】∵钟表数字2和数字3之间的夹角为360°12＝30°且钟表数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，AB ＝30cm ，∴∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴BC ＝AD ＝AB tan ∠ADB＝AB tan 30°＝3033＝303(cm).6.20【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝10，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OC ＝OD ＝12BD ＝5，∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵OC ＝OD ＝5，∴四边形CODE 是菱形，∴四边形CODE 的周长为4OC ＝4×5＝20.7.6【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AO ＝OC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AEO 和△CFO EAO ＝∠FCO ＝OC AOE ＝∠COF，∴△AEO ≌△CFO (ASA)，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴阴影部分的面积等于矩形ABCD 的面积的一半，∵矩形面积为AB ·BC ＝3×4＝12，∴阴影部分的面积为12×12＝6.8.13【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝6cm ，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∵AE ＝2cm ，∴BE ＝AB －AE ＝6－2＝4cm ，∵G 是EF 的中点，∴EG ＝BG ＝12EF ，∴∠BEG ＝∠ABD ，∠BEG ＝∠BDC ，∴△EBF ∽△DCB ，∴EB DC ＝BF CB，∴46＝BF 9，∴BF ＝6，∴EF ＝BE 2＋BF 2＝42＋62＝213(cm)，∴BG ＝12EF ＝13cm.9.48【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠CDA ＝90°.∵F ，G 为BE ，CE 中点，∴在Rt △ABE 中，AF ＝BF ＝EF ＝12BE ，在Rt △CDE 中，DG ＝CG ＝EG ＝12CE ，∴BE ＝6，CE ＝8，∵EF ＝3，EG ＝4，FG ＝5，EF 2＋EG 2＝FG 2，∴△EFG 为直角三角形，∠FEG ＝90°，∴S 矩形ABCD ＝2S △BEC ＝2×12BE ·CE ＝48.10.23【解析】如解图，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，在△ABE 与△CDF 中AEB ＝∠CFDABE ＝∠CDF＝CD，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴AE ＝CF ，BE ＝DF .∵AE ⊥BD ，tan ∠ADB ＝AB AD ＝12，∴设AB ＝a ，则AD ＝2a ，∴BD ＝5a ，∵S △ABD ＝12BD ·AE ＝12AB ·AD ，∴AE ＝CF ＝255a ，∴BE ＝DF ＝AB 2－AE 2＝a 2－（255a ）2＝55a ，∴EF ＝BD －2BE ＝5a －2×55a ＝355a ，∵CF ⊥BD ，∴tan ∠DEC ＝CF EF ＝23.第10题解图11.(1)证明：将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，则AD ＝BC ＝EC ，∠D ＝∠B ＝∠E ＝90°，在△DAF 和△ECF 中，DFA ＝∠EFCD ＝∠E ＝EC，∴△DAF ≌△ECF (AAS)；(2)解：∵△DAF ≌△ECF ，∴∠DAF ＝∠ECF ＝40°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°.∴∠EAB ＝∠DAB －∠DAF ＝90°－40°＝50°.∵由折叠的性质得∠EAC ＝∠CAB ，∴∠CAB＝25°.12.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝2，∴AC＝BD＝2OB＝4；(2)∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴AD＝BD2－AB2＝16－4＝23.由(1)得，OA＝OD.又∵OE⊥AD，∴AE＝12AD＝3，在Rt△ABE中，tanα＝AEAB＝32.13.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥DF，∴∠DFE＝∠ABE.∵E为线段AD的中点，∴DE＝AE.在△DFE和△ABE DFE＝∠ABE DEF＝∠AEB＝AE，∴△DFE≌△ABE(AAS)，∴DF＝AB.又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．∵∠BDF＝90°，∴平行四边形ABDF是矩形；(2)解：∵四边形ABDF是矩形，∴∠ABD＝90°，AF＝BD，AB＝DF.∵AD＝5，DF＝3，∴在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2－DF 2＝52－32＝4，∴AF ＝BD ＝4，AB ＝DF ＝3.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3.∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝90°.∴S ＝S 矩形ABDF ＋S △BCD ＝DF ·BD ＋12CD ·BD ＝3×4＋12×3×4＝12＋6＝18.14.(1)解：DC ，AD ；(2)证明：∵EF ＝AD ，AD ＝BC ，∴EF ＝BC ，同理可得FC ＝EB ，∴四边形EFCB 为平行四边形，∴EF ∥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ∥AD ；(3)解：如解图，过点E 作EG ⊥BC 交BC 延长线于点G ，EG 即为EF 与BC 之间的距离，由题意可得，HC ＝40cm ，BC ＝30cm ，BE ＝DC ＝80cm ，第14题解图在Rt △HBC 中，HB ＝HC 2＋BC 2＝402＋302＝50cm ，∵HC ∥EG ，∴△BCH ∽△BGE ，∴HC EG ＝BH BE ，即40EG ＝5080，解得EG ＝64cm ，∴EF 与BC 之间的距离为64cm.15.C16.C17.B 【解析】菱形为中心对称图形，对角线的交点即为对称中心，∵A 点坐标为(－2，5)，∴相应的C 点坐标为(2，－5).18.C 【解析】由∠B ＝60°知，菱形由两个等边三角形组合而成，当AP ⊥BC 时，此时△ABP 为直角三角形；当点P 到达点C 处时，此时△ABP 为等边三角形；当点P 在CD 上且位于CD 的中垂线时，则△ABP 为直角三角形；当点P 与点D 重合时，此时△ABP 为等腰三角形．19.C 【解析】如解图，由题意可得，∠BDC ＝60°，BD ＝CD ＝AC ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC ＝BD ，∠BCD ＝60°，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝∠ABC ＝12×(180°－120°)＝30°，∴tan ∠ABC ＝tan 30°＝33.第19题解图20.D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∵AO ＝CO ＝12AC ，AC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴△AOB ∽△ACE ，∠AOB ＝∠ACE ＝90°，∴AO AC ＝OB CE ＝AB AE ＝12，∴△ACE 是直角三角形，OB ＝12CE ，∴BC ＝12AE ，故选D.21.B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，DC ＝BC ，∠A ＝∠C ，设BF ＝x ，则CE ＝2x ，∵点E 是CD 的中点，∴CD ＝AB ＝AD ＝4x ，如解图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵EF ⊥AB ，∴四边形DEFH 为矩形，∴EF ＝DH ＝7，HF ＝DE ＝2x ，∴AH ＝3x ，在Rt △ADH 中，AD 2＝AH 2＋DH 2，即(4x )2＝(3x )2＋(7)2，解得x ＝1(负值已舍去)，∴AD ＝4x ＝4.第21题解图22.AB ＝CD (答案不唯一)【解析】由题中条件AC ⊥BD 可知，只需四边形ABCD 为平行四边形即可，又AB ∥CD ，故添加AB ＝CD (答案不唯一).23.24【解析】S ＝12×8×6＝24(cm 2).24.32【解析】如解图，连接BD ，交AC 于O ，连接EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB＝BC ，∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，∴AE ＝CF ，∴EF ∥AC ，由题意知，四边形AEFM ，EFCN 均为平行四边形，∴EF ＝AM ＝CN ，∵EF ∥AC ，∴△BFE ∽△BCA ，∴EFAC＝BE BA ，∵AE ＝3BE ，AB ＝1，∴AB ＝4BE ，∴EF AC ＝BE BA ＝14，∴AM ＝CN ＝14AC ，∴MN ＝12AC＝OA ，∵∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，AO 垂直平分BD ，∴OD ＝12，∴OA ＝AD 2－OD 2＝12－（12）2＝32，∴MN ＝32.第24题解图25.152【解析】如解图①，连接AC 交BD 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝72，CD ＝4，∴OC ＝OA ＝42－（72）2＝152，设AM ＝BN ＝a ，则DM ＝4－a ，∵ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，∴△DME ∽△DAO ，△BNF ∽△BCO ，∴ME OA ＝DMDA ＝4－a 4，NF OC ＝BN BC ＝a 4，∴ME OA ＋NF OC ＝4－a 4＋a 4＝1，∴ME ＋NF ＝OA ＝152.第25题解图①【一题多解】如解图②，连接AC 交BD 于点O ，过点M 作MG ⊥AC 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝72，CD ＝4，∴OC ＝OA ＝42－（72）2＝152，∵AC ⊥BD ，ME ⊥BD ，∴∠AMG ＝∠ADO ＝∠CBO ，ME ＝GO ，又∵AM ＝BN ，NF ⊥BD ，∴△AMG ≌△NBF ，∴NF ＝AG ，∴ME ＋NF ＝GO ＋AG ＝AO ＝152.第25题解图②26.194【解析】如解图，过点F 作FM ⊥DE 于点M ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝2.∵E 为AB 的中点，∠DAB ＝60°，∴AE ＝1，∠AED ＝90°，由勾股定理，得DE ＝AD 2－AE 2＝3.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°，∠CDE ＝90°.∵FM⊥DE，F为CE的中点，∴M为DE的中点，即FM∥CD，FM＝12CD＝1，ME＝DM＝12DE＝32，∴FM∥AB，FM＝AE，∴∠EAG＝∠MFG，∵∠AGE＝∠FGM，∴△AEG≌△FMG(AAS)，∴EG＝MG＝12ME＝34，又∵FM∥CD，∴∠FMG＝∠CDE＝90°，在Rt△FMG中，由勾股定理，得FG＝MG2＋FM2＝（34）2＋12＝194.第26题解图27.解：赞成小洁的说法，补充：AB＝CB.证明：由小惠证法得：AB＝AD，CB＝CD，又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．28.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO.又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF，∴四边形EBFD为平行四边形；(2)∵∠BAC＝∠DAC，DO＝BO，∴AO⊥BD.由(1)得四边形EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是菱形．29.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE＝BC.又∵点E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵BE ⊥DC ，∴四边形DBCE 为菱形；(2)解：如解图，由菱形对称性得，点N 关于BE 的对称点N ′在DE 上，第29题解图∴PM ＋PN ＝PM ＋PN ′.当P ，M ，N ′三点共线时，PM ＋PN ＝PM ＋PN ′＝MN ′.过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，∵DE ∥BC ，∴MN ′的最小值即为平行线间的距离DH 的长．∵△DBC 是边长为2的等边三角形，∴在Rt △DBH 中，∠DBH ＝60°，DB ＝2，∴DH ＝DB ·sin ∠DBH ＝2×32＝3，∴PM ＋PN 的最小值为3.30.解：(1)①∵四边形BCDE 和四边形BCFG 都是菱形，∴BE ＝BC ＝CF ，CF ∥GE ，∴∠OCF ＝∠OBE ，∵∠COF ＝∠BOE ，∴△COF ≌△BOE (AAS)，∴OC ＝OB ，OF ＝OE ，∴无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；②θ＝60°；【解法提示】∵OC ＝OB ，∴OB ＝12BC ＝12BE ，∵EF ⊥BC .∴∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＝30°，∴∠OBE ＝60°，∵GF ∥BC ，∴∠G ＝∠OBE ＝60°，即当θ＝60°时，EF ⊥BC .(2)tan ∠ABC ＝2，理由如下：由(1)知BC ＝BE ＝2OB ，当θ＝90°时，则四边形BCDE 和四边形BCFG 都是正方形，∴∠OBE ＝90°，∴tan∠BOE＝BEOB＝2，∵BC为动点A所在圆弧对应圆的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF垂直平分AC，∴EF∥AB，∴∠ABC＝∠BOE，∴tan∠ABC＝tan∠BOE＝2.∴当θ＝90°时，tan∠ABC＝2，使得EF垂直平分AC.31.(1)①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE＝CF；②解：∵E是边AB的中点，AE＝2，∴BE＝AE＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝BA＝4.∵CE⊥AB，∴在Rt△BEC中，CE＝BC2－BE2＝23；(2)解：如解图①，延长FE交CB的延长线于点M，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM.∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴EM＝EF，BM＝AF.∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴EM＝4，BM＝2，BE＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴CM ＝8，∴BM EM ＝24＝12，EM CM ＝48＝12，∴BM EM ＝EM CM ，∵∠BME ＝∠EMC ，∴△MEB ∽△MCE ，∴BE EC ＝BM EM ＝12，∵BE ＝3，∴CE ＝6.注：延长CE 交DA 的延长线于点N ，方法类似．第31题解图①【一题多解】如解图②，延长FE 交CB 的延长线于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ，∴∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，∵E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴△AEF ≌△BEM (AAS)，∴EM ＝EF ，BM ＝AF .∵AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，∴EM ＝4，BM ＝2，BE ＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴CM ＝8.∵在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，EM 2－MN 2＝EN 2，BE 2－BN 2＝EN 2，∴EM 2－MN 2＝BE 2－BN 2，∴42－(2＋BN )2＝32－BN 2，解得BN ＝34，则CN ＝6－34＝214，∴EN 2＝BE 2－BN 2＝32－(34)2＝13516，∴在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2＋CN 2＝13516＋44116＝36，∴CE ＝6(负值已舍去).第31题解图②32.D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第32题解图33.C【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝AD ，又∵BE ＝AF ，∴△ABE ≌△DAF ，∴∠ADF ＝∠BAE .∵AE 平分∠BAC ，∴∠ADF ＝∠BAE ＝12∠BAC ＝22.5°，∴∠CDF ＝∠ADC －∠ADF ＝90°－22.5°＝67.5°.34.A【解析】如解图，以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系xBy ，设正方形ABCD的边长为1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAE ＝∠OBF ＝45°，OA ＝OB .∵∠AOB ＝∠EOF ＝90°，∴∠AOB －∠EOB ＝∠EOF －∠EOB ，即∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF (ASA)，∴AE ＝BF .设AE ＝BF ＝a ，则F (a ，0)，E (0，1－a ).∵点G 是EF 的中点，∴G (12a ，12－12a )，∴点G 在直线y ＝－x ＋12上运动，又∵点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，∴点G 的运动轨迹是线段．第34题解图35.C【解析】①如解图，过点E分别作EM⊥CD于点M，EN⊥AD于点N，由题意得，EN＝EF＝BG，EM＝EG＝ND，在Rt△DEN和Rt△GFE中，EN＝EF∠END＝∠FEG ND＝EG，∴Rt△DEN≌Rt△GFE(SAS)，∴DE＝FG，故结论①正确；②如解图，延长DE交FG于点P，由Rt△DEN≌Rt△GFE可得∠NDE＝∠EGF，∵∠PEG＝∠DEN，∴∠DPG＝∠DNE＝90°，∴DE⊥FG，故结论②正确；③在Rt△DEN和Rt△FGB中，DE＝FG NE＝BG，∴Rt△DEN≌Rt△FGB(HL)，∴∠BFG＝∠ADE，故结论③正确；④当点E为对角线AC，BD的交点时，FG取得最小值，最小值为22，故结论④错误．综上所述，正确的结论为①②③，共3个．第35题解图36.C【解析】∵对角线互相平分的四边形为平行四边形，∴当MN的连线过BD的中点O 时，∵BE＝DF，∴BD的中点也是EF的中点，同时平分MN，∴存在无数个平行四边形MENF，说法①正确；当MN过点O时，四边形MENF为平行四边形，当EF＝MN时，四边形MENF为矩形，∴存在无数个矩形MENF，当MN过点O且垂直于BD时，四边形MENF 恒定为菱形，∴存在无数个菱形MENF，∴说法②③正确；当MN过点O且垂直于BD时，若MN＝EF，则四边形MENF为正方形，∵此时MN的长度恒定，∴EF的长度恒定，此时只存在一个正方形MENF，说法④错误．37.5【解析】由题图可知①②是两个全等的等腰直角三角形，∵拼成的正方形的对角线长为2，∴①②两个等腰直角三角形的直角边的长度为1，∴结合题图可知拼成的长方形的长为2，宽为1，∴其对角线的长为22＋12＝5.38.(－1，5)【解析】如解图，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 分别作EM ⊥x 轴于点M ，作EN ⊥FQ 于点N ，∴四边形NQME 是矩形，∴NQ ＝EM ＝3，∠NEM ＝90°.∵∠FEN ＋∠NEO ＝90°，∠NEO ＋∠OEM ＝90°，∴∠FEN ＝∠OEM .∵EF ＝EO ，∠FNE ＝∠EMO ，∴△EFN ≌△EOM ，∴EN ＝EM ＝3，FN ＝OM ＝2，∴FQ ＝FN ＋NQ ＝5，QO ＝EN －OM ＝1.∵F 在第二象限，∴F (－1，5).第38题解图39.1【解析】如解图，连接AG ，EG ，∵正方形ABCD 的边长为8，∴AB ＝BC ＝CD ＝8，∠B ＝∠C ＝90°，∵E 是CD 的中点，∴CE ＝4.设BG ＝x ，则CG ＝8－x ，在Rt △ABG 中，AG 2＝AB 2＋BG 2，即AG 2＝82＋x 2，在Rt △CEG 中，EG 2＝CE 2＋CG 2，即EG 2＝42＋(8－x )2.∵HG 垂直平分AE ，∴AG ＝EG ，∴AG 2＝EG 2，∴82＋x 2＝42＋(8－x )2，解得x ＝1，即BG ＝1.第39题解图40.60，3【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)，∴∠BAE ＝∠DAF ＝12×(90°－30°)＝30°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝60°，∴BE ＝12AE ，如解图，过点E 作EG ⊥AF 于点G ，∵∠BAE ＝∠GAE ，∴BE ＝GE .∵S △AEF ＝12AF ·EG ＝12×2BE ·BE ＝1，∴BE ＝1(负值已舍去)，∴AB ＝3BE ＝3.第40题解图41.2【解析】如解图，连接AP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝6，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3，根据折叠的性质，得AF ＝AB ＝6，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AF ＝AD ，在Rt △APF 和Rt △APD 中，＝AD＝AP，∴Rt △APF ≌Rt △APD (HL)，∴DP ＝FP .设DP ＝FP ＝x ，则EP ＝x ＋3，CP ＝6－x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得CE 2＋CP 2＝EP 2，即32＋(6－x )2＝(x ＋3)2，解得x ＝2，∴DP ＝2.第41题解图42.434【解析】∵AN ⊥EF ，四边形ABCD 为正方形，∴∠AMF ＝∠ADF ＝90°，∴∠DAN＋∠AGM ＝∠FGD ＋∠GFD ＝90°，∵∠AGM ＝∠FGD ，∴∠DAN ＝∠GFD ，设DN ＝x ，∵BE ＝DF ＝5，CN ＝8，∴AD ＝BC ＝CD ＝DN ＋CN ＝x ＋8，EC ＝BC －BE ＝x ＋8－5＝x ＋3，CF ＝CD ＋DF ＝x ＋8＋5＝x ＋13，在Rt △FEC 中，tan ∠GFD ＝EC CF ＝x ＋3x ＋13，在Rt △ADN中，tan ∠DAN ＝DNAD ＝x x ＋8，∵∠DAN ＝∠GFD ，∴tan ∠GFD ＝tan ∠DAN ，即x ＋3x ＋13＝xx ＋8，解得x ＝12，在Rt △AND 中，∠ADN ＝90°，AD ＝x ＋8＝12＋8＝20，DN ＝x ＝12，则AN ＝AD 2＋DN 2＝434.【一题多解】如解图，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝DC ＝BC ＝GH ，∠ADC ＝∠AGH ＝∠GHE ＝90°，∴∠AGM ＋∠EGH ＝90°，∵AN ⊥EF ，∴∠NAD ＋∠AGM ＝90°，∴∠EGH ＝∠NAD ，在△GHE 和△ADN中，GHE ＝∠ADN ，＝AD ，EGH ＝∠NAD ，∴△GHE ≌△ADN (ASA)，∴HE ＝DN .设DN ＝x ，则HE ＝x ，AD ＝BC＝CD ＝x ＋8，CH ＝GD ＝BC －BE －EH ＝3，CF ＝CD ＋DF ＝x ＋13，CE ＝x ＋3，∵tan F ＝GD DF ＝EC CF ，∴35＝x ＋3x ＋13，解得x ＝12，∴DN ＝12，AD ＝20，∴在Rt △ADN 中，AN ＝202＋122＝434.第42题解图43.(1)45；(2)2615【解析】(1)∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BE ＝FE ，∠BEF ＝90°，∵FG ⊥AG ，∴∠G ＝90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝90°，∴∠A ＝∠G ，∵∠AEB ＋∠GEF ＝∠GEF ＋∠GFE ＝90°，∴∠AEB ＝∠GFE ，∴△AEB ≌△GFE (AAS)，∴AE ＝GF ，AB ＝EG ，又∵AD ＝AB ，∴EG ＝AD ，∴DG ＝AE ，∴DG ＝GF ，∴∠FDG ＝45°；(2)如解图①，过点F 作FO ⊥CD 于点O ，则四边形DGFO 为正方形，又∵DE ＝1，DF ＝22，∴FO ＝2，AD ＝AE ＋DE ＝GF ＋DE ＝3，∴DC ＝AD ＝BC ＝AB ＝EG ＝3，OD ＝OF ＝2，∴OC ＝DC －DO ＝1，∵FO ∥AG ，∴△EDM ∽△FOM ，∴DM OM ＝DE OF ＝12，∴DM ＝23，∴OM ＝43，∵FO ∥BC ，∴△OFN ∽△CBN ，∴ON CN ＝OF CB ＝23，∴ON OC ＝ON ON ＋CN ＝25，∴ON ＝25，∴MN ＝OM ＋ON ＝43＋25＝2615.第43题解图①第43题解图②【一题多解】解法一：如解图②，延长BC 交GF 的延长线于点H ，∵DE ＝1，DF ＝22，∠FDG ＝45°，∴DG ＝FG ＝2，∴AE ＝DG ＝2，∴AD ＝AE ＋DE ＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝3，∵DC ∥GH ，∠CDG ＝∠DGH ＝∠DCH ＝90°，∴四边形DCHG 为矩形，∴CH ＝DG ＝2，FH ＝GH －GF ＝DC －GF ＝1，∴△EDM ∽△EGF ，△BCN ∽△BHF ，∴ED EG ＝DM GF ，BC BH ＝NC FH ，即13＝DM 2，35＝NC 1，∴DM ＝23，NC ＝35，∴MN ＝DC －DM －NC ＝3－23－35＝2615.解法二：由(1)得AE ＝GF ，AB ＝GE ，∵DE ＝1，DF ＝22，∠FDG ＝45°，∴AE ＝GF ＝2，∴AB ＝AD ＝GE ＝3，如解图③，以点D 为坐标原点，建立平面直角坐标系，∴B (－3，－3)，F (2，－2)，E (－1，0)，设直线BF 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，将B (－3，－3)和F (2，－2)3k 1＋b 1＝－3k 1＋b 1＝－21＝151＝－125，∴直线BF 的解析式为y 1＝15x －125，令x ＝0，得y ＝－125，∴点N 的坐标为(0，－125)，设直线EF 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，将E (－1，0)和F (2，－2)k 2＋b 2＝0k 2＋b 2＝－22＝－232＝－23，∴直线EF 的解析式为y 2＝－23x －23，令x ＝0，得y ＝－23，∴点M 的坐标为(0，－23)，∴MN ＝(－23)－(－125)＝2615.第43题解图③44.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∵BE ＝DF ，∴BO －BE ＝DO －DF ，即OE ＝OF ，∴四边形AECF 是菱形．∵OA ＝OE ，∴OA ＝OC ＝OE ＝OF ，∴AC ＝EF ，∴四边形AECF 是正方形．45.(1)证明：∵正方形ABCD 和菱形EFGH ，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，DE ＝DG ，在Rt △ADE 与Rt △CDG 中，＝CD＝DG ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDG (HL)；(2)解：如解图，连接EG 交DF 于点O ，第45题解图∵AE ＝BE ＝2，由(1)得Rt △ADE ≌Rt △CDG ，∴CG ＝AE ＝2，BG ＝CB －CG ＝2，∵∠ABC ＝90°，∴在Rt △EBG 中，EG ＝EB 2＋BG 2＝22，∴EO ＝2，在Rt △ADE 中，AD ＝4，AE ＝2，∴EF ＝DE ＝AE 2＋AD 2＝25，在Rt △OEF 中，OF ＝EF 2－OE 2＝20－2＝32，∴DF ＝2OF ＝62，∵DB ＝2AB ＝42，∴BF ＝DF －DB ＝22.46.(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∵AB 1＝BC 1＝DA 1＝45AB ，∴AA 1＝BB 1＝15AB ，∴△AB 1A 1≌△BC 1B 1，∴A 1B 1＝B 1C 1，∠AB 1A 1＝∠BC 1B 1，又∵∠BC 1B 1＋∠BB 1C 1＝90°，∴∠BB 1C 1＋∠AB 1A 1＝90°，∴∠A 1B 1C 1＝90°.同理可证：B 1C 1＝C 1D 1＝D 1A 1＝A 1B 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是正方形；(2)解：∵AB 1＝BC 1＝CD 1＝DA 1＝45AB ，设AB ＝5a ，则AB 1＝4a ，∴B 1B ＝AA 1＝a ，∴A 1B 1＝17a ，∴A 1B 1AB ＝17a 5a ＝175；(3)解：结论1：螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段的比均为51717或175.证明：∵AB 1＝45AB ，∴BB 1＝15AB .同理，B 1B 2＝15A 1B 1，∴B 1B B 1B 2＝AB A 1B 1＝51717.同理可得B 1B 2B 2B 3＝51717，∴螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段的比均为51717或175.结论2：螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段夹角的度数不变．证明：∵B 1B BC 1＝B 2B 1B 1C 2＝14，∠A 1B 1C 1＝∠ABC ＝90°，∴△BB 1C 1∽△B 1B 2C 2，∴∠BB 1C 1＝∠B 1B 2C 2.∵∠C 1B 1B 2＝∠C 2B 2B 3＝90°，∴∠BB 1C 1＋∠C 1B 1B 2＝∠B 1B 2C 2＋∠C 2B 2B 3，即∠BB 1B 2＝∠B 1B 2B 3.同理可证∠B 1B 2B 3＝∠B 2B 3B 4＝…，∴螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段夹角的度数不变．。

矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)

矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ；（2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____．【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ．不等边三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ．求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。

2020年中考数学考点总动员第20讲矩形、菱形和正方形(含答案解析)

第20讲矩形、菱形和正方形1．矩形、菱形、正方形的性质2.矩形、菱形、正方形的判定矩形：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角四边形；菱形：①有一组邻边_相等_的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形；正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形。

3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点1：矩形性质与判定【例题1】(2019湖北咸宁市)（（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．（1）求证：四边形DEFC是矩形；（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴DE∥FC，EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∵∠DCF＝90°，∴四边形DEFC是矩形．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角；(2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算；(3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解．考点2：菱形的性质与判定【例题2】在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.(1)如图1，若点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，OE ，OF ，求证：四边形AEOF 是菱形；图1 图2(2)如图2，若E ，F 分别在射线DB 和射线BD 上，且BE ＝DF. ①求证：四边形AECF 是菱形；②若∠AEC ＝60°，AE ＝6，AB ＝BE ，求AB 的长．【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt △ABO 中进行求解．【解答】解：(1)证明：∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴AE ＝12AB ，AF ＝12AD.又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AC ⊥BD. ∵E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE ＝AF ＝OF ＝OE. ∴四边形AEOF 是菱形．(2)①证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，BD ⊥AC. ∵BE ＝DF ，∴OB ＋BE ＝OD ＋DF ，即OE ＝OF. ∴四边形AECF 是菱形．②∵四边形AECF 是菱形，∴AE ＝CE ，AO ⊥EF ，∠AEO ＝∠CEO. ∵∠AEC ＝60°，∴∠AEO ＝30°. ∵AE ＝6，∴AO ＝3.∵AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠AEB ＝30°.∴∠ABO ＝∠AEB ＋∠BAE ＝60°. ∴在Rt △AOB 中，AB ＝AO sin ∠ABO ＝3sin60°＝2 3.归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂直即可判定为菱形等； 2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60°的菱形，60°所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论．考点3：正方形的性质与判定【例题3】(2018·遵义)如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN. (1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°. ∵∠EOF ＝∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON. ∴△OAM ≌△OBN(ASA)． ∴OM ＝ON.(2)过点O 作OH ⊥AD 于点H. ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2. ∵E 为OM 的中点， ∴A 为HM 的中点． ∴HM ＝4.∴OM＝22＋42＝2 5.∴MN＝2OM＝210.归纳： 1．证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形．2．在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解．注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起．一、选择题：1. （2019•南京•2分）面积为4的正方形的边长是（）A．4的平方根B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根【答案】B【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；故选：B．2. （2019•浙江绍兴•4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，∴∠DCF＝∠ECB，∴△BCE∽△FCD，∴，∴CF•CE＝CB•CD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选：D．3. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．4. （2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6 B． C．2 D．4.5【答案】C【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P 、M 即为使PE+PM 取得最小值，其PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴点E′在CD 上，∵AC=6 ，BD=6，∴AB=3，由S 菱形ABCD =12AC•BD=AB•E′M 得12××6=3 •E′M，解得：E′M=2，即PE+PM 的最小值是2 ，故选：C ．5. （2018广西南宁）如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos∠ADF 的值为（）A ．1113 B ．1315 C ．1517D ．1719【答案】C【解答】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，，∴△OEF≌△OBP（AAS ）， ∴OE=OB，EF=BP ．设EF=x ，则BP=x ，DF=DE ﹣EF=4﹣x ，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC ﹣BP=3﹣x ，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴cos∠ADF=ADDF=1517．故选：C．二、填空题：6. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于．【答案】4﹣2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=2，BD=2，∠EBD=45°，∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，∴DC′=DC=2，∠DC′E=∠C=90°，∴BC′=2﹣2，∠BC′E=90°，∴BE=BC′=4﹣2，故答案为：4﹣2．7. （2019•四川省凉山州•5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 4 ．【答案】4【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．8. （2018广西贵港）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为．【答案】70°．【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，∴∠C'FM=40°，设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，∴180°﹣α=40°+α，∴α=70°，∴∠BEF=70°，故答案为：70°．9. （2019•湖北省咸宁市•3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是②③（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③【解答】解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，∴，∴，∴MN＝2QN＝2．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：10. （2019•浙江宁波•10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E 为AD 中点， ∴AE＝ED ， ∵BG＝DE ， ∴AE＝BG ，AE∥BG，∴四边形ABGE 是平行四边形， ∴AB＝EG ， ∵EG＝FH ＝2， ∴AB＝2，∴菱形ABCD 的周长＝8．11. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点． (1)若AE ＝BF ＝CG ＝DH.求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2，求矩形ABCD 的面积．【点拨】(1)在矩形ABCD 对角线上有条件，同时还在四边形EFGH 对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD 的面积可转化成求AC 与DG 的积或转化成AD 与CD 的积．【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH. ∴四边形EFGH 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵OE ＝12OA ，OF ＝12OB ，OG ＝12OC ，OH ＝12OD ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.∴四边形EFGH 是矩形．∵DG ⊥AC ，OG ＝2，∴OD ＝4.∴DG ＝2 3.又∵AC ＝4OF ＝8，∴S △ADC ＝12AC ·DG ＝8 3.∴S 矩形ABCD ＝2S △ADC ＝16 3.12. （2019•山东省滨州市 •13分）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE ≌△BFE ，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，进而求得EF 和DF 的值，从而可以得到四边形CEFG 的面积．【解答】（1）证明：由题意可得， △BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE ， ∵FG ∥CE ， ∴∠FGE ＝∠CEB ， ∴∠FGE ＝∠FEG ， ∴FG ＝FE ， ∴FG ＝EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ， ∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10， ∴AF ＝8， ∴DF ＝2，设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6﹣x ， ∵FDE ＝90°， ∴22+（6﹣x ）2＝x 2，解得，x ＝，∴CE ＝，∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝×2＝．13. 已知：在边长为8的正方形ABCD 的各边上截取AE ＝BF ＝CG ＝DH.(1)如图1，连接AF ，BG ，CH ，DE ，依次相交于点N ，P ，Q ，M ，求证：四边形MNPQ 是正方形； (2)如图2，若连接EF ，FG ，GH ，HE. ①求证：四边形EFGH 是正方形；②当四边形EFGH 的面积为50 cm 2时，求tan ∠FEB 的值．图1 图2【点拨】(1)先证明四边形MNPQ 是矩形，再证明一组邻边相等；(2)①先证明四边形EFGH 是菱形，再证明它是矩形；②利用勾股定理，求BE ，BF ，再利用正切三角函数定义求值．【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°. 在△ABF 和△BCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ，BF ＝CG ，∴△ABF ≌△BCG(SAS)． ∴∠BAF ＝∠GBC.∵∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠GBC ＋∠AFB ＝90°. ∴∠BNF ＝90°.∴∠MNP ＝∠BNF ＝90°.∴同理可得∠NPQ ＝∠PQM ＝90°.∴四边形MNPQ 是矩形．在△ABN 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CBG ，∠ANB ＝∠BPC ，AB ＝BC ，∴△ABN ≌△BCP(AAS)． ∴AN ＝BP.在△AME 和△BNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠GBC ，∠AME ＝∠BNF ，AE ＝BF ，∴△AME ≌△BNF(AAS)．∴AM ＝BN.∴MN ＝NP.∴四边形MNPQ 是正方形． (2)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 又∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG. ∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG(SAS)． ∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE. ∴四边形EFGH 是菱形．∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是正方形．②∵四边形EFGH 的面积为50 cm 2，∴EF 2＝50 cm 2. 设BE ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm.在Rt △BEF 中，由勾股定理，得BE 2＋BF 2＝EF 2，即x 2＋(8－x)2＝50. 解得x 1＝1，x 2＝7.当BE ＝1 cm 时，BF ＝7 cm ，tan ∠FEB ＝BFBE ＝7；当BE ＝7 cm 时，BF ＝1 cm ，tan ∠FEB ＝BF BE ＝17.∴tan ∠FEB 的值为17或7.14. （2019•湖南株洲•8分）如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC.BD 的交点，连接CE.DG ．（1）求证：△DOG ≌△COE ；（2）若DG ⊥BD ，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，AM ＝，求正方形OEFG 的边长．【分析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH ∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有＝，求得GO即为正方形OEFG的边长．【解答】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为2。

矩形、菱形和正方形的相互关系

矩形、菱形和正方形的相互关系简介矩形、菱形和正方形是几何学中常见的形状。

它们具有一些相似之处，但也有一些区别。

了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。

矩形矩形是一个具有四条边和四个角的四边形。

矩形的对边长度相等且平行，且相邻两边的角度为90度。

矩形的特点是面积容易计算，即面积等于长度乘以宽度。

我们可以使用公式A = l * w来计算矩形的面积。

菱形菱形也是一个具有四条边和四个角的四边形。

与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但相邻两边的角度不一定为90度。

菱形的特点是它的对角线相互垂直且相等。

我们可以使用公式A = (d1 *d2) / 2来计算菱形的面积，其中d1和d2是菱形的对角线长度。

正方形正方形是一个特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角度都为90度。

正方形的特点是它的对角线长度相等且相互垂直。

正方形的面积计算也非常简单，即面积等于边长的平方。

我们可以使用公式A = s^2来计算正方形的面积，其中s是正方形的边长。

相互关系矩形和正方形是有关系的，可以说正方形是矩形的一种特殊情况。

正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。

因此，矩形的特性同样适用于正方形。

菱形和矩形之间也有一些关系。

由于菱形的对角线相互垂直，因此它可以划分成四个直角三角形。

这些三角形的特性也适用于菱形。

总结一下，矩形和菱形可以有一些共同的特点和性质，而正方形则是矩形的一种特殊形式。

结论矩形、菱形和正方形之间有一些相似之处，但也有一些区别。

矩形和正方形之间的关系是正方形是矩形的一种特殊情况。

菱形则具有特殊的对角线性质，可以划分成四个直角三角形。

了解这些形状的特性和相互关系可以帮助我们更好地理解几何学的基础概念。

第22讲菱形、矩形、正方形

一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知识点睛
特别提醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF，连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→

菱形、矩形、正方形

∠1=∠2=∠3=∠4
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定（2）由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
例2、谁正确？一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。

3.2矩形、菱形、正方形(2)

3.2矩形、菱形、正方形（2）二、填空题1.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．2.如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）．3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD 的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是．4.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．5．如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件：，使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .6.小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为．7.从边长为a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．现有一平行四边形纸片ABCD ﹙如图③﹚，已知∠A ＝45°，AB ＝6，AD ＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为．BDAO第5题图①②③ 图 ② 图 ①a bA 图 ③BCD第4题图A第1题图ADCBO第2题图8.如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．9.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图1所示）把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.10.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．11．已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为㎝2.12．正方形ABCD 的边长为a ,点E 、F 分别是对角线BD 上的两点，过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 .13．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是．14．矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．15．如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是____________cm.A BC E 'A 第10题图（'B ）D ABC DEFM N QP （第12题图）第8题A B DCOE第9题图E DCBA FF图1第14题AB CB ’ D E P 第15题图第17题图第13题图PFEACBD16．在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 是（只要写出一种即可）．17．如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥A B 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm. 18．如图所示，已知□ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明□ABCD 是矩形的有（填写序号）。

中考专题---矩形、菱形、正方形的综合复习 2

∴ BCE DCE, DCF GCF ∵EF∥BC，∴ BCE FEC, EFC GCF B D A E O F
C （第 7 题图）
G
∴ DCE FEC, EFC DCF ∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF （2）∵点 O 为 CD 的中点，∴OD=OC，又 OE=OF ∴四边形 DECF 是平行四边形 ∵CE 平分∠BCD、CF 平分∠GCD
因此．所以当 t＝1 时，△ACG 面积的最大值为 1．（3）或．
考点伸展
第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE//QC，FE＝QC，所以四边形 FECQ 是平行四边形．再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H′，那么四边形 EH′CQ 也是平行四边形．再根据 FQ＝CQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQ＝CQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EH′CQ 是否为菱形．，，，．如图 2，当 FQ＝CQ 时，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如图 3，当 EQ＝CQ 时，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．
F
E
G
A （1）证明： ∵△ADF 为等边三角形，
B ∴AF=AD，∠FAD=60° D C
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB ∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF ∵AE 为公共边 ∴△FAE≌△BAE ∴EF=EB （2）如图，连结 EC A ∵在等边三角形△ADF 中，∴FD=FA ∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA， ∴EF 是 AD 的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30° 由（1）△FAE≌△BAE 知∠EBA=∠EFA=30° ∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75° B F E G

9.4 矩形、菱形、正方形(2)

初中数学八年级(下册)
9.4
矩形、菱形、正方形(2)
作者：王正东（盐城市长荡初级中学）
9.4 矩形、菱形、正方形(2)
说一说
还记得，我们上节课学习的矩形具有哪些性质吗？（1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等. 说出上述命题的逆命题，并判断其真假.
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．
A D A D
B
C
B
C
议一议判断矩形有哪几种方法? 矩形的判定方法
1.有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
矩形. 矩形.
矩形.
平行四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？对于任意
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
例1 90°, D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形. C F A D E B 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相等吗？为什么？
通过本节课的学习，你有哪些收获？
A C l1 l2
B
D
两条平行线之间的距离处处相等.
9.4 矩形、菱形、正方形（2)
练一练 1．课本P77-78第1、2 题． 2．如图：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线 AB、CB和AD、CD分别交于点B、D，试判断四边形ABCD的形状.
M B P A D N
C
Q

9.4 矩形、菱形、正方形（2)

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(2)

三、典例分析：
例1、如图，矩形ABCD中，AC、BD是对角线，E为AB延长线上的一点，且BE=AB。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求证：BD=CE
例2、已知，AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的高，G是AB的中点，GF⊥DE。
求证:DF=FE
拓展：如果Rt△ABD与Rt△ABE在斜边AB的两侧时，G是AB的中点，GF⊥DE，那么结论DF=FE还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
课时编号
005
课题
1、3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（2）
教学目标
知识与技能
1、能证明矩形的性质定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2、运用矩形的性质定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行有关论证和计算。
过程与方法
探索矩形的性质，利用性质推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，并用性质解决一些实际问题。
四、中考题型展示：
你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？
请把题目整理出来并给出答案！
题目：
预习总结
1、通过本节课的学习，你认为你的学习重点是：
2、通过本节课的学习，你认为你的学习难点是：
3、通过本节课的学习，你认为你还有哪些东西没有掌握：
课后随笔
预习内容
预习活动
课堂补充
一、创设情境
1、制一个活动的平行四边形，观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，这个平行四边形是什么特殊图形？
2、猜想这个特殊图形的性质。
二、合作交流
1、你能证明这个特殊图形的性质吗？
2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，那么，BO与AC有怎样的位置关系和数量关系？你能得到什么结论？怎么证明你的结论？

矩形、菱形、正方形教案

第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。

掌握矩形的性质定理。

过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。

情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。

教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。

第二节矩形、菱形、正方形

第二节矩形、菱形、正方形一、课标导航二、核心纲要1.矩形(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)性质①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形． (4)其他判定（需要证明）①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形，若平行四边形ABCD 中，,.2222PB PD PC PA +=+则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC，证明DC ⊥PM ；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形． 2．菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． (3)菱形的判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边相等的四边形是菱形． 3．正方形(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． (2)性质②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； ④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有_个角是直角的平行四边形叫做正方形． (4)其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形； ⑤四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形； ⑥对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形．(5)平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4．直角三角形斜边中线等于斜边一半． 5．对角线互相垂直的四边形的性质①面积是对角线乘积的一半：;21BD AC s ABCD ⋅=四边形 ②对边平方和相等：.2222AD BC CD AB +=+本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定，三、全能突破基础演练1．如图18- 2-1所示，在△ABC 中，D AC BE AC AB ,,⊥=是AB 中点，且C AB BE DE ∠==则.21.的度数是( )．o A 65. 70.B o C 75. 80.D2．如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为,120,6=∠A m 其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为( )．m A 12. m B 20. m C 22. m D 24.3．菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形的面积为( )．225.cm A 216.cm B 22225.cm C 2216.cm D4．如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若,BC AB = 那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③;DC AC ⊥④DC 平分∠BDE ，正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知==∆∆ADF ABE s s ,31ABCD s 矩形则CEF AEF s s ∆∆:的值等于( )．2.A3.B4.C5.D6．如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且,45,60=∠=∠=∠FAD D EAF 则=∠CFE 度．7．如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于8．如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，.90,=∠∠=∠DEC CAB EDC(1)求证：.//DE AC(2)过点B 作AC BF ⊥于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．能力提升9．如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为G F E cm 、、,362分别为AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 上任一点，则图中阴影部分的面积为( )218.cm A 216.cm B 220.cm C 224.cm D10.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为( ) A ．142 B ．143 C ．144 D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于( )．135.A 150.B 110.C 120.D12.如图18 -2 -10所示，在菱形ABCD 中，,60 =∠BAD M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PB PM +的最小值是3，则AB 的长为( )．3.A 3.B 6.C 32.D13.如图18 -2 -11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点0按逆时针方向旋转,150则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积( )．A.不变 B ．先增大再减小 C ．先减小再增大 D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为( )．22821.P d A - 22821.P d B + 22621.P d C - 22621D.p d +15.如图18 -2 -12所示，在□ABCD 中，BC AF ADC ⊥=∠,78于点F ，AF 交BD 于点E ，若,2AB DF =则=∠AFD16．(1)如图18 -2 -13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4、5，P 是对角线AC 上的一点，PE∥BC 交AB 于点E ，PF∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是(2)如图18 -2 -14所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=3cm ，EF∥GH∥BC，点P 、Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为____．17．如图18 -2 -15所示，在直线L 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，现作一平行于L 的盲线m ，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则L ，m 之间的距离应为18.如图18 -2 -16所示，线段AB 的长为,220cm 点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为0，连接OB ，则线段BO 的最小值为19.如图18 -2 -17所示，在四边形ABCD 中，,35,6,120,135-===∠=∠BC AB BCD ABC6CD =,求AD 的长．20.如图18 -2 -18所示，在Rt△ABC 中，,4,3,90===∠BC AC C点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值．21.如图18 -2 -19所示，以Rt△ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为0，连接AO ，如果,26,4==AO AB 求AC 的值．22.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(A 、D 、E 、F 按逆时针排列)，使,60=∠DAF 连接CF ．(1)如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：.;CD CF AC CF BD +==②①(2)如图18-2-20(b)所示，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论CD CF AC +=是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图18-2-20 (c)所示，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．中考链接23.（2012．威海）如图18 -2 - 21所示，在平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是( )．AF AE A =. AC EF B ⊥. 60.=∠⋅B C D.AC 是∠EAF 的平分线24.（2012．青海）已知：如图18-2-22所示，D 是△ABC 的边AB 上一点，DN AB CN ,//交AC 于点M ，.MC MA =(1)求证：.AN CD =(2)若,2MCD AMD ∠=∠求证：四边形ADCN 是矩形．巅峰突破25．(1)将七个边长都为1的正方形按图18-2-23所示方式摆放，点、、21A A 6543A A A A 、、、分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是(2)如图18-2-24所示，将边长为),3,2,1(21 =+n n的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为①、、、 321A A A 若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；②若摆放前n 个（n 为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为26. 如图18-2-25所示，正方形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 点分别在BC 、CD 边上，且△AEF 是等边三角形．(2)过点D 作DG ⊥BD 交BC 延长线于点G ，在DB 上截取DH =DA ，连接HG.请你参考下面方框中的方法指导，证明：GH =GE.27.已知：在矩形ABCD 中，,12,10==BC AB 四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，.2=AE(1)如图18-2-26(a)所示，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； (2)如图18-2-26(b)所示，当四边形EFGH 为菱形，且BF=a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）； (3)在(2)的条件下，△GFC 的面积能否等于2?请说明理由．。

中考一轮复习--第21讲矩形、菱形、正方形

考法1
考法2
考法3
对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为( D )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
考法1
考法2
考法3
对应练2(2019·内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线
∵AD2+AB2=BD2,∴64+AB2=4AB2,
8 3
.
3
∴AB=
考法1
考法2
考法3
对应练3
(2018·甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点
F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
∴OD= 2,
∴直线 l∥AC 并且到 D 的距离为 3,同理,在点 D 的另一侧还有一条
直线满足条件,
故共有 2 条符合题意的直线 l.故选 B.
考法1
考法2
考法3
矩形的性质和判定
例1(2018·合肥行知学校模拟)如图,已知▱ABCD,延长AB到E使
BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.
AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的
8 3
长为 3
.
解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=DO,∵AE平分∠BAO,
∴∠BAE=∠EAO,且AE=AE,∠AEB=∠AEO,
∴△ABE≌△AOE(ASA),
∴AO=AB,且AO=OB,

解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点(解析版)

解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点【考点导航】目录【典型例题】1【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】【典型例题】【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·九年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是边AB上一点，以DE 为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．(1)∠DEF=；(2)若点E是AB的中点，则DF的长为．【答案】 90° 2.8【分析】(1)由折叠得∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF，再根据平角的定义可得结论；(2)首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠AED=∠DEG，∠BEF=∠HEF∴∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF∵∠AED+∠DEG+∠HEF+∠BEF=180°×180°=90°∴∠DEG+∠HEF=12即∠DEF=90°故答案为：90°；(2)∵四边形ABCD是菱形∴AD⎳BC，DC⎳AB，AB=BC=CD=DA=2∴∠B+∠A=180°∵∠A=120°∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°∵点E为AB的中点，且AB=2∴AE=BF=12AB=12×2=1.∵点A与点G重合，∴∠DGE=∠A=120°∵点B与点H重合∴∠EHF=∠B=60°又AE=EG，BE=EH，AE=BE∴EG=EH∴点G与点H重合∵∠DGE+∠FHE=∠DGE+∠FGE=100°+80°=180°∴B，G，D三点在同一条直线上过点D作DO⊥BC，交BC的延长线于点O，如图，∵DC⎳AB∴∠DCO=∠B=60°，DC=AB=2∴∠CDO=30°∴CO=12DC=12×2=1.在Rt△DCO中，OD=DC2-OC2=22-12=3由折叠得，BF=FH，AD=DH=2设BF=x，则FC=2-x∴DF=DF+GF=2+x，FO=FC+CO=2-x+1=3-x在Rt△DFO中，DF2=FO2+DO2∴(2+x)2=(3-x)2+(3)2解得，x=0.8∴DF=2+0.8=2.8故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的F处，若∠BAE=15°，则∠FDC的大小为．【答案】22.5°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AFE=75°，可得∠C，根据AF=AD，求出∠AFD，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】解：∵菱形ABCD沿AE折叠，B落在BC边上的点F处，∴AD=AB=AF，∠AEB=90°=∠AEF，∠FAE=∠BAE=15°，∴∠B=∠AFE=75°，在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE=75°，∠C=180°-∠B=105°，∵AF=AD，∴∠ADF=∠AFD=180°-75°2=52.5°，∴∠DFB=∠AFE+∠AFD=127.5°，∴∠FDC=∠DFB-∠B=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了菱形中的翻折问题，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．2(2023春·八年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，E，F分别是边AB，BC上的点，将△EBF沿EF折叠，使点B的对应点B'落在边AD上，若AE=AB'，则CF的长为．【答案】4-23##-23+4【分析】根据菱形性质和∠B=60°，可得BC=AB=4，AD⎳BC，∠BAD=120°，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，然后利用含30度角的直角三角形可得1 24-AE=32AE，得AE=23-2，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=AB=4，AD⎳BC，∴∠BAD=120°，如图，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，如图所示：∴PQ=AB'，B'Q=AP，∵AE =AB '，AG ⊥EB '，∴EG =B 'G =12EB '，∠AEG =30°，由翻折可知：BE =B 'E ，BF =B 'F ，∴BE =B 'E =AB -AE =4-AE ，∴EG =B 'G =124-AE ，∵EG =AE ⋅cos30°，∴124-AE =32AE ，解得AE =23-2，∴PQ =AB '=AE =23-2，在Rt △ABP 中，∠B =60°，AB =4，∴BP =12AB =2，∴AP =23，∴B 'Q =AP =23，∴CF =BC -BF =4-BF ，QF =BF -BP -PQ =BF -2-23-2 =BF -23，在Rt △B 'QF 中，根据勾股定理，得：B 'Q 2+QF 2=B 'F 2，∴(23)2+(BF -23)2=BF 2，解得BF =23，∴CF =4-BF =4-23，故答案为：4-23．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3(2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习)如图，菱形纸片ABCD ，AB =8，∠B =60°，将该菱形纸片折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点B 处，折痕与边BC 、BA 分别交于点M 、N ．则CM 的长为．【答案】2.4【分析】过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出CE 和B ′E ，设BM =x ，则B ′M =x ，用x 表示出ME ，然后在Rt △B ME 中，利用勾股定理得出方程进行解答．【详解】解：过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =8，AB ∥CD ，∵B 是CD 的中点，∴B′C=4，∵∠B=60°，∴∠B′CE=∠B=60°，∠CB′E=30°，∴CE=2，∴B′E=42-22=23，设BM=x，则ME=BC+CE-BM=8+2-x=10-x，由折叠的性质知：B′M=BM=x，在Rt△B ME中，B′M2=B′E2+ME2，∴x2=232+10-x2，解得：x=5.6，8-x=2.4，即CM的长为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2023·湖南长沙·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=3，则BC的长为．【答案】33【分析】连接OD，由O是矩形ABCD中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到OB=AB，由矩形的性质得到BD=2OB=2AB=6，由勾股定理求出AD的长即可．【详解】解：连接OD，∵O是矩形ABCD中心，∴B，O，D共线，∵△ABE沿BE翻折到△OBE，∴OB=BA，∵四边形ABCD是矩形，O是它的中心，∴BD=2OB=2AB=2×3=6,BC=AD，∵∠BAD=90°，∴AD=BD2-AB2=62-32=33，∴BC=AD=33．故答案为：33【点睛】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．【变式训练】1(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末)如图，长方形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠时点B落在点F处，连接FC，若∠DAF=16°，则∠DCF=度．【答案】37【分析】由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，求出∠BAE=∠FAE=37°，可得到∠AEF=∠AEB=53°，求出∠CEF=74°，求出FE=CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF=53°，即可得出∠DCF的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，∵∠DAF=16°，∴∠BAE=∠FAE=12×90°-16°=37°，∴∠AEF=∠AEB=90°-37°=53°，∴∠CEF=180°-2×53°=74°，∵E为BC的中点，∴BE=CE，∴FE=CE，∴∠ECF=12×180°-74°=53°，∴∠DCF=90°-∠ECF=37°；故答案为：37．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出∠ECF的度数是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一动点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为．【答案】32或3【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB= EF，AB=AF=3，可计算出CF=2，设BE=x，则EF=x，CE=4-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x ．②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形．【详解】解：当△CEF 为直角三角形时，有两种情况：当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=32+42=5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴∠AFE =∠B =90°，当△CEF 为直角三角形时，只能得到∠EFC =90°，∴点A 、F 、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴EB =EF ，AB =AF =3，∴CF =5-3=2，设BE =x ，则EF =x ，CE =4-x ，在Rt △CEF 中，∵EF 2+CF 2=CE 2，∴x 2+22=4-x 2解得：x =32；②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，∴BE =AB =3．故答案为：32或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3(2023·安徽合肥·统考一模)如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点P 恰好在边BC 上．(1)写出图中与∠CEP 相等的角；(2)若AD =5，AB =4，则折痕AE 的长为．【答案】 ∠DAP 和∠APB 552【分析】(1)根据矩形的性质得到∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，由此得到∠DAP +∠PED =180°，即可证明∠DAP =∠CEP ，再由平行线的性质得到∠DAP =∠APB ，则∠APB =∠CEP ；(2)由矩形的性质得到AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，利用勾股定理求出BP =3，则CP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理得DE 2=4-DE 2+22，解得DE =52，则AE =AD 2+DE 2=552．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，∴∠DAP +∠PED =180°，∵∠CEP +∠PED =180°，∴∠DAP =∠CEP ，∵AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴∠APB =∠CEP ；故答案为：∠DAP 和∠APB ；(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，∴BP =AP 2-AB 2=52-42=3，∴CP =BC -BP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理DE 2=CE 2+CP 2，∴DE 2=4-DE 2+22解得DE =52，∴AE =AD 2+DE 2=52+52 2=552，故答案为：552．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，灵活应用所学知识是解题的关键．4(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交BE 于点G ，连接CG ．(1)判断四边形CEFG 的形状，并说明理由．(2)若AB =6，AD =10，求四边形CEFG 的面积．【答案】(1)见解析(2)203．【分析】(1)由翻折得∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，根据FG ∥CE ，可得∠FGE =∠BEC ，从而∠FGE =∠BEF ，FG =FE ，故FG =EC ，四边形CEFG 是平行四边形，即可得证；(2)在Rt △ABF 中，利用勾股定理求得AF 的长，可得DF =1，设EF =x ，则CE =x ，DE =3-x ，在Rt △DEF 中，用勾股定理列方程可解得CE ，在Rt △BCE 中，即可求出答案．【详解】(1)证明：(1)∵△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，∴△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF=BF2-AB2=8，∴DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+(6-x)2=x2，解得x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=103×2=203．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5(2023春·全国·八年级专题练习)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，现进行如下折叠：(1)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在BC边上，此时折痕BE的长为；(2)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在矩形内部，且恰好使点E、A 、C三点在同一直线上，此时折痕BE的长为．【答案】3210【分析】(1)根据折叠的性质，可得出三角形ABE是边长为3的等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE 的长；(2)根据三角形的面积公式可得出EC=BC=5，再根据勾股定理求出DE，AE，最后再根据勾股定理求出BE即可．【详解】解：(1)由折叠可得，AB=A′B，AE=A′E，∠ABE=∠A′BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°=∠BA′E，∴∠ABE=∠A′BE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=32+32=32，故答案为：32；(2)由折叠可得，AB=A′B=3，∠A=∠BA′E=90°，∵点E、A′、C三点在同一直线上，∴S△EBC=12BC•AB=12EC•A′B，∴EC=BC=5，在Rt△DCE中，由勾股定理可得，DE=EC2-DC2=52-32=4，∴AE=AD-DE=5-4=1，在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=32+12=10，故答案为：10．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点．有一定的综合性．6(2023春·全国·七年级专题练习)如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．(1)折叠后，DC的对应线段是，CF的对应线段是；(2)若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；(3)若AB=8，DE=10，求CF的长度．【答案】(1)BC′，C′F；(2)50°，80°；(3)6【分析】(1)根据折叠的性质即可得出；(2)由折叠的性质可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；(3)根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF= BE=10，继而可求得CF=BC-BF．【详解】(1)由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；故答案为：BC′，C′F．(2)由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°-50°-50°=80°；(3)∵AB=8，DE=10，∴AE=BE2-AB2=6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC-BF=16-10=6．【点睛】本题考查了矩形折叠的性质，平行线的性质定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相关知识．7(2023春·广东河源·八年级统考开学考试)如图，将一张长方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与x轴重合，OC与y轴重合，点D为AB边上的一点(不与点A、点B重合)，且点A(6，0)，点C (0，8)．(1)如图1，折叠△ABC，使得点B的对应点B1落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标．(2)如图2，折叠△ABC，使得点A与点C重合，折痕交AB与点D，交AC于点E，求直线CD的解析式．【答案】(1)D(6，5)；x+8．(2)直线CD的解析式为y=-724【分析】(1)根据勾股定理求得AC=10，设AD=n，则BD=8-n，根据折叠的性质得出B1D=BD=8-n，CE=CB=6，AB1=10-6=4，在Rt△AB1D中，利用勾股定理得出关于n的方程，解方程求得n的值，即可求得D的坐标；(2)设AD=m，则BD=8-m，根据折叠的性质CD=AD=m，在Rt△CBD中，利用勾股定理得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得作出直线CD的解析式．【详解】(1)解：∵点A(6，0)，点C(0，8)，∴OA=BC=6，OC=AB=8，∴AC=OA2+OC2=10，设AD=n，则BD=8-n，由折叠的性质可知B1D=BD=8-n，CE=CB=6，∴AB1=10-6=4，由折叠的性质可知CD=AD=n，在Rt△AB1D中，AB21+B1D2=AD2，∴42+(8-n)2=n2，解得n=5，∴AD=5，(2)解：设AD =m ，则BD =8-m ，根据折叠的性质可知CD =AD =m ，在Rt △CBD 中，CB 2+BD 2=CD 2，∴62+(8-m )2=m 2，解得m =254，∴AD =254，∴D 6，254，设直线CD 的解析式为y =kx +8，代入D 6，254 得，254=6k +8，解得k =-724，∴直线CD 的解析式为y =-724x +8．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用等，求得D 的坐标是解题的关键．【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM 为折痕，点B 落在对角线AC 上的点E 处，则∠EMC 的度数为()A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°【答案】C【分析】根据正方形的性质可得∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，再由折叠可得∠AEM =∠B =90°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，由折叠得：∠AEM =∠B =90°，∴∠EMC =∠AEM -∠ACB =90°-45°=45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·八年级专题练习)如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A 处，连接A C，则∠BA C=°．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出∠CBD，再根据折叠的性质得A B=BC，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠CBD=12根据折叠可知，AB=A B，∴A B=BC，=67.5°．∴∠BA C=∠BCA =180°-45°2故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．2(2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中)已知：如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将△DCE沿DE折叠至△DFE，延长EF交AB于点G，连接DG(1)求∠GDE的度数：(2)求AG的长度【答案】(1)∠EDG=45°(2)6【分析】(1)根据△DCE沿DE折叠至△DFE，可得∠DFE=∠DFG=90°,DC=DF，证明Rt△DAG≌Rt△DFG HL可得∠ADG=∠FDG，根据对折可得∠CDE=∠FDE，即可得出∠GDE的度数；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，在Rt△BEG中，勾股定理即可求解．【详解】(1)∵将△DCE沿DE折叠至△DFE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAG=∠DFG=90°，在Rt△DAG与Rt△DFG中，DF=DA DG=DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG HL，∴∠ADG=∠FDG，由对折得∠CDE=∠FDE，∴∠EDG=∠EDF+∠GDF=12∠ADC=45°；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，∵BE=2CE，∴BE=8，EF=CE=4，在Rt△BEG中，82+12-x2=4+x2，解得：x=6．∴AG=6．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．3(2023春·江苏·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1)求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段AG的长为2【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE =∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明RtΔDGA≅RtΔDGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】(1)证明：如图1：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，∴∠DFG =∠A =90°，DA =DF ，在Rt △DGA 和Rt △DGF 中，DG =DG DA =DF ，∴Rt △DGA ≌Rt △DGF (HL )，∴∠3=∠4，∴∠EDG =∠3+∠2=12∠ADF +12∠FDC ，=12(∠ADF +∠FDC )，=12×90°，=45°；(2)证明：如图2所示：∵ΔDEC 沿DE 折叠得到ΔDEF ，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE ，∠DEF =∠DEC ，∴∠5=∠6，∵∠FEC =∠5+∠6，∴∠DEF +∠DEC =∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC ，即∠5=∠DEC ，∴BF ∥DE ；②解：设AG =x ，则GF =x ，BG =6-x ，∵正方形边长为6，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE =12×6=3，∴GE =EF +GF =3+x ，在Rt △GBE 中，根据勾股定理得：(6-x )2+32=(3+x )2，解得：x =2，即线段AG 的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】1(2023·全国·九年级假期作业)如图1，菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，∠ABC =60°，将菱形ABCD 沿EF ，GH 折叠，使得点B ，D 两点重合于对角线BD 上的点P (如图2)．若AE =2BE ，则六边形AEFCHG 的面积为cm 2．【答案】133【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，∠BAD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，，由折叠的性质可得EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2，可证四边形AEPG是平行四边形，可得AG= EP=2cm，DG=4cm，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠BAD=∠BCD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，∴OA=12AB=3cm，∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=60°,∴OB=62-32=33cm∴BD=63cm．∵AE=2BE，∴AE=23×6=4cm，BE=13×6=2cm，∵将菱形ABCD沿EF，GH折叠，∴EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2cm，∴EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC=60°，∴∠BEF=∠60°=∠PEF，∴∠BEP=∠BAD=120°，∴EP∥AD，同理可得：GP∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，∴AG=EP=2cm，∴DG=4cm，∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD-S△BEF-S△GDH=12×6×63-34×22-34×42=133cm2，故答案为：133．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，求出DG的长是本题的关键．【变式训练】1(2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A.2B.2C.4D.42【答案】D【分析】首先由正方形ABCD 面积为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，则可得图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D =AB +BC +CD +AD ，继而求得答案．【详解】解：设折叠后A ,D 的点分别为A ,D ，EF 与AB ,CD 分别交于点M ,N ，如图所示，∵正方形ABCD 面积为2，∴AB =BC =CD =AD =2，由折叠的性质：A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，∴图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D=AM +BM +BC +CN +DN +AD=AB +BC +CD +AD=42．故选:D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2(2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习)如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知CE =3,AB =8，则阴影部分的面积为．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，由勾股定理得，CF =4，AF 2=AB 2+BF 2，即AD 2=82+(AD -4)2，解得，AD =10，∴BF =6，CF =4，图中阴影部分面积=S △ABF +S △CEF =12×6×8+12×3×4=30cm 2．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023春·天津西青·九年级校考阶段练习)如图，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到菱形AB C D ，使点D 落在对角线AC 上，连接DD ，B D ，则下列结论一定正确的是()A.DD =1B D B.∠DAB =90°2C.△AB D 是等边三角形D.△ABC≌△AD C【答案】D【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，由旋转的性质可得AD= AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，由“SAS”可证△ABC≌△AD C ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，∵将菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB C D ，∴AD=AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，∴AB=AD ，BC=C D ，∠ABC=∠AD C ，∴△ABC≌△AD C SAS，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式训练】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x 轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA B C (点A 与点C重合)，则点B 的坐标是()A.36,32D.62,36C.32,62B.32,36【答案】B【分析】延长B C 交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B DO=90°，进而求得OD,DB 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，延长B C 交x轴于点D，∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60°，∴∠COB=∠AOB=30°，∠CBA=60°∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，∴∠C OC=60°，则∠OB C=12∠C B C=30°，AB=CB∴∠B OD=60°∴∠B DO=90°，在Rt△CDO中，OC=B C=26∴CD=12OC=6，OD=3CD=3×6=32∴DB =36，∴B 32,36，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上．EF与CD交于点P,则PE的长是．【答案】3-1【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出AC=23，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE=23-2，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE的长【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，∴OB=12AB=1∴OA=3OB=3,∴AC=23由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴CE=AC-AE=23-2,∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴PE=12CE=3-1故答案为：3-1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．3(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；(1)求证：3DG=CF；(2)如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中(1)中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)CF=3DG，(1)中的结论不变．理由见解析．【分析】(1)延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=32DG即CF=2FN=3DG；(2)过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．【详解】(1)如图1，延长EF交CD于M点，∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC⎳GF⎳AB,DM⎳GF∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=12MF,根据勾股定理，得FN=32 DG，∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=3DG；(2)如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS)∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN ∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF +∠GNC =240°-∠DGN -∠DNG ,∵∠DGN +∠DNG =180°-∠GDN =60°∴∠NGF +∠GNC =180°∴NC ⎳GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF =GN ，则GN =3DG ，∴CF =3DG ，结论(1)不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023·江苏无锡·校考一模)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE =B ′E ，则AE 的长为．【答案】4110【分析】根据旋转不变性得到AB ′=AB =5，设AE =CE =x ，在Rt ΔADE 中结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，∴AB ′=AB =5，∵DE =B ′E ，∴AE =CE ，设AE =CE =x ，∴DE =5-x ，∵∠D =90°，∴AD 2+DE 2=AE 2，即42+5-x 2=x 2，解得：x =4110，即AE 的长为4110(也可以写作4.1)，故答案为：4110．【点睛】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长．解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是解决问题的关键．【变式训练】1(2023·江苏南京·校联考三模)如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转，使点B 落在对角线AC 上的B 处，延长AD 交A D 于点E ．若AB =3，BC =4，则DE 的长为．【答案】1【分析】如图所示，连接A A ，A C ，CE ，由矩形的性质和勾股定理得到AC =5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质得到A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，证明S △AAC =S △ACE ，则可得AE =AC ⋅A B CD=5，则DE =AE -AD =1．【详解】解：如图所示，连接A A ，A C ，CE ，∵在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质可得A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，∴A D ∥B C ，A B ⊥AC ，∴S △AAC =S △ACE ，∴12AC ⋅A B =12AE ⋅CD ，∴AE =AC ⋅A B CD=3×53=5，∴DE =AE -AD =1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，证明S △AAC =S △ACE ，利用等面积法求出AE 的长是解题的关键．2(2023春·江苏淮安·八年级统考期中)如图，将矩形ABCD 绕点B 旋转得到矩形BEFG ，点E 在AD 上，延长DA 交GF 于点H .(1)求证：△ABE ≅△FEH ；(2)连接BH ，若∠EBC =30°，求∠ABH 的度数．【答案】(1)见解析；(2)15°．【分析】(1)根据矩形的性质得出AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，根据旋转的性质得出FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，再证明△ABE ≅△FEH AAS 即可；(2)根据矩形的性质得出∠HEB =∠EBC =30°，由全等三角形的性质得出∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，再计算即可得出答案．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，由旋转性质，得：FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，∴AB =FE ，∠BAE =∠EFH ，∵在矩形BEFG 中，GF ∥BE ，∴∠AEB =∠FHE ，在△ABE 和△FEH 中，∠AEB =∠FHE∠BAE =∠EFH AB =FE，∴△ABE ≅△FEH AAS ，(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠HEB =∠EBC =30°，∵△ABE ≅△FEH ，∴BE =EH ，∴∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，∵∠BAH =90°，∴∠ABH =90°-∠EHB =15°，即∠ABH 的度数为15°．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键．3(2023春·福建三明·八年级统考期中)在长方形ABCD 中，AB =5，BC =3，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转α0°<α<90° ，得到长方形AEFG ．(1)如图1，当点E 落在CD 边上时，延长ED 交FG 于点M ，求证：EM=AE ；(2)如图2，当GC =GB 时，求α的值；(3)如图3，当点E 落在线段CF 上时，AE 与CD 交于点N ，求△ADN 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)60°：(3)125.【分析】(1)只需要证明△EFM ≌△ADE 即可得到答案；(2)连接DG ，证明△CDG ≌△BAG ，得到△ADG 为等边三角形，从而可以得到答案；(3)连接AC ，证明△ABC ≌△AEC ，得到∠EAC =∠BAC =∠ACD ，从而得到CN =AN ，再根据勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：(1)由旋转的性质得：BC =EF ，∠B =∠FEA∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠D =∠FEA =90°，BC =AD =EF∵∠FEM +∠AED =90°，∠DAE +∠AED =90°∴∠FEM =∠DAE∴△EFM ≌△ADE (HL )∴EM =AE(2)如图所示，连接DG∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠BCD =90°，AB =CD∵GC =GB∴∠GCB =∠GBC∴∠DCG =∠ABG∴△CDG ≌△BAG∴DG =AG由翻折的性质可得：AD =AG∴AD =AG =DG∴△ADG 为等边三角形∴∠DAG =60°∴∠DAE =30°∴∠BAE =60°∴α=60°(3)如图所示，连接AC由矩形的性质和翻折的性质可得：AB =AE ，∠AEF =∠B =90°∵∠AEF =∠B =90°∴∠AEC =∠B =90°又∵AB =AE∴△ABC ≌△AEC (HL )∴∠EAC =∠BAC∵AB ∥CD∴∠BAC =∠ACD∴∠EAC =∠ACD∴NC =AN设DN =x ，则NC =AN =CD -DN =5-x 在直角三角形AND 中，AN 2=DN 2+AD 2∴x 2+32=5-x 2解得x =85∴S △ADN =12AD ∙DN =125【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东珠海·九年级统考期末)如图，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形A BC D ，BC与C D 相交于点E，连接BD，B D 相交于点F．(1)填空：∠D EC=度；(2)求证：四边形BED F是菱形．【答案】(1)45(2)见解析【分析】(1)根据正方形的性质求出相关角度，再根据角度之间的关系求出∠D EC即可．(2)先证出四边形BED F是平行四边形，再连接AE，构造全等三角形证邻边相等即可．【详解】(1)解：∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(2)解：连接AE．∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(方法不唯一，直接写由(1)得也可以)在正方形A B C D 中，∠B D C =45°∴∠D EC=∠B D C∴D F∥BC，即D F∥BE．同理∠DBC=∠D EC=45°，∴D E∥BF．∴四边形BED F是平行四边形在Rt△AD E和Rt△ABE中AD =AB AE=AE。

专题23菱形、矩形、正方形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题23 菱形、矩形、正方形（知识点总结+例题讲解）一、菱形：1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是对角线的交点。

3.菱形的判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4.菱形的有关计算：=4a (其中a为边长)；（1）周长C菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中a为边长，h为此边上的高)。

（2）面积S菱形【例题1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( )A．(0，2√3) B．(2，﹣4)C．(2√3，0) D．(0，2√3)或(0，﹣2√3)【答案】D【解析】点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为(0，−2√3)，同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为(0，2√3)，∴点C的坐标为(0，2√3)或(0，−2√3)。

【变式练习1】(2020•营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA ＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，×2×4＝4。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形矩形菱形正方形图形性质1．对边且；2．对角；邻角；3．对角线；1．对边且； 2．对角且四个角都是； 3．对角线；1．对边且四条边都；2．对角；3．对角线且每条对角线；1．对边且四条边都；2．对角且四个角都是；3．对角线且每条对角线；面积。

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(2)

例2已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积（如图4－38）。
B
A
D
C
O
小结：
（1）具有平行四边形的所有性质。
（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。
（3）矩形的判定方法1、2都是有两个条件：
①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等。
出示例题
分析命题的条件
讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达
强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算
分析解题思路：
（1）先判定平行四边形ABCD为矩形。
（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长。
（3）计算S＝AB×BC
②如果FE=AE你能证明FE⊥AE吗？
观察图形的变化，明确矩形的典型特征，深刻理解矩形与平行四边形的联系与区别。
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质定理2：矩形对角线相等。
已知：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O。
A
D
B
C
求证：BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，并且BO= AC。
所以有
定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
A
D
B
C
例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形对角线的长？
指出观察出来的结论不能作为定理，需要证明。引导学生利用平行四边形角的性质得出。
记忆
根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高
写出证明过程
观察图形，能否找到直角三角形，会有什么性质呢？
让学生自己写出证明过程。让先写完的学生到黑板上板演

矩形、菱形、正方形的性质与判定(2)

11.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）学习过程：一、情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条件结论四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O四边形ABCD 是平行四边形二、探索活动问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。

问题二证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

问题三你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四你认为“在四边形ABCD 中，如果OA=OC ，OB ≠OD ，那么四边形ABCD 不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？分析：假设四边形ABCD 是平行四边形，那么OA=OC ，OB=OD ，这与条件OB ≠OD 矛盾，所以四边形ABCD 不是平行四边形。

假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

三、例题教学例1 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC ，再证OE=OF 即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。

四、练习P 20 练习 1、2OABCDE FHG ABCDE F五、小结1、如图，AD∥BC，AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，图中有哪些四边形是平行四边形？说说你的理由。

2、“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？如果正确证明你的结论。

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二、填空题1．（2010 广东汕头）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________【答案】6252．（2010 山东淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．【答案】23．（2010 天津）如图，已知正方形ABC D 的边长为3，E 为C D 边上一点，1D E =．以点A为中心，把△AD E 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于．【答案】4．（2010 甘肃）如图，在A B C △中，点D 、E 、F 分别在边A B 、B C 、C A 上，且D E C A ∥，D F BA ∥．下列四种说法： ①四边形AED F 是平行四边形；第（14）题E 第13题图（1） A 1B 1C 1D 1A BC D D 2A 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1A BC D 第13题图（2）②如果90BAC ∠= ，那么四边形AED F 是矩形；③如果A D 平分B A C ∠，那么四边形AED F 是菱形；④如果A D B C ⊥且A B A C =，那么四边形AED F 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）【答案】①②③④5．（2010 福建泉州南安）如图，大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是．【答案】56．（2010广西梧州）如图3，边长为6的正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EB G F ，E F 交CD 于点H ，则F H 的长为______（结果保留根号）。

【答案】6-237．（2010广西河池）如图2，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，E 是DC 的中点，BF ＝41BC ，则四边形DBFE 的面积为 2cm ．图3DFG（第16题图）ＡＦＣＤＢＥ第18题图【答案】108．（2010贵州铜仁）已知菱形的两条对角线的长分别为5和6，则它的面积是________．【答案】159．（2010云南曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18cm ，α=1200时，A 、B 两点的距离为cm.【答案】5410．（2010黑龙江绥化）如图所示，E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个条件：，使得△ADF ≌△CBE ．【答案】AF=CE 或AE=CF 或DF ∥BE 或∠ABE=∠CDF 等11．（2010黑龙江绥化）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线 A 1C 和OB 1交于点M 1；以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2M 1，对角线A 1M 1和A 2B 2交于点M 2；以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3M 2，对角线A 1M 2和A 3B 3交于点M 3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点M n 的坐标为.【答案】111,22nn ⎛⎫-⎪⎝⎭12．（2010内蒙呼和浩特）如图，矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C '处，C B '交图2AD 于点E ，AD = 8，AB = 4，则DE 的长为．【答案】513．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．（2010 广东汕头）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝4，点F 在DC 上，DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．【答案】解：（1）∵P 、Q 、W 分别是△FMN 的中点∴PQ ∥NF ，QW ∥MF ，PW ∥MN∴四边形PQWF 、MQWP 、PQNW 都是平行四边形， ∴∠F ＝∠PQW ，∠M ＝∠PWQ∴△FMN ∽△QWP ．（2）∵△FMN ∽△QWP ，△PWQ 为直角三角形 ∴△FMN 也是直角三角形∵MF 2＝4＋x 2，MN 2＝（4－x ）2＋（6－x ）2，MF 2＝42＋（4－x ）2，∴①若MF 为斜边，则4＋x 2＝（4－x ）2＋（6－x ）2＋42＋（4－x ）2解得177±=x ，因0≤x ≤4得，177-=x ；②若MN 为斜边，则（4－x ）2＋（6－x ）2＝4＋x 2＋42＋（4－x ）2解得34=x ；第22题图（1）C③若NF 为斜边，则42＋（4－x ）2＝（4－x ）2＋（6－x ）2＋4＋x2此方程无实数解．综上，当177-=x 或34=x 时，△PWQ 为直角三角形；而当340<≤x 或17734-<<x 或4177≤<-x 时，△PQW 不为直角三角形．（3）①当0≤x ≤4时，易知当x ＝4时，MN 有最小值为2．②4＜x ≤6时，MN 2＝（x －4）2＋（6－x ）2，故2)5(25220222+-=+-=x x x MN ，此时，当x ＝5时，MN 有最小值为2．综上，x ＝5时，MN 有最小值为2．2．（2010 山东淄博）已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE ＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCD =90º ∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE =90º，∴∠BCD =∠DC E ． ∵CE ＝CF ，∴△BCF ≌△DCE ，∴DE ＝BF ．3．（2010 天津）在平面直角坐标系中，矩形O A C B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，3O A =，4O B =，D 为边OB 的中点.（Ⅰ）若E 为边O A 上的一个动点，当△C D E 的周长最小时，求点E 的坐标；BA(第19题)（Ⅱ）若E 、F 为边O A 上的两个动点，且2EF =，当四边形C D EF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【答案】解：（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接C D '与x 轴交于点E ，连接D E .若在边O A 上任取点E '（与点E 不重合），连接C E '、D E '、D E ''. 由D E C E D E C E C D D E C E D E C E '''''''+=+>=+=+，可知△C D E 的周长最小.∵ 在矩形O A C B 中，3O A =，4O B =，D 为O B∴ 3B C =，2D O D O '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D O E '∽Rt △D BC '，有O E D O BCD B'='.∴ 2316D O BC OE D B'⋅⨯==='.∴ 点E 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在C B 边上截取2C G =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =. ∵ GC ∥EF ，G C EF =，∴ 四边形G EFC 为平行四边形，有G E C F =. 又 D C 、EF 的长为定值，∴ 此时得到的点E 、F 使四边形C D EF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D O E '∽Rt △D B G ', 有 O E D O BG D B '='.∴ ()21163D O BG D O BC CG OE D BD B''⋅⋅-⨯====''.∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 的坐标为（13，0），点F 的坐标为（73，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分4．（2010 湖南湘潭）Rt △ABC 与Rt △FED 是两块全等的含30o 、60o 角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合．（1）求证：四边形ABFC 为平行四边形；（2）取BC 中点O ，将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想．(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形(不要求证明).图(二)图(一)FFB(D)【答案】证：（1）A B C F C B ∆≅∆ ……………………1分 ∴AB=CF ，AC=BF ……………………2分 ∴四边形ABCF 为平行四边形 ……………………3分（用其它判定方法也可）（2）OP=OQ ……………………4分理由如下：PBO OCQ BOP COQ OB OC ∠=∠∠=∠=,,BOP COQ ∆≅∆∴ ……………………6分∴OP=OQ……………………7分(用平行四边形对称性证明也可)(3)90o……………………8分5．（2010广西桂林）求证：矩形的对角线相等．【答案】已知：四边形ABCD 是矩形, AC 与BD 是对角线 ……………2分求证：AC =BD ………………………………………3分ABCD证明： ∵四边形ABCD 是矩形∴AB=DC ,∠ABC =∠DCB =90°…………4分又∵BC=C B …………………………5分 ∴△ABC ≌△DCB …………6分 ∴AC=BD ……………………7分所以矩形的对角线相等. …………8分6．（2010 四川自贡）如图，在□ABCD 中，BE ⊥AD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，AC 与BE 、BF 分别交于点G ，H 。

34.矩形、菱形、正方形2

备战中考数学分点透练真题矩形、菱形、正方形(解析版)

2024中考数学全国真题分类卷 第十八讲 矩形、菱形、正方形 (含答案)

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9.4 矩形、菱形、正方形(2)

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(2)

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第二节 矩形、菱形、正方形

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平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

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