02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
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第2章—拉普拉斯变换的数学方法
0
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
拉氏变换公式
拉普拉斯变换的数学方法 微分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
L[sin t 1(t )] L[
e
j t
e 2j
j t
1(t )]
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx(t ) ] sX ( s ) x (0 ) dt 推论： n d （1）L[ x (t )] s n X ( s ) s n 1 x (0 ) s n 2 x (0 ) n dt
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s
s
2 2
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) E 1(t ) E 1(t t 0 )
L[ f (t )] E s e
2 st
t0 t0
0
0
te dt
st
s
e
st
0
0
s
dt
1 单位速度函数
t
2.1.1 简单函数的拉氏变换
7 单位加速度函数
0 x (t ) 1 2 2 t
t0 t0
x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 s
3
1 2
0
（2）在零初始条件下
s
2
x n (0 ) s
n
L[ x (t )( dt ) ]
n
X (s) s
2.2 拉氏变换的性质
4 衰减定理 例：已知
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
第2章拉普拉斯变换的数学方法part2
15:58:30
17
2-4 拉氏变换的性质
如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则
f ( 1) (0 ) f ( 1) (0 )
此时，必须将上述定理修正如下：
F (s) f L f (t )dt s F ( s) f L f (t )dt s f ( 1) (0 ) f (t )dt
13
2-4 拉氏变换的性质
6. 实域微分定理
当初始条件均为零时，即
f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
则有
L f (t ) sF ( s ) L f (t ) s 2 F ( s )
(n) n L f ( t ) s F (s)
t
2 t
f 2 (t ) e 2t f 3 (t ) e t
5
2-4 拉氏变换的性质
2. 实数域的平移特性（延时特性）
若L[f(t)]=F(s)，且t < 0时，f(t) = 0，则 L[f(t－a)] = e-as∙F(s) 时，f(t－a) = 0。
教材14页 有错
(a为正实常数)
解法1：令
4 t (t≥0) 2 T 4 f 2 (t ) 2 t (t≥0) T f1 (t )
4 1 T 2 s2 4 1 L[ f 2 (t )] 2 2 T s L[ f1 (t )]
f(t) 2 T
f1(t)
则三角波可表达成如下形式
T T 2 T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) 1(t ) 1(t ) 2 2 T 2
20 页表 2-2 第 10 项增加约束“ a 为正实常数”；第
17
2-4 拉氏变换的性质
如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则
f ( 1) (0 ) f ( 1) (0 )
此时，必须将上述定理修正如下：
F (s) f L f (t )dt s F ( s) f L f (t )dt s f ( 1) (0 ) f (t )dt
13
2-4 拉氏变换的性质
6. 实域微分定理
当初始条件均为零时，即
f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
则有
L f (t ) sF ( s ) L f (t ) s 2 F ( s )
(n) n L f ( t ) s F (s)
t
2 t
f 2 (t ) e 2t f 3 (t ) e t
5
2-4 拉氏变换的性质
2. 实数域的平移特性（延时特性）
若L[f(t)]=F(s)，且t < 0时，f(t) = 0，则 L[f(t－a)] = e-as∙F(s) 时，f(t－a) = 0。
教材14页 有错
(a为正实常数)
解法1：令
4 t (t≥0) 2 T 4 f 2 (t ) 2 t (t≥0) T f1 (t )
4 1 T 2 s2 4 1 L[ f 2 (t )] 2 2 T s L[ f1 (t )]
f(t) 2 T
f1(t)
则三角波可表达成如下形式
T T 2 T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) 1(t ) 1(t ) 2 2 T 2
20 页表 2-2 第 10 项增加约束“ a 为正实常数”；第
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
F ( s ) ⋅ e st ds
（2-2）
2-3 典型时间函数的拉氏变换
1 (t
)=
⎧0 , ⎨ ⎩1,
t < 0 t ≥ 0
∞
f t
) (
1
L [1(t ) ] = ∫
∞Байду номын сангаас
0
e − st 1(t ) ⋅ e dt = − s
− st
0
1 = s
t
图2-5 单位阶跃函数
δ (t ) = ⎨
⎧∞ , ⎩ 0,
7． 幂函数 幂函数 t 的拉氏变换式为
n
s s + ω2
2
L[t n ] = ∫ t n e − st dt
0
∞
采用换元法，令 u = st , t =
u 1 , dt = du ，得 s s
∞ 0
L[t n ] = ∫
式中
u n −u 1 1 ∞ e ⋅ du = n +1 ∫ u n e− u du n 0 s s s
续 表 2-1 序号 −1 1−ζ
2
f (t )
e
− ζω n t
F ( s)
2
sin ω n 1 − ζ t − ψ
(
)
s s + 2ζωn s + ωn
2 2
17
ψ = tan
−1
1−ζ
2
ζ
− ζω n t
1−
1 1−ζ
2
e
sin(ω n 1 − ζ t + ψ )
2
18
ψ = tan
−1
ωn
L [t ] = ∫
=∫
拉氏变换的数学方法解答
L[cost]
s2
s
2
§2.4 典型时间函数的拉氏变换
§2.5 拉氏变换性质
例1：例L1：1Le12tec2tos3例cto1st： 33tLt3(1t)(e1st2)t s 1sc2oss1s322ts9ts32
ss6491(st64)
s
0
1
2s2 12s 6
K2
s(s
2)(s
(s 3)
2)
s
2
5
2s2 12s 6
K3
s(s
2)(s
(s 3)
3)
s
3
4
所以 可得
Y(s) 1 5 4 s s2 s3
y(t ) L1[Y (s)] 1 5e2t 4e3t
2. F(s)有重极点的情况
§2.6 拉氏反变换的数学方法
2. F(s)有重极点的情况
§2.6 拉氏反变换的数学方法
2. F(s)有重极点的情况
二、用MATLAB函数求解原函数
§2.7 用拉氏变换解微分方程
用拉氏变换解常微分方程，首先是通过拉氏变换将常微分 方程化为象函数的代数方程，然后求解象函数，最后利用 拉氏反变换求得微分方程的解。 其步骤如下：
§2.7 用拉氏变换解微分方程
§2.7 用拉氏变换解微分方程
§2.7 用拉氏变换解微分方程
§2.7 用拉氏变换解微分方程
§2.7 用拉氏变换解微分方程
§2.7 用拉氏变换解微分方程
作业：P36 2.1 (1)、(4) 2.2 (3)、(4) 2.3 2.6 (4) 2.8 (1)
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
第二章拉氏变换的数学方法
第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。
它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。
拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。
拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。
拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。
这是为了保证积分的绝对收敛性。
拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。
利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。
在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。
假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。
拉氏变换
x y
其中： 其中： F (s ) =
Fx+Fy
2 2
∠F (s ) = arctan
Fy F x
G (s ) = s
例如：
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jGy
S平面 2
0
G(s)平面
4
σ
0
G
x
一、拉氏变换定义： 对于函数 x (t ) ，满足下列条件
s 2 + 2s + 3 3 其中： 3 = α (s + 1)3 (s + 1) = 2 s = −1 d 2 α 2 = ds s + 2s + 3 s =−1 = 2s + 2 s=−1 = 0
s 2 + 2s + 3 −1 [F (s )] = L−1 求:L 3 (s + 1)
2 −1 X (s ) = + s+1 s+ 2
s+3 c2 = × (s + 2 ) = −1 (s + 1)(s + 2 ) s = −2
x(t ) = 2e − e
−t
(
−2 t
)
2、含有共扼复极点情况：
例2 − 5 s+1 L 3 s + s2 + s
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
其中： 其中： F (s ) =
Fx+Fy
2 2
∠F (s ) = arctan
Fy F x
G (s ) = s
例如：
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jGy
S平面 2
0
G(s)平面
4
σ
0
G
x
一、拉氏变换定义： 对于函数 x (t ) ，满足下列条件
s 2 + 2s + 3 3 其中： 3 = α (s + 1)3 (s + 1) = 2 s = −1 d 2 α 2 = ds s + 2s + 3 s =−1 = 2s + 2 s=−1 = 0
s 2 + 2s + 3 −1 [F (s )] = L−1 求:L 3 (s + 1)
2 −1 X (s ) = + s+1 s+ 2
s+3 c2 = × (s + 2 ) = −1 (s + 1)(s + 2 ) s = −2
x(t ) = 2e − e
−t
(
−2 t
)
2、含有共扼复极点情况：
例2 − 5 s+1 L 3 s + s2 + s
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
2.1.1 简单函数的拉氏变换 5 单位脉冲函数
0 δ (t ) = 1 lim t0 → 0 t0
x(t)
1 t0
δ (t )
(t < 0且t>t0 ) (0 ≤ t ≤ t0 )
∞
0 t0 t 单位脉冲函数
L[δ (t ) 1(t )] = ∫
0
1 st 1 lim e dt = lim 1 e st0 t0 → 0 t t0 →0 t s 0 0
12 卷积分的象函数 卷积分的象函数
∫
T
0
x ( t )e
st
dt
L [ x ( t ) y ( t )] = X ( s ) Y ( s )
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为: 卷积分的数学表示为:
x (t ) y (t ) =
x (t ) y (t ) =
∫
t
0
x ( t τ ) y (τ ) d τ
E E E t0 s t0 s e = (1 e ) L[ f (t )] = s s s
2.2 拉氏变换的性质 6 初值定理
t→ 0
lim+ x ( t ) = lim s X ( s )
s→ ∞
7 终值定理
lim x ( t ) = lim s X ( s )
t→ ∞ s→ 0
注意: 注意:运用终值定理的前提 lim x ( t ) 是存在. 是存在.
x(t)
L [ x(t ) 1(t )] = ∫ 1 = 3 s
∞
0
1 2 st t e dt 2
0 t 单位加速度函数
2.2 拉氏变换的性质 1 叠加定理(线性定理) 叠加定理(线性定理) 若
第二章拉氏变换的数学方法
一、拉氏变换的定义： 拉氏变换的定义： 设f（t）是定义在（0，∞）区间上的时间函 （ ）是定义在（ ， ） --st 为复数（ ），用 乘以f（ ） 数，又s为复数（s= σ +jw），用e 乘以 （t）后， 为复数 ）， 再将它对t从 ∞ 进行积分，如果这个积分收 进行积分， 再将它对 从0 则这个积分便确定了一个以s为参量的复变函 敛，则这个积分便确定了一个以 为参量的复变函 数F（s）； （ ）； F（s）=L f（t） = ∞ f（t）e --stdt （） （） （）
L [d f(t)/ dt ] = s2 F(s) –s f(0)– f `(0) L [d f(t)/ dt] = s F(s) – f(0)
2
2
3、积分定理： 、积分定理： n n (--1) n L[ …. f(t) dt ]=(1/s ) F(s) + (1/s ) f (0) + n …..(1/s) f (--n) (0) (--n) (--1) (--2) f (0) , f (0) , ……, f (0)为 f(t) 的各重积分在 为 t= 0时的值，若初值为 0 则， 时的值， 时的值 L[ f (t) dt ]=(1/s) F(s) L[ f (t) dt 2 ]=(1/s2 ) F(s) L[ …. f (t) dtn ]=(1/sn ) F(s)
0
F(s)------象函数 象函数 f(t)-------原函数 原函数
二、几种典型函数的拉氏变换
加于控制系统中的外作用（ 加于控制系统中的外作用（指给定值和 干扰）一般事先是不完全知道的， 干扰）一般事先是不完全知道的，而且常常随 时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析， 时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析， 工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数 作为系统的典型输入， 单位阶跃函数、 作为系统的典型输入，即：单位阶跃函数、单 位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正弦函 位斜坡函数、等加速函数、指数函数、 数以及单位脉冲函数等。 数以及单位脉冲函数等。
第二章 拉氏变换
n A A A A A k n 1 2 F(s) = + +L+ +L+ =∑ k s − p1 s − p2 s − pk s − pn k=1 s − pk
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
拉氏变换教程
t s0
第二章 系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章 系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章 系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理
at
sin t
1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章 系统数学模型
第二章 系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章 系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章 系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理
at
sin t
1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章 系统数学模型
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12 卷积分的象函数
T
0
x(t )e
st
dt
L[ x(t ) y (t )] X ( s)Y ( s)
t
x(t ) y (t ) 的卷积分的数学表示为：
x(t ) y(t ) x(t ) y( )d
0
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d y(t ) x(t )
sin t 1(t ) cos t 1(t )
e cos j sin
j
e
j
j
cos j sin
e e sin 2j
j j
e e cos 2
j
2.1.1 简单函数的拉氏变换
L[sin t 1(t )] L[
e
jt
2 指数函数
at
e 1(t )
at
at st
L[e 1(t )] e 1(t ) e dt 0 1 ( s a )t 1 ( s a )t 1(t ) e dt e |0 0 sa sa
2.1.1 简单函数的拉氏变换
3 正弦函数 余弦函数 根据欧拉公式
1 a2
a 2a
1 2 a
0
t
拉氏变换的应用
5、试求图所示x（t）的拉氏变换。
x(t) T
6、3x(t ) 4 x(t ) 5(t ) x
x (1)若初值为零，即 x(0) x(0) (0) 0
0
T
t
x (2)若初值不为零，即 x(0) 1, x(0) 1, (0) 2 求拉氏变换。
用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和， 并分三种情况讨论。
2.3 拉氏反变换
1.只含不同单极点的情况
B( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm X ( s) A( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
e(t 2) [1(t 2) 1(t 3)] 求其拉氏变换。 9、
10、sin t 1(t 2) 求其拉氏变换。
2.3 拉氏反变换
定义：
1 x(t ) 2j
简写为：
a j
a j
X ( s )e ds
st
x(t ) L [ X ( s )]
1
部分分式法求时间函数x（t）： 将一个复杂的象函数X(s)分解成若干个简单的有理 分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的 原函数，各原函数之和即为所求的x(t)。
dt n
sx
二阶导数的拉氏变换
( n2)
(0 ) x
( n 1)
(0 )
d 2 x(t ) 2 ' L[ 2 ] s X ( s) sx(0) x (0) dt
（2）在零初始条件下
dn L[ n x(t )] s n X ( s) dt
2.2 拉氏变换的性质 3 积分定理
2.1.1 简单函数的拉氏变换
5 单位脉冲函数
0 (t ) 1 lim t0 0 t0
x(t)
1 t0
(t )
(t 0且t>t0 ) (0 t t0 )
0 t0 t 单位脉冲函数
L[ (t ) 1(t )]
0
1 st 1 lim e dt lim 1 e st0 t0 0 t t0 0 t s 0 0
1 (1 e ) t0 s 由洛必达法则： lim (1 e ) lim t0 0 t s t0 0 (t0 s) 0
t0 s
所以： L (t ) lim s e
t0 0
t0 s
s
1
2.1.1 简单函数的拉氏变换
6 单位速度函数（斜坡函数）
x(t)
L[ x(t a) 1(t a)] e
x(t) x(t)
as
X ( s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s
2 2 s
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f2 (t ) E 1(t ) E 1(t t0 )
1 t
1 x(t ) L [ X ( s )] (e cos 2t sin 2t ) 1(t ) 2
2.3 拉氏反变换 部分分式法求时间函数x（t）
一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：
B( s ) X ( s) A( s ) b0 s b1s bm 1s bm (n m) n n 1 a0 s a1s an 1s an
t
2.2 拉氏变换的性质
8 时间比例尺改变的象函数（相似定理）
t L[ x ( )] aX ( as ) a
例：求 L[ f (at b) 1(at b)] 的拉氏变换。
L[ f ( at b) 1( at b)] b b L{ f [ a (t )] 1[ a (t )]} a a b s 1 s F( )e a a a
s L[cos t 1(t )] 2 2 s at 求： L[e sin t 1(t )] ? 2 2 ( s a) sa at L[e cos t 1(t )] ? 2 2 ( s a)
2.2 拉氏变换的性质
5 延时定理
2.2 拉氏变换的性质
9
tx(t ) 的象函数
dX ( s ) L[tx(t )] ds
10
x (t ) 的拉氏变换 t
x (t ) L[ ] t
s
X ( s )ds
2.2 拉氏变换的性质
11 周期函数的象函数
x(t T ) x(t )
1 L[ x(t )] 1 e sT
m m 1
B( s ) 0 得零点： z1 , z2 , zm
A( s ) 0 得极点： p1 , p2 , pn
2.3 拉氏反变换
B( s) X ( s) A( s ) B( s) an 1 an a1 n 1 a0 ( s s s ) a0 a0 a0
n
B( s) a0 s p1 ( s p2 ) ( s pn )
式中 推论：
1
X (s) x 1 (0) L[ x(t )dt] s s
t 0
1 2
x (0) x(t )dt
（1） L[ x(t )(dt ) n ] X ( s) x (0 ) x (0 ) n n n 1 s s s
（2）在零初始条件下
x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 3 s
0
1 2 st t e dt 2
0 t 单位加速度函数
2.2 拉氏变换的性质 1 叠加定理（线性定理）
若 则 例：
L[ x1 (t )] X 1 (s) L[ x2 (t )] X 2 (s)
L[a x1 (t ) bx2 (t )] a X1 (s) bX2 (s)
E E E t0 s t0 s L[ f (t )] e (1 e ) s s s
2.2 拉氏变换的性质
6 初值定理
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7 终值定理
lim x (t ) lim sX ( s )
t s 0
注意:运用终值定理的前提 lim x(t ) 是存在。
2.3 拉氏反变换
部分分式法求时间函数x（t）
s 拉氏反变换。 例2－3 试求 X ( s ) 2 s 2s 5
解：
s s X (s) 2 2 s 2s 5 ( s 1) 4 s 1 1 2 2 2 ( s 1) 2 2 ( s 1) 2 22
L[sin t 1(t )] L[
e
jt
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
e 2j
jt
1(t )]
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx (t ) ] sX ( s ) x(0 ) dt 推论： n d （1）L[ x(t )] s n X ( s) s n1 x(0 ) s n2 x(0 )
1(t )]
2.1.1 简单函数的拉氏变换
4 幂函数
n
t 1(t )
n
0
L[t 1(t )]
n
1 n st n n 1 st t e dt t e |0 t e dt s s 0
n st
n n 1 st n n 1 L[t 1(t )] t e dt L[t 1(t )] s 0 s 1 1 n 0 L[11(t )] n 1 L[t 1(t )] 2 s s 2 n! 2 n n 2 L[t 1(t )] 3 L[t 1(t )] n 1 s s
0
t
拉氏变换的应用
1、试求 L[e at cos t ]
0, t 0 2、试求 x(t ) 3t 的拉氏变换。 te , t 0
0, t 0 3、试求 x(t ) 的拉氏变换。 sin(t ), t 0
x(t)
4、试求图所示x（t）的拉 氏变换。
（2）
0
x(t )e t dt
T
0
x(t )e
st
dt
L[ x(t ) y (t )] X ( s)Y ( s)
t
x(t ) y (t ) 的卷积分的数学表示为：
x(t ) y(t ) x(t ) y( )d
0
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d y(t ) x(t )
sin t 1(t ) cos t 1(t )
e cos j sin
j
e
j
j
cos j sin
e e sin 2j
j j
e e cos 2
j
2.1.1 简单函数的拉氏变换
L[sin t 1(t )] L[
e
jt
2 指数函数
at
e 1(t )
at
at st
L[e 1(t )] e 1(t ) e dt 0 1 ( s a )t 1 ( s a )t 1(t ) e dt e |0 0 sa sa
2.1.1 简单函数的拉氏变换
3 正弦函数 余弦函数 根据欧拉公式
1 a2
a 2a
1 2 a
0
t
拉氏变换的应用
5、试求图所示x（t）的拉氏变换。
x(t) T
6、3x(t ) 4 x(t ) 5(t ) x
x (1)若初值为零，即 x(0) x(0) (0) 0
0
T
t
x (2)若初值不为零，即 x(0) 1, x(0) 1, (0) 2 求拉氏变换。
用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和， 并分三种情况讨论。
2.3 拉氏反变换
1.只含不同单极点的情况
B( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm X ( s) A( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
e(t 2) [1(t 2) 1(t 3)] 求其拉氏变换。 9、
10、sin t 1(t 2) 求其拉氏变换。
2.3 拉氏反变换
定义：
1 x(t ) 2j
简写为：
a j
a j
X ( s )e ds
st
x(t ) L [ X ( s )]
1
部分分式法求时间函数x（t）： 将一个复杂的象函数X(s)分解成若干个简单的有理 分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的 原函数，各原函数之和即为所求的x(t)。
dt n
sx
二阶导数的拉氏变换
( n2)
(0 ) x
( n 1)
(0 )
d 2 x(t ) 2 ' L[ 2 ] s X ( s) sx(0) x (0) dt
（2）在零初始条件下
dn L[ n x(t )] s n X ( s) dt
2.2 拉氏变换的性质 3 积分定理
2.1.1 简单函数的拉氏变换
5 单位脉冲函数
0 (t ) 1 lim t0 0 t0
x(t)
1 t0
(t )
(t 0且t>t0 ) (0 t t0 )
0 t0 t 单位脉冲函数
L[ (t ) 1(t )]
0
1 st 1 lim e dt lim 1 e st0 t0 0 t t0 0 t s 0 0
1 (1 e ) t0 s 由洛必达法则： lim (1 e ) lim t0 0 t s t0 0 (t0 s) 0
t0 s
所以： L (t ) lim s e
t0 0
t0 s
s
1
2.1.1 简单函数的拉氏变换
6 单位速度函数（斜坡函数）
x(t)
L[ x(t a) 1(t a)] e
x(t) x(t)
as
X ( s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s
2 2 s
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f2 (t ) E 1(t ) E 1(t t0 )
1 t
1 x(t ) L [ X ( s )] (e cos 2t sin 2t ) 1(t ) 2
2.3 拉氏反变换 部分分式法求时间函数x（t）
一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：
B( s ) X ( s) A( s ) b0 s b1s bm 1s bm (n m) n n 1 a0 s a1s an 1s an
t
2.2 拉氏变换的性质
8 时间比例尺改变的象函数（相似定理）
t L[ x ( )] aX ( as ) a
例：求 L[ f (at b) 1(at b)] 的拉氏变换。
L[ f ( at b) 1( at b)] b b L{ f [ a (t )] 1[ a (t )]} a a b s 1 s F( )e a a a
s L[cos t 1(t )] 2 2 s at 求： L[e sin t 1(t )] ? 2 2 ( s a) sa at L[e cos t 1(t )] ? 2 2 ( s a)
2.2 拉氏变换的性质
5 延时定理
2.2 拉氏变换的性质
9
tx(t ) 的象函数
dX ( s ) L[tx(t )] ds
10
x (t ) 的拉氏变换 t
x (t ) L[ ] t
s
X ( s )ds
2.2 拉氏变换的性质
11 周期函数的象函数
x(t T ) x(t )
1 L[ x(t )] 1 e sT
m m 1
B( s ) 0 得零点： z1 , z2 , zm
A( s ) 0 得极点： p1 , p2 , pn
2.3 拉氏反变换
B( s) X ( s) A( s ) B( s) an 1 an a1 n 1 a0 ( s s s ) a0 a0 a0
n
B( s) a0 s p1 ( s p2 ) ( s pn )
式中 推论：
1
X (s) x 1 (0) L[ x(t )dt] s s
t 0
1 2
x (0) x(t )dt
（1） L[ x(t )(dt ) n ] X ( s) x (0 ) x (0 ) n n n 1 s s s
（2）在零初始条件下
x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 3 s
0
1 2 st t e dt 2
0 t 单位加速度函数
2.2 拉氏变换的性质 1 叠加定理（线性定理）
若 则 例：
L[ x1 (t )] X 1 (s) L[ x2 (t )] X 2 (s)
L[a x1 (t ) bx2 (t )] a X1 (s) bX2 (s)
E E E t0 s t0 s L[ f (t )] e (1 e ) s s s
2.2 拉氏变换的性质
6 初值定理
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7 终值定理
lim x (t ) lim sX ( s )
t s 0
注意:运用终值定理的前提 lim x(t ) 是存在。
2.3 拉氏反变换
部分分式法求时间函数x（t）
s 拉氏反变换。 例2－3 试求 X ( s ) 2 s 2s 5
解：
s s X (s) 2 2 s 2s 5 ( s 1) 4 s 1 1 2 2 2 ( s 1) 2 2 ( s 1) 2 22
L[sin t 1(t )] L[
e
jt
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
e 2j
jt
1(t )]
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx (t ) ] sX ( s ) x(0 ) dt 推论： n d （1）L[ x(t )] s n X ( s) s n1 x(0 ) s n2 x(0 )
1(t )]
2.1.1 简单函数的拉氏变换
4 幂函数
n
t 1(t )
n
0
L[t 1(t )]
n
1 n st n n 1 st t e dt t e |0 t e dt s s 0
n st
n n 1 st n n 1 L[t 1(t )] t e dt L[t 1(t )] s 0 s 1 1 n 0 L[11(t )] n 1 L[t 1(t )] 2 s s 2 n! 2 n n 2 L[t 1(t )] 3 L[t 1(t )] n 1 s s
0
t
拉氏变换的应用
1、试求 L[e at cos t ]
0, t 0 2、试求 x(t ) 3t 的拉氏变换。 te , t 0
0, t 0 3、试求 x(t ) 的拉氏变换。 sin(t ), t 0
x(t)
4、试求图所示x（t）的拉 氏变换。
（2）
0
x(t )e t dt