二次函数与几何综合运用精品教案

二次函数与几何综合运用

能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．

重点

应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．

难点

函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．

一、引入新课

上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．

二、教学过程

问题1：教材第49页探究1.

用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？

分析：

提问1：矩形面积公式是什么？

提问2：如何用l表示另一边？

提问3：面积S的函数关系式是什么？

问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

分析：

提问1：问题2与问题1有什么不同？

提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？

提问3：面积S的函数关系式是什么？

答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.

提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？

答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.

提问5：如何求最值？

答案：x＝－b

2a＝－

60

2×（－2）＝15时，S max

＝450.

问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

提问1：问题3与问题2有什么异同？

提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？

提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？

答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22

＋30x. 提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？

提问5：如何求自变量的取值范围？

答案：0＜x ≤18.

提问6：如何求最值？

答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．

三、回归教材

阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？

四、基础练习

1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．

2．阅读教材第52～54页．

五、课堂小结与作业布置

课堂小结

1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．

2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．

作业布置

教材第52页 习题第4～7题，第9题．