ch08超静定拱结构力学
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j = 0.9273rad 0
O
x’
x = Rsin j y = y + a = Rcos j
a
=
y EI
ds
ds EI
= 5.39 m
M 1 =1 M 2 = - y = a - y
EId 11 =
M
2 1
ds
=
1.855
R
EId 22 =
M
2 2
ds
=
0
.027
R
3
10
M
P
=
q 2
x
2
EID1P = M1M Pds = -0.224qR3
y
O
解：1）忽略轴向变形，取
pR
三铰拱为基本体系。
X2
X1
X2 x
pR
M1 =1 N1 = 0
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 无铰拱和三铰拱均 处于无弯矩状态
2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的
M 2 = -y N2 = -cosj
D 1P
=
0
D= 2P
N2NP ds= EA
cosj• pRds
N1N2 ds EA
X3
对称的基本体系
X1=1引起： M1 =1 N1 =0 Q1 =0
X2=1引起： M 2 = - y N2= -cosj
dddddd132132131132XXXXXX113132++++++ddDDDD12232132PXpXpp====220+0+00DDD12PP2P=D==D030P-1P==y=EXMxMOEδEMI31=-点PII2EP1=Pddy引I的ddsδ1s2d2s起物1=s=d：理+-0dd2a21含M111=E=→=y义2EI1=E：dIEy-E1sxdI2IxI2s=dadds-s==sN+20=yEEcEy1-o-IIEsIs8iaddAn2ssjdjsds
l 2
8
30 EI
(0<x<0.5l)
l 2
<
来自百度文库
x
<
l
M
0
=
3 8
qlx
-
1 2
qx 2
M
0
=
1 8
qll
-
x
ql 2
16 －Hy
H
= - D1P
d 11
= ql 2 16 f
M=M0 －Hy
=
M
0 C
=
ql 2
f 16 f
ql 2 64
ql 2
M
5
64
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为
A 0.5l
B 0.5l
∴
d 11
=
1 EI
l 0
4 l
f
2
xl - x2 dx = 8 f 2l
15EI
q↓↓↓↓↓↓↓
x
3 ql 8
M0
x
ql 2
1 ql 8
16
D = - 1
1 p EI
l 2
y
3
qlx
-
1
qx
2
dx
0 8 2
- 1 l y ql l - xdx = - qfl 3
EI
q/2
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴ MPΔ1PX=10，X1=Δ1P/δ11=0， 在而反对M称=荷M载1 下X，1 +对M称P 未= 知0 力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
而
H=
M
0 C
=0
f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。
ξ=Kl
三铰拱的水平推力
H
=
M0 C
=
ql 2
= 10•10 2
= 50kN
f 8 f 8•2.5
HH
H
=
51.7 - 50 50
=
3
%
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
p
D
R Φ0
R Φ0
X1
X2 合理拱轴线 X3
MMP=0，Q=P=00，，NN=P－=－pRpR pR
基本体系
❖截 面 内 力 计 算 ❖内 力 图 的 形 状 特 征 ❖叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 ❖多 跨 静 定 梁 ❖静 定 刚 架 内 力 图
1
3m
§10-1 两铰拱的计算方法
16m
2
MP=M 0
X1
d 11 X 1
+D 1p
=0
D = 1p
M 1 M P ds EI
d = 11
M
2 1
y= C
4f l2
xl - x
解：由力法方程得
H = - d1p d11
y H
f x
H d11 =
y2 dx = EI
l 1 4 f 0 EI l 2
xl
-
2
x
dx
=
8 f 2l 15EI
A 0.5l
B 0.5l
d1P = -
M P ydx = - 1 l yM 0dx EI EI 0
VA=（1-K）
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
Φ0 Φ0
O l =10m
解:求R和φ0
R=6.25m
sinj = 0.8 0
cosj = 0.6 0
q↓↓↓↓↓↓↓ y
A 0.5l
f x B
0.5l
y=
4f l2
xl - x
ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
64
＝ ＝
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
M反对称
＋
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称=0
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
基本X体1 系
q/2
ql 2
M0
64
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
D
X1
=-
1P
d
= 0.121qR 2
= 47.1kN.m
11
EID2P = M 2M Pds = -0.0223qR4
D
X 2 = - d 2P =0.827qR =51.7kN 22
H = X 2 =51.7kN
M 0 = X1 - X 2 (R-a) = 2.76kN.m
M A = M B = X1 + X 2 (a - Rcosj0 ) = 6.98kN.m
X2
X1
X2
M = (M1X1 + M 2 X 2 ) + M0 P
M = (M1X1 + M2 X2) + M P
符号相反的大数相减
X2
X1
X2
13
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
x
x’
X3
X1
P1
X2 P2
d = 12
M1M 2 ds+ EI
kQ1Q2 ds+ GA
ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
EA
①不计轴向变形产生无弯矩状态
内力状态分为：
②单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
12
d = 22
M
2 2
ds
+
EI
N
2 2
ds
=
EA
y2ds + EI
cos2j
ds EA
X 1 = 0 X 2 = -D2P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力
在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产
生不大的弯矩，接近无弯矩状态。
2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
pR
第二，有助于了解拱的受力特点； 第三，能够更好的保证计算精度。
H*=1
X1=1
N1 M1
d11 =
M
2 1
ds
+
EI
N12 ds EA
D 1P =
M 1M P ds EI
D H = - 1P
d 11
H*
=
-
D*1P
d* 11
H=1≠
N1 M1
d * 11
=
M
2 1
ds
+
EI
N12 EA
ds+
l E1 A1
d* 11
=
d11
+
l E1 A1
D*1P =
M1M P EI
ds
=
D1P
H*
=
-
D*1P
d*
411
如 影 铰例yq果响拱：↓↓↓上在，的E↓↓I↓=例别两推↓ 常，的者力数两荷内与，f铰载力三求拱作不铰Hx与用一拱。三下定的拱铰，相推解d轴s拱或等力=:线d简的在。及x方,化c内计但内程o假sd力算是力j为11定=相位，通=1:E(只1等移在常y平I =考，时一是0l拱y4l22虑f这不般比d,xfx/弯l不忽荷较l<D-0曲是略载接1xp.2=变普轴作近)。-形遍向用的0lyM;性变下。近0d结形，似x 论的两地。取
ds +
EI
N
2 1
ds
EA
j
X1=1
y
X1=1
x
M1 = -y
N 1 = - cos j
D = 1P
M 0y ds
EI
求即由基考计考MNQ于本虑算虑出：===拱体弯轴δQ1-HM1是系曲向时Q后00曲是变变c，0-，os杆曲形形有isHnj内δ梁，时j1y1-，（Δ力-1H计P在H不的s算平能cin计Δo拱f用1sP中j算时图）一乘与还般法三要只铰三两拱d铰铰相11拱拱同=中中H：：Ey=I2H-HdsDd==11+1P-MfDdC0c11o1PEsA2 j
O
x’
x = Rsin j y = y + a = Rcos j
a
=
y EI
ds
ds EI
= 5.39 m
M 1 =1 M 2 = - y = a - y
EId 11 =
M
2 1
ds
=
1.855
R
EId 22 =
M
2 2
ds
=
0
.027
R
3
10
M
P
=
q 2
x
2
EID1P = M1M Pds = -0.224qR3
y
O
解：1）忽略轴向变形，取
pR
三铰拱为基本体系。
X2
X1
X2 x
pR
M1 =1 N1 = 0
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 无铰拱和三铰拱均 处于无弯矩状态
2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的
M 2 = -y N2 = -cosj
D 1P
=
0
D= 2P
N2NP ds= EA
cosj• pRds
N1N2 ds EA
X3
对称的基本体系
X1=1引起： M1 =1 N1 =0 Q1 =0
X2=1引起： M 2 = - y N2= -cosj
dddddd132132131132XXXXXX113132++++++ddDDDD12232132PXpXpp====220+0+00DDD12PP2P=D==D030P-1P==y=EXMxMOEδEMI31=-点PII2EP1=Pddy引I的ddsδ1s2d2s起物1=s=d：理+-0dd2a21含M111=E=→=y义2EI1=E：dIEy-E1sxdI2IxI2s=dadds-s==sN+20=yEEcEy1-o-IIEsIs8iaddAn2ssjdjsds
l 2
8
30 EI
(0<x<0.5l)
l 2
<
来自百度文库
x
<
l
M
0
=
3 8
qlx
-
1 2
qx 2
M
0
=
1 8
qll
-
x
ql 2
16 －Hy
H
= - D1P
d 11
= ql 2 16 f
M=M0 －Hy
=
M
0 C
=
ql 2
f 16 f
ql 2 64
ql 2
M
5
64
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为
A 0.5l
B 0.5l
∴
d 11
=
1 EI
l 0
4 l
f
2
xl - x2 dx = 8 f 2l
15EI
q↓↓↓↓↓↓↓
x
3 ql 8
M0
x
ql 2
1 ql 8
16
D = - 1
1 p EI
l 2
y
3
qlx
-
1
qx
2
dx
0 8 2
- 1 l y ql l - xdx = - qfl 3
EI
q/2
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴ MPΔ1PX=10，X1=Δ1P/δ11=0， 在而反对M称=荷M载1 下X，1 +对M称P 未= 知0 力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
而
H=
M
0 C
=0
f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。
ξ=Kl
三铰拱的水平推力
H
=
M0 C
=
ql 2
= 10•10 2
= 50kN
f 8 f 8•2.5
HH
H
=
51.7 - 50 50
=
3
%
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
p
D
R Φ0
R Φ0
X1
X2 合理拱轴线 X3
MMP=0，Q=P=00，，NN=P－=－pRpR pR
基本体系
❖截 面 内 力 计 算 ❖内 力 图 的 形 状 特 征 ❖叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 ❖多 跨 静 定 梁 ❖静 定 刚 架 内 力 图
1
3m
§10-1 两铰拱的计算方法
16m
2
MP=M 0
X1
d 11 X 1
+D 1p
=0
D = 1p
M 1 M P ds EI
d = 11
M
2 1
y= C
4f l2
xl - x
解：由力法方程得
H = - d1p d11
y H
f x
H d11 =
y2 dx = EI
l 1 4 f 0 EI l 2
xl
-
2
x
dx
=
8 f 2l 15EI
A 0.5l
B 0.5l
d1P = -
M P ydx = - 1 l yM 0dx EI EI 0
VA=（1-K）
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
Φ0 Φ0
O l =10m
解:求R和φ0
R=6.25m
sinj = 0.8 0
cosj = 0.6 0
q↓↓↓↓↓↓↓ y
A 0.5l
f x B
0.5l
y=
4f l2
xl - x
ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
64
＝ ＝
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
M反对称
＋
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称=0
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
基本X体1 系
q/2
ql 2
M0
64
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
D
X1
=-
1P
d
= 0.121qR 2
= 47.1kN.m
11
EID2P = M 2M Pds = -0.0223qR4
D
X 2 = - d 2P =0.827qR =51.7kN 22
H = X 2 =51.7kN
M 0 = X1 - X 2 (R-a) = 2.76kN.m
M A = M B = X1 + X 2 (a - Rcosj0 ) = 6.98kN.m
X2
X1
X2
M = (M1X1 + M 2 X 2 ) + M0 P
M = (M1X1 + M2 X2) + M P
符号相反的大数相减
X2
X1
X2
13
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
x
x’
X3
X1
P1
X2 P2
d = 12
M1M 2 ds+ EI
kQ1Q2 ds+ GA
ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
EA
①不计轴向变形产生无弯矩状态
内力状态分为：
②单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
12
d = 22
M
2 2
ds
+
EI
N
2 2
ds
=
EA
y2ds + EI
cos2j
ds EA
X 1 = 0 X 2 = -D2P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力
在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产
生不大的弯矩，接近无弯矩状态。
2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
pR
第二，有助于了解拱的受力特点； 第三，能够更好的保证计算精度。
H*=1
X1=1
N1 M1
d11 =
M
2 1
ds
+
EI
N12 ds EA
D 1P =
M 1M P ds EI
D H = - 1P
d 11
H*
=
-
D*1P
d* 11
H=1≠
N1 M1
d * 11
=
M
2 1
ds
+
EI
N12 EA
ds+
l E1 A1
d* 11
=
d11
+
l E1 A1
D*1P =
M1M P EI
ds
=
D1P
H*
=
-
D*1P
d*
411
如 影 铰例yq果响拱：↓↓↓上在，的E↓↓I↓=例别两推↓ 常，的者力数两荷内与，f铰载力三求拱作不铰Hx与用一拱。三下定的拱铰，相推解d轴s拱或等力=:线d简的在。及x方,化c内计但内程o假sd力算是力j为11定=相位，通=1:E(只1等移在常y平I =考，时一是0l拱y4l22虑f这不般比d,xfx/弯l不忽荷较l<D-0曲是略载接1xp.2=变普轴作近)。-形遍向用的0lyM;性变下。近0d结形，似x 论的两地。取
ds +
EI
N
2 1
ds
EA
j
X1=1
y
X1=1
x
M1 = -y
N 1 = - cos j
D = 1P
M 0y ds
EI
求即由基考计考MNQ于本虑算虑出：===拱体弯轴δQ1-HM1是系曲向时Q后00曲是变变c，0-，os杆曲形形有isHnj内δ梁，时j1y1-，（Δ力-1H计P在H不的s算平能cin计Δo拱f用1sP中j算时图）一乘与还般法三要只铰三两拱d铰铰相11拱拱同=中中H：：Ey=I2H-HdsDd==11+1P-MfDdC0c11o1PEsA2 j