ch08超静定拱结构力学
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结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
龙驭球结构力学课件CH08
Q 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
1 Q Q d 0
m M d
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
N 1 cos
FP
a)
A B
AV BV AV BV
AV BV
A、B截面相对竖 向位移 A、B截面竖向位 移之和
AH
A
BH
B
FP
A
BV B AV
q
AB AH BH
A、B截面相对水平位移
AB AV BV
A、B截面相对竖向位移
刚体虚功原理 基本方法：选分离体，列平衡方程。 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 静力分析的方法 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。 方程。如（ c MC＝0 是指约束反力在可能位移 ）式就是力矩平衡方程∑ 刚体内力在可能的位 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 上所作虚功恒等于零的约束 1、虚功原理 移上所作虚功恒为零 作功的双方（平衡力系、 便，可以随意虚设，如设δX=1。 又设 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 可能位移）彼此独立无关 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移， 则主动力在位移上 静力平衡问题。 所作的虚功总和恒为零。 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 虚功原理的应用 2）需设力系求位移（虚力原理） 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 求杠杆在图示位置平衡时X的值。 X P X ΔX －P ΔP=0 A C B b b P Δ =0 （c） （X－ P） X=0 X P a b a X a δX =1，δP=b/a
结构力学4静定拱
x 、 y，截面切线的倾斜
角为 θ 。且左半拱的为
FHA
正值，右半拱的 θ 为负
值。
考虑截面左侧部份平衡,由 FH
K f
A
x
B
x
l/ 2
FVA
F2
F1 K
?
l/ 2
MK
FN K y
F SK
FHB F
VB
由∑MK=0可得
FVA
M K ? ?FVA ?x ? F1?x ? b1?? F2 ?x ? b2 ??? FH ?y F1 F2
a2 a3
F3
B
F0 VB
退出
返回
00:42
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
MK
?
M
0 K
?
FH y
FSK ? FS0K cos? ? FH sin?
FNK ? FS0K sin? ? FH cos?
拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小 很多，当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合 理。
FND ? FS0D sin?D ? FH cos?0
退出
返回
00:42
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
考虑整体平衡
y
F
F
C
由∑X=0，得 FHA ? FHB ? FH
K
由∑MA=0
FHA
F1a1 ? F2a2 ? F3a3 ? FVBl ? 0
得
FVB
?
1 l
?F1a1
?
F2a2 ?
F3a3 ?
由∑MB=0，得
A
x
结构力学内容体系
(1)静定结构 CH3-5(内力计算), CH7（位移计算）
(2)超静定结构 CH8-10 (内力及位移计算)
1）内力与位移问题 CH11 内力计算 动力荷载作用结构内力与位移问题 CH13 移动荷载作用结构内力问题 CH6，CH12
4）结构中受压杆的临界荷载问题 CH14
2）极限状态问题 5 ）结构构件的极限承载力问题 CH15
结构力学----结构的内力、位移、稳定性、极限荷载问题
杆系结构的几何构造分析 ch2
1 基 本 原 理
力法 ch8
静定结构内力计算 ch3、ch4、ch5 静定结构位移计算 位移协调条件 典型方程 ch7
位移法CH9-10
直接建立位移法方程 矩阵运算CH10
2、基本内容
静力荷载作用下结构内力位移问题
3、各内容之间的关系 几何构造分析CH2 静定结构内力计算CH3-5 静定结构位移计算CH7
极限荷载CH15
移动荷载CH6，12
力法CH8
动力学CH13 稳定分析CH14
（矩阵）位移法 CH9-10
渐进法与近似法CH11
上册教学内容：
杆系结构的几何构造分析 ch2
1 基 本 原 理
力法 ch8
静定结构内力计算 ch3、ch4、ch5 静定结构位移计算 位移协调条件 典型方程 ch7
位移法CH9-10
直接建立位移法方程 矩阵运算CH10
下册教学内容：
弯矩分配法
一、
渐进法与近似法CH11
叠代法
剪力分配法
D值法
二、
三构内力问题 CH6，CH12 结构稳定问题 CH14 结构极限荷载问题 CH15
五、
(2)超静定结构 CH8-10 (内力及位移计算)
1）内力与位移问题 CH11 内力计算 动力荷载作用结构内力与位移问题 CH13 移动荷载作用结构内力问题 CH6，CH12
4）结构中受压杆的临界荷载问题 CH14
2）极限状态问题 5 ）结构构件的极限承载力问题 CH15
结构力学----结构的内力、位移、稳定性、极限荷载问题
杆系结构的几何构造分析 ch2
1 基 本 原 理
力法 ch8
静定结构内力计算 ch3、ch4、ch5 静定结构位移计算 位移协调条件 典型方程 ch7
位移法CH9-10
直接建立位移法方程 矩阵运算CH10
2、基本内容
静力荷载作用下结构内力位移问题
3、各内容之间的关系 几何构造分析CH2 静定结构内力计算CH3-5 静定结构位移计算CH7
极限荷载CH15
移动荷载CH6，12
力法CH8
动力学CH13 稳定分析CH14
（矩阵）位移法 CH9-10
渐进法与近似法CH11
上册教学内容：
杆系结构的几何构造分析 ch2
1 基 本 原 理
力法 ch8
静定结构内力计算 ch3、ch4、ch5 静定结构位移计算 位移协调条件 典型方程 ch7
位移法CH9-10
直接建立位移法方程 矩阵运算CH10
下册教学内容：
弯矩分配法
一、
渐进法与近似法CH11
叠代法
剪力分配法
D值法
二、
三构内力问题 CH6，CH12 结构稳定问题 CH14 结构极限荷载问题 CH15
五、
第四章结构力学静定拱
15kN
A
K左
A
K右
12.5kN
12.5kN
FºSK左＝12.5kN
FºSK右＝－2.5kN
( F H 1 0 k N ,F S 0 K 左 1 2 . 5 k N ,F S 0 K 右 2 . 5 k N )
( s i n 0 .4 4 7 ,c o s 0 .8 9 4 )
FSK左FS0K左cosFHsin12.50.894100.447
r FP1 90。 D D
C
FQD A
FP2 B
FRA
FRB
M D FRD rD
FQD FRD sin D FND FRD cos D
r D ——截面D形心到FRD作用线之距离。
D ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面内力的问题归结为确定 截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线 的问题。
tgy'4l2f
(l2x)a b
F
V
0 A
FP1
D
F
0 SD
代梁
a2+b2 a
b
2) FºSD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºSD可能大于零、等于零或小于零。
下面用上述公式求FSK、FNK。
xK＝4m y'41 624(1624)1 2 FºSK左＝12.5kN
5
1 2
FºSK右＝－2.5kN
FP2 E FP1
D
FRA A
o
C FP1 FP2
FRA
FRB
FP3
FP3 F
B
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
结构力学第三章静定结构组合结构及拱课件
结构力学第三章静定结构组合 结构及拱课件
目
ENCT
录
• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
THANK YOU
感谢聆听
静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
目
ENCT
录
• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
THANK YOU
感谢聆听
静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
ch08结构力学简明教程
第8章 影响线及其运用 教学提示：影响线主要是讨论静定结构和超静定结构内力(反力)的影响线的做法和运用。
它的理论依据主要是静力平衡方程和虚功原理。
影响线和内力图从图形的形状上看有些情况下是相似的，但实质上他们是完全不同的两个问题。
影响线是影响系数与荷载位置间的关系曲线，它与内力分布图是有区别的。
内力分布图是描述固定荷载作用下，内力沿结构各个截面的分布；而影响线是描述单位集中荷载在不同位置作用时对结构中某固定处某量的影响。
影响线可运用静力法和机动法来绘制。
根据影响线可以确定各种荷载作用时的影响值，并用以确定移动荷载的不利位置。
教学要求：影响线主要运用于有移动荷载作用的工程结构，比如桥梁、厂房中的一些移动起吊设备和移动荷载作用的特殊结构。
学生在学习影响线时首先必须掌握影响线的概念，学会用静力法和机动法绘制单跨静定梁、静定连续梁、静定桁架、简单刚架以及用机动法绘制超静定连续梁影响线的轮廓线。
对于由直线图形构成的影响线，还必须学会用影响线来确定临界荷载以及荷载的最不利位置。
8.1 移动荷载和影响线的概念前面各章讨论了结构在静止荷载作用下的计算方法。
这类荷载的大小、方向以及作用点在结构上的位置是固定不变的，因此，结构的反力和各处的内力及位移也是不变的。
但在工程中，有些结构除了承受上述恒定荷载外，还受到移动荷载的作用，例如吊车梁承受吊车荷载；桥梁承受车辆荷载；又如房屋楼面上的人群、货物或非固定的设备等可以任意布置的分布荷载，都属于活载的范围。
随着荷载作用点位置的变化，将引起结构的反力、内力和位移等这些量值的变化。
在设计结构时，需要知道在移动荷载的作用下．结构产生的某些量值的最大值，该值称为最大量值。
出现最大量值的荷载位置，称为最不利荷载位置。
本章的主要内容是研究结构的反力、内力和位移随荷载移动而变化的规律。
在这里不考虑荷载移动对结构产生的动力作用，因此仍属于静力计算问题。
结构在移动荷载作用下的状态将随荷载作用位置的不同而变化，这样，就需要解决以下新问题。
结构力学知识点总结
结构力学知识点总结结构力学是固体力学的一个分支，主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化。
以下是对结构力学主要知识点的总结。
一、结构的计算简图结构计算简图是对实际结构进行力学分析时，经过简化抽象得到的力学模型。
它需要忽略一些次要因素，突出结构的主要特征。
在确定计算简图时，要明确结构的支座形式。
常见的支座有固定支座、可动铰支座和固定铰支座。
固定支座限制结构在水平和竖直方向的移动以及转动；可动铰支座限制结构沿支座链杆方向的移动，允许转动；固定铰支座限制结构在水平和竖直方向的移动，但允许转动。
此外，还需要确定结构的荷载类型。
荷载包括集中荷载和分布荷载。
集中荷载是作用在结构上的一个点的荷载，如重物的压力；分布荷载则是作用在结构一段长度或面积上的荷载，如梁的自重。
二、平面体系的几何组成分析这部分内容主要是判断平面体系的几何不变性。
通过计算自由度，以及运用几何不变体系的组成规则，可以确定体系是否几何不变。
自由度是指确定体系位置所需的独立坐标数。
一个刚片在平面内有三个自由度。
计算平面体系自由度的公式为：W ＝ 3m 2h r ，其中 m为刚片数，h 为单铰数，r 为支座链杆数。
几何不变体系的组成规则包括：两刚片规则、三刚片规则和二元体规则。
两刚片通过一个铰和一根不通过该铰的链杆相连组成几何不变体系；三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连组成几何不变体系；在一个体系上增加或拆除一个二元体不改变体系的几何组成性质。
三、静定结构内力计算静定结构是指在任意荷载作用下，其内力和反力都可以由静力平衡条件唯一确定的结构。
静定梁的内力包括弯矩、剪力和轴力。
计算内力的方法通常是先求出支座反力，然后通过截面法计算指定截面的内力。
弯矩使梁的受拉一侧纤维受拉为正；剪力以使隔离体顺时针转动为正。
静定刚架的内力计算方法与静定梁类似，但需要注意刚架中各杆的内力可能有弯矩、剪力和轴力。
在计算时，要正确判断各杆的内力方向。
静定桁架的内力计算通常采用节点法和截面法。
华南理工大结构力学第4章静定拱
拱的特点：
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
支承结构。 缺
三铰拱的缺点：
所以工程中 很少采用！
点 1.铰的存在使结构复杂，施工困难，维护费
用高。
2.铰的存在降低了结构抗震能力。
3.拱的挠度曲线在顶铰处有转折，致使拱顶
铰处的桥面下沉，对行车不利。 6
§4-2 三铰拱的计算 1. 支座反力的计算：
13
FS1 =FS10 cos1 FH sin1 =3 kN;FN1 =FS10 sin1 + FH cos1 =74 kN
按上述方法依次求得各截面内力，绘制出内力图
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
❖ 不管是在均布荷载下还是在集中荷载 下，拱的三个内力图都是曲线图形。
❖ 在有竖向集中力作用点两侧截面，轴 力图和剪力图都有突变，突变值等于相 应简支梁的剪力分别在拱的轴力和剪力 方向上的投影。
分析：本题为F非N +d竖FN向
荷载，我们可由假定拱
圆
F轴进N 处行于受R无力弯分矩析状，态建入立手平，
衡方程求出合理拱轴线。
M=0 → dM=FQ=0 因此横截面只有轴力FN ,FN+dFN. ∑MO=0 → FNR-(FN +d FN )R=0 → d FN=0 → FN=常数。 沿s-s轴投影方程：2FN sin(d/2)-qRd =0, sin(d/2)=d/2
使拱在给定荷载下只
M
M0
FH
y0
产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的合
拱轴线方程：
理拱轴
M0 y
FH
在竖向荷载作用下，三
铰拱的合理拱轴线的纵
只限于三铰平拱受 坐标与相应简支梁弯矩 竖向荷载作用 图的竖标成正比。
结构力学第七章计算超静定梁结构力学讲解
第7章 力 法
本章内容
超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算 思路方法； 力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排 架、桁架和组合结构。 支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。 对称结构的特性及对称性的利用。 超静定结构的位移计算及力法校核。
目的要求
1. 掌握力法的基本概念， 2. 熟练掌握力法解超静定结构的方法。 3. 能熟练利用对称性，掌握半结构的取法。 4. 掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。
11 基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用 静力平衡方程得到。
由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结
构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件 首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反 力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方 程。 力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
(a) (b) (c)
(d)
(e) (f)
图7-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件：
（1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）；
（3）物理条件。 力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法
是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是
q (a) A l2 B l2 C
"原结构"
(b) A X1 q C
"基本体系"
本章内容
超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算 思路方法； 力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排 架、桁架和组合结构。 支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。 对称结构的特性及对称性的利用。 超静定结构的位移计算及力法校核。
目的要求
1. 掌握力法的基本概念， 2. 熟练掌握力法解超静定结构的方法。 3. 能熟练利用对称性，掌握半结构的取法。 4. 掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。
11 基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用 静力平衡方程得到。
由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结
构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件 首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反 力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方 程。 力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
(a) (b) (c)
(d)
(e) (f)
图7-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件：
（1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）；
（3）物理条件。 力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法
是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是
q (a) A l2 B l2 C
"原结构"
(b) A X1 q C
"基本体系"
结构力学第4章静定拱
y M0 H
三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成 正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除 以常数H便得到合理拱轴线方程。
11
例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。
解：
相应简支梁的弯矩方程为
y
M 0 qL x qx2 1 qx(L x) 2 22
x
所以
H
M
0 C
qL2
f 8f
y
M0 H
4f L2
x(L x)
x
合理拱轴线为抛物线
12
本章小结
三铰拱是按三刚片规则组成的静定结构； 在竖向荷载作用下，产生竖向反力与水平推力； 拱的主要内力是轴力； 利用合理拱轴可以使拱的弯矩达到最小。
13
y
23
1
50.25kN
→H o
↑VA
75.5kN
4
x
50.25kN
←H ↑ VB
58.5kN
以1截面为例： L=12m、f=4m代入拱轴方程
y
44 122
x(12
x)
x 9
(12
x)
tg dy 2 (6 x) dx 9
9
1截面： x1=1.5m 1=450
y1=1.75m tg1=1 sin 1=0.707 cos 1=0.707
503
755
→H
↑ VA
kN 75.5kN
←H
↑VB
58.5kN
VB VB0 14 6 3 50 9 58 5 kN 12
↑VA0
↑VB0
H
M
0 C
75 5 6 14 6 3
50 25kN
结构力学计算超静定梁结构力学PPT学习教案
条件可用公式表达如下：
Δ1 =0
(a)
第6页/共61页
等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的
位移)，等号右端表示原结构在B点的 竖向线 位移。 设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时 ，作用 点沿方 向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正， 见图7-4(c)、(d)，根 据 叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11
M 1 M ds 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M 1M P ds EI
1 [1 l (2 l Fl l Pl )]
EI 6 2
2 22
5Fl 3
48EI
(5) 解力法方程。
X1
q
C X1
"基本体系"
在力法中把原超静定结构称 (c) A
为原结构，去掉多余联系后
11
B
C
X1
的静定结构称为基本结构。
q
(d)
所去掉的多余联系，则以相 A
B
C
ip
应的多余未知力X1来代替。
图7-
第5页/共61页
4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为 力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它 代表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一
链杆不是多余约束。
(a)
(b)
(c)
(d)
A
B
A
B X1
Δ1 =0
(a)
第6页/共61页
等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的
位移)，等号右端表示原结构在B点的 竖向线 位移。 设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时 ，作用 点沿方 向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正， 见图7-4(c)、(d)，根 据 叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11
M 1 M ds 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M 1M P ds EI
1 [1 l (2 l Fl l Pl )]
EI 6 2
2 22
5Fl 3
48EI
(5) 解力法方程。
X1
q
C X1
"基本体系"
在力法中把原超静定结构称 (c) A
为原结构，去掉多余联系后
11
B
C
X1
的静定结构称为基本结构。
q
(d)
所去掉的多余联系，则以相 A
B
C
ip
应的多余未知力X1来代替。
图7-
第5页/共61页
4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为 力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它 代表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一
链杆不是多余约束。
(a)
(b)
(c)
(d)
A
B
A
B X1
《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
第九章超静定拱【共享文档】
M1 1,Q1 0,N1 0
M2 y,Q2 sin,N2 cos M3 x,Q3 cos,N3 sin
〔9—6〕
返7回
M1 1,Q1 0,N1 0
M2 y,Q2 sin,N2 cos 〔9—6〕
M3 x,Q3 cos,N3 sin
式中：弯矩内侧受拉为正，剪力以
x1x3 x2
y
x
绕隔离体顺时针方向为正，轴力以
计算系数和自由项时，一般 ↓ 它是两个带刚
臂的悬臂梁，利用对称性，并适当
矩在两拱趾处为零而逐渐向拱顶
略去剪力的影响，而轴力影 响仅 如果能设法使 12= 21=0，那么典型方程中的
x 计算 11时，要考虑系杆轴
当f＜L/5 时才在 中予以考虑。 x 11 维现婴盂陪合狡食家楔典挞腔渝紊谗潜衍忽旋钦穴臀馁瞅蜗辑骏黎鬃栋耀第九章超静定拱第九章超静定拱
有时为了防止支座承受推力，可采用带拉杆的两铰拱，也称系铰拱。
计算时为简化计算取对称的根本结构。 2
2
因此有 Mds Nds M M ds 支曲梁为根本结构，以支座的水
1
1
计算系数和自由项时，一般
1P
EI EA 扔灶棕阐怕础畏熄唱图掐糖1骂1血目谚噪聋詹弃饭汝迪缉材跨馅羡行颈喧炼第九章超1静P定拱第九章超静定拱
程中全部副系数都等于零。
A
B
典型方程为 11X1+△1P=0
平推力X1为多余未知力。
L
增大，所以其截面一般也相应设 拱是一种曲轴的推力结构，除三铰拱外均是
X +△ =0 11 1 1P 穆贷蓄吊抨唇盔稽逆伯诈只绊邓雅陡信洪苛欢瓜涪奈刽改失蛹蝗款筑酸帛第九章超静定拱第九章超静定拱 y P 扔灶棕阐怕础畏熄唱图掐糖骂血目谚噪聋詹弃饭汝迪缉材跨馅羡行颈喧炼第九章超静定拱第九章超静定拱
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q/2
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴ MPΔ1PX=10，X1=Δ1P/δ11=0， 在而反对M称=荷M载1 下X，1 +对M称P 未= 知0 力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
而
H=
M
0 C
=0
f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。
ξ=Kl
D
X1
=-
1P
d
= 0.121qR 2
= 47.1kN.m
11
EID2P = M 2M Pds = -0.0223qR4
D
X 2 = - d 2P =0.827qR =51.7kN 22
H = X 2 =51.7kN
M 0 = X1 - X 2 (R-a) = 2.76kN.m
M A = M B = X1 + X 2 (a - Rcosj0 ) = 6.98kN.m
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
X2
X1
X2
M = (M1X1 + M 2 X 2 ) + M0 P
M = (M1X1 + M2 X2) + M P
符号相反的大数相减
X2
X1
X2
13
q↓↓↓↓↓↓↓ y
A 0.5l
f x B
0.5l
y=
4f l2
xl - x
ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
64
＝ ＝
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
M反对称
＋
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称=0
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
基本X体1 系
q/2
ql 2
M0
64
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
❖截 面 内 力 计 算 ❖内 力 图 的 形 状 特 征 ❖叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 ❖多 跨 静 定 梁 ❖静 定 刚 架 内 力 图
1
3m
§10-1 两铰拱的计算方法
16m
2
MP=M 0
X1
d 11 X 1
+D 1p
=0
D = 1p
M 1 M P ds EI
d = 11
M
2 1
A 0.5l
B 0.5l
∴
d 11
=
1 EI
l 0
4 l
f
2
xl - x2 dx = 8 f 2l
15EI
q↓↓↓↓↓↓↓
x
3 ql 8
M0
x
ql 2
1 ql 8
16
D = - 1
1 p EI
l 2
y
3
qlx
-
1
qx
2
dx
0 8 2
- 1 l y ql l - xdx = - qfl 3
EI
EA
①不计轴向变形产生无弯矩状态
内力状态分为：
②单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
12
d = 22
M
2 2
ds
+
EI
N
2 2
ds
=
EA
y2ds + EI
cos2j
ds EA
X 1 = 0 X 2 = -D2P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
l 2
8
30 EI
(0<x<0.5l)
l 2
<
x
<
l
M
0
=
3 8
qlx
-
1 2
qx 2
M
0
=
1 8
qll
-
x
ql 2
16 －Hy
H
= - D1P
d 11
= ql 2 16 f
M=M0 －Hy
=
M
0 C
=
ql 2
f 16 f
ql 2 64
ql 2
M
5
64
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为
M1M P EI
ds
=
D1P
H*
=
-
D*1P
d*
411
如 影 铰例yq果响拱：↓↓↓上在，的E↓↓I↓=例别两推↓ 常，的者力数两荷内与，f铰载力三求拱作不铰Hx与用一拱。三下定的拱铰，相推解d轴s拱或等力=:线d简的在。及x方,化c内计但内程o假sd力算是力j为11定=相位，通=1:E(只1等移在常y平I =考，时一是0l拱y4l22虑f这不般比d,xfx/弯l不忽荷较l<D-0曲是略载接1xp.2=变普轴作近)。-形遍向用的0lyM;性变下。近0d结形，似x 论的两地。取
N1N2 ds EA
X3
对称的基本体系
X1=1引起： M1 =1 N1 =0 Q1 =0
X2=1引起： M 2 = - y N2= -cosj
dddddd132132131132XXXXXX113132++++++ddDDDD12232132PXpXpp====220+0+00DDD12PP2P=D==D030P-1P==y=EXMxMOEδEMI31=-点PII2EP1=Pddy引I的ddsδ1s2d2s起物1=s=d：理+-0dd2a21含M111=E=→=y义2EI1=E：dIEy-E1sxdI2IxI2s=dadds-s==sN+20=yEEcEy1-o-IIEsIs8iaddAn2ssjdjsds
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
x
x’
X3
X1
P1
X2 P2
d = 12
M1M 2 ds+ EI
kQ1Q2 ds+ GA
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力
在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产
生不大的弯矩，接近无弯矩状态。
2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
pR
第二，有助于了解拱的受力特点； 第三，能够更好的保证计算精度。
y
O
解：1）忽略轴向变形，取
pR
三铰拱为基本体系。
X2
X1
X2 x
pR
M1 =1 N1 = 0
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 无铰拱和三铰拱均 处于无弯矩状态
2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的
M 2 = -y N2 = -cosj
D 1P
=
0
D= 2P
N2NP ds= EA
cosj• pRds
y= C
4f l2
xl - x
解：由力法方程得
H = - d1p d11
y H
f x
H d11 =
y2 dx = EI
l 1 4 f 0 EI l 2
xl
-
2
x
dx
=
8 f 2l 15EI
A 0.5l
B 0.5l
d1P = -
M P ydx = - 1 l yM 0dx EI EI 0
VA=（1-K）
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
Φ0 Φ0
O l =10m
解:求R和φ0
R=6.25m
sinj = 0.8 0
cosj = 0.6 0
j = 0.9273rad 0
O
x’
x = Rsin j y = y + a = Rcos j
a
=
y EI
ds
ds EI
= 5.39 m
M 1 =1 M 2 = - y = a - y
EId 11 =
M
2 1
ds
=
1.855
R
EId 22 =
M
2 2