关注圆锥曲线综合,开展解法探究思考

关注圆锥曲线综合，开展解法探究思考
作者：殷向阳
来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第03期
[摘 ;要] 圆锥曲线是高中数学重点内容，高考中通常以综合题的形式出现，同时命题形式倾向于多样复合、逐层设问，因此需要教师引导学生关注知识关联点，提升综合能力.文章以一道圆锥曲线综合题为例，进行考题思路突破、解后剖析，提出相应的教学建议.
[关键词] 抛物线;等差数列;几何图形;面积最值
走进考题
点A和B是抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点，点M是抛物线上的一个定点，点F为焦点，如果AF，MF，BF成等差数列，试回答下列问题.
（1）试分析线段AB的垂直平分线是否经过定点，若经过请写出定点Q的坐标;
（2）如果MF=4，OQ=6（O为坐标的原点），试求抛物线的方程;
（3）在条件（2）成立的条件下，连接AQ，BQ，构建△AQB，试求△AQB面积的最大值.
思路突破
上述是高中数学典型的圆锥曲线考题，其中涉及等差数列、几何图形等内容，需要结合相应的知识逐步突破，下面开展思路探究.
1. 突破第（1）问
该问分析线段AB的垂直平分线是否经过定点，可按照“假设→验证”的方式进行. 首先结合题干条件推理出線段AB垂直平分线的斜率及所过的点，求解出相应的方程式，然后变形解析式，探究所过定点坐标，具体如下.
设关键点坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则AF=x1+ ，MF=x2+ ，MF=x0+ . 由等差数列规律可知2MF=AF+BF，分析可得x0= ，可将线段AB的中点设为（x0，t），其中t= ≠0. 线段AB的斜率可表示为kAB= ，由于点A和B均位于抛物线上，可对其变形转化，即kAB= = = = . 因此可求得线段AB的垂直平分线方程为y=- （x-x0）+t，方程中t为未知参数，进行参数提炼变形，可得t（x-x0-p）+yp=0，分析可知当x=x0+p时，其结果就与t 无关，此时y=0，即线段AB的垂直平分线经过定点，且定点Q的坐标为（x0+p，0）.
2. 突破第（2）问
该问求抛物线的方程，需要根据其中的线段长来构建关于抛物线参数的方程，通过解方程来求出参数的值，即可获得抛物线的方程，具体如下.
已知MF=4，OQ=6，结合（1）问所设内容可得x0+ =4，x0+p=6，联立方程可解得p=4，x0=2，所以该抛物线的方程为y2=8x.
3. 突破第（3）问
该问是以第（2）问所求抛物线为基础构建了△AQB，求△AQB的面积最值需要基于三角形面积公式来建立模型，然后建立关于坐标参数的函数，后续利用函数的性质来研究最值. 因此可按照如下步骤进行：第一步，基于面积公式构建模型;第二步，联立抛物线与直线方程探究参数关系，建立关于坐标参数的函数;第三步，利用函数性质分析面积函数，求解三角形面积最值，具体过程如下.
可将△AQB视为是以AB为底、点Q为顶点的三角形，设点Q到线段AB的距离为d，结合面积公式可建立三角形模型，即S△AQB= ·AB·d.利用点坐标可转化AB长，即AB= ，而距离d可用点到直线的距离公式来转化，其中直线AB的方程为y= （x-2）+t，点Q的坐标为（6，0），则d= .联立直线AB与抛物线的方程y2=8x，y= （x-2）+t，整理可得y2-2ty+2t2-16=0，所以有（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1·y2=64-4t2，（x1-x2）2= （y1-y2）2= （16-t2），从而可建立面积函数，即S△AQB= ·AB·d= ;= · . 令u=4096+256t2-16t4-t6，求其导函数
u′=512t-64t3-6t5. 令u′=0，可解得t=0或t2=-16或t=± ;，分析可知，当t=± ;时，S△AQB可取得最大值，且最大值为 ;，即△AQB面积的最大值为 ;.
深入解剖
从内容来看，上述考题是结合了几何图形、等差数列的综合性问题，求解时需要基于数列规律来提炼线段关系，利用三角形特性来构建面积模型，其解法思路具有一定的研究价值，下面对其核心突破点和价值内容进行深入剖析，并开展教学微设计.
1. 考题突破的关键点
考题主要分为三问，从突破过程来看，第（1）问和第（2）问具有一定的难度，需要把握知识的关联点来进行问题转化，模型提炼.其中第（1）问突破的关键点主要集中在对等差规律的处理和方程所过定点的探究上，前者需要利用等差数列规律来建立关于线段长的关系，从而构建代数方程，后者则需要基于消参原则来提炼定点，即通过归零的方式来去除参数对直线所过点的影响，确立定点坐标.
2. 解法学习的价值点
在考题探究过程中利用到了问题转化、模型构建、函数分析等内容，这些内容和解析方法是求解圆锥曲线考题的通性通法，具有极高的参考价值.例如在处理线段等差关系时，引入点的坐标，从而将其转化为关于坐标参数的方程;建立面积模型时，基于“几何面积？葑线段关系？葑点参数方程”思路构建方程;而分析函数最值引入了导函数，利用导函数来确定面积函数的单调性，进而确定最值情形. 从解题过程来看，圆锥曲线中“几何图形”与“线段关系”“点坐标”之间的关联是问题突破与转化的核心所在，解析该类问题应立足点坐标，联系线段长来逐步转化，构建关于几何模型的代数方程.
3. 考题教学微设计
开展考题微设计可以引导学生构建解题思路，该考题具有极高的教学价值，下面以考题的第（3）问为例，进行如下微设计.
教学环节（一）——知识回顾，基础构建
点A和B是抛物线y2=8x（p>0）上的两个动点，若线段AB经过定点（2，0），点Q的坐标为（6，0），试回答下列问题.
问题①：设点A（x1，y1），B（x2，y2），t= ，试用t表示线段AB的方程;
问题②：试求点Q到直线AB的距离.
设计说明：引导学生强化基础知识，复习方程求解和点到直线距离计算等知识，为后续探究做基础.
教学环节（二）——模型构建，最值分析
在上述题干信息的基础上，连接AQ和BQ，构建△AQB，试回答下列问题.
问题①：试用t表示△AQB的面积;
问题②：分析△AQB的面积，求其最大值.
设计说明：引导学生结合面积公式构建关于三角形的面积模型以及对应的面积函数，然后引導学生利用导函数来分析面积函数的性质，求解最值.
上述是基于考题第（3）问开展的教学微设计，通过环节设计完成了“基础巩固”到“最值分析”. 微设计的特点在于可以拆分问题，使学生亲历思路构建的过程，而在实际教学中需要教师关注最基础的公式定理，以解题策略的培养为教学重点.
反思建议
圆锥曲线考题是高中数学的重难点问题，上述对一道圆锥曲线综合题进行了思路突破和剖析，而开展考题教学可以充分挖掘考题的价值，引导学生掌握同类型题的解题思路，提升解题能力，下面提出几点教学建议.
1. 关注考题设问，追问引导探究
考题教学的意义在于使学生掌握相应的解题思路，形成解题策略，因此在教学中需要引导学生拆解考题，逐步思考，设问、追问是其中最为有效的方式，即以问题为媒介，让学生在思考问题中体验思路构建的过程. 以上述圆锥曲线综合题为例，解析三角形面积最值，首先让学生思考所求三角形的特性，如何构建面积模型，然后引导学生思考如何联系曲线方程来转化为函数问题，最后引导学生思考如何分析函数的最值. 在追问中学生会充分调用基础知识，有助于基础知识巩固.
2. 重视解后反思，深度挖掘考题
考题凝聚了众多优秀命题人的智慧，考题探究中可以学习其中的解法经验，把握高中命题风向. 因此完成考题思路突破后，还需要对考题进行反思、剖解，提取考题特征，分析突破关键点，总结解题的价值内容.教学中，教师可以选取具有代表性的考题进行解法探究和反思教学，例如上述考题第（3）问分析三角形面积最值，其模型构建和最值分析方法具有极高的参考价值，学生在反思过程中可以掌握类型题的突破思路，同时深度理解考题，达到“解题通法”的教学效果.
3. 倡导教学设计，提升综合素养
微设计是考题教学的方法之一，通过微设计的方式可以引导学生全面了解考题结构，掌握考题逐层突破的方法.例如上述在反思阶段对第（3）问的教学微设计，学生可以理解解析圆锥曲线中三角形面积问题实际上就是面积函数的构建过程，该过程中需要利用几何与函数的关联来构建面积模型，利用函数性质来解析面积最值. 进行教学微设计时需要注意两点：一是立足教材基础，从定理公式出发;二是实施分层设问，由浅入深逐步推理. 利用微设计的形式可使学生逐步体验基础知识在考题解析中的价值，强化学生基础，提升知识应用的能力. 同时，微设计教学中必然涉及数学的思想方法，可以使学生感悟数学思想，促进综合素养的提升.。