微分学基本定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
微积分基本定理
微积分基本定理微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一，它揭示了函数与它的导数之间的关系。
微积分基本定理分为两部分：第一部分是定积分的基本定理，第二部分是微分方程的基本定理。
本文将从这两个方面详细介绍微积分基本定理的概念、原理和应用。
一、定积分的基本定理定积分的基本定理是微积分中最基础的定理之一。
它表明了定积分与不定积分之间的关系，即定积分可以看作是不定积分的一个特例。
定积分的基本定理可以用以下数学公式表示：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数F(x)在区间[a, b]上可积，并且有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式表明了定积分与不定积分之间的联系，也称为牛顿-莱布尼茨公式。
它告诉我们，如果知道一个函数在某个区间上的原函数，就可以求出该函数在该区间上的定积分值。
这个定理在计算曲线下面积、求函数的平均值等问题中有广泛的应用。
二、微分方程的基本定理微分方程的基本定理是微积分学中另一个重要的定理。
微分方程描述了函数的导数与函数自身之间的关系，通过微分方程可以求解一些函数的性质和行为。
微分方程的基本定理可以用以下形式表示：若函数f(x)在区间I上具有连续导数，则微分方程y'(x) = f(x)的通解可以表示为：y(x) = ∫f(x)dx + C其中C为积分常数，∫f(x)dx表示f(x)的一个原函数。
这个公式表明了微分方程的解可以通过对方程右侧函数的积分得到，同时需要加上一个积分常数。
微分方程的基本定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，可以用来描述很多自然现象的规律。
综上所述，微积分基本定理是微积分学中两个重要的基本定理，它们揭示了函数与导数、函数与积分之间的重要关系。
这两个定理在微积分的理论体系和实际应用中都起着至关重要的作用，对于深入理解微积分学的原理和方法具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对微积分基本定理有更深入的理解和认识。
微分数学公式
微分数学是数学的一个分支，它涉及到函数的局部行为，特别是函数在某一点处的变化率。
在微分学中，有几个基本的公式和定理，它们是理解和应用微分计算的基础。
以下是一些重要的微积分公式：1. 微分基本公式：对于函数f(x) 的微分，记作df/dx 或d^f/dx^，基本微分公式如下：df/dx = f'(x)dx其中f'(x) 是f(x) 的导数。
2. 导数的定义：函数f(x) 在x 处的导数定义为f(x + Δx) - f(x) / Δx 当Δx 趋近于0 时的极限。
3. 导数的性质：常数的导数为0。
幂函数的导数：对于f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
指数函数的导数：对于f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
对数函数的导数：对于f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，其中h(x) ≠ 0，那么f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / [h(x)]^2。
6. 和差法则：f'(x) = (f1'(x) + f2'(x)) / 2，如果f(x) = f1(x) + f2(x)。
f'(x) = (f1'(x) - f2'(x)) / 2，如果f(x) = f1(x) - f2(x)。
7. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
8. 三角函数的导数：sin(x) 的导数为cos(x)。
cos(x) 的导数为-sin(x)。
tan(x) 的导数为sec^2(x)。
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
微积分学基本定理及基本积分公式
1．变限定积分
f (t) 在[a, b]上可积，则对 x [a, b]， f (t) 在[a, x]上
可积，即 x f (t )dt ． a
---变上限定积分
1) 变上限定积分是上限的函数
设 f 在[a, b]上可积，
x
( x) a f (t)dt, x [a, b]
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
EXE (4)
1 dx 1 x2
F(x) ex2 (x2 ) 2xex2 ．
一般地，
u(x)
v( x)
f (t) dt f (u( x))u( x) f (v( x))v( x)
．
( x) x f (t)dt ， ( x) f ( x) ．
2) 变上限a 定积分求导
例 2
F(x)
x
( x t) f (t) dt,
结论：若 F ( x)为 f ( x) 的任一原函数， 则(1)F(原 x) 函 C数为的f存( x在) 的性原函数的全体，其中 C 为常数．
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在[a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一
若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
即从一条曲线上下平移而得 3) 基本积分公式
微积分基本定理及其应用
微积分基本定理及其应用微积分是高等数学中的一门重要课程，它为理解自然规律和科学现象提供了强有力的数学工具。
在微积分中，基本定理是一个重要的概念，它是微积分中最基本的定理之一。
基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和分部积分公式两部分。
本文将分别介绍基本定理及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它将微积分的两个重要概念联系起来，即微分和积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于 $[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分转化为了原函数的差值，从而实现了对于函数 $f(x)$ 积分的求解。
在实际应用中，我们经常需要求解一些复杂的积分问题，而牛顿-莱布尼茨公式的使用，可以大大简化这个过程。
例如，求解下面的积分：$$\int_{0}^{1}x^2dx$$根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先求出函数 $f(x)=x^2$ 的原函数 $F(x)$，然后再利用公式求解积分。
易得：$$F(x)=\frac{1}{3}x^3$$则：$$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$$二、分部积分公式分部积分公式是微积分中的另一个基本定理，它将积分于微分有机结合在了一起，从而将一些复杂的积分问题简化为一些其他积分问题的组合。
分部积分公式的表述如下：若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可微，则对于$[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$分部积分公式可以用于求解一些复杂的积分问题，特别是在计算工程、物理和化学等领域中很常用。
第四章 微积分中值定理与证明
．
若 ，我们取 或 ，结论显然成立．若 ，则
根据零点定理， 有 ，所以有 ．
（方法2：利用介值定理）由于 在 上连续，所以 在 上可以达到最
大值和最小值， 使得 ，当然 ，所以
，
故
，
从而有
，
根据介值定理， 有
，
所以有
．
例2设 在 上连续， ，证明： ，使得 ．
证明引入辅助函数 ，则
4．设 ， 在 上连续，在 可导，证明：在 内至少存在一
点 ，使得 ．
（提示：对两个函数 和 在 上应用柯西中值定理）
5．设 在 上连续，在 可导，且 ，证明：在 ，使得 ．
（提示：引入辅助函数 ，在 上满足罗尔定理条件）
6．设 在 上可导，且 ，证明：
（1） ，使得 ．
（2）在 上存在 ，使得 ．
所以
整理得到
．
例12设 在 上连续，且 ，证明：存在 满足
．
分析解方程 ，即 ，所以辅助函数为
．
例13和例14对数三考生不做要求：
例13若 在 上有三阶导数，且 ，设 ，证明：
在 内至少存在一个 使得 .
证明由于 具有三阶导数，于是
由于
，
所以 ，故
，
因为 ，所以 ，即存在一个 使得 .
例14设 在区间 上具有三阶连续导数，且 ， ，
柯西中值定理，有
， ；
， ．
将上面两式相除，整理得到
．
4.1练习
1．试证方程 ，其中 至少有一个正根并且不超过 ．
（提示：只需证明函数 在 至少有一个根）
2．试证方程 恰有两个实根．
（提示：函数 是偶函数，关于 轴对称）
微分学的基本定理
微分学的基本定理【费马（Fermat）定理】若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有)(x f )(0x f ≤，或者)(x f )(0x f ≥；（ii）函数)(x f 在0x 点可导，则有0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是+'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ),另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有≤--00)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有0)()(00≥--x f x f .再由极限性质得)(0x f '=+'f （0x ）=lim0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0-→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0.对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明.这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线.【拉格朗日（Lagrange）中值定理】这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理.若函数)(x f 满足（i）在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导，则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使)(ξf '=ab a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是=ϕtan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明.证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的.由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明.(1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有))()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得0)(='ξf .而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立.对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】.(2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[]1x ab a f b f x f x ---=)()()()(ϕ由连续函数性质及导数运算法则，可知)(x ϕ在[]b a ,连续，且在（b a ,）可导，并且)()()()(a ab b af a bf b ϕϕ=--==.这就是说)(x ϕ满足上面的特殊情形，因此在（b a ,）内至少有一点ξ使0)()()()(=---'='a b a f b f f ξξϕ，即ab a f b f f --=')()()(ξ.这正是所证明的.定理结论的表达式也称中值公式或拉格朗日公式.它也经常用另一种形式表示，由于ξ是（b a ,）中的一个点，故可表示成)10)((<<++=θθξa b a ，于是定理的结论就可改成为在（0,1）中至少存在一个θ值，使a b a f b f a b a f --=-+')()())((θ，或)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ.注意如果定理的条件不全满足，则其结论就不一定成立.例如函数x x f =)(在[]1,1-连续，但在(-1,1)不可导，容易知道在(-1,1)不存在这样的ξ，使0)(=ξf .然而不能认为，如果定理的条件不全成立，那么一定没有适合定理结论的点ξ存在.事实上，可以很容易地举出例子在说明，即使定理的条件不全满足，但结论仍然可以成立.这就表明，定理的条件是充分的，但不是必要的.作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理.【柯西中值定理】若)(x f 与)(x g 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内可导，并且0)(≠'x g ，则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--.证明首先可以肯定)()(b g a g ≠，否则若)()(b g a g =，那么由拉格朗日中值定理，)(x g '在（b a ,）内存在零点，此与假设矛盾.作辅助函数F(x)=))()(()()()()()(a g x g a g b g a f b f x f ----,有F(a)=F(b),再运用拉格朗日中值定理，定理立即得证.若去x x g =)(，则从定理3的结论立即得到拉格朗日中值定理.故拉格朗日中值定理是定理3的一个特例.【积分中值定理】证明：设f(x)在上连续，且最大值为，最小值为，于是M x f m ≤≤)(。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，应用广泛，内容繁多。
在这里，我将为您介绍一些微积分中的基本公式和定理。
请注意，这里只是列举一些常用的公式，若要深入学习微积分，请参考相关教材和课程。
1.导数的基本公式：- 常数导数法则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
- 幂函数导数法则：对于幂函数f(x) = x^n ，其中n是常数，则其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
-和差导数法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.基本积分公式：- 反微分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
- 平方差公式：∫(a^2 - x^2)^(1/2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) + a^2sin^(-1)(x/a)) + C。
- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，其中e是自然对数的底数。
- 三角函数积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
3.特殊函数和公式：-泰勒级数展开：函数f(x)在点a处的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...。
- 自然对数函数和指数函数的微分法则：d/dx(ln(x)) = 1/x，d/dx(e^x) = e^x。
微分学基本定理
§3.1 微分学基本定理3.1.1罗尔（Rolle ）定理引理（费马(Fermat )） 若（1）函数)(x f 在),(δ x N 内有定义，且在),(δ x N 内恒有)()( x f x f ≤（或)()( x f x f ≥）（2）函数)(x f 在点 x 可导，则0)(=' x f 。
证明：就)()( x f x f ≤的情形加以证明。
∵)(x f 在点 x 可导，∴)()()( x f x f x f '='='-+，∵)()( x f x f ≤，∴当) ,(δ+∈ x x x 时，有0)()(≤-- x x x f x f ，当) ,( x x x δ-∈时，有0)()(≥--x x x f x f ，由极限的保号性可得： ,0)()(lim )()(≤--='='+→+x x x f x f x f x f x x,0)()(lim )()(≥--='='-→-x x x f x f x f x f x x .0)(=' x f 故2.5.2 罗尔(le Rol )定理定理 1 若函数)(x f （1）在闭区间],[b a 上连续，（2）在开区间),(b a 内可导，（3）且)()(b f a f =，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(=ξ'f 。
le Rol 定理的几何意义是：如果连续曲线)(x f y =除端点外处处都有不垂直于轴 x 的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于ox 轴的切线。
注意：该定理要求)(x f 同时满足三个条件：在[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，且)()(b f a f =。
若)(x f 不能同时满足这三个条件，则结论就可能不成立。
证明：∵] ,[)(b a C x f ∈，∴)(x f 在[b a ,]上必有最大值M 和最小值m 。
微积分基本定理
微积分基本定理微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的变化率、积分和微分。
在微积分中，存在着一些重要的定理，其中最基本的定理是微积分基本定理，也称为牛顿－莱布尼茨公式。
微积分基本定理由两个部分组成：第一部分是微分学基本定理，第二部分是积分学基本定理。
第一部分：微分学基本定理微分学基本定理是指在定积分和不定积分之间的关系。
它声称如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且存在它的原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在a和b处的差值。
换句话说，定积分就是原函数在区间上的差值。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理的重要性在于，它给出了计算定积分的一种方法，通过求出函数的原函数，再计算原函数在区间的差值来得到定积分的值。
这在实际应用中非常有用，例如计算曲线下面积、求解概率密度函数等都可以利用微积分基本定理。
第二部分：积分学基本定理积分学基本定理是微积分中另一个重要的部分。
它描述了反过程，即求解函数的原函数的过程。
根据积分学基本定理，如果一个函数f(x)在[a, b]上连续，并且存在其原函数F(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在[a, b]上的增量。
也就是说，定积分就是原函数在区间上的增量。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理可以用于求解函数的原函数。
通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以得到其原函数F(x)在a和b处的值。
综合应用：微积分基本定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微积分基本定理计算物体的位移、速度和加速度等；在经济学中，可以用来计算边际效益和利润最大化问题；在工程学中，可以用于求解曲线的长度、曲率和曲线下面积等。
总结：微积分基本定理是微积分中的一个重要定理，它由微分学基本定理和积分学基本定理组成。
专升本高等数学罗尔定理
专升本高等数学罗尔定理
罗尔定理（Rolle's Theorem）是微分学中的一个基本定理，它描述了在一定条件下的连续函数在闭区间内至少存在一个点的导数为零。
具体来说，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，那么至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
这个定理的几何意义是，如果一条连续的曲线在区间[a,b]的两端点处纵坐标相等，则这条曲线上至少存在一点，使得该点处的切线平行于x轴，即切线的斜率为零。
在专升本高等数学中，罗尔定理是一个重要的知识点，它可以帮助我们解决一些与函数导数和函数值有关的问题。
例如，我们可以使用罗尔定理证明某些方程根的存在性，或者利用罗尔定理求解一些与函数极值有关的问题。
需要注意的是，罗尔定理的使用需要满足一定的条件，包括函数在闭区间上连续、开区间内可导以及区间两端点的函数值相等。
如果这些条件不满足，那么罗尔定理可能无法应用。
此外，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，当函数在区间两端点的函数值相等时，可以使用罗尔定理来
证明拉格朗日中值定理。
总之，罗尔定理是专升本高等数学中的一个重要定理，它可以帮助我们解决一些与函数导数和函数值有关的问题，但需要注意其使用条件以及与其他定理的关系。
第六章 微分学基本定理及其应用
f()0. 但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1)矛)盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导,
那末在(a, b)内至少有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f F
' ( ' (
) )
成立.
几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C(F (), f ()), 在
y
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
(x)满足罗尔定理的条, 件
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
注：如果f(x)仍属 0型，且 f(x),F(x)满足
F(x) 0 定理的条件，使 可用 以洛 继必 续达法则，即
lif m (x ) lif m (x ) lif m (x ) . x aF (x ) x aF (x ) x aF (x ) 当 x 时 ,以x及 a,x 时 ,该法则. 仍然
பைடு நூலகம்
在U0(a,)内任取一 x,在点以a与x为端点的区,间上
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8.函数的奇偶性：
1) 定义：设函数 的定义域 关于原点对称.如果对于任意 ， 恒成立，则称 为偶函数；如果对于任意 ， 恒成立，则称 为奇函数.
34.介值定理的推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值 .
35.函数连续性定理：
1)函数的连续性：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.
2) 左连续右连续：如果 ，那么就称函数 在点 左连续；如果 ，那么就称函数 在点 右连续.如果函数在某区间上连续，且区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.
10.函数的凹凸性：设函数 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，那么称 在 上的图形是(向上)凹的， 在区间 上是凹函数；如果对 上任意两点 恒有 ，那么称 在 上的图形是(向上)凸的， 在区间 上是凸函数.
11.基本初等函数初等函数双曲函数反双曲函数：
1)基本初等函数：(以下四类函数统称为基本初等函数)
函数
31.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.
32.零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至少有一点 ，使 .
33.介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 ，那么对于 内至少有一点 ，使得 .
ii.反双曲余弦： ，该函数不具有奇偶性，定义域为 ，值域为 .
iii.反双曲正切： ，该函数是奇函数，定义域为 ，值域为 .
双曲函数
12.反函数的映射定义：设函数 是单射，则它存在逆映射 ，称此映射 为函数 的反函数.按此定义，对每个 ，使得 ，于是有 .即反函数 的对应法则是完全由函数 的对应法则所确定的.
2)( 时函数极限的定义)设函数 当 大于某一正数时有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 时的极限，记作 或 .
15.函数极限的局部有界性：如果 ，那么存在常数 有 成立.
16.函数极限的局部保号性：如果 ，那么存在常数 ， 有
设 ，那么：
1)
2)
3)若有
4)
5)
6)
25.复合函数极限运算法则：设函数 是由函数 复合而成， 在点 的某去心邻域内有定义，若 ，且存在 ，当 时，有 ，则 .
26. 函数极限存在准则：当 (或 )时， ，且 ，那么 存在且等于 .
函数 的图象
27பைடு நூலகம்无穷小判定定理：( )
1)如果 ，那么 高阶的无穷小.
5.逆映射的定义：设 是 的单射，则由定义，对每个 ，有唯一的 ，适合 ，则存在从 到 的新映射 ，即 ，对每个 ，规定 ，这 满足 .这个映射 称为 的逆映射，记作 ，其定义域 ，值域 .
6.函数的有界性：设函数 的定义域为 ，数集 .如果存在正数 ，使得 对任意 都成立，则称函数 在 上有界.如果这样的 不存在，就称函数 在 上无界；这就是说，如果对于任何正数 ，总存在 ，使得 ,那么函数 在 上无界.
函数 及其导函数
43.导数存在的充分必要条件：函数 单侧极限 都存在且相等.这两个极限分别称为函数 在点 处的左导数和右导数，记作 ，即 ， .即函数 左导数 和右导数 都存在且相等.左导数和右导数统称为单侧导数.
1.映射的定义：设 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 中每个元素 ，按照法则 ，在 中有唯一确定的元素 与之对应，则称 为从 到 的映射，记作 ，其中 称为元素 在映射 下的像，并记作 ，而元素 称为元素 (在映射 )下的一个原像；集合 称为映射 的定义域，记作 ，即 ； 中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 或 ，即 .
2.函数的映射定义：设数集 ，则称映射 为定义在 上的函数，通常简记为 ，其中 称为自变量， 称为因变量， 称为定义域，记作 ，即 ， 称为函数 在 处的函数值，函数值 的全体所构成的集合称为函数 的值域，记作 或 ，即 通常约定未标示定义域的函数的定义域是使得表达式有意义的一切实数所组成的集合，这种定义域称作这函数的自然定义域.若在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子表示，这样的函数通常称为分段函数.
周期函数
2)性质：
a)函数 若是周期函数，则该函数必定有正周期，但不一定有最小正
周期.
b)若函数 是由有限个相同周期的周期函数的有效组合函数，则该函数仍为周期函数，且该函数的周期与各分支函数保持一致.
c)若函数 在区间 或 上是连续的周期函数，那么函数 在该区间上有界.
d)若函数 是周期函数，且 都是该函数的周期，那么 也是该函数的一个周期.
2)如果 ，那么 低阶的无穷小.
3)如果 ，那么 是同阶无穷小.
4)如果 ，那么 是关于 的 阶无穷小.
5)如果 ，那么 是等价无穷小，记作 .
28.等价无穷小定理：
1) .
2)设 ，且 存在，则有 .
29.函数的连续性：设函数 如果 ，那么就称函数 在点 连续.
30. 函数的最大值与最小值：对于在区间 上有定义的函数 ，如果有 ，使得对于任意 ，都有 ，则称 是函数 在区间 上的最大值；如果有 ，使得对于任意 ，都有 ，则称 是函数 在区间 上的最小值.
22.无穷小与无穷大的倒数关系：在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小；反之，如果 是无穷小，且 ，那么 是无穷大.
23.无穷小运算法则：
1)有限个无穷小的和也是无穷小
2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小
3)常数与无穷小的乘积是无穷小
4)有限个无穷小的乘积是无穷小
24.极限运算法则(当极限存在时)
函数
36.函数间断点：
1)非连续性与间断点：设函数 ，在此情形下，如果函数满足下列三种情形之一：
a)在 没有定义；
b)虽在 有定义，但 不存在；
c)虽在 有定义，且 存在，但 .
则函数 在点 不连续，而点 称作函数 的不连续点或间断点.
2)函数间断点的类型：(设点 是函数的间断点)
a)若 ，那么称 是函数 的无穷间断点.
a)幂函数
b)指数函数 及其反函数
c)三角函数：正弦函数 、余弦函数 、正割函数 、余割函数 、正切函数 、余切函数 .
d)反三角函数：反正弦函数 、反余弦函数 、反正切函数 .
2)初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如函数 等都是初等函数.
3)双曲函数反双曲函数：在应用中常见以 为底的指数函数所构成的双曲函数以及它们的反函数，它们的定义如下：
a)双曲函数：(定义域均为 )
i. 双曲正弦： ，该函数是奇函数，值域为 .
ii.双曲余弦： ，该函数是偶函数，值域为
iii.双曲余弦： ，该函数是奇函数，值域为 .
b)反双曲函数：
i.反双曲正弦： ，该函数是奇函数，定义域与值域均为
13.复合函数的定义：设函数 的定义域为 .函数 的定义域为 ，值域为 ，若满足 ，则由下式确定的函数 称为由函数 与函数 构成的复合函数，它的定义域为 ，变量 称为中间变量.
14.函数极限的定义：
1)( 时函数极限的定义)设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 时的极限，记作 或 .其中， 表示 .
19.无穷小：如果函数 当 (或 )时的极限为零，那么称函数 是当 (或 )时的无穷小.
20.无穷小与函数极限的关系：在自变量的同一变化过程 (或 )中，函数 具有极限 的充分必要条件是 ，其中 是无穷小.
21.无穷大：设函数 在点 的某一去心邻域内有定义(或当 大于某一正数时有定义).对于任意给定的正数 (不论它多么大)，总存在正数 (或正数 )，只要 满足不等式 或 ，对应的函数值 都满足不等式 ，则称函数 (或 时)的无穷大.
38.反函数的连续性：若函数 ，那么它的反函数 也在对应的区间 上单调且连续.
39.复合函数的连续性：设函数 是由函数 与函数 复合而成， .若函数 在 连续，且 ，而函数 在 连续，则复合函数 在 也连续.
40.初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义区间(包含在定义域内的区间)内都是连续的.
b)若函数在 没有定义，当 时函数值在 无限变动多次，那么点 是函数 的震荡间断点.
c)若函数在 不连续，但补充或改变定义可使函数 在点 处连续，那么称点 是函数 的可去间断点.此时， 存在却不等于
d)若函数 的图象在点 ，则称点 是函数 的跳跃间断点.此时，该点的两个单侧极限虽然存在但不相等.
37.连续函数和、积、商的连续性：设函数 连续，则它们的和 、积 、商 都在点 连续.
17.局部保号性的重要推论：如果 ，那么就存在着 的某一去心邻域 ，当 时，就有 恒成立.
18.单侧极限定理：
1)( 时)在 中，若去掉 的绝对值符号，将其改为 ，那么 就叫做函数 当 时的左极限，记作 或 ；如果将其改为 ，那么 就叫做函数 当 时的右极限，记作 .左极限与右极限统称为单侧极限.
2)( 时)在 时函数极限的定义中，如果 且无限增大(记作 )，那么只要把定义中的 ，就可得 的定义；同样，如果 且无限增大(记作 )，那么只要把定义中的 ，就可得 的定义.
41.导数的概念：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 (点 仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量 ；如果 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点处的导数，记为 ，即 .也可记作 .函数 在点 具有导数或导数存在.